Pirâmide quadrangular em plano oblíquo
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- O exercício consiste em representar uma pirâmide quadrangular regular cuja base está em um plano inclinado. Primeiro, é necessário determinar o centro da base através do cruzamento das diagonais e, em seguida, traçar o eixo interno do sólido. Para marcar a altura, o eixo interno precisa ser transformado em uma reta horizontal através de uma rotação.
![1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo:
- O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com
o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa;
- O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de
cota;
- O sólido mede 8cm de altura.
SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS](https://image.slidesharecdn.com/12exrc-pappiramidplanoobliquo-180623162826/85/exerccio-passoapasso-pirmide-em-plano-oblquo-1-320.jpg)
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SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS
1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo:
- O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos
a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa;
- O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e
5cm de cota;
- O sólido mede 8cm de altura.
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- 1. 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS
- 2. fo x O A2 A1 B1 B2 C2 C1 D2 D1 Dr Cr Br Ar c2 e2 e2r e1r c1 cr b2 b1 d2 d1 a2 a1 ha fa far Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch Fa1 Fd1 S2 S2r S1 V1 V1r S1r V2 Fb1 Fc1 Fa Fd V1 e1 V2 e2 Fb Fc a d b c fa ha K A B D C e e1 O1 O2 (e’2) V O e’1 x SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. V2r
- 3. fo x O A2 A1 B1 B2 C2 C1 D2 D1 Dr Cr Br Ar c2 c1 cr b2 b1 d2 d1 a2 a1 ha fa far Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch Fa1 Fd1 S1 Fb1 Fc1 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS Fa Fd Fb Fc a d b c fa ha K A B D C x 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - A primeira fase do exercício consiste na representação da base do sólido, que é o quadrado [ABCD] assente no plano a. - Para representar esse quadrado é necessário proceder ao rebatimento do plano (ou a um procedimento alternativo). - Pensando este exercício em duas etapas diferentes, esta 1ª parte consiste num exercício de representação de figuras planas em planos oblíquos... RESOLUÇÃO:
- 4. fo x O A2 A1 B1 B2 C2 C1 D2 D1 Dr Cr Br Ar c2 c1 cr b2 b1 d2 d1 a2 a1 ha fa far Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch Fa1 Fd1 S1 Fb1 Fc1 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS Fa Fd Fb Fc a d b c fa ha K A B D C O1 O2 O x 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Para a ‘construção’ do sólido (pirâmide) sobre o plano a, a partir da sua base [ABCD], vai ser necessário traçar o eixo interno do sólido, pelo que, primeiro, é necessário determinar o centro da base - o ponto O; - Note-se que, para esse efeito, não é necessário recorrer ao rebatimento, pois que basta cruzar as duas diagonais numa das projeções (neste caso, na projeção horizontal) e somente uma na outra projeção - isto faz-se para evitar revelar eventuais faltas de rigor... RESOLUÇÃO:
- 5. Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O O2 O1 e1 e2 ha fa 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Para a marcação da altura do sólido só necessitamos do centro da sua base (ponto O) e do seu eixo interno (reta e), pelo que podemos fingir que todos os restantes traçados foram apagados, que já não estão no papel... - Como sabemos, o (reta e) é perpendicular ao plano da base do sólidoeixo interno do sólido (plano a), e isso verifica-se também em projeções, pelo que basta traçar uma perpendicular a fa a passar por O2 e uma perpendicular a ha a passar por O1. RESOLUÇÃO: fo x e1 O2 e2 fa ha e O A B D C O1
- 6. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 S2 S1 O1 e1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O O2 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Como o eixo interno do sólido é uma reta oblíqua, vai ser necessário ‘transformá-lo’ numa reta horizontal ou frontal, através de uma rotação, ou mudança de diedro ou através de um rebatimento; - Neste caso vamos usar uma rotação do eixo do sólido, transformando-o numa reta horizontal (paralela ao PHP); - Para isso necessitamos de dois pontos, pelo que marcamos um ponto S onde nos parecer mais adequado (geralmente, medida a partir deum pouco mais do que a altura do sólido O2 ou O1 dá bom resultado). RESOLUÇÃO: }UM POUCO M AIS DO QUE A ALTURA DO SÓLIDO (ou m edida do eixo) fo x e1 S2 O2 e2 fa ha e O A B D C S S1 O1
- 7. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 S2 O2 (e’2) S1 O1 e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Para transformarmos uma reta oblíqua (eixo interno do sólido) numa reta horizontal pelo processo das rotações necessitamos de um ( ), que será de topo, a passar pelooutro eixo e’ ponto O ou por S; - Passámos esse por O (note-se que esse eixo é projetante frontal).eixo de topo RESOLUÇÃO: fo x e1 S2 O2 e2 e2 fa ha e O e’ A B D C e’1 S S1 O1
