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FREQUÊNCIAS
Publicado em 03/02/2019 por Diego Oliveira
O QUE É: De uma forma simples a frequência é o número que indica quan-
tas vezes um dado aparece em relação aos demais. Esse número pode ser
obtido de diferentes modos o que implica em diferentes tipos de frequência
(absoluta, relativa, acumulada, etc.).
Exemplo 1: Observando a tabela a seguir, que mostra o número de vezes
que uma determinada nota foi retirada numa turma de 25 alunos, pergunta-
se:
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
i NOTA ƒ
1 4,0 5
2 5,0 3
3 6,0 2
4 7,0 3
5 8,0 2
6 9,0 10
Total 25
a) A frequência absoluta da nota 4,0. é 5.
b) A frequência absoluta da nota 9,0. é 10.
Solução
a) A nota 4,0 ocorre 5 vezes logo f1 = 5.
b) A nota 9,0 ocorre 10 vezes logo f6 = 10.
1
Exemplo 2: A partir da tabela de frequência absoluta abaixo determine
a frequência relativa de cada item.
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
i ESTATURA (cm)
1 150 154 4
2 154 158 9
3 158 162 11
4 162 166 8
5 166 170 5
6 170 174 3
Total 40
Solução:
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
i ESTATURA (cm) ƒ ƒr
1 150 154 4 4/40 = 0, 1
2 154 158 9 9/40 = 0, 225
3 158 162 11 11/40 = 0, 275
4 162 166 8 8/40 = 0, 2
5 166 170 5 5/40 = 0, 125
6 170 174 3 3/40 = 0, 075
Total 40 100
Vale lembrar que a frequência relativa por vezes é expressa em percent-
agem. Para isso basta multiplicar cada resultado por 100.
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
i ESTATURA (cm) ƒ ƒr(%)
1 150 154 4 10
2 154 158 9 22, 5
3 158 162 11 27, 5
4 162 166 8 20
5 166 170 5 12, 5
6 170 174 3 7, 5
Total 40
2
Exemplo 3: Dada a tabela de frequência absoluta a seguir determine a
frequência acumulada de cada item.
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
ESTATURA (cm) ƒ
150 154 4
154 158 9
158 162 11
162 166 8
166 170 5
170 174 3
Total 40
Solução
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
ESTATURA (cm) ƒ ƒ
150 154 4 4
154 158 9 4 + 9 = 13
158 162 11 4 + 9 + 11 = 24
162 166 8 4 + 9 + 11 + 8 = 32
166 170 5 4 + 9 + 11 + 8 + 5 = 37
170 174 3 4 + 9 + 11 + 8 + 5 + 3 = 40
Total 40
Exemplo 4: A frequência relativa acumulada, representada por ƒr, é a
razão entre a frequência acumulada pela frequência total da distribuição.
ƒr =
ƒ
k
=1
ƒ
Dada a tabela a seguir determine a frequência relativa acumulada de cada
item.
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
ESTATURA (cm) ƒ
150 154 4
154 158 9
158 162 11
162 166 8
166 170 5
170 174 3
Total 40
3
Solução:
Primeiro vamos determinar uma coluna com as frequências acumuladas.
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
ESTATURA (cm) ƒ ƒ
150 154 4 4
154 158 9 9 + 4 = 13
158 162 11 11 + 13 = 24
162 166 8 8 + 24 = 32
166 170 5 5 + 32 = 37
170 174 3 3 + 37 = 40
Total 40
Com essas frequências fazemos a razão (de cada uma delas) pela fre-
quência total da distribuição (que neste caso é 40).
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
ESTATURA (cm) ƒ ƒr
150 154 4 4/40 = 0, 1
154 158 9 13/40 = 0, 325
158 162 11 24/40 = 0, 6
162 166 8 32/40 = 0, 8
166 170 5 37/40 = 0, 925
170 174 3 40/40 = 1
Total 40
Assim nossa tabela será:
ESTATURA (cm) ƒ ƒr
150 154 4 0, 1
154 158 9 0, 325
158 162 11 0, 6
162 166 8 0, 8
166 170 5 0, 925
170 174 3 1
Total 40
4
Exemplo 5: Construa a tabela de distribuição de frequência da estatura
média da amostra abaixo. Depois faça a análise dos resultados obtidos.
ESTATURA DOS ALUNOS DE
UMA CLASSE DO 3◦ ANO
1,66 1,60 1,61 1,50 1,62 1,60 1,65
1,67 1,64 1,60 1,62 1,61 1,68 1,63
1,56 1,73 1,60 1,55 1,64 1,68 1,55
1,52 1,59 1,63 1,60 1,55 1,55 1,69
1,51 1,66 1,70 1,64 1,54 1,61 1,56
1,72 1,53 1,57 1,56 1,58 1,58 1,61
Resolução:
1◦ passo: Organizamos a tabela de forma crescente. Essa forma de or-
ganização é chamada de rol.
