Estatística, Medidas descritivas para as distribuições de frequência

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DESCRITIVAS PARA AS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
MEDIDAS DE POSIÇÃO
EXERCÍCIOS
Boa Vista
2011

2. EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DESCRITIVAS PARA AS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
MEDIDAS DE POSIÇÃO
EXERCÍCIOS
31 Ago 2011
Trabalho apresentado como exigência da
disciplina de Introdução à Estatística do
Curso de Bacharelado em Engenharia Civil
da Universidade Federal de Roraima.
Prof.: Josué Gomes da Silva
Boa Vista
2011

3. SUMÁRIO
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 03
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02.................................................................................... 03

4. I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01
01. Determine a média aritmética das seguintes séries:
a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
3+4+1+3+6+5+6
7
⇒
28
7
= 4
R: 푥̅ = 4
b) 7, 8, 8, 10, 12
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
7+8+8+10+12
5
⇒
45
5
= 9
R: 푥̅ = 9
c) 3,2; 4; 0,75; 5; 2,13; 4,75
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
3,2+4+0,75+5+2,13+4,75
6
⇒
19,83
6
= 3,305
R: 푥̅ = 3,305
d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
70+75+76+80+82+83+90
7
⇒
556
7
= 79,42857143
R: 푥̅ = 79,429
02. A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante
obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em
questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
7,5+8,0+3,5+6,0+2,5+2,0+5,5+4,0
8
⇒
39
8
= 4,875
R: 푂 푎푙푢푛표 푛ã표 푓표푖 푎푝푟표푣푎푑표.

5. 03. Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média amostral.
a)
b)
c)
d)
xi Fi xiFi
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 150
22
= 6,818181
R: 푥̅ = 6,82
3 2 6
4 5 20
7 8 56
8 4 32
12 3 36
Ʃ 22 150
xi Fi xiFi
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 336
29
= 11,5862069
R: 푥̅ = 11,59
10 5 50
11 8 88
12 10 120
13 6 78
Ʃ 29 336
xi Fi xiFi Fac
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 112
28
= 4
R: 푥̅ = 4
2 3 6 3
3 6 18 9
4 10 40 19
5 6 30 25
6 3 18 28
Ʃ 28 112
xi Fi xiFi
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 9,03
1
= 9,03
R: 푥̅ = 9,03
7 1/16 0,44
8 5/18 2,22
9 1/3 3
10 2/9 2,22
11 5/48 1,15
Ʃ 1 9,03

6. e)
xi Fi xiFi
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 2109
24
= 87,875
R: 푥̅ = 87,88
85 5 425
87 1 87
88 10 880
89 3 267
90 5 450
Ʃ 24 2109
04. Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a
média.
Classes Fi xi xiFi
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 23090
140
= 164,9285714
R: 푥̅ = 164,93
145 150 2 147,5 295
150 155 10 152,5 1525
155 160 27 157,5 4252,5
160 165 38 162,5 6175
165 170 27 167,5 4522,5
170 175 21 172,5 3622,5
175 180 8 177,5 1420
180 185 7 182,5 1277,5
Ʃ 140 23090
05. Abaixo temos a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determine pelo processo
abreviado sua média.
Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi x0 = 6,5 h = 2
푧푖 = 푥푖−푥0
ℎ
= 2,5−6,5
2
= −4
2
= −2
푧̅ =
Σ 푧푖퐹푖
푛
= −22
65
= - 0,34
푥̅ = ℎ푧̃ + 푥0 ⇒ 2(-0,34)+6,5 = 5,82
R: 푥̅ = 5,82
1,5 3,5 12 2,5 -2 -24
3,5 5,5 18 4,5 -1 -18
5,5 7,5 20 6,5 0 0
7,5 9,5 10 8,5 1 10
9,5 11,5 5 10,5 2 10
Ʃ 65 -22

7. 06. Dada a distribuição, determinar a média pelo processo abreviado
Classes Fi Fac xi(PM) Zi ZiFi x0 = 78 h = 4
07. Dados os seguintes números:
1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 15 20 25 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 8 6 5 4
3 2 1 0 10 15 20 25 12 11 8 6 4 2 1
3 5 7 9 11
a) Construa a distribuição de freqüência do Tipo “A”
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 25 Ʃ
Fi 2 4 4 4 4 4 4 4 5 4 2 2 1 2 2 2 50
xiFi 0 4 8 12 16 20 24 28 40 36 20 22 12 30 40 50 362
b) Determine a média
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 362
50
= 7,24
R: 푥̅ = 7,24
푧푖 = 푥푖−푥0
ℎ
= 70−78
4
= −8
4
= −2
푧̅ =
Σ 푧푖퐹푖
푛
= −23
40
= - 0,58
푥̅ = ℎ푧̃ + 푥0 ⇒ 4(-0,58)+78 = 75,68
R: 푥̅ = 75,68
68 72 8 8 70 -2 -16
72 76 12 20 74 -1 -12
76 80 15 35 78 0
80 84 5 40 82 1 5
Ʃ 40 -23

