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CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO


                     AULA 14 – RESOLUÇÕES FINAIS DA LISTA DE QUESTÕES
        Olá, amigos!
        Espero que estejam todos bem!
         Apresento-lhes, hoje, as vinte e duas últimas resoluções da lista original do nosso
Curso! Com elas, concluímos o nosso trabalho no tocante às aulas. E no tocante ao Fórum, vou
tentar responder as perguntas pendentes durante os dias seguintes.
        Vou pedir à LuBSB que mantenha o fórum no ar.
        Passemos às resoluções! Vamos a elas.


                     ÚLTIMAS QUESTÕES PENDENTES DE RESOLUÇÃO
01.(Analista fin. e controle GDF 94 CESPE) Um órgão financiador de projetos recebeu nos
   últimos doze meses as seguintes quantidades mensais de propostas de projetos: 22, 10, 8,
   16, 20, 26, 30, 40, 42, 36, 28, 24. Assinale a alternativa que representa o 1º quartil deste
   conjunto.
   a) 18                    b) 20               c) 22               d) 24

Sol.: A primeira coisa a ser feita nesta resolução é colocar os dados brutos apresentados no
enunciado numa forma de rol. Ou seja, colocá-los em ordem crescente! Teremos:
         8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42
      Feito isso, aprendemaos que para encontrar algum Quartil em um rol, antes temos que
descobrir quem é a Mediana do conjunto! Uma vez descoberta a Mediana, dividiremos o
conjunto original em duas partes: a parte dos elementos à esquerda da Mediana, e a parte dos
elementos à direita da Mediana.
       Até aqui, tudo bem? Vamos fazer isso! Teremos:
         8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42
                       Md=(24+26)/2
                            Md=25

       Quais foram os dois subconjuntos que ficaram à esquerda e à direita da mediana?
       Vejamos:

         {8, 10, 16, 20, 22, 24} e {26, 28, 30, 36, 40, 42}
      Pois bem! Agora é o seguinte: o primeiro quartil Q1 será a Mediana do conjunto da
esquerda, enquanto o terceiro quartil Q3 será a Mediana do conjunto da direita!
       Só isso!
       Como a questão quer saber o primeiro quartil, teremos:
         {8, 10, 16, 20, 22, 24}
             Md=(16+20)/2
                  Md=18        Q1=18      Resposta!


(AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatística abaixo:
                    2               5                7                  13
                    3               6                9                  13
                    3               6               11                  13
                    4               6               11                  13
                    4               7               12                  15




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02.Os valores do 1º e do 3º quartil da série são, respectivamente:
   a) 2 e 15        b) 5 e 12             c) 4 e 13           d) 4 e 12             e) 6 e 13

Sol.: Vamos seguir o mesmíssimo raciocínio da questão anterior! Aqui, os elementos já estão
em rol. Assim, descobriremos, por primeiro, quem é a Mediana do conjunto! Teremos:

         {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15}
                                   Md=7
       Assim, excluindo a Mediana do conjunto, geraremos dois subconjuntos, que são os
seguintes:
         {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15}

      Daí, o primeiro e o terceiro quartil serão os seguintes:

         {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15}
                    Q1=4                              Q3=13


      Daí: Q1=4 e Q3=13           Resposta!


03.Considere a seguinte distribuição de freqüências:
        classes        fi
       0 |— 5         20
       5 |— 10        20
      10 |— 15        40
      15 |— 20        10
      20 |— 25        10
         Total
A moda da distribuição é:
   a) 12,5; dada a simetria da distribuição.             d) igual à menor freqüência simples.
   b) Inferior à média aritmética e à mediana.           e) igual à média aritmética.
   c) Superior à média aritmética e à mediana.

Sol.: Vamos calcular as três medidas de posição para esta distribuição de freqüências.
Comecemos pela Média. Teremos:

        classes        fi      PM      (PM-2,5)/5=Yi     fi.Yi
       0 |— 5         20      2,5            0             0
       5 |— 10        20      7,5            1            20
       10 |— 15       40      12,5           2            80
       15 |— 20       10      17,5           3            30
       20 |— 25       10      22,5           4            40
         Total       n=100                               170

              170
         Y=       = 1,7
              100

      Nosso desenho de transformação da variável é o seguinte:

                                     1º)-2,5    2º)÷5



                             Xi                          Yi      Y = 1,7


                                   2º)+2,5      1º)x5


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      Daí:
           1,7 x 5 = 8,5   e    8,5 + 2,5 = 11,0     Média!
      Calculemos a Mediana do conjunto! Teremos: (n/2)=50


       classes         fi       fac
       0 |— 5         20        20         20 é ≥ 50? Não!
      5 |— 10         20        40         40 é ≥ 50? Não!
      10 |— 15        40        80         80 é ≥ 50? Sim!
      15 |— 20        10        90
      20 |— 25        10        100
        Total        n=100

Faremos:

                                              5




                                      X


Limites da Classe:         10          Md                    15
fac associadas:            40             50                  80
                                      10




                                             40

      Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:

                                  5                  x
                                 40                 10
      Multiplica-se cruzando, e teremos:       X=(5x10)/40     X=1,25
      Finalmente, teremos:
           Md=10+1,25      Md=11,25


Calculando agora a Moda do conjunto, teremos:
       classes         fi
       0 |— 5         20
      5 |— 10         20        Δa=20
      10 |— 15        40         Classe Modal!
      15 |— 20        10        Δp=30
      20 |— 25        10
        Total        n=100


                               www.pontodosconcursos.com.br                              3
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Aplicando a fórmula de Czuber, teremos:

                  ⎡   Δa ⎤
         Mo=linf+ ⎢         ⎥.h      Mo=10+[20/(20+30)].5      Mo=12,0
                  ⎣ Δa + Δp ⎦

      Reunindo os três resultados, teremos:

         Média=11,0 ; Mediana=11,25         e   Moda=12,0

      Logo: a Moda é superior à Média e à Mediana           Resposta!



04.(IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não
   existem observações coincidentes com os extremos das classes.

                               Classe       Freqüência Acumulada
                             129,5-139,5              4
                             139,5-149,5             12
                             149,5-159,5             26
                             159,5-169,5             46
                             169,5-179,5             72
                             179,5-189,5             90
                             189,5-199,5            100

Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil.
a) 179,5
b) 189,5
c) 183,9
d) 184,5
e) 174,5

Sol.: Aprendemos que o procedimento usado para se calcular qualquer medida separatriz é o
mesmo usado para o cálculo da Mediana, mudando apenas a fração inicial!
      Assim, para o oitavo decil, temos que a fração será: (8n/10).
      Sabendo que n=100 (a última fac!), então teremos: (8n/10)=80
      Fazendo as perguntas de praxe, descobriremos qual é a classe do D8. Faremos:


                  Classe          Freqüência Acumulada
               129,5-139,5                  4               4 é ≥ 80? Não!
               139,5-149,5                 12               12 é ≥ 80? Não!
               149,5-159,5                 26               26 é ≥ 80? Não!
               159,5-169,5                 46               46 é ≥ 80? Não!
               169,5-179,5                 72               72 é ≥ 80? Não!
               179,5-189,5                 90               90 é ≥ 80? Sim!
               189,5-199,5                100


       Fazendo agora aquele mesmo desenho que aprendemos para a Mediana, só que agora
trabalhando com a classe do oitavo decil, teremos o seguinte:




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                                           10




                                    X


Limites da Classe:     179,5 D8                    189,5
fac associadas:          72             80                90
                                    8




                                           18

      Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:

                               10                 x
                               18                 8
      Multiplica-se cruzando, e teremos:     X=(8x10)/18      X=4,44
      Finalmente, teremos:
         D8=179,5+4,44        D8=183,9       Resposta!


05.(Técnico de Planejamento e Pesquisa IPEA 2004 ESAF) Para uma amostra aleatória de
   determinado atributo encontrou-se a seguinte distribuição de freqüências. Não existem
   observações coincidentes com os extremos das classes.

                             Classes                  Freqüências
                           2000 – 4000                    18
                           4000 – 6000                    45
                           6000 – 8000                    102
                          8000 – 10000                    143
                          10000 – 12000                    32
                          12000 – 14000                    60

Assinale a opção que corresponde à melhor aproximação do nonagésimo quinto percentil.
a) 13.000                               d) 12.667
b) 12.585                               e) 13.900
c) 13.333

Sol.: Agora não tem mais segredo!! Qual é a fração do P95? É a seguinte: (95n/100).

      Vamos descobrir o valor do n? Teremos:




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                                     Classes                fi
                                   2000 – 4000             18
                                   4000 – 6000             45
                                   6000 – 8000            102
                                  8000 – 10000            143
                                  10000 – 12000            32
                                  12000 – 14000            60
                                                         n=400

      Assim, teremos que: (95n/100)=380

      Faremos, construiremos a coluna da fac e faremos as perguntas de praxe, a fim de
descobrirmos a classe do P95. Teremos:

                         Classes              fi   fac
                       2000 – 4000           18     18    18 é ≥ 380? Não!
                       4000 – 6000           45     63    63 é ≥ 380? Não!
                       6000 – 8000          102    165    165 é ≥ 380? Não!
                      8000 – 10000          143    308    308 é ≥ 380? Não!
                      10000 – 12000          32    340    340 é ≥ 380? Não!
                     12000 – 14000           60    400    400 é ≥ 380? Sim!
                                           n=400

      Fazendo agora o desenho, teremos:


                                           2000




                                      X


Limites da Classe:     12000 P95                     14000
fac associadas:          340          380                 400
                                      40




                                           60

      Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:

                             2000                   x
                               60                  40
      Multiplica-se cruzando, e teremos:     X=(2000x40)/60      X=1.333,33
      Finalmente, teremos:
         P95=12.000+1.333,33          P95=13.333,33       Resposta!


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06.(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4
    aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos.
    Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.
a) 6,20               b) 4,40            c) 5,00             d) 7,20             e) 3,90

Sol.: A questão envolve uma transformação da variável. O que faremos? Claro! Faremos o
desenho de transformação! Que é o seguinte:

                                  1º)-14     2º)÷4



                           Xi                          Zi     Sz=1,10


                                  2º)+14     1º)x4



      Vejam que já está do lado da variável transformada Z a informação adicional do
enunciado, qual seja, que o desvio padrão de Z é Sz=1,10.
      Agora, a questão pergunta qual o desvio padrão de X. Ora, basta percorrermos o
caminho de volta, lembrando-nos das propriedades do desvio padrão. Teremos:
         1,10 x 4 = 4,40
      A soma que se segue, no caminho de volta, não será efetuada, uma vez que Desvio
Padrão não sofre influência nem de soma nem de subtração!
      Assim, passando direto pela soma, teremos, finalmente, que:
         Sx=4,40      Resposta!


07.(Analista CVM - 2000/ ESAF) Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada
   em estudar o comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com
   este objetivo seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações
   amostrais constam da tabela seguinte:

                  Valor (R$)    Freqüência de Março       Freqüência de Abril
                  1.000,00               6                       10
                  3.000,00              13                       14
                  5.000,00              12                       10
                  7.000,00              15                       13
                  9.000,00               4                        -
                  11.000,00              -                        3

      Assinale a opção que corresponde a amplitude do intervalo interquartílico, em reais, para
o mês de março.

a) 3.250,00                                     d) 6.000,00
b) 5.000,00                                     e) 2.000,00
c) 4.000,00

Sol.: O intervalo interquartílico, também chamada amplitude interquartílica, é uma medida de
memorização muito fácil. Senão, vejamos. O que sugere o nome interquartílico? Sugere entre os
quartis. Concordam?
      E quais são os quartis mais distantes entre si? São o primeiro e o terceiro: Q1 e Q3.
       Assim, a distância entre os quartis, ou a amplitude interquartílica, ou ainda o intervalo
interquartílico nada mais é que: Q3-Q1.
      Só isso!
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      Vamos começar nossa busca pelo primeiro quartil (Q1). Teremos:


                                     Valor (R$)      fi
                                     1.000,00        6
                                     3.000,00       13
                                     5.000,00       12
                                     7.000,00       15
                                     9.000,00        4
                                                   n=50

      A fração do Q1 é (n/4), conforme sabemos. Neste caso, temos que (n/4)=12,5.
      Construindo a coluna da fac e fazendo as perguntas de praxe, teremos:
                      Valor (R$)     fi     fac
                      1.000,00       6       6      6 é ≥ 12,5? Não!
                      3.000,00      13      19      19 é ≥ 12,5? Sim!
                      5.000,00      12      31
                      7.000,00      15      46
                      9.000,00       4      50
                                   n=50


      Assim, achamos que Q1=3.000,00
       Para o terceiro quartil, sabemos que a fração correspondente é (3n/4). Teremos, pois,
que: (3n/4)=37,5. Usando a pergunta de praxe, teremos:
                      Valor (R$)     fi     fac
                      1.000,00       6       6      6 é ≥ 37,5? Não!
                      3.000,00      13      19      19 é ≥ 37,5? Não!
                      5.000,00      12      31      31 é ≥ 37,5? Não!
                      7.000,00      15      46      46 é ≥ 37,5? Sim!
                      9.000,00       4      50
                                   n=50


       Uma vez descobertos os valores de Q1 e de Q3, resta-nos aplicar a fórmula que
corresponde ao conceito de intervalo interquartílico. Teremos que:
         Intervalo Interquartílico = Q3 – Q1 = 7000 – 3000 = 4.000,           Resposta!