ESTATURA DOS ALUNOS DE
UMA CLASSE DO 3◦ ANO
1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,55
1,55 1,55 1,56 1,56 156 1,57 1,58
1,58 1,59 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60
1,61 1,61 1,61 1,61 1,62 1,62 1,63
1,63 1,64 1,64 1,64 1,65 1,66 1,66
1,67 1,68 1,68 1,69 1,70 1,72 1,73
2◦ passo: Determinamos a raiz do número de elementos da amostra.
No rol contamos a presença de 42 elementos. Assim, a quantidade de
classes será:
42 ≈ 6, 5 ⇒ k = 6 ou 7 classes
3◦ passo: Determinamos a amplitude total.
Observe que na tabela de rol verificamos que o limite mínimo é 1,50 e o
limite máximo é 1,73. Adicionando uma unidade ao limite máximo teremos:
AT = Lm − mn = (1, 73 + 1) − 1, 50 = 0, 24
4◦ passo: Determinamos a amplitude (h) dos intervalos.
Se a tabela possuir 6 classes então a amplitude será:
h =
AT
k
→ h =
0, 24
6
= 0, 04
Mas, se a tabela possuir 7 classes então:
5
h =
AT
k
→ h =
0, 24
7
≈ 0, 035
A divisão de 0,24 por 7 não é um número finito, nesse caso podemos
utilizar uma aproximação, sendo que essa aproximação é sempre feita para
cima (no caso 0,035). Entretanto, a divisão de 0,24 por 6 é exata o que
sugere que a tabela será melhor construída para uma distribuição de 6
classes.
Vamos construir uma tabela de 6 classes então.
5◦ passo: O quinto passo é a construção da tabela propriamente.
a) Primeiro criamos uma coluna k, para enumerar as 6 classes
que determinamos. Lembre-se que no passo anterior determinamos
que a tabela fica melhor construída com 6 classes, mas a con-
strução da tabela com 7 é análoga.
k
1
2
3
4
5
6
b) Agora determinamos o limite das classes começando pelo
primeiro intervalo com o limite mínimo de 1,50 e depois aumenta-
mos gradualmente de 0,04 unidades.
k Estaturas (m)
1 1,50 1,54
2 1,54 1,58
3 1,58 1,62
4 1,62 1,66
5 1,66 1,70
6 1,70 1,74
c) Determinamos o ponto médio () de cada classe através da
soma do limite inferior com o limite superior dividido por dois de
cada uma.
k Estaturas (m) 
1 1,50 1,54 1,52
2 1,54 1,58 1,56
3 1,58 1,62 1,60
4 1,62 1,66 1,64
5 1,66 1,70 1,68
6 1,70 1,74 1,72
6
d) Determinamos a frequência absoluta (ƒ) de cada limite
através da tabela de rol, lembre-se que o limite inferior está em um
intervalo fechado e o limite superior está em um intervalo aberto.
k Estaturas (cm)  ƒ
1 1,50 1,54 1,52 4
2 1,54 1,58 1,56 9
3 1,58 1,62 1,60 12
4 1,62 1,66 1,64 8
5 1,66 1,70 1,68 6
6 1,70 1,74 1,72 3
TOTAL 42
e) Determinamos a frequência acumulada (ƒ) repetindo-se
a primeira frequência e somando com a posterior, o resultado será
somado com a frequência da classe posterior e assim sucessiva-
mente até obter a frequência total que é 42 na sexta classe.
k Estaturas (cm)  ƒ ƒ
1 1,50 1,54 1,52 4 4
2 1,54 1,58 1,56 9 13
3 1,58 1,62 1,60 12 25
4 1,62 1,66 1,64 8 33
5 1,66 1,70 1,68 6 39
6 1,70 1,74 1,72 3 42
TOTAL 42
f) Determinamos a frequência relativa (ƒr(%)) fazendo a razão
entre a frequência absoluta de cada classe pela frequência total.
O resultado deve ser multiplicado por 100 para ser expresso em
percentual.
k Estatura (cm)  ƒ ƒ ƒr(%)
1 1,50 1,54 1,52 4 4 9,5
2 1,54 1,58 1,56 9 13 21,4
3 1,58 1,62 1,60 12 25 28,6
4 1,62 1,66 1,64 8 33 19,0
5 1,66 1,70 1,68 6 39 14,3
6 1,70 1,74 1,72 3 42 7,2
TOTAL 42 100
g) Determinamos a frequência relativa acumulada repetindo-
se a primeira frequência relativa e somando com a posterior, e
assim sucessivamente até obter a frequência relativa total que é
100% na sexta classe.