8. 08. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa
disciplina:
Turma A (40 alunos) – média 6,5
Turma B (35 alunos) – média 6,0
Turma C (35 alunos) – média 4,0
Turma D (20 alunos) – média 7,5
Determine a média geral.
푥̅퐺 =
푛1푥̅1+푛2푥̅2+...+푛푘 푥̅푘
푛1+푛2+...+푛푘
=
푘푖
Σ 푛푖 푥̅푖
=1
Σ 푛푖
푘푖
=1
푥̅퐺 = 40.6,5 + 35.6,0 + 35.4,0 + 20.7,5
40 + 35 + 35 + 20
⇒ 260 + 210 + 140 + 150
130
⇒ 760
130
= 5,84615
R: 푥̅ = 5,85
9. Dada a amostra:
28 33 27 30 31 30 33 30 33 29
27 33 31 27 31 28 27 29 31 24
31 33 30 32 30 33 27 33 31 33
23 29 30 24 28 34 30 30 18 17
18 15 16 17 17 18 19 19 20 29
a) Agrupar os elementos em classes (inicie pelo 15) e use h=5.
b) Construir a tabela de distribuição de freqüência do tipo “B”.
c) Determinar a média pelo processo abreviado.
Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi x0 = 27,5 h = 5
푧푖 = 푥푖−푥0
ℎ
= 17,5−27 ,5
5
= − 10
5
= −2
푧̅ =
Σ 푧푖퐹푖
푛
= 0
50
= 0
푥̅ = ℎ푧̃ + 푥0 ⇒ 2(0)+27,5 = 27,5
R: 푥̅ = 27,5
15 20 10 17,5 -2 -20
20 25 4 22,5 -1 -4
25 30 12 27,5 0 0
30 35 24 32,5 1 24
Ʃ 50 0

9. 10. Calcule a média geométrica para as séries.
a) 8, 15, 10, 12
푛 퐹푖
푖=1 = √푋1
푀푔 = √Π 푋푖
퐹1 . 푋2
퐹2 … 푋푛
퐹푛
푛
⇒
푀푔 = √8 . 15 . 10 . 12 4 = 8
1
4 . 15
1
4 . 10
1
4 . 12
1
4 = 10,954451
R: 푥̅ = 10,95
b) 3, 4, 5, 6, 7, 8
푛 퐹푖
푖=1 = √푋1
푀푔 = √Π 푋푖
퐹1 . 푋2
퐹2 … 푋푛
퐹푛
푛
⇒
푀푔 = √3 . 4 . 5 . 6. 7 . 8 6 = 3
1
6 . 4
1
6 . 5
1
6 . 6
1
6 . 7
1
6 . 8
1
6 = 5,216931
R: 푀푔 = 5,22
c)
xi 8 9 10 11 12
Fi 12 10 7 5 3
푛 퐹푖
푖=1 = √푋1
푀푔 = √Π 푋푖
퐹1 . 푋2
퐹2 … 푋푛
퐹푛
푛
⇒
푀푔 = 37√812. 910. 107. 115. 123 = 8
12
37 . 9
10
37 . 10
7
37 . 11
5
37 . 12
3
37 = 9,294296
R: 푀푔 = 9,29
Ou
푙표푔푀푔 = 퐹1 푙표푔푥1+퐹2 푙표푔푥2+퐹3 푙표푔푥3+퐹4 푙표푔푥4+퐹5 푙표푔푥5
푛
⇒
푙표푔푀푔 = 12푙표푔8+10푙표푔9+7푙표푔10+5푙표푔11+3푙표푔12
37
⇒
푙표푔푀푔 = 12.푙표푔8+10푙표푔9+7푙표푔10+5푙표푔11+3푙표푔12
37
⇒
푙표푔푀푔 = 35,82401
37
= 0,968216486 ⇒ 푀푔 = 9,29429571
R: 푀푔 = 9,29

10. 11. Encontre a média harmônica para as séries.
a) 5, 7, 12, 15
푀ℎ = 푛
퐹1
푋1
퐹2
푋2
+
퐹3
푋3
+
퐹푛
푋푛
+...+
= 푛
Σ 퐹1
푛푖=1
푋1
푀ℎ = 4
1
5
+
1
7
1
12
+
1
15
+
⇒ 4
84+60+35+28
420
⇒ 4(420)
207
⇒ 8,1159
R: 푀ℎ = 8,12
b)
xi 2 3 4 5 6
Fi 3 4 6 5 2
푀ℎ = 푛
퐹1
푋1
퐹2
푋2
+
퐹3
푋3
+
퐹푛
푋푛
+...+
푀ℎ = 3+4+6+5+2
3
2
4
3
+
6
4
+
5
5
+
2
6
+
⇒ 20
90+80+90+60+20
60
⇒ 20(60)
340
⇒ 3,529411765
R: 푀ℎ = 3,53
12. A evolução das vendas dos últimos três meses apresentou os seguintes índices:
122,31; 132,42; 115,32. Determinar qual foi o aumento médio percentual verificado.
122,31 – 100 = 22,31%
132,42 – 100 = 32,42%
115,32 – 100 = 15,32%
Xi Fi
122,31 1
132,42 1
115,32 1
Ʃ 3
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
122,31+132,42+115,32
3
⇒
370,05
3
= 123,25
Base = 100% 123,25 - 100 = 23,25
R: 푥̅ = 23,25%