08.(AFPS-2002/ESAF) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de
   um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ3 . Assinale a opção correta.

a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média.
b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média.
c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média.
d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos
   das observações.
e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média.

Sol.: O enunciado nos pede, simplesmente, o conceito do terceiro momento central, o que é
sinônimo de terceiro momento centrado na média. Ora, para acertar esta questão só é preciso
conhecer a fórmula dos momentos! Aprendemos isso em uma de nossas aulas!

                                                            ∑ (Xi − X )
                                                                      3

      Teremos que o terceiro momento é dado por:     m3   =
                                                                 n
      Traduzindo: a média dos cubos dos desvios em relação à média        Letra E   Resposta!
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09.(TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram
   os seguintes sumários: média aritmética = $1,20 , mediana = $0,53 e moda = $0,25. Com
   base nestas informações, assinale a opção correta:

a) A distribuição é assimétrica à direita.
b) A distribuição é assimétrica à esquerda.
c) A distribuição é simétrica.
d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor medida de
   tendência central.
e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25.

Sol.: Uma questão muito fácil e recorrente! Aqui, precisaríamos lembrar a relação entre as
medidas de tendência central – média, moda e mediana – e a situação de assimetria de um
conjunto! A melhor forma de memorizar esta teoria é por meio do desenho das curvas
assimétricas, vistas por nós em aula pretérita do nosso Curso. São as seguintes:
     Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva):




                                          Moda < Mediana < Média


     Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa):




                                  Média    <   Mediana < Moda


     Distribuição Simétrica:




                                     Média=Mediana=Moda



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        Uma vez que os dados da questão nos revelam que a Média é maior que a Mediana, e
esta é maior que a Moda, estamos, indubitavelmente, diante de uma distribuição assimétrica à
direita (ou de assimetria positiva)!
      Logo: Letra A      Resposta!


10.(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma
   amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional.
   A unidade monetária é o dólar americano.

     4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10,
     10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Pode-se afirmar que:
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica
d) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com
    assimetria negativa
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços

Sol.: Ora, estamos diante de um rol. Só precisamos conhecer o valor de duas medidas de
tendência central, e já teremos condições de afirmar qual a situação de assimetria deste
conjunto.
      No caso, mais rápido é descobrir quem são a Mediana e a Moda.
       A Mediana, inclusive, já havia sido objeto de uma questão anterior desta prova! Questão
esta já resolvida por nós neste Curso!
      Mas façamos de novo, para não perder a viagem.
      Temos que n=50 elementos. Logo, há duas posições centrais:
         1ª) n/2=25ª e 2ª) a vizinha posterior: 26ª
      Os elementos que ocupam estas duas posicoes centrais são: 9 e 9. Assim, fazendo a
média desses dois valores (o que não é, absolutamente, necessário!!), teremos: Md=9,0.
       Agora, para saber a Moda do conjunto, basta ver qual foi o elemento que mais apareceu!
Qual foi? Foi o elemento 8. Logo: Mo=8,0.
      Assim, tendo que a mediana é maior que a moda, já sabemos que o conjunto é
assimétrico à direita, ou de assimetria positiva. (Vide desenho da curva de freqüência da
questão anterior!).
      Logo: Letra B      Resposta!


11.(AFTN-98) Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual específica
   que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a tarefa.
   Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da distribuição amostral de tais
   observações.
 a) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica e com duas
    modas nos extremos.
 b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino.
 c) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular.
 d) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda.
 e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular.

Sol.: Essa questão foi a mais atípica já elaborada pela Esaf (ou por qualquer outra mesa)! Eu
diria que foi uma grande viagem do elaborador... Saibam que esta questão foi causa de muita
polêmica, e que nunca mais, depois de 1998 (e nem antes!), se viu algo parecido em prova.

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          Dêem uma olhadinha de novo na curva assimétrica à esquerda:




       Agora imagine que a linha horizontal é a linha do tempo, e que a linha vertical é a
produtividade que uma pessoa atinge, numa tarefa manual específica que exige alguma
habilidade.
          Vamos soltar a imaginação! (Isso é muito necessário, diante de uma questão como
esta!).
       Imagine que a atividade é fazer crochê. Você já deu uns pontos de crochê na vida?
Possivelmente não! Nem eu!
       Pois bem! Imagine que há um grupo de pessoas que nunca fez crochê na vida, e que
essas pessoas recebem um curso relâmpago de cinco minutos. E cada uma começa o seu
trabalho manual. Ora, diante desta situação, vocês imaginam que a maior parte destas pessoas
vai levar pouco tempo ou vai levar muito tempo para desenvolver um pouco mais a habilidade e,
assim, alcançar uma produtividade melhor? Obviamente que levará muito tempo.
          É o que está retratado na curva acima – a assimétrica à esquerda. Vejamos:




       Esta área marcada em vermelho é a maior sob a curva, e representa a maior parte das
pessoas daquele grupo, as quais irão gastar mais tempo (vejam que a área está à direita do eixo
horizontal) para atingir uma produtividade maior (maior altura da curva).
          Bem! Essa, pelo menos, foi a minha maneira de interpretar a questão.
       Muita gente boa não conseguiu acertar. E soube até de professores com PhD que
tentaram anular esta questão, e não conseguiram!
      Eu costumo dizer a meus alunos presencias que esta não é uma questão para se
preocupar. Por quê? Pela sua atipicidade! Cai uma vez em mil anos.
          Ok?
          Sigamos adiante!


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12.(AFTN-94) Assinale a alternativa correta:

Sol.: Vou comentar item por item.

a) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável aleatória.
   As medidas estatísticas que se confundem com fórmulas de Assimetria são a Média
   Aritmética (que é igual ao primeiro momento simples) e a Variância (que é igual ao segundo
   momento centrado na média aritmética). O item está, portanto, errado!
   .
b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe da variação
   da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de freqüência.
   A média aritmética depende da variação da variável. Ou seja, se alguém modificar o valor de
   um só elemento do conjunto, o valor da média já terá sido também alterado! Errado o item.

c) Em qualquer distribuição de freqüência, a média aritmética é mais representativa do que a
   média harmônica.
   Em algumas situações muito específicas, a média harmônica é, em tese, mais representativa
   que a média aritmética. O item está errado!

d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é nula.
   Errado! A soma dos quadrados é um valor mínimo!

e) A moda, a mediana e a média aritmética são medidas de posição com valores expressos em
   reais que pertencem ao domínio da variável a que se referem.
   Correto! Traduzindo o que diz este item: os valores da média, moda e mediana estarão
   sempre variando entre o menor e o maior elemento do conjunto! Só isso!



13.(AFTN-94) Indique a opção correta:

Sol.: De novo, comentarei cada item.

a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que o
   coeficiente de curtose.
   Não existe nenhuma relação entre as medidas de assimetria e de curtose! Item incorreto!

b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no intervalo [-3,
   3].
   Esta limitação inexiste. Item elaborado para pegar franco-atiradores! Errado!

c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o quadrado
   da variância da distribuição.
   Outro absurdo! O que ele sugere é que C=3.(S2)2. Sabemos que, na verdade: C=m4/S4.

d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão.
   Correto! Esta é a interpretação da fórmula do índice momento de curtose! E se for maior que
   3, será leptocúrtica, e se for menor que 3 será platicúrtica!

e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo.
   Já foi dito na questão anterior: inexiste relação entre assimetria e curtose!

14.(AFTN-98) Assinale a opção correta.

a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente à
média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa.
A soma dos desvios em relação à média jamais poderá ser negativa! Diz a propriedade da média
que esta soma será sempre igual a zero! Item incorreto!



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b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observações
amostrais são medidas.
O Coeficiente de Variação, CV, é adimensional. Ou seja, independe da unidade da variável. Item
errado!

c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e
posterior divisão pelo desvio padrão não está definido.
É a opção correta! O texto deste item é péssimo! Leva-se muito tempo até se atingir a
compreensão perfeita do que é dito aqui. O item sugere uma transformação da variável, em que
as operações de transformação são as seguintes:
       1ª) Subtrair da média;
       2ª) Dividir pelo desvio padrão.
       O desenho de transformação é o seguinte:

                                  1º)- X      2º)÷Sx



                           Xi                          Yi
      Assim, se partirmos do lado da variável X com a média         X , qual será a média a qual
chegaremos na variável Y? Teremos:

         X − X =0
         0 ÷ Sx = 0

      Ou seja, teremos que Y =0.
      Qual seria, então, o valor do coeficiente de variação de Y?

      Temos que: CVy=Sy/ Y
      Ora, já sabemos que o denominador é nulo. Logo, o CVy não está definido!
      É isso que está sendo dito neste item, que está, pois, correto!


d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações
amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média mais
dois desvios padrões.
Há dois erros neste texto. 1º) a propriedade visual do desvio padrão (de que trata este item)
não se aplica para qualquer distribuição. 2º) a referida propriedade trata apenas de uma
aproximação, e não de exatidão!

e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose
excessiva.
Mesocúrtica é a situação intermediária de curtose. Quem apresenta cauda pesada e curtose
excessiva é a curva platicúrtica!

15.(AFPS-2002/ESAF) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para
   uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5.
   Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
                                   Classes   Freqüências
                                     4-9          5
                                    9-14          9
                                    14-19         10
                                    19-24         15
                                    24-29         12
                                    29-34         6
                                    34-39         4
                                    39-44         3
                                    44-49         2
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Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que
dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no
desvio padrão.
a) -0,600                         c) 0,709                        e) -0,610
b) 0,191                          d) 0,603

Sol.: Precisaríamos aqui identificar qual foi a fórmula pedida pelo enunciado, para o cálculo da
Assimetria! Ora, o enunciado até que foi muito claro: tem que ser aquela fórmula na qual
constarão a Média, a Mediana e o Desvio-Padrão.

      Trata-se, obviamente, do 2º Coeficiente de Assimetria de Pearson, dado pelo seguinte:


                                            A=
                                                  (
                                                 3 X − Md     )
                                                     S

       Temos que o enunciado já nos forneceu o valor do denominador (S=10). Resta-nos,
pois, calcular duas medidas: a Média e a Mediana!