7
ESTATURA DOS ALUNOS DE
UMA CLASSE DO 3◦ ANO
k Estatura (m)  ƒ ƒ ƒr(%) ƒr(%)
1 1,50 1,54 1,52 4 4 9,5 9,5
2 1,54 1,58 1,56 9 13 21,4 30,9
3 1,58 1,62 1,60 12 25 28,6 59,5
4 1,62 1,66 1,64 8 33 19,0 78,5
5 1,66 1,70 1,68 6 39 14,3 92,8
6 1,70 1,74 1,72 3 42 7,2 100,0
TOTAL 42 100
Com isso finalizamos a construção da tabela de distribuição de frequência
da estatura média da amostra.
Interpretação: a 1 classe corresponde alunos entre 1, 50 ≤ k < 1, 54
cm na qual temos 4 alunos que correspondem a 9,5% e está na série entre
]0; 4] alunos e ]0%; 9, 5%]. A 2 classe corresponde alunos entre 1, 54 ≤ k <
1, 58 cm na qual temos 9 alunos que correspondem a 21,4% e está na série
entre ]4; 13] alunos e ]9, 5%; 30, 9%]. A 3 classe corresponde alunos entre
1, 58 ≤ k < 1, 62 cm na qual temos 12 alunos que correspondem a 28,6%
e está na série entre ]13; 25] alunos e ]30, 9%; 59, 5%]. A 4 classe corre-
sponde alunos entre 1, 62 ≤ k < 1, 66 cm na qual temos 8 alunos que cor-
respondem a 19% e está na série entre ]25; 33] alunos e ]59, 5%; 78, 5%].
A 5 classe corresponde alunos entre 1, 66 ≤ k < 1, 70 cm na qual temos
6 alunos que correspondem a 14,3% e está na série entre ]33; 39] alunos
e ]78, 5%; 92, 8%]. A 6 classe corresponde alunos entre 1, 70 ≤ k < 1, 74
cm na qual temos 3 alunos que correspondem a 7,2% e está na série entre
]39; 42] alunos e ]92, 8%; 100%].
8
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  • 1. FREQUÊNCIAS Publicado em 03/02/2019 por Diego Oliveira O QUE É: De uma forma simples a frequência é o número que indica quan- tas vezes um dado aparece em relação aos demais. Esse número pode ser obtido de diferentes modos o que implica em diferentes tipos de frequência (absoluta, relativa, acumulada, etc.). Exemplo 1: Observando a tabela a seguir, que mostra o número de vezes que uma determinada nota foi retirada numa turma de 25 alunos, pergunta- se: ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A i NOTA ƒ 1 4,0 5 2 5,0 3 3 6,0 2 4 7,0 3 5 8,0 2 6 9,0 10 Total 25 a) A frequência absoluta da nota 4,0. é 5. b) A frequência absoluta da nota 9,0. é 10. Solução a) A nota 4,0 ocorre 5 vezes logo f1 = 5. b) A nota 9,0 ocorre 10 vezes logo f6 = 10. 1
  • 2. Exemplo 2: A partir da tabela de frequência absoluta abaixo determine a frequência relativa de cada item. ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A i ESTATURA (cm) 1 150 154 4 2 154 158 9 3 158 162 11 4 162 166 8 5 166 170 5 6 170 174 3 Total 40 Solução: ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A i ESTATURA (cm) ƒ ƒr 1 150 154 4 4/40 = 0, 1 2 154 158 9 9/40 = 0, 225 3 158 162 11 11/40 = 0, 275 4 162 166 8 8/40 = 0, 2 5 166 170 5 5/40 = 0, 125 6 170 174 3 3/40 = 0, 075 Total 40 100 Vale lembrar que a frequência relativa por vezes é expressa em percent- agem. Para isso basta multiplicar cada resultado por 100. ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A i ESTATURA (cm) ƒ ƒr(%) 1 150 154 4 10 2 154 158 9 22, 5 3 158 162 11 27, 5 4 162 166 8 20 5 166 170 5 12, 5 6 170 174 3 7, 5 Total 40 2