11. 13. A contagem de bactérias, em certa cultura, aumentou de 500 para 2000 em três dias.
Qual foi a percentagem média de acréscimo por dia?
500, 푎2, 2000 (3 dias)
푛 퐹푖
푖= 1 = √푋1
푀푔 = √Π 푋푖
퐹1 . 푋2
퐹2 … 푋푛
퐹푛
푛
⇒
√1500 ∙ …∙ 32000 3
푀푔 = √2000
500
3
푀푔 = √4 3 ⇒ 푀푔 = 1,5874
1 = 100%; então 1,5874-100% = 58,74%
R: 58,74% 푝표푟 푑푖푎
14. Em 1950 e 1980 a população do Brasil era 51,944 milhões e 119,071 milhões,
respectivamente. Qual foi o acréscimo médio percentual por ano?
30 anos
1950 = 51944000
1980 = 119071000
1950, 푎2, 푎3, … , 1980
퐹푖 푛푖
= 1 = √푋1
푀푔 = √Π 푋푖
퐹1 . 푋2
퐹2 … 푋푛
퐹푛
푛
⇒
√151,944 ∙ … ∙ 3030 119,071
푀푔 = √
119 ,071
51,944
30 ⇒ 푀푔 = √2,2922955 30 ⇒ 푀푔 = 1,0280
1 = 100%; então 1,0280-100% =2,80%
R: 2,8% 푑푒 푐푟푒푠푐푖푚푒푛푡표 푝표푟 푎푛표

12. 15. Tem-se $2000,00, disponíveis, mensalmente, para a compra de determinado artigo
que custou, nos meses de junho, julho e agosto, respectivamente, $200,00; $500,00 e $700,00.
Qual foi o custo médio do artigo para este período.
xi Fi xiFi
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 6000
16,8571
= 355,9331
R: 푥̅ = 355,93
200 10 2000
500 4 2000
700 2,857 2000
Ʃ 16,8571 6000
16. Uma empresa possui um estoque de geladeiras em quatro cidades diferentes (A, B, C
e D). Na cidade A ela esgota-se em 8 meses; na cidade B, em 15 meses; na cidade C, em 6
meses; e na cidade D, em 20 meses. Calcular o tempo médio de escoamento de todos os
estoques da empresa.
xi 8 15 6 20
Fi 1 1 1 1
푀ℎ = 푛
퐹1
푋1
퐹2
푋2
+
퐹3
푋3
+
퐹푛
푋푛
+...+
푀ℎ = 1 +1+1+1
1
8
+
1
15
1
6
+
1
20
+
⇒ 4
15+8+20+6
120
⇒ 4(120)
49
⇒ 9,795918367
80
푥
. 100
30
⇒ 80.30
100
⇒ 240
100
⇒ 푥 = 24
R: 푀ℎ = 9,80 푚푒푠푒푠 ou 9 meses e 24 dias
17. Gastamos, em janeiro, $ 10.000,00 para comprar um produto que custou $ 100,00 a
unidade. Em fevereiro, gastamos $ 24.000,00 para comprar o mesmo produto ao preço
unitário de $ 120,00. Determinar qual o custo médio com o artigo nesses dois meses.
xi Fi xiFi 푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 34.000,00
300
= 113,333333
R: 푥̅ = $ 113,33
100,00 100 10,000,00
120,00 200 24.000,00
Ʃ 300 34.000,00

13. 18. A nota média de uma turma mista de 50 alunos foi 5,3; sendo 5,0 a média dos
meninos e 8,0 das meninas. Quantos meninos e meninas haviam na turma?
Meninos: n1; média 5,0
Meninas: n2; média 8,0
Media geral = 5,3
Total da turma = 50 alunos
푥̅퐺 =
푛1푥̅1+푛2푥̅2+...+푛푘 푥̅푘
푛1+푛2+...+푛푘
=
푘푖
Σ 푛푖 푥̅푖
=1
Σ 푛푖
푘푖
=1
푛1 .5+푛2 .8
50
= 5,3
5푛1 = 5,3 ∙ 50 − 8푛2 ⇒ 5푛1 = 265 − 8푛2
푛1 = 265−40
5
= 225
5
= 45
푛2 = 50 − 45 = 5
R = haviam 45 meninos e 5 meninas.
19. O salário médio pago aos empregados da firma é $ 7.100,00. Os salários médios
pagos aos empregados especializados e não especializados são, respectivamente, $ 8.000,00 e
$ 5.000,00. Determinar a porcentagem dos empregados especializados e não especializados da
firma.
Especializados: n1; média $ 8000,00
Não-especializados: n2; média $ 5000,00
Media geral = $ 7100,00
Total de funcionários = 100%
푥̅퐺 =
푛1푥̅1+푛2푥̅2+...+푛푘 푥̅푘
푛1+푛2+...+푛푘
=
푘푖
Σ 푛푖 푥̅푖
=1
Σ 푛푖
푘푖
=1
푛1 .8000+푛2 .5000
100
= 7100
8000푛1 = 7100 ∙ 100 − 5000푛2 ⇒ 8000푛1 = 710000 − 5000푛2
푛1 = 710000−80000
8000
= 640000
8000
= 80,00%

14. 푛2 = 100 − 80 ,00 = 20%
R = Há 80% de empregados especializados e 20% de empregados não
especializados.
20. Encontrar dois números cuja média aritmética é 50 e a média harmônica é 32.
푥̅ =
Σ 푥
푛
= 50
x + y = 100
푀ℎ = 푛
퐹1
푋1
퐹2
푋2
+
퐹3
푋3
+
퐹푛
푋푛
+...+
= 32
푀ℎ = 2
푥+푦
푋1푥푦
= 32 ⇒
2푥푦
푥+ 푦
= 32 ⇒ 푥푦
푥+푦
= 16 ⇒ xy = 16(x + y)
xy = 16 . 100 ⇒ xy = 1600
푥 + 푦 = 100
푥푦 = 1600
{
x (100 - x) = 1600 ⇒ 100x – x2 = 1600
x2 – 100x – 1600 = 0
푥 = −푏±√푏2−4푎푐
2푎
⇒ 푥 = 100 ±√1002 −4.(−100) .(−1600)
2
⇒
푥 = 100±√10000 −6400)
2
⇒ 푥 = 100 ±√3600
2
⇒ 푥 = 100 ±60
2
⇒
x' = 80; x'' = 20 ⇒ y' = 20; y'' = 80
R = {20, 80}