      Comecemos pela Média:

                     Classes       fi     PM      (PM − 6,5) = Yi         fi.Yi
                                                      5
                       4-9         5      6,5             0                0
                      9-14         9      11,5            1                 9
                      14-19        10     16,5            2                20
                      19-24        15     21,5            3                45
                      24-29        12     26,5            4                48
                      29-34        6      31,5            5                30
                      34-39        4      36,5            6                24
                      39-44        3      41,5            7                21
                      44-49        2      46,5            8                16
                                                                         ∑=213

      Calculando a Média da variável transformada         Y , teremos:

                                                  213
                                             Y=       = 3,227
                                                  66

      Daí, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos:

         3,227 x 5 = 16,14         16,14 + 6,5 = 22,64            Daí: Média = 22,64

      Passando ao cálculo da Mediana, faremos: (n/2)=33. Construiremos a coluna da fac, e
compararemos seus valores com o resultado da fração (33). Teremos:

                 Classes      Fi    Fac
                   4-9        5      5            5 é maior ou igual a 33? NÃO!
                   9-14       9     14           14 é maior ou igual a 33? NÃO!
                  14-19       10    24           24 é maior ou igual a 33? NÃO!
                  19-24       15    39           39 é maior ou igual a 33? SIM!
                  24-29       12    51
                  29-34        6    57
                  34-39        4    61
                  39-44        3    64
                  44-49        2    66



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       Daí, faremos o desenho que nos ajuda a formar a regra de três, para descobrirmos o
valor da Mediana. Teremos:
                                               5 (=24-19)


                                     X

                            19            Md                  24


                            24            33                   39

                                      9


                                               15 (=39-24)

Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos:

                                                     5 X
                                                      =
                                                    15 9
Daí:

                    X=(5x9)/15            X=45/15          X=3,00    Daí: Md=22,00

Agora, aplicando a equação da Assimetria, teremos:

                                3(22,64 − 22,00 )
                           A=                         A=0,191       Resposta!
                                      10


                                 AFRF 2005 – ESTATÍSTICA BÁSICA

16. Para dados agrupados representados por uma curva de freqüências, as diferenças
entre os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da
curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma distribuição
negativamente assimétrica.
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda.
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor.
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média.

Sol.:
       A ESAF cometeu dois enganos nesta questão: 1º) A questão é de Assimetria e este
assunto não está mais presente no edital do concurso de AFRF, e 2º) há duas alternativas
corretas na questão.

        Vamos à solução!

      Numa distribuição assimétrica negativa temos a seguinte relação entre as medidas da
média ( X ), mediana (Md) e moda (Mo).

                                               X < Md < Mo

        Verificando as alternativas B e C, concluímos que ambas estão corretas!



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17. Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores de
seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o
objetivo de ampliar sua participação no mercado, a empresa realizou uma campanha
de divulgação voltada para consumidores com idades mais avançadas. Um
levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dos
consumidores apresentaram a seguinte distribuição:

                                Idade (X)   Freqüência        Porcentagem
                                 18 ‫52 -ו‬       20                 40
                                 25 ‫03 -ו‬       15                 30
                                 30 ‫53 -ו‬       10                 20
                                 35 ‫04 -ו‬        5                 10
                                  Total         50                100

Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte
critério de decisão:
                                                   2σ x
se a diferença X - 25 for maior que o valor               ,
                                                     n
então a campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso
contrário, a campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado.

                                                                 2σ x
a) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que                  =1,53.
                                                                   n

                                                                        2σ x
b) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que                      =1,64.
                                                                          n

                                                                 2σ x
c) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que                  =1,41.
                                                                   n

                                                                        2σ x
d) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que                      =1,53.
                                                                          n

                                                                 2σ x
e) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,5 é maior que                  =1,41.
                                                                   n


Sol.:
        Para saber se a campanha surtiu efeito devemos efetuar o cálculo de duas medidas: X e
σ x . Mas o que significam os símbolos X e σ x ? A ESAF esqueceu de defini-los. O símbolo X já
é bem conhecido nosso, aparece em diversas provas e livros, ele significa a média aritmética.
Mas o símbolo σ x , que normalmente representa o desvio padrão populacional, não é tão
conhecido e a ESAF tinha o dever de informar.
       Pela primeira vez a ESAF apresentou uma distribuição de freqüências em que as
amplitudes das classes não são todas iguais. A primeira classe tem amplitude 7, enquanto as
demais têm amplitude 5. Isso interfere um pouco na solução da questão, como mostraremos
adiante.

  Vamos ao cálculo da média aritmética X .
     A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula:

X =
      ∑fx   i i
                  ,
        n
onde:        os xi são representados pelos pontos médios das classes (PMi).
             os fi são as freqüências absolutas simples das classes.
             n é o tamanho da amostra.
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     Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos
  imediatamente passar aos passos do cálculo da Média.


1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi)

                                      Idade (X)            fi   xi (=PMi)
                                       18 ‫52 -ו‬           20       21,5
                                       25 ‫03 -ו‬           15       27,5
                                       30 ‫53 -ו‬           10       32,5
                                       35 ‫04 -ו‬           5        37,5
                                        Total             50

2) Neste passo, poderíamos aplicar a fórmula da média aritmética, porém a construção da
coluna fi.xi exige multiplicações um pouco trabalhosas, assim usaremos a variável transformada
para facilitar esses cálculos. Além do mais, essa variável transformada vai simplificar bastante o
cálculo do desvio padrão.

       A obtenção da variável transformada normalmente é feita pela subtração da variável X
por um ponto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da
classe. Porém nesta questão nem todas as classes tem a mesma amplitude. Então faremos
somente a subtração por um ponto médio da distribuição.
       Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediárias
da distribuição, então escolheremos o ponto médio da segunda classe, e chamaremos a variável
transformada de Z. A coluna zi será construída abaixo.

                             Idade (X)          fi       xi (=PMi)     zi=xi–27,5
                              18 ‫52 -ו‬         20           21,5           -6
                              25 ‫03 -ו‬         15           27,5            0
                              30 ‫53 -ו‬         10           32,5            5
                              35 ‫04 -ו‬          5           37,5           10
                               Total           50

  3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z .


                          Idade (X)     fi         xi (=PMi)     zi=xi–27,5     fi.zi
                           18 ‫52 -ו‬    20             21,5           -6        -120
                           25 ‫03 -ו‬    15             27,5            0           0
                           30 ‫53 -ו‬    10             32,5            5          50
                           35 ‫04 -ו‬     5             37,5           10          50
                            Total      50                                      -20



  4) Efetuaremos o cálculo do Z :


                                 ⎛
                              Z =⎜
                                     ∑ f .zi   i
                                                   ⎞
                                                   ⎟       Z=
                                                                − 20
                                                                            Z =-0,4
                                 ⎜     n           ⎟             50
                                 ⎝                 ⎠



  5) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , podemos obter X .


       A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte:


                                                       Z = X – 27,5

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    A relação entre as médias de Z e X é obtida, simplesmente, substituindo-se X por X e Z
por Z , devido às propriedades da média aritmética. Teremos:

                                                             Z = X – 27,5


    Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z = - 0,4, teremos:


                        X = Z + 27,5                            X = -0,4 + 27,5                         X = 27,1


    Já obtivemos a média aritmética X ! Para sabermos qual é a alternativa correta, temos
que calcular a diferença: ( X – 25). Essa diferença é igual a:

                                                ( X – 25) = (27,1 – 25) = 2,1


    Com este resultado, somente as alternativas A e C podem estar corretas. Para descobrir
a única alternativa correta teremos que proceder ao cálculo do desvio-padrão da variável X.


Vamos ao cálculo do desvio padrão populacional ( σ x ).


    O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Desta forma, procederemos
primeiramente ao cálculo da variância.

                                             ⎡                                              (∑ f        )
                                                                                                     ⋅ xi ⎤
                                                                                                         2

                                                                      ∑f
                                           1
    Fórmula da variância populacional: Vx = ⎢                                  ⋅ xi       −                ⎥
                                                                                      2            i

                                           n⎢                                                              ⎥
                                                                           i
                                                                                                   n
                                             ⎣                                                             ⎦
    Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformada
Z=X-27,5 para facilitar os cálculos da variância. Ou seja, primeiramente encontraremos a
variância de Z para depois obtermos a variância de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3º
passo do cálculo da média, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto das
colunas zi e fizi.
                     Idade (X)                   fi       xi (=PMi)   zi=xi–27,5             fi.zi     fi.zi2
                      18 ‫52 -ו‬                  20           21,5         -6                -120        720
                      25 ‫03 -ו‬                  15           27,5          0                   0          0
                      30 ‫53 -ו‬                  10           32,5          5                 50         250
                      35 ‫04 -ו‬                   5           37,5         10                 50         500
                       Total                    50                                          -20        1470


    Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ):


            ⎡                        (∑ f  ⋅ zi ⎤
                                               2
                                                      )                  1 ⎡        (− 20)2 ⎤                             [1462]
                ∑
          1                                                                                                            1
      VZ = ⎢        f i ⋅ zi       −             ⎥                           1470 −
                               2            i
                                                                  VZ =      ⎢               ⎥                   VZ =
          n⎢                             n       ⎥                       50 ⎢
                                                                            ⎣         50 ⎥  ⎦                          50
            ⎣                                    ⎦


      VZ = 29,24




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        A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte:
                                                  Z = X – 27,5


      Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se altera
  ao somarmos ou subtrairmos uma constante, daí a variância de X é igual a variância de Z:
                                                   VX = 29,24


      Ao invés de calcularmos o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância, é melhor
  elevarmos ao quadrado a seguinte expressão dada no enunciado:
                                                          2σ x
                                                               n
        Elevando ao quadrado, teremos:
                                                           2
                                                 ⎛ 2σ x   ⎞   4σ x
                                                                   2
                                                 ⎜
                                                 ⎜        ⎟ =
                                                          ⎟
                                                 ⎝ n      ⎠     n


      O termo σ x que aparece no numerador é a própria variância, da qual já sabemos quanto
                     2

  é seu valor. Assim, teremos:
                                            2
                                   ⎛ 2σ x   ⎞   4σ x
                                                     2
                                                         4 ⋅ 29,24
                                   ⎜
                                   ⎜        ⎟ =
                                            ⎟          =           = 2,34
                                   ⎝ n      ⎠     n          50


        Já sabemos que as possíveis alternativas corretas são a A e a C. A alternativa A afirma
        2σ x
  que          =1,53. Para que esta alternativa seja a correta é necessário que o quadrado de 1,53
          n
  seja igual a 2,34. Vamos testar!
                                                 (1,53)2 = 2,34


        Teste positivo! Então a alternativa correta é a alternativa A!




18. Considerando-se os dados sobre os preços e as quantidades vendidas de dois
produtos em dois anos consecutivos, assinale a opção correta.

                                                Produto I          Produto II
                                     Ano
                                                P11 Q11            P21 Q21
                                       1        40    6             40    2
                                       2        60    2             20    6

a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços            dos dois produtos,
enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 50%.
b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 para       o preço relativo do
produto 1 e 240 para o preço relativo do produto 2.
c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços            dos dois produtos,
enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 75%.
d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para        o preço relativo do
produto 1 e 80 para o preço relativo do produto 2.

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e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos,
enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 25%.

Sol.:
       Esta é um questão de Números Índices que envolve o cálculo dos índices de Laspeyres e
Paasche de preço. Frequentemente a ESAF coloca o cálculo desses índices em suas provas,
então esta questão não deve ter sido surpresa para os candidatos.

       As fórmulas de Laspeyres e Paasche de preço têm a mesma forma, mudando somente os
subscritos das quantidades dos produtos. O índice de Laspeyres é conhecido como método da
época base, portanto consideraremos as quantidades da época base. O índice de Paasche é
conhecido como método da época atual, portanto consideraremos as quantidades da época
atual.

       A época base é o ano 1 e a época atual é o ano 2, pois os índices indicados nas
alternativas da questão mostram a evolução de preços do ano 1 para o ano 2.

        Fórmula de Laspeyres de preço:

                 La =
                        ∑( p  2    ⋅ q1 )
                        ∑( p  1    ⋅ q1 )

        Fórmula de Paasche de preço:

                 Pa =
                        ∑( p   2   ⋅ q2 )
                        ∑( p  1    ⋅ q2 )

  Cálculo do Laspeyres de preço:
               preço de I no ano 2 × qde de I no ano 1 + preço de II no ano 2 × qde de II no ano 1
        La=
               preço de I no ano 1 × qde de I no ano 1 + preço de. II no ano 1 × qde de II no ano 1

        Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Laspeyres, obteremos:

                60 × 6 + 20 × 2   6×6 + 2× 2   40   5
        La =                    =            =    =   = 1,25 = 125%
                40 × 6 + 40 × 2   4×6 + 4× 2   32   4

        Este resultado indica que houve um aumento de preços de 25% (=125%-100%).