  • 3. Exemplo 3: Dada a tabela de frequência absoluta a seguir determine a frequência acumulada de cada item. ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A ESTATURA (cm) ƒ 150 154 4 154 158 9 158 162 11 162 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 Solução ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A ESTATURA (cm) ƒ ƒ 150 154 4 4 154 158 9 4 + 9 = 13 158 162 11 4 + 9 + 11 = 24 162 166 8 4 + 9 + 11 + 8 = 32 166 170 5 4 + 9 + 11 + 8 + 5 = 37 170 174 3 4 + 9 + 11 + 8 + 5 + 3 = 40 Total 40 Exemplo 4: A frequência relativa acumulada, representada por ƒr, é a razão entre a frequência acumulada pela frequência total da distribuição. ƒr = ƒ k =1 ƒ Dada a tabela a seguir determine a frequência relativa acumulada de cada item. ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A ESTATURA (cm) ƒ 150 154 4 154 158 9 158 162 11 162 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 3
  • 4. Solução: Primeiro vamos determinar uma coluna com as frequências acumuladas. ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A ESTATURA (cm) ƒ ƒ 150 154 4 4 154 158 9 9 + 4 = 13 158 162 11 11 + 13 = 24 162 166 8 8 + 24 = 32 166 170 5 5 + 32 = 37 170 174 3 3 + 37 = 40 Total 40 Com essas frequências fazemos a razão (de cada uma delas) pela fre- quência total da distribuição (que neste caso é 40). ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A ESTATURA (cm) ƒ ƒr 150 154 4 4/40 = 0, 1 154 158 9 13/40 = 0, 325 158 162 11 24/40 = 0, 6 162 166 8 32/40 = 0, 8 166 170 5 37/40 = 0, 925 170 174 3 40/40 = 1 Total 40 Assim nossa tabela será: ESTATURA (cm) ƒ ƒr 150 154 4 0, 1 154 158 9 0, 325 158 162 11 0, 6 162 166 8 0, 8 166 170 5 0, 925 170 174 3 1 Total 40 4
  • 5. Exemplo 5: Construa a tabela de distribuição de frequência da estatura média da amostra abaixo. Depois faça a análise dos resultados obtidos. ESTATURA DOS ALUNOS DE UMA CLASSE DO 3◦ ANO 1,66 1,60 1,61 1,50 1,62 1,60 1,65 1,67 1,64 1,60 1,62 1,61 1,68 1,63 1,56 1,73 1,60 1,55 1,64 1,68 1,55 1,52 1,59 1,63 1,60 1,55 1,55 1,69 1,51 1,66 1,70 1,64 1,54 1,61 1,56 1,72 1,53 1,57 1,56 1,58 1,58 1,61 Resolução: 1◦ passo: Organizamos a tabela de forma crescente. Essa forma de or- ganização é chamada de rol. ESTATURA DOS ALUNOS DE UMA CLASSE DO 3◦ ANO 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,55 1,55 1,55 1,56 1,56 156 1,57 1,58 1,58 1,59 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,61 1,61 1,61 1,61 1,62 1,62 1,63 1,63 1,64 1,64 1,64 1,65 1,66 1,66 1,67 1,68 1,68 1,69 1,70 1,72 1,73 2◦ passo: Determinamos a raiz do número de elementos da amostra. No rol contamos a presença de 42 elementos. Assim, a quantidade de classes será: 42 ≈ 6, 5 ⇒ k = 6 ou 7 classes 3◦ passo: Determinamos a amplitude total. Observe que na tabela de rol verificamos que o limite mínimo é 1,50 e o limite máximo é 1,73. Adicionando uma unidade ao limite máximo teremos: AT = Lm − mn = (1, 73 + 1) − 1, 50 = 0, 24 4◦ passo: Determinamos a amplitude (h) dos intervalos. Se a tabela possuir 6 classes então a amplitude será: h = AT k → h = 0, 24 6 = 0, 04 Mas, se a tabela possuir 7 classes então: 5
  • 6. h = AT k → h = 0, 24 7 ≈ 0, 035 A divisão de 0,24 por 7 não é um número finito, nesse caso podemos utilizar uma aproximação, sendo que essa aproximação é sempre feita para cima (no caso 0,035). Entretanto, a divisão de 0,24 por 6 é exata o que sugere que a tabela será melhor construída para uma distribuição de 6 classes. Vamos construir uma tabela de 6 classes então. 5◦ passo: O quinto passo é a construção da tabela propriamente. a) Primeiro criamos uma coluna k, para enumerar as 6 classes que determinamos. Lembre-se que no passo anterior determinamos que a tabela fica melhor construída com 6 classes, mas a con- strução da tabela com 7 é análoga. k 1 2 3 4 5 6 b) Agora determinamos o limite das classes começando pelo primeiro intervalo com o limite mínimo de 1,50 e depois aumenta- mos gradualmente de 0,04 unidades. k Estaturas (m) 1 1,50 1,54 2 1,54 1,58 3 1,58 1,62 4 1,62 1,66 5 1,66 1,70 6 1,70 1,74 c) Determinamos o ponto médio () de cada classe através da soma do limite inferior com o limite superior dividido por dois de cada uma. k Estaturas (m)  1 1,50 1,54 1,52 2 1,54 1,58 1,56 3 1,58 1,62 1,60 4 1,62 1,66 1,64 5 1,66 1,70 1,68 6 1,70 1,74 1,72 6
