COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matem...
COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matem...
COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matem...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Aula elipse

561 visualizações

Publicada em

Elipse

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
561
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
4
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
14
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Aula elipse

  1. 1. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica Cônicas - Elipse Sejam um plano e dois pontos distintos e fixos F1 e F2, neste plano. A cônica denominada elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante, ou seja, qualquer ponto P do plano que satisfaz à condição 1 2 F P PF k+ = , pertence à elipse . Acesse a atividade a seguir para visualização dos conceitos apresentados: Atividade 1: Cônicas – Elipse Elementos da Elipse: Observe os elementos da elipse na figura abaixo: • F1 e F2 : focos • d (F1, F2) = 1 2 F F : distância focal : 2c • C: centro (ponto médio de 1 2 F F ) • A1, A2, B1, B2 : vértices • 1 2 A A : eixo maior : 2a (contém focos e extremos) • 1 2 B B : eixo menor : 2b (é perpendicular a 1 2 A A pelo centro C, logo 1 2 1 2 A A B B 0=i ) • e : excentricidade: e = c a
  2. 2. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica Observações: 1) Percebe-se que d ( F1, F2 ) < d ( A1, A2 ), isto é, 1 2 1 2 F F A A< , portanto, 2c < 2a. Então, temos: c < a. Donde se conclui que 0 < e = c a < 1. 2) Observando o gráfico acima percebemos que 1 2 1 2 A A B B> , daí 2a > 2b, logo, na elipse, a > b. 3) Como A1 e A2 são pontos da elipse e 1 2A A = 2a , então se o ponto P estiver no vértice A1 ou A2 , temos 1 2 PF + PF = 2a Dedução da equação da elipse com centro em (0,0): 1O caso: Eixo maior coincide com o eixo Ox Sejam P = ( x, y ), F1 = ( -c, 0 ) e F2 = ( c, 0 ). ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F P PF 2a F P ( x c, y ) e PF c – x, y x 2xc c y c 2xc x y 2a x 2xc c y 2a – c 2xc x y x 2xc c y 4a – 4a c 2xc x y c 2xc x y 4a c 2xc x y 4a + = = + = − + + + + − + + = + + + = − + + + + + = − + + + − + + − + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 – 4cx a c 2xc x y a – cx a c – 2cx x y a – 2a cx c x a c – 2a cx a x a y a – 2a cx c x a – c x a y a a – c − + + = + + = + + + = + + = Como B1 b a a2 = b2 + c2 b2 = a2 - c2 C c F2 Logo, b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 Dividindo o último resultado por ( : a2 b2 ), temos: 2 2 2 2 x y 1 a b + = Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Ox. 2 2 2 2 x y 1 a b + =
  3. 3. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 2o caso: Eixo maior coincide com o eixo Oy Por analogia, encontraremos: Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Oy. Acesse, Atividade 2: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Ox. Acesse, Atividade 3: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Oy. Acesse, Atividade 4: Cônicas – Elipse – Excentricidade Dedução da equação da elipse com centro fora da origem: 1o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Ox Analogamente à translação de eixos da parábola, temos Equação da elipse de centro em ( h, k ) e eixo maior paralelo a Ox 2o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Oy Analogamente, temos: Equação da elipse de centro em ( h, k ) e eixo maior paralelo a OY Exemplo: Dê a equação da elipse que possui as seguintes características: I) eixo maior paralelo a Oy; II) C = (4, -2); III) e = ½ ; IV) eixo menor igual a 6. 2 2 2 2 2 2 a b c 4c 9 c 3c 9 c 3 a 2 3 = + ∴ = + = ∴ = ∴ = Informação III: c Sabemos que e , logo: a c c 1 e a 2c a a 2 Informação IV: O eixo menor mede 2b, assim: 2b 6 b 3 = = ∴ = ∴ = = ∴ = ( ) ( ) 2 2 Finalmente, utilizando as informações I e II, temos: x 4 y 2 1 9 12 − + + = 2 2 2 2 x y 1 b a + = ( ) ( ) 2 2 2 2 x h y k 1 a b − − + = ( ) ( ) 2 2 2 2 x h y k 1 b a − − + =

×