15. 21. A média geométrica dos preços de dois produtos, A e B, é $ 7,20, enquanto a média
aritmética é $9,00. Determinar os preços dos produtos A e B.
퐹1 . 푋2
푀푔 = √푋1
퐹2 … 푋푛
퐹푛
푛
⇒ 푀푔 = √퐴 + 퐵 = 7,2
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 퐴+퐵
2
= 9 ⇒ 퐵 = 18 − 퐴
{
퐵 = 18 − 퐴
퐴퐵 = 51,84
A (18 - A) = 51,84
-A2 + 18A - 51,84 = 0
퐴 = 18±√116 ,64
2
⇒ 퐴 = 18+10,8
2
⇒ 퐴 = 14,40
퐴퐵 = 51,84 ⇒ 퐵 = 51 ,84
14 ,40
⇒ 퐵 = 3,60
R = A = $ 14,40 e B = $ 3,60

16. 22. Utilizando a série de dados: 2, 7, 8 e 15, comprove as seguintes propriedades da
média aritmética:
a) A soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é Ʃ (푥푖 − 푥̅) = 0.
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
2+7+8+15
4
⇒
32
4
= 8
xi 푥̅ xi-푥̅
2 8 -6
7 8 -1
8 8 0
15 8 7
Ʃ 0
Ʃ (푥푖 − 푥̅) = 0.
b) Somando ou subtraindo uma mesma quantidade arbitrária de todos os valores da
série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade.
푥̅̅̅1 =
Σ 푥
푛
⇒
2+7+8+15
4
⇒
32
4
= 8
Somando o valor 2 a cada termo:
̅푥̅̅2 =
Σ 푥
푛
⇒
(2+2)+(7+2)+(8+2)+(15+2)
4
⇒
4+9+10+17
4
=
40
4
= 10
푥̅̅̅1 = 8 ⇒ 푥̅̅̅1 = 10
c) Multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média
ficará multiplicada ou dividida pela constante.
푥̅̅̅1 =
Σ 푥
푛
⇒
2+7+8+15
4
⇒
32
4
= 8
Multiplicando cada termo por 2:
̅푥̅̅2 =
Σ 푥
푛
⇒
(2.2)+(7.2)+(8.2)+(15.2)
4
⇒
4+14+16+30
4
=
64
4
= 16
푥̅̅̅1 = 8 ⇒ 푥̅̅̅1 = 16

17. d) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou
seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor
qualquer. Isto é, Ʃ (푥푖 − 푥̅)2 é mínima.
푥̅ =
Σ 푥
푛
⇒
2+7+8+15
4
⇒
32
4
= 8
xi 푥̅ xi-푥̅ (xi-푥̅)2 (xi)2
2 8 -6 36 4
7 8 -1 1 49
8 8 0 0 64
15 8 7 49 225
Ʃ 86 342
Ʃ (xi-푥̅)2 < Ʃ (xi)2

18. I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01
1. Para cada série determine a mediana:
a) 1, 3, 3, 4 , 5, 6, 6
n = 07 (ímpar)
푛+1
2
= 7+ 1
2
= 8
2
= ퟒº, corresponde a 4.
R: 푥̃ = 4
b) 1, 3, 3, 4, 6 , 8, 8, 9
n = 08 (par)
푛
2
⇒ 8
2
= ퟒº, corresponde a 4
푛
2
+ 1 ⇒ 8
2
+ 1 = ퟓº, corresponde a 6
푥̃ = 4+6
2
= 10
2
= 5
R: 푥̃ = 5
c) 12, 7, 10, 8, 8 ⇒ 7, 8, 8 , 10, 12
n = 05 (ímpar)
푛+1
2
= 5+ 1
2
= 6
2
= 3º, corresponde a 8.
R: 푥̃ = 8
d) 82, 86, 88, 84, 91, 93 ⇒ 82, 84, 86, 88 , 91, 93
n = 06 (par)
푛
2
⇒ 6
2
= ퟑº, corresponde a 86
푛
2
+ 1 ⇒ 6
2
+ 1 = ퟒº, corresponde a 88
푥̃ = 86+88
2
= 174
2
= 87
R: 푥̃ = 87

19. 2. Para cada distribuição, determine a mediana.
I)
II)
III)
xi 2 3 4 5 7
Fi 3 5 8 4 2
xi Fi Fac n = 22 (par)
푛
2
⇒
22
2
= ퟏퟏº, corresponde a 4
푛
2
+ 1 ⇒
22
2
+ 1 = ퟏퟐº, corresponde a 4
푥̃ =
4+4
2
=
8
2
= 4
R: 푥̃ = 4
2 3 3
3 5 8
4 8 16
5 4 20
7 2 22
Ʃ 22
xi 173 275 77 279 181
Fi 2 10 12 5 2
xi Fi Fac
n = 31 (impar)
푛+1
2
=
31+1
2
=
32
2
= 16º, corresponde a 181.
R: 푥̃ = 181
77 12 12
173 2 14
181 2 16
275 10 26
279 5 31
Ʃ 31
xi 12 13 15 17
Fac 5 10 18 20
xi Fi Fac n = 20 (par)
푛
2
⇒
20
2
= ퟏퟎº, corresponde a 13
푛
2
+ 1 ⇒
20
2
+ 1 = ퟏퟏº, corresponde a 15
푥̃ =
13+15
2
=
28
2
= 14
R: 푥̃ = 14
12 5 5
13 5 10
15 8 18
17 2 20
Ʃ 20