  • 7. d) Determinamos a frequência absoluta (ƒ) de cada limite através da tabela de rol, lembre-se que o limite inferior está em um intervalo fechado e o limite superior está em um intervalo aberto. k Estaturas (cm)  ƒ 1 1,50 1,54 1,52 4 2 1,54 1,58 1,56 9 3 1,58 1,62 1,60 12 4 1,62 1,66 1,64 8 5 1,66 1,70 1,68 6 6 1,70 1,74 1,72 3 TOTAL 42 e) Determinamos a frequência acumulada (ƒ) repetindo-se a primeira frequência e somando com a posterior, o resultado será somado com a frequência da classe posterior e assim sucessiva- mente até obter a frequência total que é 42 na sexta classe. k Estaturas (cm)  ƒ ƒ 1 1,50 1,54 1,52 4 4 2 1,54 1,58 1,56 9 13 3 1,58 1,62 1,60 12 25 4 1,62 1,66 1,64 8 33 5 1,66 1,70 1,68 6 39 6 1,70 1,74 1,72 3 42 TOTAL 42 f) Determinamos a frequência relativa (ƒr(%)) fazendo a razão entre a frequência absoluta de cada classe pela frequência total. O resultado deve ser multiplicado por 100 para ser expresso em percentual. k Estatura (cm)  ƒ ƒ ƒr(%) 1 1,50 1,54 1,52 4 4 9,5 2 1,54 1,58 1,56 9 13 21,4 3 1,58 1,62 1,60 12 25 28,6 4 1,62 1,66 1,64 8 33 19,0 5 1,66 1,70 1,68 6 39 14,3 6 1,70 1,74 1,72 3 42 7,2 TOTAL 42 100 g) Determinamos a frequência relativa acumulada repetindo- se a primeira frequência relativa e somando com a posterior, e assim sucessivamente até obter a frequência relativa total que é 100% na sexta classe. 7
  • 8. ESTATURA DOS ALUNOS DE UMA CLASSE DO 3◦ ANO k Estatura (m)  ƒ ƒ ƒr(%) ƒr(%) 1 1,50 1,54 1,52 4 4 9,5 9,5 2 1,54 1,58 1,56 9 13 21,4 30,9 3 1,58 1,62 1,60 12 25 28,6 59,5 4 1,62 1,66 1,64 8 33 19,0 78,5 5 1,66 1,70 1,68 6 39 14,3 92,8 6 1,70 1,74 1,72 3 42 7,2 100,0 TOTAL 42 100 Com isso finalizamos a construção da tabela de distribuição de frequência da estatura média da amostra. Interpretação: a 1 classe corresponde alunos entre 1, 50 ≤ k < 1, 54 cm na qual temos 4 alunos que correspondem a 9,5% e está na série entre ]0; 4] alunos e ]0%; 9, 5%]. A 2 classe corresponde alunos entre 1, 54 ≤ k < 1, 58 cm na qual temos 9 alunos que correspondem a 21,4% e está na série entre ]4; 13] alunos e ]9, 5%; 30, 9%]. A 3 classe corresponde alunos entre 1, 58 ≤ k < 1, 62 cm na qual temos 12 alunos que correspondem a 28,6% e está na série entre ]13; 25] alunos e ]30, 9%; 59, 5%]. A 4 classe corre- sponde alunos entre 1, 62 ≤ k < 1, 66 cm na qual temos 8 alunos que cor- respondem a 19% e está na série entre ]25; 33] alunos e ]59, 5%; 78, 5%]. A 5 classe corresponde alunos entre 1, 66 ≤ k < 1, 70 cm na qual temos 6 alunos que correspondem a 14,3% e está na série entre ]33; 39] alunos e ]78, 5%; 92, 8%]. A 6 classe corresponde alunos entre 1, 70 ≤ k < 1, 74 cm na qual temos 3 alunos que correspondem a 7,2% e está na série entre ]39; 42] alunos e ]92, 8%; 100%]. 8
  • 9. Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última ver- são do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exercícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 9