- 8. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 e2r S2 O2 (e’2) S1 O1 e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Como queremos que a reta eixo interno do sólido fique horizontal (pra obtermos a sua Verdadeira Grandeza em projeção horizontal e, aí, marcar a altura do sólido), e porque passámos o por O, passamos por O2 uma paralela ao eixo x, que será aeixo da rotação projeção frontal do eixo depois de rodado (er). Note-se que as retas horizontais têm a sua projeção frontal paralela ao eixo x... RESOLUÇÃO: fo x S1 e1 S2 O2 e2 e2 e2r fa ha e O e’ A B D C e’1 S O1
- 9. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 e2r S2 S2r O2 (e’2) S1 O1 e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Como o é de topo (perpendicular a PFP), o durante aeixo da rotação percurso do ponto S sua rotação fica em verdadeira grandeza na projeção frontal (arco de circunferência); - Isto é, roda-se S2 sobre e2r com centro em O2 e obtêm-se S2r... RESOLUÇÃO: fo x S1 e1 S2 S2r O2 e2 e2 e2r fa ha e O e’ A B D C e’1 S O1
- 10. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 e2r S2 S2r O2 (e’2) O1 e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Como o é de topo (perpendicular a PFP), o percurso do ponto S durante aeixo da rotação sua rotação é um pertencente a um , pelo que o pontoarco de circunferência plano frontal ( )p S mantém o seu afastamento. - Assim, traça-se uma paralela ao eixo x a passar por S1 e desenha-se a linha de chamada de S2r para encontrar S1r. RESOLUÇÃO: S1 S1r (hp) fo x S1 e1 S2 S2r O2 e2 e2 e2r fa ha e O e’ Sr1A B D C e’1 S O1 Sr
- 11. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 e2r S2 S2r O2 (e’2) S1 O1 e1rS1r e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Como o eixo interno do sólido passa pelos pontos O e S, e o ponto O ficou no mesmo sítio (pois que pertence ao eixo da rotação, de topo), o eixo interno do sólido rodado passará por O e por Sr, ou seja: - s2r passa por O2 e por Sr2; - sr1 passa por O1 e por Sr1. RESOLUÇÃO: fo x S1 e1 S2 S2r O2 e2 e2 e2r er fa ha e O e’ Sr1A B D C e’1 S e1r Sr O1
- 12. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 e2r S2 S2r O2 (e’2) S1 O1 e1r V1r S1r e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O } ALTURA DO SÓLIDO (ou medida do eixo) 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Como o eixo interno do sólido, depois de rodado (er), está horizontal (paralelo ao PHP), a sua projeção horizontal (sr) está em V.G., pelo que podemos medir a altura na sua projeção horizontal; - Assim, a altura do sólido (comprimento do seu eixo interno) será medida a partir de O1, ao longo de sr1, até encontrar Vr1, que é a projeção horizontal do vértice do sólido; - Mas como Vr1 está rodado (e falta Vr2, que não é necessário marcar), será necessário inverter a rotação desse ponto... RESOLUÇÃO: fo x S1 e1 S2 S2r O2 e2 e2 e2r er fa ha e O e’ Sr1Vr1A B D C e’1 S e1r Sr O1 }
- 13. x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 e2r S2 S2r O2 (e’2) S1 V1 O1 e1r V1r S1r e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Para determinar as projeções do vértice do sólido basta inverter a rotação do ponto Vr (através de Vr1), já não sendo necessário usar o compasso... - Como, numa rotação com um eixo de topo, os pontos mantêm o seu afastamento, pasta passar Vr1 para cima de e1 numa paralela ao eixo x... RESOLUÇÃO: fo x V1 S1 e1 S2 S2r O2 e2 e2 e2r er fa ha e O e’ Sr1Vr1A B D C e’1 S e1r Sr O1
- 14. fo x x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 V1 O1 S1 e1 V2S2 S2r O2 e2 e2 e2r er fa ha e O e’ Sr1Vr1 e2r S2 S2r O2 (e’2) V2 S1 V1 O1 e1r V1r S1r e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS A B D C x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. --- e marcar V2 sobre e2. RESOLUÇÃO: e’1 V S e1r Sr
- 15. fo x x O Dr Cr Ar c1 cr b1 d1 a1 ha far Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch A1 B1 C1 D1 Br Fa1 Fd1 Fb1 Fc1K A2 B2 C2 D2 c2 b2 d2 a2 fa Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 V1 O1 S1 e1 V2 V2r S2 S2r O2 e2 e2 e2r er fa ha e O e’ Sr1Vr1 e2r S2 S2rV2r O2 (e’2) V2 S1 V1 O1 e1r V1r S1r e1 e’1 e2 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS A B D C x O 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - É desnecessário representar a rotação do ponto V... mas pode ser feito. RESOLUÇÃO: e’1 V S e1r SrVr
- 16. fo x O A2 A1 B1 B2 C2 C1 D2 D1 Dr Cr Br Ar c2 e2 e2r e1r c1 cr b2 b1 d2 d1 a2 a1 ha fa far Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch Fa1 Fd1 S2 S2r S1 V1 V1r S1r Fb1 Fc1 SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS Fa Fd V1 e1 V2 e2 Fb Fc a d b c fa ha K A B D C e e1 O1 O2 (e’2) V O V2 e’1 x 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - Voltando à situação real (com todos os traçados presentes), basta carregar os contornos do sólido em ambas as projeções e ... RESOLUÇÃO: V2r
- 17. fo x O A2 A1 B1 B2 C2 C1 D2 D1 Dr Cr Br Ar c2 e2 e2r e1r c1 cr b2 b1 d2 d1 a2 a1 ha fa far Fc2 Fb2 Fd2 Fa2 Far Fdr Fbr Fcr br dr ar ch Fa1 Fd1 S2 S2r S1 V1 V1r S1r V2 Fb1 Fc1 Fa Fd V1 e1 V2 e2 Fb Fc a d b c fa ha K A B D C e e1 O1 O2 (e’2) V O e’1 x SÓLIDOS RETOS EM PLANOS OBLÍQUOS 1 - Pirâmide quadrangular regular (reta) de base [ABCD] em plano a oblíquo, sabendo: - O traço frontal do plano faz um ângulo de 40º e o traço horizontal um de 50º ambos a.d. com o eixo x, e intersetam-no num ponto K com 4cm de abcissa; - O ponto A tem 4cm de afastamento e 2cm de cota, e B tem 1cm de afastamento e 5cm de cota; - O sólido mede 8cm de altura. - ... e tratar das visibilidades e invisibilidades como sempre... RESOLUÇÃO: V2r