20. IV)
xi 232 235 237 240
Fac 15 40 55 61
xi Fi Fac
3. Para cada distribuição, determine a mediana.
I)
푥̃ = 푙푀퐷 +
(푛
2
−Σ 푓).ℎ
퐹푀퐷
=
푥̃ = 5 +
(14,5−8) .2
8
⇒ 5 +
(6,5) .2
8
⇒ 5 + 13
8
⇒ 5 + 1,625 = 6,625
R: 푥̃ = 6,63
n = 61 (impar)
푛+1
2
=
61+1
2
=
62
2
= 31º, corresponde a 235.
R: 푥̃ = 235
232 15 15
235 25 40
237 15 55
240 6 61
Ʃ 61
Classes 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13
Fi 3 5 8 6 4 3
xi Fi Fac n = 29
푛+1
2
⇒ 29+1
2
= 15, corresponde a 6
푙푀퐷 = 5
Σ 푓 = 8
h = 2
퐹푀퐷 = 8
1 3 3 3
3 5 5 8
5 7 8 16
7 9 6 22
9 11 4 26
11 13 3 29
Ʃ 29

21. II)
푥̃ = 푙푀퐷 +
(푛
2
−Σ 푓).ℎ
퐹푀퐷
=
푥̃ = 28 +
(46,5−43) .3
30
⇒ 28 +
(3,5).3
30
⇒ 28 + 10,5
30
⇒ 28 + 0,35 = 28,35
R: 푥̃ = 28,35
4. Para cada série determine a moda.
I) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que
aparece com maior freqüência.
Mo = 7
I) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48 ⇒ 40, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 45, 47, 48
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que
aparece com maior freqüência.
Mo = 43
5. Para cada distribuição, determine a moda.
I)
Classes 22 25 25 28 28 31 31 34
Fi 18 25 30 20
xi Fi Fac n = 93
푛+1
2
⇒ 93+1
2
= 47
푙푀퐷 = 28
Σ 푓 = 43
h = 3
퐹푀퐷 = 30
22 25 18 18
25 28 25 43
28 31 30 73
31 34 20 93
Ʃ 93
xi 72 75 78 80
Fi 8 18 28 38

22. Também neste caso a identificação da moda se dá pela simples observação do
elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 80
II)
xi 2,5 3,5 4,5 6,5
Fi 7 17 10 5
Também neste caso a identificação da moda se dá pela simples observação do
elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 3,5
6. Para cada distribuição, determine a moda pelos dois processos.
I)
1º processo – fórmula de Czuber
Classes 7 10 10 13 13 16 16 19 19 21
Fi 6 10 15 10 5
푀표 = 푙 +
Δ1
Δ1+Δ2
∙ ℎ
푀표 = 13 +
5
5+5
∙ 3 ⇒ 13 +
5
10
∙ 3
푀표 = 13 + 0,5 ∙ 3 ⇒ 13 + 1,5 = 14,5
Mo = 14,5
푙 = 13
Δ1 = 5
Δ2 = 5
h = 3
2º processo – determinação gráfica

23. II)
1º processo – fórmula de Czuber
Classes 10 20 20 30 30 40 40 50
Fi 7 12 9 4
Fac 7 19 28 32
푀표 = 푙 +
Δ1
Δ1+Δ2
∙ ℎ
푀표 = 20 +
5
5+3
∙ 10 ⇒ 20 +
5
8
∙ 10
푀표 = 20 + 0,625 ∙ 10 ⇒ 20 + 6,25 = 26,25
Mo = 26,25
푙 = 20
Δ1 = 5
Δ2 = 3
h = 10
2º processo – determinação gráfica
III)
1º processo – fórmula de Czuber
Classes 0 10 10 30 30 70 70 100 100 120
Fi 5 4 4 6 5
Fi /h 0,5 0,2 0,1 0,2 0,25
푀표 = 푙 +
Δ1
Δ1+Δ2
∙ ℎ
푀표 = 0 +
0 ,5
0,5+0,3
∙ 10 ⇒ 0 +
0 ,5
0 ,8
∙ 10
푀표 = 0 + 0,625 ∙ 10 ⇒ 0 + 6,25 = 6,25
Mo = 6,25
푙 = 0
Δ1 = 0,5
Δ2 = 0,3
h = 10