  Cálculo do Paasche de preço:
               preço de. I no ano 2 × qde de I no ano 2 + preço de II no ano 2 × qde de II no ano 2
        Pa=
               preço de I no ano 1 × qde de I no ano 2 + preço de. II no ano 1 × qde de II no ano 2

        Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Paasche, obteremos:

                60 × 2 + 20 × 6   6× 2 + 2×6   24   3
        Pa =                    =            =    =   = 0,75 = 75%
                40 × 2 + 40 × 6   4× 2 + 4×6   32   4

       Este resultado indica que houve uma variação de preços de -25% (=75%-100%), ou
seja, uma redução de 25%.

       De acordo com estes resultados dos índices de Laspeyres e Paasche a alternativa correta
é a alternativa E.




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19. Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, registraram-se
os seguintes salários mensais (em salários mínimos):

               Identificação do casal                           1         2    3    4    5    6    7    8    9   10
               Salário do marido (Y)                            30       25   18   15   20   20   21   20   25   27
               Salário da esposa (X)                            20       25   12   10   10   20   18   15   18   23
Sabe-se que:




Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos homens e
os salários das mulheres.
a) 0,72
b) 0,75
c) 0,68
d) 0,81
e) 0,78

Sol.:
      Esta questão é uma simples aplicação da fórmula do Coeficiente de Correlação (r) que é
dada por:

                    (∑ X )(∑ Y )
             ∑X Y −
                                              i             i
                             i i
   r=                    n
               (∑ X )          (∑ Y )  2                                 2

          ∑ X − n ⋅ ∑Y − n
                   2               i                    2            i
               i                                    i




        Substituindo os valores fornecidos na questão dentro da fórmula da correlação, teremos:


                   3940 −
                                 (171)(221)
   r=                                  10

          3171 −
                       (171) 2
                                 ⋅ 5069 −
                                                  (221)2
                        10                          10

        Resolvendo, vem:

                                            37791
                             3940 −
        r=                                   10
                             29241          48841
              3171 −               ⋅ 5069 −
                              10             10

                             3940 − 3779,1
        r=
              3171 − 2924,1 ⋅ 5069 − 4884,1

                       160,9
        r=
              246,9 ⋅ 184,9

                   160,9
        r=
              246,9 ⋅ 184,9


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              161
        r≅
              45652

       Neste ponto, temos que calcular a raiz quadrada de 45652. Vamos achá-la na base da
tentativa:
       1002 = 10.000 (< 45652)
       2002 = 40.000 (< 45652)
       2102 = 44.100 (< 45652)
       2202 = 48.400 (> 45652)

       Daí, a raiz quadrada de 45652 é um valor entre 210 e 220. Usaremos esses dois valores
para encontrarmos o coeficiente de correlação (r):

        Usando o valor de 210 como raiz quadrada de 45652, teremos:
             161
        r=               r = 0,766
             210

        Usando o valor de 220 como raiz quadrada de 45652, teremos:
             161
        r=               r = 0,73
             220

        A partir destes dois resultados, concluímos que o coeficiente de correlação linear está
     entre 0,73 e 0,766, e, portanto, a alternativa correta é a alternativa B.


20. Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ),
geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ...,
Xn):

a)   G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.
b)   G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais.
c)   X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.
d)   H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.
e)   X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.

Sol.:
       Esta foi a questão mais fácil da prova, pois bastava conhecer a propriedade conjunta das
médias aritmética, geométrica e harmônica para acertar a questão. Esta propriedade já havia
sido exigida recentemente na prova de Fiscal da Bahia, elaborada pela FCC, mas na ESAF nunca
havia sido cobrada. E eu sempre aviso em sala de aula, que não é importante saber as fórmulas
da média geométrica e harmônica, pois nunca foram objeto de prova, mas sim a propriedade
conjunta dessas médias.

        A propriedade de que lhes falo é a seguinte:

          Para um conjunto de valores positivos a média aritmética é maior ou igual a média
geométrica que por sua vez é maior ou igual a média harmônica. E a igualdade só ocorre se os n
valores forem todos iguais.

        Portanto, a alternativa correta é a D.


21. De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de
determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos
decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior
a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar por
treinamento específico para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários com
rendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS)
serão promovidos a líderes de equipe.
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                                        Indicador   Freqüência
                                          0 ‫2 -ו‬        10
                                          2 ‫6 -ו‬        20
                                          4 ‫6 -ו‬       240
                                          6 ‫8 -ו‬       410
                                         8 ‫01 -ו‬       120
                                          Total        800

Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de
Recursos Humanos.
a) LI = 4,0 e LS = 9,0
b) LI = 3,6 e LS = 9,4
c) LI = 3,0 e LS = 9,8
d) LI = 3,2 e LS = 9,4
e) LI = 3,4 e LS = 9,6

Sol.:
       Aqui ocorre mais um erro da ESAF, a 2ª classe da distribuição de freqüências é 2 ‫ 4 -ו‬e
não 2 ‫ 6 -ו‬como está escrito acima.

        Para encontrarmos a alternativa correta devemos obter a média e o desvio padrão da
distribuição. Usaremos a variável transformada na obtenção dessas duas medidas.

  Vamos ao cálculo da média aritmética X .

        A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula:

X =
      ∑fx   i i
                  ,
        n
onde:        os xi serão representados pelos pontos médios das classes (PMi).
             os fi são as freqüências absolutas simples das classes.
             n é o tamanho da amostra.

        Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos

  imediatamente passar aos passos do cálculo da Média.


1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi)

                                     Indicador     fi   xi (=PMi)
                                       0 ‫2 -ו‬     10         1
                                       2 ‫4 -ו‬     20         3
                                       4 ‫6 -ו‬    240         5
                                       6 ‫8 -ו‬    410         7
                                      8 ‫01 -ו‬    120         9
                                       Total     800

2) Construção da coluna da variável transformada Z.

        Como todas as classes possuem a mesma amplitude, então faremos o cálculo usual da
variável transformada, ou seja, a variável transformada Z é obtida pela subtração da variável X
por um ponto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da
classe.

       Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediárias
da distribuição, então escolheremos o ponto médio da terceira classe.




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                              Indicador               fi           xi              zi=xi-5
                                                                 (=PMi)                2
                                0 ‫2 -ו‬                10           1                  -2
                                2 ‫4 -ו‬                20           3                  -1
                                4 ‫6 -ו‬               240           5                  0
                                6 ‫8 -ו‬               410           7                  1
                                8 ‫01 -ו‬              120           9                  2
                                 Total               800

3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z .


                          Indicador             fi           xi               zi=xi-5        fi.zi
                                                           (=PMi)                 2
                            0 ‫2 -ו‬              10           1                   -2          -20
                            2 ‫4 -ו‬              20           3                   -1          -20
                            4 ‫6 -ו‬             240           5                   0            0
                            6 ‫8 -ו‬             410           7                   1           410
                            8 ‫01 -ו‬            120           9                   2           240
                             Total             800                                           610



4) Efetuaremos o cálculo do Z :


                           Z=
                                ∑ f .z i   i
                                                       Z=
                                                                  610
                                                                                       Z = 0,7625
                                   n                              800
5) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , obteremos o X .
    A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte:
                                         Z=X–5
                                                2
    A relação entre as médias de Z e X é facilmente obtida, simplesmente substituindo-se X
por X e Z por Z , devido às propriedades da média aritmética. Teremos:

                                                     Z = X –5
                                                                          2
    Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z =0,7625, teremos:

                   X = 2. Z + 5                  X = 2 . 0,7625 + 5                                  X = 6,525


     Acabamos de encontrar a média aritmética X ! Esta medida deve ser o ponto médio do
intervalo de limite inferior LI e limite superior LS. Por esse motivo, as alternativas C e D já
podem ser descartadas.


Passaremos ao cálculo do desvio padrão da distribuição.


    O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Portanto, primeiramente procederemos
ao cálculo da variância. Pelo enunciado da questão notamos que a distribuição não é uma
amostra e, portanto, usaremos a fórmula da variância populacional:

                                        ⎡                                   (∑ f         )
                                                                                     ⋅ xi ⎤
                                                                                         2

                                                     ∑f
                                      1
                                  Vx = ⎢                       ⋅ xi       −                ⎥
                                                                      2            i

                                      n⎢                                                   ⎥
                                                           i
                                                                                   n
                                        ⎣                                                  ⎦


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    Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformada
Z=(X-5)/2 para facilitar os cálculos de obtenção da variância. Ou seja, primeiramente
encontraremos a variância de Z para depois obtermos a variância de X. Aproveitaremos a
tabela feita no 3º passo do cálculo da média, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida
pelo produto das colunas zi e fizi.


                        Indicador      fi     xi      zi=xi-5     fi.zi   fi.zi2
                                            (=PMi)        2
                         0 ‫2 -ו‬      10       1          -2       -20      40
                         2 ‫4 -ו‬      20       3          -1       -20      20
                         4 ‫6 -ו‬     240       5          0         0       0
                         6 ‫8 -ו‬     410       7          1        410     410
                         8 ‫01 -ו‬    120       9          2        240     480
                          Total     800                           610     950


    Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ):

              1 ⎡       (610)2 ⎤                1 ⎡      3721 ⎤                     1
                                                                                       [950 − 465,125]
      VZ =       ⎢950 −        ⎥        VZ =       ⎢950 − 8 ⎥             VZ =
             800 ⎢
                 ⎣       800 ⎥ ⎦               800 ⎣          ⎦                    800


             484,75
      VZ =
              800


    A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte:
                                           Z=X–5
                                                 2
     Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se altera
ao somarmos (ou subtrairmos) uma constante. E pela propriedade do produto e divisão,
temos que ao multiplicarmos (ou dividirmos) uma distribuição por uma constante, a variância
ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da constante. Daí, a relação entre as
variâncias de X e de Z é a seguinte:
                                               VZ = VX
                                                    (2)2
    Segue-se que: VX = 4.VZ
                                       484,75   484,75
    O valor de VX é igual a: VX = 4.          =        = 2,42
                                        800      200


    O desvio padrão de X é igual a raiz quadrada de 2,42. O valor desta raiz está entre 1,5 e
1,6, assim consideraremos que o desvio padrão é aproximadamente 1,55.


    O limite superior, de acordo com o enunciado da questão, é:

                                            LS = X + 2.dp
    Substituindo os resultados que encontramos, teremos:

                          LS = X + 2.dp = 6,525 + 2 . 1,55 = 9,625


    O limite inferior, de acordo com o enunciado da questão, é:

                                            LI = X - 2.dp
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         Substituindo os resultados que encontramos, teremos:

                                 LI = X - 2.dp = 6,525 - 2 . 1,55 = 3,425


      A alternativa que traz os valores corretos para os limites inferior e superior, com uma
  casa decimal, é a alternativa E!


22. Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de
pedidos para os produtos A e B:

                                Produto A    39    33    25          30    41    36   37
                                Produto B    50    52    47          49    54    40   43

Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos:
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%

Sol.:
       O coeficiente de variação é obtido pela divisão do desvio padrão pela média aritmética,
ou seja:
                                                             dp
                                                   CV =
                                                             X
       Essa é a terceira questão da prova em que precisamos efetuar o cálculo da média e do
desvio padrão.

  Cálculo do CV do produto A.

1) Cálculo da média dos pedidos do produto A.

                                      39    33    25    30       41       36    37

        Usaremos a fórmula da média para um conjunto de valores:

                                                   X=
                                                        ∑x       i

                                                             n

                     39 + 33 + 25 + 30 + 41 + 36 + 37
        Daí, X A =                                    = 34,4
                                    7

2) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto A.

       Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para
encontrarmos o desvio padrão.
       Subtrairemos os valores do produto A por uma constante, isso não afetará o valor da
variância e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para ser
essa constante. Veja abaixo os valores do produto A em ordem crescente.