24. 2º processo – determinação gráfica
7. Para as distribuições:
I)
Calcule D6, P65 e Q1, interpretando os resultados.
D6
퐷푖 = 푙퐷푖
+
(푖푛−Σ 푓
10
)∙ℎ
퐹퐷푖
푖푛
10
=
6∙35
10
⇒
210
10
= 21
퐷6 = 8 +
(21−15)∙2
15
⇒ 8 + 6∙2
15
⇒ 8 + 12
15
⇒ 8 + 0,8 = 8,8
D6 = 8,8
i = 6
n = 35
l퐷푖
= 8
F퐷푖
= 15
h = 2
Σ 푓 = 15
P65
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
65∙35
100
⇒
2275
100
= 22,75
푃65 = 8 +
(22,75−15)∙2
15
⇒ 8 + 7,75∙2
15
⇒ 8 + 15 ,5
15
⇒ 8 + 1,03 = 9,03
P65 = 9,03
i = 65
n = 35
l푃푖
= 8
F푃푖
= 15
h = 2
Σ 푓 = 15
Classes 4 6 6 8 8 10 10 12
Fi 4 11 15 5
Fac 4 15 30 35

25. Q1
푄푖 = 푙푄푖
+
(푖푛−Σ 푓
4
)∙ℎ
퐹 푄푖
푖푛
4
=
1∙35
4
⇒
35
4
= 8,75
푄1 = 6 +
(8,75−4)∙2
11
⇒ 6 + 4,75 ∙2
11
⇒ 6 + 9,5
11
⇒ 6 + 0,864 = 6,864
Q1 = 6,86
i = 1
n = 35
l푄푖
= 6
F푄푖
= 11
h = 2
Σ 푓 = 4
II)
Classes 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70
Fi 3 5 10 4 2
Fac 3 8 18 22 24
Calcule D2, P43 e Q3, interpretando os resultados.
D2
퐷푖 = 푙퐷푖
+
(푖푛−Σ 푓
10
)∙ℎ
퐹퐷푖
푖푛
10
=
2∙24
10
⇒
48
10
= 4,8
퐷2 = 30 +
(4,8−3)∙10
5
⇒ 30 + 1,8∙10
5
⇒ 30 + 18
5
⇒ 30 + 3,6 = 36,6
D2 = 36,6
i = 2
n = 24
l퐷푖
= 30
F퐷푖
= 5
h = 10
Σ 푓 = 3
P43
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
43∙24
100
⇒
1032
100
= 10,32
푃43 = 40 +
(10,32−8)∙10
10
⇒ 40 +
2,32∙10
10
⇒ 40 +
23,2
10
⇒ 40 + 2,32 = 42,32
P43 = 42,32
i = 43
n = 24
l푃푖
= 40
F푃푖
= 10
h = 10
Σ 푓 = 8
Q3
푄푖 = 푙푄푖
+
(푖푛−Σ 푓
4
)∙ℎ
퐹 푄푖
푖푛
4
=
3∙24
4
⇒
72
4
= 18
푄1 = 40 +
(18−8)∙10
10
⇒ 40 + 10 ∙10
10
⇒ 40 + 100
10
⇒ 40 + 10 = 50
Q3 = 50
i = 3
n = 24
l푄푖
= 40
F푄푖
= 10
h = 10
Σ 푓 = 8

26. III)
Salários 600 800 800 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800
Nº de
28 36 58 72 43 13
operários
Fac 28 64 122 194 237 250
a) Abaixo de que salário estão os 30% mais mal remunerados?
P30
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
30∙250
100
⇒
7500
100
= 75
푃30 = 1000 +
(75−64)∙200
58
⇒ 1000 +
11∙200
58
⇒
푃30 = 1000 +
2200
58
⇒ 1000 + 37,93 = 1037,93
P30 = 1037,93
i = 30
n = 250
l푃푖
= 1000
F푃푖
= 58
h = 200
Σ 푓 = 64
Os 30% mais mal remunerados ganham abaixo de $ 1037,93.
b) Acima de que salário encontram-se os 15% mais bem remunerados.
P85
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
85∙250
100
⇒
21250
100
= 212,5
푃85 = 1400 +
(212,5−194)∙200
43
⇒ 1400 +
18,5∙200
43
⇒
푃85 = 1400 +
3700
43
⇒ 1400 + 86,046 = 1486,05
P85 = 1486,05
i = 85
n = 250
l푃푖
= 1400
F푃푖
= 43
h = 200
Σ 푓 = 194
Os 15% mais bem remunerados ganham acima de $ 1486,05.
c) Acima de que salário ficam os 20 operários mais bem pagos.
250
20
∙ 100
푥
= 0 ⇒ 푥 = 20 ∙100
250
⇒ 푥 = 0,8 = 8%

27. P92
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
92∙250
100
⇒
23000
100
= 230
푃92 = 1400 +
(230−194)∙200
43
⇒ 1400 +
36∙200
43
⇒
푃92 = 1400 +
7200
43
⇒ 1400 + 167,44 = 1567,44
P92 = 1567,44
i = 92
n = 250
l푃푖
= 1400
F푃푖
= 43
h = 200
Σ 푓 = 194
Os 20 operários mais bem remunerados ganham acima de $ 1567,44.
d) Abaixo de que salário ficam os 25 operários mais mal remunerados.
250
∙ 100
= 0 ⇒ 푥 = 25 ∙100
⇒ 푥 = 1 = 10%
25
푥
250
P10
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
10∙250
100
⇒
2500
100
= 25
푃10 = 600 +
(25−0)∙200
28
⇒ 600 +
25∙200
28
⇒
푃10 = 600 +
5000
28
⇒ 600 + 178,57 = 778,57
P10 = 778,57
i = 10
n = 250
l푃푖
= 600
F푃푖
= 28
h = 200
Σ 푓 = 0
Os 25 operários mais mal remunerados ganham abaixo de $ 778,57.
8. Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em
certa rodovia.
Nº de acidentes 0 1 2 3 4
Nº de dias 20 15 10 5 3
Pede-se:
a) Determinar a média.