                                      25    30    33    36       37       39    41

        Subtraindo todos os valores pela constante 33, obteremos:
                                     -8 -3 0 3 4 6 8

      De acordo com o enunciado, não há dúvidas de que os dados apresentados são de uma
amostra, e, portanto, usaremos a fórmula da variância amostral:


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                                               Vx =
                                                      1 ⎡
                                                         ⎢ ∑ xi −
                                                               2  (∑ xi )2 ⎤
                                                                           ⎥
                                                    n −1 ⎢          n ⎥
                                                         ⎣                 ⎦
                Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios:      ∑x i   e

∑x  i
        2
            .

                                                          Xi     Xi2
                                                          -8     64
                                                          -3     9
                                                           0      0
                                                           3      9
                                                           4     16
                                                           6     36
                                                           8     64
                                                          10    198


                Daí: Vx =
                             1⎡
                               198 −
                                     (10)2 ⎤ = 30,61
                              ⎢            ⎥
                             6⎣        7 ⎦

                O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente
5,53.

3) Cálculo do CVA
                                             dp A
                O CVA é dado por: CV A =
                                             XA

                                                                                       5,53
                Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: CV A =
                                                                                       34,4
                Resolvendo, vem: CV A = 0,161 = 16,1%


  Cálculo do CV do produto B.

1) Cálculo da média dos pedidos do produto B.

                                              50    52   47    49   54   40   43

                             50 + 52 + 47 + 49 + 54 + 40 + 43
                Daí, X B =                                    = 47,9
                                            7

2) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto B.

       Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para
encontrarmos o desvio padrão.
       Subtrairemos os valores do produto B por uma constante, isso não afetará o valor da
variância e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para ser
essa constante. Veja abaixo os valores do produto B em ordem crescente.

                                              40    43   47    49   50   52   54

                Subtraindo todos os valores pela constante 47, obteremos:
                                             -7 -4 0 2 3 5 7

                Usaremos novamente a fórmula da variância amostral:

                                         www.pontodosconcursos.com.br                                 27
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                                            Vx =
                                                   1 ⎡
                                                      ⎢ ∑ xi −
                                                            2  (∑ xi )2 ⎤
                                                                        ⎥
                                                 n −1 ⎢          n ⎥
                                                      ⎣                 ⎦
                Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios:         ∑x
                                                                                                   i   e

∑x  i
        2
            .

                                                      Xi    Xi2
                                                      -7    49
                                                      -4    16
                                                       0     0
                                                       2     4
                                                       3     9
                                                       5    25
                                                       7    49
                                                      6    152


                Daí: Vx =
                            1⎡
                              152 −
                                    (6)2 ⎤ = 24,5
                             ⎢           ⎥
                            6⎣       7 ⎦

                O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente
4,95.

3) Cálculo do CVB

                                          dp B
                O CVB é dado por: CVB =
                                          XB

                                                                                      4,95
                Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: CVB =
                                                                                      47,9
                Resolvendo, vem: CVB = 0,103 = 10,3%


                Resultados: O CVA = 16,1% e o CVB = 10,3%            Resposta: alternativa B!




       As resoluções destas últimas questões, referentes à prova do AFRF 2005, foram
elaboradas conjuntamente por mim e pelo prof. Weber Campos, com quem divido a parceria em
diversos Cursos Online e, agora também, no livro de Matemática Financeira.
      Como vocês puderam constatar, tratou-se de uma prova muitíssimo trabalhosa e, em
minha opinião, covarde. Sim! Covarde por quê? Porque não possibilitava o aluno resolvê-la no
tempo hábil.
                É isso! Com estas questões de hoje, nós encerramos os trabalhos do nosso Curso!
       Não tenho outras palavras a lhes dirigir, senão de um profundo agradecimento – e de
desculpas pelas várias falhas cometidas! O intuito foi sempre o de acertar!
       Espero, sinceramente, ter contribuído no seu processo de aprendizagem da Estatística
Básica! E que esse conhecimento seja revertido em sucesso absoluto nos próximos concursos!
                Nos veremos ainda nos próximos dias, nas perguntas do Fórum. Ok?
                Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!




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  • 1. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO AULA 14 – RESOLUÇÕES FINAIS DA LISTA DE QUESTÕES Olá, amigos! Espero que estejam todos bem! Apresento-lhes, hoje, as vinte e duas últimas resoluções da lista original do nosso Curso! Com elas, concluímos o nosso trabalho no tocante às aulas. E no tocante ao Fórum, vou tentar responder as perguntas pendentes durante os dias seguintes. Vou pedir à LuBSB que mantenha o fórum no ar. Passemos às resoluções! Vamos a elas. ÚLTIMAS QUESTÕES PENDENTES DE RESOLUÇÃO 01.(Analista fin. e controle GDF 94 CESPE) Um órgão financiador de projetos recebeu nos últimos doze meses as seguintes quantidades mensais de propostas de projetos: 22, 10, 8, 16, 20, 26, 30, 40, 42, 36, 28, 24. Assinale a alternativa que representa o 1º quartil deste conjunto. a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 Sol.: A primeira coisa a ser feita nesta resolução é colocar os dados brutos apresentados no enunciado numa forma de rol. Ou seja, colocá-los em ordem crescente! Teremos: 8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42 Feito isso, aprendemaos que para encontrar algum Quartil em um rol, antes temos que descobrir quem é a Mediana do conjunto! Uma vez descoberta a Mediana, dividiremos o conjunto original em duas partes: a parte dos elementos à esquerda da Mediana, e a parte dos elementos à direita da Mediana. Até aqui, tudo bem? Vamos fazer isso! Teremos: 8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42 Md=(24+26)/2 Md=25 Quais foram os dois subconjuntos que ficaram à esquerda e à direita da mediana? Vejamos: {8, 10, 16, 20, 22, 24} e {26, 28, 30, 36, 40, 42} Pois bem! Agora é o seguinte: o primeiro quartil Q1 será a Mediana do conjunto da esquerda, enquanto o terceiro quartil Q3 será a Mediana do conjunto da direita! Só isso! Como a questão quer saber o primeiro quartil, teremos: {8, 10, 16, 20, 22, 24} Md=(16+20)/2 Md=18 Q1=18 Resposta! (AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatística abaixo: 2 5 7 13 3 6 9 13 3 6 11 13 4 6 11 13 4 7 12 15 www.pontodosconcursos.com.br 1
  • 2. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 02.Os valores do 1º e do 3º quartil da série são, respectivamente: a) 2 e 15 b) 5 e 12 c) 4 e 13 d) 4 e 12 e) 6 e 13 Sol.: Vamos seguir o mesmíssimo raciocínio da questão anterior! Aqui, os elementos já estão em rol. Assim, descobriremos, por primeiro, quem é a Mediana do conjunto! Teremos: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Md=7 Assim, excluindo a Mediana do conjunto, geraremos dois subconjuntos, que são os seguintes: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Daí, o primeiro e o terceiro quartil serão os seguintes: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Q1=4 Q3=13 Daí: Q1=4 e Q3=13 Resposta! 03.Considere a seguinte distribuição de freqüências: classes fi 0 |— 5 20 5 |— 10 20 10 |— 15 40 15 |— 20 10 20 |— 25 10 Total A moda da distribuição é: a) 12,5; dada a simetria da distribuição. d) igual à menor freqüência simples. b) Inferior à média aritmética e à mediana. e) igual à média aritmética. c) Superior à média aritmética e à mediana. Sol.: Vamos calcular as três medidas de posição para esta distribuição de freqüências. Comecemos pela Média. Teremos: classes fi PM (PM-2,5)/5=Yi fi.Yi 0 |— 5 20 2,5 0 0 5 |— 10 20 7,5 1 20 10 |— 15 40 12,5 2 80 15 |— 20 10 17,5 3 30 20 |— 25 10 22,5 4 40 Total n=100 170 170 Y= = 1,7 100 Nosso desenho de transformação da variável é o seguinte: 1º)-2,5 2º)÷5 Xi Yi Y = 1,7 2º)+2,5 1º)x5 www.pontodosconcursos.com.br 2
  • 3. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Daí: 1,7 x 5 = 8,5 e 8,5 + 2,5 = 11,0 Média! Calculemos a Mediana do conjunto! Teremos: (n/2)=50 classes fi fac 0 |— 5 20 20 20 é ≥ 50? Não! 5 |— 10 20 40 40 é ≥ 50? Não! 10 |— 15 40 80 80 é ≥ 50? Sim! 15 |— 20 10 90 20 |— 25 10 100 Total n=100 Faremos: 5 X Limites da Classe: 10 Md 15 fac associadas: 40 50 80 10 40 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 5 x 40 10 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(5x10)/40 X=1,25 Finalmente, teremos: Md=10+1,25 Md=11,25 Calculando agora a Moda do conjunto, teremos: classes fi 0 |— 5 20 5 |— 10 20 Δa=20 10 |— 15 40 Classe Modal! 15 |— 20 10 Δp=30 20 |— 25 10 Total n=100 www.pontodosconcursos.com.br 3
  • 4. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Aplicando a fórmula de Czuber, teremos: ⎡ Δa ⎤ Mo=linf+ ⎢ ⎥.h Mo=10+[20/(20+30)].5 Mo=12,0 ⎣ Δa + Δp ⎦ Reunindo os três resultados, teremos: Média=11,0 ; Mediana=11,25 e Moda=12,0 Logo: a Moda é superior à Média e à Mediana Resposta! 04.(IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100 Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil. a) 179,5 b) 189,5 c) 183,9 d) 184,5 e) 174,5 Sol.: Aprendemos que o procedimento usado para se calcular qualquer medida separatriz é o mesmo usado para o cálculo da Mediana, mudando apenas a fração inicial! Assim, para o oitavo decil, temos que a fração será: (8n/10). Sabendo que n=100 (a última fac!), então teremos: (8n/10)=80 Fazendo as perguntas de praxe, descobriremos qual é a classe do D8. Faremos: Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 4 é ≥ 80? Não! 139,5-149,5 12 12 é ≥ 80? Não! 149,5-159,5 26 26 é ≥ 80? Não! 159,5-169,5 46 46 é ≥ 80? Não! 169,5-179,5 72 72 é ≥ 80? Não! 179,5-189,5 90 90 é ≥ 80? Sim! 189,5-199,5 100 Fazendo agora aquele mesmo desenho que aprendemos para a Mediana, só que agora trabalhando com a classe do oitavo decil, teremos o seguinte: www.pontodosconcursos.com.br 4
  • 5. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 10 X Limites da Classe: 179,5 D8 189,5 fac associadas: 72 80 90 8 18 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 18 8 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(8x10)/18 X=4,44 Finalmente, teremos: D8=179,5+4,44 D8=183,9 Resposta! 05.(Técnico de Planejamento e Pesquisa IPEA 2004 ESAF) Para uma amostra aleatória de determinado atributo encontrou-se a seguinte distribuição de freqüências. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências 2000 – 4000 18 4000 – 6000 45 6000 – 8000 102 8000 – 10000 143 10000 – 12000 32 12000 – 14000 60 Assinale a opção que corresponde à melhor aproximação do nonagésimo quinto percentil. a) 13.000 d) 12.667 b) 12.585 e) 13.900 c) 13.333 Sol.: Agora não tem mais segredo!! Qual é a fração do P95? É a seguinte: (95n/100). Vamos descobrir o valor do n? Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 5
  • 6. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Classes fi 2000 – 4000 18 4000 – 6000 45 6000 – 8000 102 8000 – 10000 143 10000 – 12000 32 12000 – 14000 60 n=400 Assim, teremos que: (95n/100)=380 Faremos, construiremos a coluna da fac e faremos as perguntas de praxe, a fim de descobrirmos a classe do P95. Teremos: Classes fi fac 2000 – 4000 18 18 18 é ≥ 380? Não! 4000 – 6000 45 63 63 é ≥ 380? Não! 6000 – 8000 102 165 165 é ≥ 380? Não! 8000 – 10000 143 308 308 é ≥ 380? Não! 10000 – 12000 32 340 340 é ≥ 380? Não! 12000 – 14000 60 400 400 é ≥ 380? Sim! n=400 Fazendo agora o desenho, teremos: 2000 X Limites da Classe: 12000 P95 14000 fac associadas: 340 380 400 40 60 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 2000 x 60 40 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(2000x40)/60 X=1.333,33 Finalmente, teremos: P95=12.000+1.333,33 P95=13.333,33 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 6
  • 7. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 06.(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados. a) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 Sol.: A questão envolve uma transformação da variável. O que faremos? Claro! Faremos o desenho de transformação! Que é o seguinte: 1º)-14 2º)÷4 Xi Zi Sz=1,10 2º)+14 1º)x4 Vejam que já está do lado da variável transformada Z a informação adicional do enunciado, qual seja, que o desvio padrão de Z é Sz=1,10. Agora, a questão pergunta qual o desvio padrão de X. Ora, basta percorrermos o caminho de volta, lembrando-nos das propriedades do desvio padrão. Teremos: 1,10 x 4 = 4,40 A soma que se segue, no caminho de volta, não será efetuada, uma vez que Desvio Padrão não sofre influência nem de soma nem de subtração! Assim, passando direto pela soma, teremos, finalmente, que: Sx=4,40 Resposta! 07.(Analista CVM - 2000/ ESAF) Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este objetivo seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações amostrais constam da tabela seguinte: Valor (R$) Freqüência de Março Freqüência de Abril 1.000,00 6 10 3.000,00 13 14 5.000,00 12 10 7.000,00 15 13 9.000,00 4 - 11.000,00 - 3 Assinale a opção que corresponde a amplitude do intervalo interquartílico, em reais, para o mês de março. a) 3.250,00 d) 6.000,00 b) 5.000,00 e) 2.000,00 c) 4.000,00 Sol.: O intervalo interquartílico, também chamada amplitude interquartílica, é uma medida de memorização muito fácil. Senão, vejamos. O que sugere o nome interquartílico? Sugere entre os quartis. Concordam? E quais são os quartis mais distantes entre si? São o primeiro e o terceiro: Q1 e Q3. Assim, a distância entre os quartis, ou a amplitude interquartílica, ou ainda o intervalo interquartílico nada mais é que: Q3-Q1. Só isso! www.pontodosconcursos.com.br 7
  • 8. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vamos começar nossa busca pelo primeiro quartil (Q1). Teremos: Valor (R$) fi 1.000,00 6 3.000,00 13 5.000,00 12 7.000,00 15 9.000,00 4 n=50 A fração do Q1 é (n/4), conforme sabemos. Neste caso, temos que (n/4)=12,5. Construindo a coluna da fac e fazendo as perguntas de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000,00 6 6 6 é ≥ 12,5? Não! 3.000,00 13 19 19 é ≥ 12,5? Sim! 5.000,00 12 31 7.000,00 15 46 9.000,00 4 50 n=50 Assim, achamos que Q1=3.000,00 Para o terceiro quartil, sabemos que a fração correspondente é (3n/4). Teremos, pois, que: (3n/4)=37,5. Usando a pergunta de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000,00 6 6 6 é ≥ 37,5? Não! 3.000,00 13 19 19 é ≥ 37,5? Não! 5.000,00 12 31 31 é ≥ 37,5? Não! 7.000,00 15 46 46 é ≥ 37,5? Sim! 9.000,00 4 50 n=50 Uma vez descobertos os valores de Q1 e de Q3, resta-nos aplicar a fórmula que corresponde ao conceito de intervalo interquartílico. Teremos que: Intervalo Interquartílico = Q3 – Q1 = 7000 – 3000 = 4.000, Resposta! 08.(AFPS-2002/ESAF) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ3 . Assinale a opção correta. a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média. b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média. d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações. e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média. Sol.: O enunciado nos pede, simplesmente, o conceito do terceiro momento central, o que é sinônimo de terceiro momento centrado na média. Ora, para acertar esta questão só é preciso conhecer a fórmula dos momentos! Aprendemos isso em uma de nossas aulas! ∑ (Xi − X ) 3 Teremos que o terceiro momento é dado por: m3 = n Traduzindo: a média dos cubos dos desvios em relação à média Letra E Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 8
  • 9. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 09.(TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram os seguintes sumários: média aritmética = $1,20 , mediana = $0,53 e moda = $0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: a) A distribuição é assimétrica à direita. b) A distribuição é assimétrica à esquerda. c) A distribuição é simétrica. d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor medida de tendência central. e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. Sol.: Uma questão muito fácil e recorrente! Aqui, precisaríamos lembrar a relação entre as medidas de tendência central – média, moda e mediana – e a situação de assimetria de um conjunto! A melhor forma de memorizar esta teoria é por meio do desenho das curvas assimétricas, vistas por nós em aula pretérita do nosso Curso. São as seguintes: Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva): Moda < Mediana < Média Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa): Média < Mediana < Moda Distribuição Simétrica: Média=Mediana=Moda www.pontodosconcursos.com.br 9
  • 10. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Uma vez que os dados da questão nos revelam que a Média é maior que a Mediana, e esta é maior que a Moda, estamos, indubitavelmente, diante de uma distribuição assimétrica à direita (ou de assimetria positiva)! Logo: Letra A Resposta! 10.(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Pode-se afirmar que: a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva c) a distribuição amostral dos preços é simétrica d) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com assimetria negativa e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços Sol.: Ora, estamos diante de um rol. Só precisamos conhecer o valor de duas medidas de tendência central, e já teremos condições de afirmar qual a situação de assimetria deste conjunto. No caso, mais rápido é descobrir quem são a Mediana e a Moda. A Mediana, inclusive, já havia sido objeto de uma questão anterior desta prova! Questão esta já resolvida por nós neste Curso! Mas façamos de novo, para não perder a viagem. Temos que n=50 elementos. Logo, há duas posições centrais: 1ª) n/2=25ª e 2ª) a vizinha posterior: 26ª Os elementos que ocupam estas duas posicoes centrais são: 9 e 9. Assim, fazendo a média desses dois valores (o que não é, absolutamente, necessário!!), teremos: Md=9,0. Agora, para saber a Moda do conjunto, basta ver qual foi o elemento que mais apareceu! Qual foi? Foi o elemento 8. Logo: Mo=8,0. Assim, tendo que a mediana é maior que a moda, já sabemos que o conjunto é assimétrico à direita, ou de assimetria positiva. (Vide desenho da curva de freqüência da questão anterior!). Logo: Letra B Resposta! 11.(AFTN-98) Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual específica que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a tarefa. Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da distribuição amostral de tais observações. a) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica e com duas modas nos extremos. b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino. c) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular. d) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda. e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular. Sol.: Essa questão foi a mais atípica já elaborada pela Esaf (ou por qualquer outra mesa)! Eu diria que foi uma grande viagem do elaborador... Saibam que esta questão foi causa de muita polêmica, e que nunca mais, depois de 1998 (e nem antes!), se viu algo parecido em prova. www.pontodosconcursos.com.br 10