28. xi Fi xiFi
b) Determinar a mediana.
c) Calcular a moda.
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que
aparece com maior freqüência.
Mo = 0
d) Qual é a porcentagem de dias que tivemos dois ou mais acidentes por dia.
Total de acidentes = 53
Dias com 2 ou mais por dia = 18
53
18
∙
100
푥
⇒ 푥 =
18 ∙ 100
53
⇒ 푥 = 33,96
34%
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 62
53
= 1,17
R: 푥̅ = 1,17 푎푐푖푑푒푛푡푒푠 푝표푟 푑푖푎
0 20 0
1 15 15
2 10 20
3 5 15
4 3 12
Ʃ 53 62
xi Fi Fac
n = 53 (ímpar)
푛+1
2
=
53+1
2
=
54
2
= 27 corresponde a 1
R: 푥̃ = 1
0 20 20
1 15 35
2 10 45
3 5 50
4 3 53
Ʃ 53
Nº de acidentes 0 1 2 3 4
Nº de dias 20 15 10 5 3

29. 9. O número de operários acidentados por mês, numa fábrica, nos últimos dois anos foi:
Mês
Ano
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
1975 4 8 3 6 7 7 3 8 2 4 3 3
1976 7 4 6 5 10 5 4 3 5 4 4 1
Faça X, o número de operários acidentados por mês.
a) Construa a distribuição de freqüência (tipo A).
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 10
Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 1
b) Calcule a média, mediana e moda.
Média
xi Fi xiFi
Mediana
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 116
24
= 4,83
R: 푥̅ = 4,83 푎푐푖푑푒푛푡푒푠 푝표푟 푚ê푠
1 1 1
2 1 2
3 5 15
4 6 24
5 3 15
6 2 12
7 3 21
8 2 16
10 1 10
Ʃ 24 116
xi Fi xiFi
n = 24 (par)
푛
24
⇒
2
2
= ퟏퟐº, corresponde a 4
푛
2
+ 1 ⇒
24
2
+ 1 = ퟏퟑº, corresponde a 4
푥̃ =
4+4
2
=
8
2
= 4
R: 푥̃ = 4
1 1 1
2 1 2
3 5 7
4 6 13
5 3 16
6 2 18
7 3 21
8 2 23
10 1 24
Ʃ 24

30. Moda
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que
aparece com maior freqüência.
Mo = 4
10. Sendo:
a) Determinar a média pelo processo abreviado.
b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.
P50
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
50∙163
100
⇒
8150
100
= 81,5
푃50 = 18 +
(81,5−43)∙4
40
⇒ 18 +
38,5∙4
40
⇒
푃50 = 18 +
154
40
⇒ 18 + 3,85 = 21,85
P50 = 21,85
i = 50
n = 163
l푃푖
= 18
F푃푖
= 40
h = 4
Σ 푓 = 43
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 10
Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 1
Idade
(anos)
10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42
Nº de
pessoas
15 28 40 30 20 15 10 5
Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi Fac
x0 = 28 h = 4
푧푖 = 푥푖−푥0
ℎ
= 12−28
4
= −16
4
= −4
푧̅ =
Σ 푧푖퐹푖
푛
= −204
163
= - -1,252
푥̅ = ℎ푧̃ + 푥0 ⇒ 4(-1,252)+28 = 22,99
R: 푥̅ = 22,99
10 14 15 12 -4 -60 15
14 18 28 16 -3 -84 43
18 22 40 20 -2 -80 83
22 26 30 24 -1 -30 113
26 30 20 28 0 0 133
30 34 15 32 1 15 148
34 38 10 36 2 20 158
38 42 5 40 3 15 163
Ʃ 163 -204

31. c) Determinar a moda (fórmula de Czuber).
푀표 = 푙 +
Δ1
Δ1+Δ2
∙ ℎ
푀표 = 18 +
12
12+10
∙ 4 ⇒ 18 +
12
22
∙ 4
푀표 = 18 + 0,55 ∙ 4 ⇒ 18 + 2,18 = 20,18
Mo = 20,18
푙 = 18
Δ1 = 12
Δ2 = 10
h = 4
d) Calcular o 3º decil.
D3
퐷푖 = 푙퐷푖
+
(푖푛−Σ 푓
10
)∙ℎ
퐹퐷푖
푖푛
10
=
3∙163
10
⇒
489
10
= 48,9
퐷3 = 18 +
(48,9−43)∙4
40
⇒ 18 + 5,9∙4
40
⇒ 18 + 23 ,6
40
⇒ 18 + 0,59 = 18,59
D3 = 18,59
i = 3
n = 163
l퐷푖
= 18
F퐷푖
= 40
h = 4
Σ 푓 = 43
e) Determinar a medida que deixa um quarto dos elementos.
Q1
푄푖 = 푙푄푖
+
(푖푛−Σ 푓
4
)∙ℎ
퐹 푄푖
푖푛
4
=
1∙163
4
⇒
163
4
= 40,75
푄1 = 14 +
(40,75−15)∙4
28
⇒ 14 + 25,75∙4
28
⇒ 14 + 103
28
⇒ 14 + 3,678 =
17,678
Q1 = 17,68
i = 1
n = 163
l푄푖
= 14
F푄푖
= 28
h = 4
Σ 푓 = 15
f) Calcular o percentil 80.
P80
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
80∙163
100
⇒
13040
100
= 130,4
푃80 = 26 +
(130,4−113)∙4
20
⇒ 26 +
17,4∙4
20
⇒
푃80 = 26 +
69,6
20
⇒ 26 + 3,48 = 29,48
P80 = 29,48
i = 80
n = 163
l푃푖
= 26
F푃푖
= 20
h = 4
Σ 푓 = 113