  • 11. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Dêem uma olhadinha de novo na curva assimétrica à esquerda: Agora imagine que a linha horizontal é a linha do tempo, e que a linha vertical é a produtividade que uma pessoa atinge, numa tarefa manual específica que exige alguma habilidade. Vamos soltar a imaginação! (Isso é muito necessário, diante de uma questão como esta!). Imagine que a atividade é fazer crochê. Você já deu uns pontos de crochê na vida? Possivelmente não! Nem eu! Pois bem! Imagine que há um grupo de pessoas que nunca fez crochê na vida, e que essas pessoas recebem um curso relâmpago de cinco minutos. E cada uma começa o seu trabalho manual. Ora, diante desta situação, vocês imaginam que a maior parte destas pessoas vai levar pouco tempo ou vai levar muito tempo para desenvolver um pouco mais a habilidade e, assim, alcançar uma produtividade melhor? Obviamente que levará muito tempo. É o que está retratado na curva acima – a assimétrica à esquerda. Vejamos: Esta área marcada em vermelho é a maior sob a curva, e representa a maior parte das pessoas daquele grupo, as quais irão gastar mais tempo (vejam que a área está à direita do eixo horizontal) para atingir uma produtividade maior (maior altura da curva). Bem! Essa, pelo menos, foi a minha maneira de interpretar a questão. Muita gente boa não conseguiu acertar. E soube até de professores com PhD que tentaram anular esta questão, e não conseguiram! Eu costumo dizer a meus alunos presencias que esta não é uma questão para se preocupar. Por quê? Pela sua atipicidade! Cai uma vez em mil anos. Ok? Sigamos adiante! www.pontodosconcursos.com.br 11
  • 12. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 12.(AFTN-94) Assinale a alternativa correta: Sol.: Vou comentar item por item. a) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável aleatória. As medidas estatísticas que se confundem com fórmulas de Assimetria são a Média Aritmética (que é igual ao primeiro momento simples) e a Variância (que é igual ao segundo momento centrado na média aritmética). O item está, portanto, errado! . b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de freqüência. A média aritmética depende da variação da variável. Ou seja, se alguém modificar o valor de um só elemento do conjunto, o valor da média já terá sido também alterado! Errado o item. c) Em qualquer distribuição de freqüência, a média aritmética é mais representativa do que a média harmônica. Em algumas situações muito específicas, a média harmônica é, em tese, mais representativa que a média aritmética. O item está errado! d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é nula. Errado! A soma dos quadrados é um valor mínimo! e) A moda, a mediana e a média aritmética são medidas de posição com valores expressos em reais que pertencem ao domínio da variável a que se referem. Correto! Traduzindo o que diz este item: os valores da média, moda e mediana estarão sempre variando entre o menor e o maior elemento do conjunto! Só isso! 13.(AFTN-94) Indique a opção correta: Sol.: De novo, comentarei cada item. a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que o coeficiente de curtose. Não existe nenhuma relação entre as medidas de assimetria e de curtose! Item incorreto! b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no intervalo [-3, 3]. Esta limitação inexiste. Item elaborado para pegar franco-atiradores! Errado! c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o quadrado da variância da distribuição. Outro absurdo! O que ele sugere é que C=3.(S2)2. Sabemos que, na verdade: C=m4/S4. d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão. Correto! Esta é a interpretação da fórmula do índice momento de curtose! E se for maior que 3, será leptocúrtica, e se for menor que 3 será platicúrtica! e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. Já foi dito na questão anterior: inexiste relação entre assimetria e curtose! 14.(AFTN-98) Assinale a opção correta. a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. A soma dos desvios em relação à média jamais poderá ser negativa! Diz a propriedade da média que esta soma será sempre igual a zero! Item incorreto! www.pontodosconcursos.com.br 12
  • 13. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observações amostrais são medidas. O Coeficiente de Variação, CV, é adimensional. Ou seja, independe da unidade da variável. Item errado! c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. É a opção correta! O texto deste item é péssimo! Leva-se muito tempo até se atingir a compreensão perfeita do que é dito aqui. O item sugere uma transformação da variável, em que as operações de transformação são as seguintes: 1ª) Subtrair da média; 2ª) Dividir pelo desvio padrão. O desenho de transformação é o seguinte: 1º)- X 2º)÷Sx Xi Yi Assim, se partirmos do lado da variável X com a média X , qual será a média a qual chegaremos na variável Y? Teremos: X − X =0 0 ÷ Sx = 0 Ou seja, teremos que Y =0. Qual seria, então, o valor do coeficiente de variação de Y? Temos que: CVy=Sy/ Y Ora, já sabemos que o denominador é nulo. Logo, o CVy não está definido! É isso que está sendo dito neste item, que está, pois, correto! d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões. Há dois erros neste texto. 1º) a propriedade visual do desvio padrão (de que trata este item) não se aplica para qualquer distribuição. 2º) a referida propriedade trata apenas de uma aproximação, e não de exatidão! e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose excessiva. Mesocúrtica é a situação intermediária de curtose. Quem apresenta cauda pesada e curtose excessiva é a curva platicúrtica! 15.(AFPS-2002/ESAF) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências 4-9 5 9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4 39-44 3 44-49 2 www.pontodosconcursos.com.br 13
  • 14. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio padrão. a) -0,600 c) 0,709 e) -0,610 b) 0,191 d) 0,603 Sol.: Precisaríamos aqui identificar qual foi a fórmula pedida pelo enunciado, para o cálculo da Assimetria! Ora, o enunciado até que foi muito claro: tem que ser aquela fórmula na qual constarão a Média, a Mediana e o Desvio-Padrão. Trata-se, obviamente, do 2º Coeficiente de Assimetria de Pearson, dado pelo seguinte: A= ( 3 X − Md ) S Temos que o enunciado já nos forneceu o valor do denominador (S=10). Resta-nos, pois, calcular duas medidas: a Média e a Mediana! Comecemos pela Média: Classes fi PM (PM − 6,5) = Yi fi.Yi 5 4-9 5 6,5 0 0 9-14 9 11,5 1 9 14-19 10 16,5 2 20 19-24 15 21,5 3 45 24-29 12 26,5 4 48 29-34 6 31,5 5 30 34-39 4 36,5 6 24 39-44 3 41,5 7 21 44-49 2 46,5 8 16 ∑=213 Calculando a Média da variável transformada Y , teremos: 213 Y= = 3,227 66 Daí, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos: 3,227 x 5 = 16,14 16,14 + 6,5 = 22,64 Daí: Média = 22,64 Passando ao cálculo da Mediana, faremos: (n/2)=33. Construiremos a coluna da fac, e compararemos seus valores com o resultado da fração (33). Teremos: Classes Fi Fac 4-9 5 5 5 é maior ou igual a 33? NÃO! 9-14 9 14 14 é maior ou igual a 33? NÃO! 14-19 10 24 24 é maior ou igual a 33? NÃO! 19-24 15 39 39 é maior ou igual a 33? SIM! 24-29 12 51 29-34 6 57 34-39 4 61 39-44 3 64 44-49 2 66 www.pontodosconcursos.com.br 14
  • 15. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Daí, faremos o desenho que nos ajuda a formar a regra de três, para descobrirmos o valor da Mediana. Teremos: 5 (=24-19) X 19 Md 24 24 33 39 9 15 (=39-24) Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 5 X = 15 9 Daí: X=(5x9)/15 X=45/15 X=3,00 Daí: Md=22,00 Agora, aplicando a equação da Assimetria, teremos: 3(22,64 − 22,00 ) A= A=0,191 Resposta! 10 AFRF 2005 – ESTATÍSTICA BÁSICA 16. Para dados agrupados representados por uma curva de freqüências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica. a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana. c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda. d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média. Sol.: A ESAF cometeu dois enganos nesta questão: 1º) A questão é de Assimetria e este assunto não está mais presente no edital do concurso de AFRF, e 2º) há duas alternativas corretas na questão. Vamos à solução! Numa distribuição assimétrica negativa temos a seguinte relação entre as medidas da média ( X ), mediana (Md) e moda (Mo). X < Md < Mo Verificando as alternativas B e C, concluímos que ambas estão corretas! www.pontodosconcursos.com.br 15
  • 16. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 17. Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participação no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores com idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuição: Idade (X) Freqüência Porcentagem 18 ‫52 -ו‬ 20 40 25 ‫03 -ו‬ 15 30 30 ‫53 -ו‬ 10 20 35 ‫04 -ו‬ 5 10 Total 50 100 Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte critério de decisão: 2σ x se a diferença X - 25 for maior que o valor , n então a campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado. 2σ x a) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que =1,53. n 2σ x b) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que =1,64. n 2σ x c) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que =1,41. n 2σ x d) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que =1,53. n 2σ x e) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,5 é maior que =1,41. n Sol.: Para saber se a campanha surtiu efeito devemos efetuar o cálculo de duas medidas: X e σ x . Mas o que significam os símbolos X e σ x ? A ESAF esqueceu de defini-los. O símbolo X já é bem conhecido nosso, aparece em diversas provas e livros, ele significa a média aritmética. Mas o símbolo σ x , que normalmente representa o desvio padrão populacional, não é tão conhecido e a ESAF tinha o dever de informar. Pela primeira vez a ESAF apresentou uma distribuição de freqüências em que as amplitudes das classes não são todas iguais. A primeira classe tem amplitude 7, enquanto as demais têm amplitude 5. Isso interfere um pouco na solução da questão, como mostraremos adiante. Vamos ao cálculo da média aritmética X . A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula: X = ∑fx i i , n onde: os xi são representados pelos pontos médios das classes (PMi). os fi são as freqüências absolutas simples das classes. n é o tamanho da amostra. www.pontodosconcursos.com.br 16
  • 17. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos imediatamente passar aos passos do cálculo da Média. 1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi) Idade (X) fi xi (=PMi) 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 Total 50 2) Neste passo, poderíamos aplicar a fórmula da média aritmética, porém a construção da coluna fi.xi exige multiplicações um pouco trabalhosas, assim usaremos a variável transformada para facilitar esses cálculos. Além do mais, essa variável transformada vai simplificar bastante o cálculo do desvio padrão. A obtenção da variável transformada normalmente é feita pela subtração da variável X por um ponto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da classe. Porém nesta questão nem todas as classes tem a mesma amplitude. Então faremos somente a subtração por um ponto médio da distribuição. Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediárias da distribuição, então escolheremos o ponto médio da segunda classe, e chamaremos a variável transformada de Z. A coluna zi será construída abaixo. Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 -6 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 0 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 5 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 10 Total 50 3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z . Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 fi.zi 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 -6 -120 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 0 0 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 5 50 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 10 50 Total 50 -20 4) Efetuaremos o cálculo do Z : ⎛ Z =⎜ ∑ f .zi i ⎞ ⎟ Z= − 20 Z =-0,4 ⎜ n ⎟ 50 ⎝ ⎠ 5) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , podemos obter X . A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte: Z = X – 27,5 www.pontodosconcursos.com.br 17
  • 18. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO A relação entre as médias de Z e X é obtida, simplesmente, substituindo-se X por X e Z por Z , devido às propriedades da média aritmética. Teremos: Z = X – 27,5 Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z = - 0,4, teremos: X = Z + 27,5 X = -0,4 + 27,5 X = 27,1 Já obtivemos a média aritmética X ! Para sabermos qual é a alternativa correta, temos que calcular a diferença: ( X – 25). Essa diferença é igual a: ( X – 25) = (27,1 – 25) = 2,1 Com este resultado, somente as alternativas A e C podem estar corretas. Para descobrir a única alternativa correta teremos que proceder ao cálculo do desvio-padrão da variável X. Vamos ao cálculo do desvio padrão populacional ( σ x ). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Desta forma, procederemos primeiramente ao cálculo da variância. ⎡ (∑ f ) ⋅ xi ⎤ 2 ∑f 1 Fórmula da variância populacional: Vx = ⎢ ⋅ xi − ⎥ 2 i n⎢ ⎥ i n ⎣ ⎦ Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformada Z=X-27,5 para facilitar os cálculos da variância. Ou seja, primeiramente encontraremos a variância de Z para depois obtermos a variância de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3º passo do cálculo da média, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto das colunas zi e fizi. Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 fi.zi fi.zi2 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 -6 -120 720 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 0 0 0 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 5 50 250 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 10 50 500 Total 50 -20 1470 Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ): ⎡ (∑ f ⋅ zi ⎤ 2 ) 1 ⎡ (− 20)2 ⎤ [1462] ∑ 1 1 VZ = ⎢ f i ⋅ zi − ⎥ 1470 − 2 i VZ = ⎢ ⎥ VZ = n⎢ n ⎥ 50 ⎢ ⎣ 50 ⎥ ⎦ 50 ⎣ ⎦ VZ = 29,24 www.pontodosconcursos.com.br 18
  • 19. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte: Z = X – 27,5 Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se altera ao somarmos ou subtrairmos uma constante, daí a variância de X é igual a variância de Z: VX = 29,24 Ao invés de calcularmos o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância, é melhor elevarmos ao quadrado a seguinte expressão dada no enunciado: 2σ x n Elevando ao quadrado, teremos: 2 ⎛ 2σ x ⎞ 4σ x 2 ⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ ⎝ n ⎠ n O termo σ x que aparece no numerador é a própria variância, da qual já sabemos quanto 2 é seu valor. Assim, teremos: 2 ⎛ 2σ x ⎞ 4σ x 2 4 ⋅ 29,24 ⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ = = 2,34 ⎝ n ⎠ n 50 Já sabemos que as possíveis alternativas corretas são a A e a C. A alternativa A afirma 2σ x que =1,53. Para que esta alternativa seja a correta é necessário que o quadrado de 1,53 n seja igual a 2,34. Vamos testar! (1,53)2 = 2,34 Teste positivo! Então a alternativa correta é a alternativa A! 18. Considerando-se os dados sobre os preços e as quantidades vendidas de dois produtos em dois anos consecutivos, assinale a opção correta. Produto I Produto II Ano P11 Q11 P21 Q21 1 40 6 40 2 2 60 2 20 6 a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 50%. b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 para o preço relativo do produto 1 e 240 para o preço relativo do produto 2. c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 75%. d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para o preço relativo do produto 1 e 80 para o preço relativo do produto 2. www.pontodosconcursos.com.br 19