32. g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
- menores de idade = 43
- total = 163
- maiores de idade = 120
163
120
∙ 100
푥
⇒ 푥 = 120∙100
163
⇒ 푥 = 73,62
P = 73,62%
11. Foi pedido aos alunos de uma classe de 40 alunos que escolhessem um dentre os
números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Obteve-se os seguintes resultados.
8 0 2 3 3 5 7 7 7 9
8 4 1 9 6 6 6 8 3 3
7 7 6 0 1 3 3 3 7 7
6 5 5 1 2 5 2 5 3 2
a) Montar a distribuição de freqüência tipo A.
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Fi 2 3 4 8 1 5 5 7 3 2
b) Determinar a média.
xi Fi xiFi
푥̅ =
Σ 푥푖퐹푖
푛
⇒ 185
40
= 4,63
R: 푥̅ = 4,63
0 2 0
1 3 3
2 4 8
3 8 24
4 1 4
5 5 25
6 5 30
7 7 49
8 3 24
9 2 18
Ʃ 40 185

33. c) Qual foi o número mais escolhido? O que ele representa?.
Foi o número 3. Representa a moda.
d) Calcule a mediana.
xi Fi Fac
n = 40 (par)
푛
40
⇒
2
2
= ퟐퟎº, corresponde a 5
푛
2
+ 1 ⇒
40
2
+ 1 = ퟐퟏº, corresponde a 5
푥̃ =
5+5
2
=
10
2
= 5
R: 푥̃ = 5
0 2 2
1 3 5
2 4 9
3 8 17
4 1 18
5 5 23
6 5 28
7 7 35
8 3 38
9 2 40
Ʃ 40
12. Entre 100 números, vinte são 4, trinta são 5, quarenta são 6 e o restante são 7.
Calcular o valor da mediana.
xi Fi Fac n = 100 (par)
푛
2
⇒
100
2
= ퟓퟎº, corresponde a 5
푛
2
+ 1 ⇒
100
2
+ 1 = ퟓퟏº, corresponde a 6
푥̃ =
5+6
2
=
11
2
= 5,5 R: 푥̃ = 5,5
4 20 20
5 30 50
6 40 90
7 10 100
Ʃ 100
13. Na distribuição de salários abaixo descrita, determinar:
a) qual o salário acima do qual estão situados os 10% mais bem remunerados?
Salário
(em $ 1000)
5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
Operários 28 32 20 6 4
xi Fi Fac
5 6 28 28
6 7 32 60
7 8 20 80
8 9 6 86
9 10 4 90
Ʃ 90

34. 푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
90.90
100
⇒
8100
100
= 81
푃90 = 8 +
(81−80)∙1
6
⇒ 8 +
1∙1
6
⇒
푃90 = 8 +
1
6
⇒ 8 + 0,16667 = 8,166667
P90 = 8166,67
Os 10% mais bem remunerados têm um salário acima de $8166,67.
i = 90
n = 90
l푃푖
b) qual o salário abaixo do qual se encontram os 15% mais mal remunerados?
Os 15% mais mal remunerados têm um salário abaixo de $4582,14.
c) acima de que salário estão os 18 operários mais bem pagos?
90
18
∙ 100
푥
⇒ 푥 = 18∙100
90
⇒ 푥 = 20
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
80∙90
100
⇒
7200
100
= 72
푃80 = 7 +
(72−60)∙1
20
⇒ 7 +
12∙1
20
⇒
푃80 = 7 +
12
20
⇒ 7 + 0,6 = 7600,00
P80 = 7600,00
i = 80
n = 90
l푃푖
= 7
F푃푖
= 20
h = 1
Σ 푓 = 60
Os 18 operários mais bem remunerados têm um salário acima de $7600,00.
= 8
F푃푖
= 6
h = 1
Σ 푓 = 80
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
15.90
100
⇒
1350
100
= 13,5
푃15 = 5 +
(13,5−0)∙1
28
⇒ 5 +
13,5∙1
28
⇒
푃15 = 5 +
13,5
28
⇒ 5 + 0,48214 = 5,48214
P15 = 5482,14
i = 15
n = 90
l푃푖
= 5
F푃푖
= 28
h = 1
Σ 푓 = 0

35. d) abaixo de que salário encontram-se os 36 operários mais mal remunerados?
90
36
∙ 100
푥
⇒ 푥 = 36∙100
90
⇒ 푥 = 40
푃푖 = 푙푃푖
+
(푖푛 −Σ 푓
100
)∙ℎ
퐹푃푖
푖푛
100
=
40∙90
100
⇒
3600
100
= 36
푃40 = 6 +
(36−28)∙1
32
⇒ 6 +
8∙1
32
⇒
푃40 = 6 +
8
32
⇒ 6 + 0,25 = 6,25
P40 = 6250,00
i = 40
n = 90
l푃푖
= 6
F푃푖
= 32
h = 1
Σ 푓 = 28
Os 36 operários mais mal remunerados têm um salário abaixo de $6250,00.