  • 20. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 25%. Sol.: Esta é um questão de Números Índices que envolve o cálculo dos índices de Laspeyres e Paasche de preço. Frequentemente a ESAF coloca o cálculo desses índices em suas provas, então esta questão não deve ter sido surpresa para os candidatos. As fórmulas de Laspeyres e Paasche de preço têm a mesma forma, mudando somente os subscritos das quantidades dos produtos. O índice de Laspeyres é conhecido como método da época base, portanto consideraremos as quantidades da época base. O índice de Paasche é conhecido como método da época atual, portanto consideraremos as quantidades da época atual. A época base é o ano 1 e a época atual é o ano 2, pois os índices indicados nas alternativas da questão mostram a evolução de preços do ano 1 para o ano 2. Fórmula de Laspeyres de preço: La = ∑( p 2 ⋅ q1 ) ∑( p 1 ⋅ q1 ) Fórmula de Paasche de preço: Pa = ∑( p 2 ⋅ q2 ) ∑( p 1 ⋅ q2 ) Cálculo do Laspeyres de preço: preço de I no ano 2 × qde de I no ano 1 + preço de II no ano 2 × qde de II no ano 1 La= preço de I no ano 1 × qde de I no ano 1 + preço de. II no ano 1 × qde de II no ano 1 Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Laspeyres, obteremos: 60 × 6 + 20 × 2 6×6 + 2× 2 40 5 La = = = = = 1,25 = 125% 40 × 6 + 40 × 2 4×6 + 4× 2 32 4 Este resultado indica que houve um aumento de preços de 25% (=125%-100%). Cálculo do Paasche de preço: preço de. I no ano 2 × qde de I no ano 2 + preço de II no ano 2 × qde de II no ano 2 Pa= preço de I no ano 1 × qde de I no ano 2 + preço de. II no ano 1 × qde de II no ano 2 Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Paasche, obteremos: 60 × 2 + 20 × 6 6× 2 + 2×6 24 3 Pa = = = = = 0,75 = 75% 40 × 2 + 40 × 6 4× 2 + 4×6 32 4 Este resultado indica que houve uma variação de preços de -25% (=75%-100%), ou seja, uma redução de 25%. De acordo com estes resultados dos índices de Laspeyres e Paasche a alternativa correta é a alternativa E. www.pontodosconcursos.com.br 20
  • 21. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 19. Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, registraram-se os seguintes salários mensais (em salários mínimos): Identificação do casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salário do marido (Y) 30 25 18 15 20 20 21 20 25 27 Salário da esposa (X) 20 25 12 10 10 20 18 15 18 23 Sabe-se que: Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos homens e os salários das mulheres. a) 0,72 b) 0,75 c) 0,68 d) 0,81 e) 0,78 Sol.: Esta questão é uma simples aplicação da fórmula do Coeficiente de Correlação (r) que é dada por: (∑ X )(∑ Y ) ∑X Y − i i i i r= n (∑ X ) (∑ Y ) 2 2 ∑ X − n ⋅ ∑Y − n 2 i 2 i i i Substituindo os valores fornecidos na questão dentro da fórmula da correlação, teremos: 3940 − (171)(221) r= 10 3171 − (171) 2 ⋅ 5069 − (221)2 10 10 Resolvendo, vem: 37791 3940 − r= 10 29241 48841 3171 − ⋅ 5069 − 10 10 3940 − 3779,1 r= 3171 − 2924,1 ⋅ 5069 − 4884,1 160,9 r= 246,9 ⋅ 184,9 160,9 r= 246,9 ⋅ 184,9 www.pontodosconcursos.com.br 21
  • 22. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 161 r≅ 45652 Neste ponto, temos que calcular a raiz quadrada de 45652. Vamos achá-la na base da tentativa: 1002 = 10.000 (< 45652) 2002 = 40.000 (< 45652) 2102 = 44.100 (< 45652) 2202 = 48.400 (> 45652) Daí, a raiz quadrada de 45652 é um valor entre 210 e 220. Usaremos esses dois valores para encontrarmos o coeficiente de correlação (r): Usando o valor de 210 como raiz quadrada de 45652, teremos: 161 r= r = 0,766 210 Usando o valor de 220 como raiz quadrada de 45652, teremos: 161 r= r = 0,73 220 A partir destes dois resultados, concluímos que o coeficiente de correlação linear está entre 0,73 e 0,766, e, portanto, a alternativa correta é a alternativa B. 20. Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn): a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais. c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. Sol.: Esta foi a questão mais fácil da prova, pois bastava conhecer a propriedade conjunta das médias aritmética, geométrica e harmônica para acertar a questão. Esta propriedade já havia sido exigida recentemente na prova de Fiscal da Bahia, elaborada pela FCC, mas na ESAF nunca havia sido cobrada. E eu sempre aviso em sala de aula, que não é importante saber as fórmulas da média geométrica e harmônica, pois nunca foram objeto de prova, mas sim a propriedade conjunta dessas médias. A propriedade de que lhes falo é a seguinte: Para um conjunto de valores positivos a média aritmética é maior ou igual a média geométrica que por sua vez é maior ou igual a média harmônica. E a igualdade só ocorre se os n valores forem todos iguais. Portanto, a alternativa correta é a D. 21. De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar por treinamento específico para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe. www.pontodosconcursos.com.br 22
  • 23. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Indicador Freqüência 0 ‫2 -ו‬ 10 2 ‫6 -ו‬ 20 4 ‫6 -ו‬ 240 6 ‫8 -ו‬ 410 8 ‫01 -ו‬ 120 Total 800 Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos. a) LI = 4,0 e LS = 9,0 b) LI = 3,6 e LS = 9,4 c) LI = 3,0 e LS = 9,8 d) LI = 3,2 e LS = 9,4 e) LI = 3,4 e LS = 9,6 Sol.: Aqui ocorre mais um erro da ESAF, a 2ª classe da distribuição de freqüências é 2 ‫ 4 -ו‬e não 2 ‫ 6 -ו‬como está escrito acima. Para encontrarmos a alternativa correta devemos obter a média e o desvio padrão da distribuição. Usaremos a variável transformada na obtenção dessas duas medidas. Vamos ao cálculo da média aritmética X . A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula: X = ∑fx i i , n onde: os xi serão representados pelos pontos médios das classes (PMi). os fi são as freqüências absolutas simples das classes. n é o tamanho da amostra. Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos imediatamente passar aos passos do cálculo da Média. 1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi) Indicador fi xi (=PMi) 0 ‫2 -ו‬ 10 1 2 ‫4 -ו‬ 20 3 4 ‫6 -ו‬ 240 5 6 ‫8 -ו‬ 410 7 8 ‫01 -ו‬ 120 9 Total 800 2) Construção da coluna da variável transformada Z. Como todas as classes possuem a mesma amplitude, então faremos o cálculo usual da variável transformada, ou seja, a variável transformada Z é obtida pela subtração da variável X por um ponto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da classe. Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediárias da distribuição, então escolheremos o ponto médio da terceira classe. www.pontodosconcursos.com.br 23
  • 24. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Indicador fi xi zi=xi-5 (=PMi) 2 0 ‫2 -ו‬ 10 1 -2 2 ‫4 -ו‬ 20 3 -1 4 ‫6 -ו‬ 240 5 0 6 ‫8 -ו‬ 410 7 1 8 ‫01 -ו‬ 120 9 2 Total 800 3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z . Indicador fi xi zi=xi-5 fi.zi (=PMi) 2 0 ‫2 -ו‬ 10 1 -2 -20 2 ‫4 -ו‬ 20 3 -1 -20 4 ‫6 -ו‬ 240 5 0 0 6 ‫8 -ו‬ 410 7 1 410 8 ‫01 -ו‬ 120 9 2 240 Total 800 610 4) Efetuaremos o cálculo do Z : Z= ∑ f .z i i Z= 610 Z = 0,7625 n 800 5) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , obteremos o X . A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte: Z=X–5 2 A relação entre as médias de Z e X é facilmente obtida, simplesmente substituindo-se X por X e Z por Z , devido às propriedades da média aritmética. Teremos: Z = X –5 2 Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z =0,7625, teremos: X = 2. Z + 5 X = 2 . 0,7625 + 5 X = 6,525 Acabamos de encontrar a média aritmética X ! Esta medida deve ser o ponto médio do intervalo de limite inferior LI e limite superior LS. Por esse motivo, as alternativas C e D já podem ser descartadas. Passaremos ao cálculo do desvio padrão da distribuição. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Portanto, primeiramente procederemos ao cálculo da variância. Pelo enunciado da questão notamos que a distribuição não é uma amostra e, portanto, usaremos a fórmula da variância populacional: ⎡ (∑ f ) ⋅ xi ⎤ 2 ∑f 1 Vx = ⎢ ⋅ xi − ⎥ 2 i n⎢ ⎥ i n ⎣ ⎦ www.pontodosconcursos.com.br 24
  • 25. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformada Z=(X-5)/2 para facilitar os cálculos de obtenção da variância. Ou seja, primeiramente encontraremos a variância de Z para depois obtermos a variância de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3º passo do cálculo da média, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto das colunas zi e fizi. Indicador fi xi zi=xi-5 fi.zi fi.zi2 (=PMi) 2 0 ‫2 -ו‬ 10 1 -2 -20 40 2 ‫4 -ו‬ 20 3 -1 -20 20 4 ‫6 -ו‬ 240 5 0 0 0 6 ‫8 -ו‬ 410 7 1 410 410 8 ‫01 -ו‬ 120 9 2 240 480 Total 800 610 950 Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ): 1 ⎡ (610)2 ⎤ 1 ⎡ 3721 ⎤ 1 [950 − 465,125] VZ = ⎢950 − ⎥ VZ = ⎢950 − 8 ⎥ VZ = 800 ⎢ ⎣ 800 ⎥ ⎦ 800 ⎣ ⎦ 800 484,75 VZ = 800 A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte: Z=X–5 2 Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se altera ao somarmos (ou subtrairmos) uma constante. E pela propriedade do produto e divisão, temos que ao multiplicarmos (ou dividirmos) uma distribuição por uma constante, a variância ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da constante. Daí, a relação entre as variâncias de X e de Z é a seguinte: VZ = VX (2)2 Segue-se que: VX = 4.VZ 484,75 484,75 O valor de VX é igual a: VX = 4. = = 2,42 800 200 O desvio padrão de X é igual a raiz quadrada de 2,42. O valor desta raiz está entre 1,5 e 1,6, assim consideraremos que o desvio padrão é aproximadamente 1,55. O limite superior, de acordo com o enunciado da questão, é: LS = X + 2.dp Substituindo os resultados que encontramos, teremos: LS = X + 2.dp = 6,525 + 2 . 1,55 = 9,625 O limite inferior, de acordo com o enunciado da questão, é: LI = X - 2.dp www.pontodosconcursos.com.br 25
  • 26. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Substituindo os resultados que encontramos, teremos: LI = X - 2.dp = 6,525 - 2 . 1,55 = 3,425 A alternativa que traz os valores corretos para os limites inferior e superior, com uma casa decimal, é a alternativa E! 22. Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B: Produto A 39 33 25 30 41 36 37 Produto B 50 52 47 49 54 40 43 Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos: a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3% b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3% c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3% d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3% e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1% Sol.: O coeficiente de variação é obtido pela divisão do desvio padrão pela média aritmética, ou seja: dp CV = X Essa é a terceira questão da prova em que precisamos efetuar o cálculo da média e do desvio padrão. Cálculo do CV do produto A. 1) Cálculo da média dos pedidos do produto A. 39 33 25 30 41 36 37 Usaremos a fórmula da média para um conjunto de valores: X= ∑x i n 39 + 33 + 25 + 30 + 41 + 36 + 37 Daí, X A = = 34,4 7 2) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto A. Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para encontrarmos o desvio padrão. Subtrairemos os valores do produto A por uma constante, isso não afetará o valor da variância e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para ser essa constante. Veja abaixo os valores do produto A em ordem crescente. 25 30 33 36 37 39 41 Subtraindo todos os valores pela constante 33, obteremos: -8 -3 0 3 4 6 8 De acordo com o enunciado, não há dúvidas de que os dados apresentados são de uma amostra, e, portanto, usaremos a fórmula da variância amostral: www.pontodosconcursos.com.br 26
  • 27. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vx = 1 ⎡ ⎢ ∑ xi − 2 (∑ xi )2 ⎤ ⎥ n −1 ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios: ∑x i e ∑x i 2 . Xi Xi2 -8 64 -3 9 0 0 3 9 4 16 6 36 8 64 10 198 Daí: Vx = 1⎡ 198 − (10)2 ⎤ = 30,61 ⎢ ⎥ 6⎣ 7 ⎦ O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente 5,53. 3) Cálculo do CVA dp A O CVA é dado por: CV A = XA 5,53 Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: CV A = 34,4 Resolvendo, vem: CV A = 0,161 = 16,1% Cálculo do CV do produto B. 1) Cálculo da média dos pedidos do produto B. 50 52 47 49 54 40 43 50 + 52 + 47 + 49 + 54 + 40 + 43 Daí, X B = = 47,9 7 2) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto B. Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para encontrarmos o desvio padrão. Subtrairemos os valores do produto B por uma constante, isso não afetará o valor da variância e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para ser essa constante. Veja abaixo os valores do produto B em ordem crescente. 40 43 47 49 50 52 54 Subtraindo todos os valores pela constante 47, obteremos: -7 -4 0 2 3 5 7 Usaremos novamente a fórmula da variância amostral: www.pontodosconcursos.com.br 27
  • 28. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vx = 1 ⎡ ⎢ ∑ xi − 2 (∑ xi )2 ⎤ ⎥ n −1 ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios: ∑x i e ∑x i 2 . Xi Xi2 -7 49 -4 16 0 0 2 4 3 9 5 25 7 49 6 152 Daí: Vx = 1⎡ 152 − (6)2 ⎤ = 24,5 ⎢ ⎥ 6⎣ 7 ⎦ O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente 4,95. 3) Cálculo do CVB dp B O CVB é dado por: CVB = XB 4,95 Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: CVB = 47,9 Resolvendo, vem: CVB = 0,103 = 10,3% Resultados: O CVA = 16,1% e o CVB = 10,3% Resposta: alternativa B! As resoluções destas últimas questões, referentes à prova do AFRF 2005, foram elaboradas conjuntamente por mim e pelo prof. Weber Campos, com quem divido a parceria em diversos Cursos Online e, agora também, no livro de Matemática Financeira. Como vocês puderam constatar, tratou-se de uma prova muitíssimo trabalhosa e, em minha opinião, covarde. Sim! Covarde por quê? Porque não possibilitava o aluno resolvê-la no tempo hábil. É isso! Com estas questões de hoje, nós encerramos os trabalhos do nosso Curso! Não tenho outras palavras a lhes dirigir, senão de um profundo agradecimento – e de desculpas pelas várias falhas cometidas! O intuito foi sempre o de acertar! Espero, sinceramente, ter contribuído no seu processo de aprendizagem da Estatística Básica! E que esse conhecimento seja revertido em sucesso absoluto nos próximos concursos! Nos veremos ainda nos próximos dias, nas perguntas do Fórum. Ok? Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 28