Estatistica regular 14

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Estatistica regular 14

  1. 1. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO AULA 14 – RESOLUÇÕES FINAIS DA LISTA DE QUESTÕES Olá, amigos! Espero que estejam todos bem! Apresento-lhes, hoje, as vinte e duas últimas resoluções da lista original do nossoCurso! Com elas, concluímos o nosso trabalho no tocante às aulas. E no tocante ao Fórum, voutentar responder as perguntas pendentes durante os dias seguintes. Vou pedir à LuBSB que mantenha o fórum no ar. Passemos às resoluções! Vamos a elas. ÚLTIMAS QUESTÕES PENDENTES DE RESOLUÇÃO01.(Analista fin. e controle GDF 94 CESPE) Um órgão financiador de projetos recebeu nos últimos doze meses as seguintes quantidades mensais de propostas de projetos: 22, 10, 8, 16, 20, 26, 30, 40, 42, 36, 28, 24. Assinale a alternativa que representa o 1º quartil deste conjunto. a) 18 b) 20 c) 22 d) 24Sol.: A primeira coisa a ser feita nesta resolução é colocar os dados brutos apresentados noenunciado numa forma de rol. Ou seja, colocá-los em ordem crescente! Teremos: 8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42 Feito isso, aprendemaos que para encontrar algum Quartil em um rol, antes temos quedescobrir quem é a Mediana do conjunto! Uma vez descoberta a Mediana, dividiremos oconjunto original em duas partes: a parte dos elementos à esquerda da Mediana, e a parte doselementos à direita da Mediana. Até aqui, tudo bem? Vamos fazer isso! Teremos: 8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42 Md=(24+26)/2 Md=25 Quais foram os dois subconjuntos que ficaram à esquerda e à direita da mediana? Vejamos: {8, 10, 16, 20, 22, 24} e {26, 28, 30, 36, 40, 42} Pois bem! Agora é o seguinte: o primeiro quartil Q1 será a Mediana do conjunto daesquerda, enquanto o terceiro quartil Q3 será a Mediana do conjunto da direita! Só isso! Como a questão quer saber o primeiro quartil, teremos: {8, 10, 16, 20, 22, 24} Md=(16+20)/2 Md=18 Q1=18 Resposta!(AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatística abaixo: 2 5 7 13 3 6 9 13 3 6 11 13 4 6 11 13 4 7 12 15 www.pontodosconcursos.com.br 1
  2. 2. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO02.Os valores do 1º e do 3º quartil da série são, respectivamente: a) 2 e 15 b) 5 e 12 c) 4 e 13 d) 4 e 12 e) 6 e 13Sol.: Vamos seguir o mesmíssimo raciocínio da questão anterior! Aqui, os elementos já estãoem rol. Assim, descobriremos, por primeiro, quem é a Mediana do conjunto! Teremos: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Md=7 Assim, excluindo a Mediana do conjunto, geraremos dois subconjuntos, que são osseguintes: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Daí, o primeiro e o terceiro quartil serão os seguintes: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Q1=4 Q3=13 Daí: Q1=4 e Q3=13 Resposta!03.Considere a seguinte distribuição de freqüências: classes fi 0 |— 5 20 5 |— 10 20 10 |— 15 40 15 |— 20 10 20 |— 25 10 TotalA moda da distribuição é: a) 12,5; dada a simetria da distribuição. d) igual à menor freqüência simples. b) Inferior à média aritmética e à mediana. e) igual à média aritmética. c) Superior à média aritmética e à mediana.Sol.: Vamos calcular as três medidas de posição para esta distribuição de freqüências.Comecemos pela Média. Teremos: classes fi PM (PM-2,5)/5=Yi fi.Yi 0 |— 5 20 2,5 0 0 5 |— 10 20 7,5 1 20 10 |— 15 40 12,5 2 80 15 |— 20 10 17,5 3 30 20 |— 25 10 22,5 4 40 Total n=100 170 170 Y= = 1,7 100 Nosso desenho de transformação da variável é o seguinte: 1º)-2,5 2º)÷5 Xi Yi Y = 1,7 2º)+2,5 1º)x5 www.pontodosconcursos.com.br 2
  3. 3. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Daí: 1,7 x 5 = 8,5 e 8,5 + 2,5 = 11,0 Média! Calculemos a Mediana do conjunto! Teremos: (n/2)=50 classes fi fac 0 |— 5 20 20 20 é ≥ 50? Não! 5 |— 10 20 40 40 é ≥ 50? Não! 10 |— 15 40 80 80 é ≥ 50? Sim! 15 |— 20 10 90 20 |— 25 10 100 Total n=100Faremos: 5 XLimites da Classe: 10 Md 15fac associadas: 40 50 80 10 40 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 5 x 40 10 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(5x10)/40 X=1,25 Finalmente, teremos: Md=10+1,25 Md=11,25Calculando agora a Moda do conjunto, teremos: classes fi 0 |— 5 20 5 |— 10 20 Δa=20 10 |— 15 40 Classe Modal! 15 |— 20 10 Δp=30 20 |— 25 10 Total n=100 www.pontodosconcursos.com.br 3
  4. 4. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOAplicando a fórmula de Czuber, teremos: ⎡ Δa ⎤ Mo=linf+ ⎢ ⎥.h Mo=10+[20/(20+30)].5 Mo=12,0 ⎣ Δa + Δp ⎦ Reunindo os três resultados, teremos: Média=11,0 ; Mediana=11,25 e Moda=12,0 Logo: a Moda é superior à Média e à Mediana Resposta!04.(IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil.a) 179,5b) 189,5c) 183,9d) 184,5e) 174,5Sol.: Aprendemos que o procedimento usado para se calcular qualquer medida separatriz é omesmo usado para o cálculo da Mediana, mudando apenas a fração inicial! Assim, para o oitavo decil, temos que a fração será: (8n/10). Sabendo que n=100 (a última fac!), então teremos: (8n/10)=80 Fazendo as perguntas de praxe, descobriremos qual é a classe do D8. Faremos: Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 4 é ≥ 80? Não! 139,5-149,5 12 12 é ≥ 80? Não! 149,5-159,5 26 26 é ≥ 80? Não! 159,5-169,5 46 46 é ≥ 80? Não! 169,5-179,5 72 72 é ≥ 80? Não! 179,5-189,5 90 90 é ≥ 80? Sim! 189,5-199,5 100 Fazendo agora aquele mesmo desenho que aprendemos para a Mediana, só que agoratrabalhando com a classe do oitavo decil, teremos o seguinte: www.pontodosconcursos.com.br 4
  5. 5. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 10 XLimites da Classe: 179,5 D8 189,5fac associadas: 72 80 90 8 18 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 18 8 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(8x10)/18 X=4,44 Finalmente, teremos: D8=179,5+4,44 D8=183,9 Resposta!05.(Técnico de Planejamento e Pesquisa IPEA 2004 ESAF) Para uma amostra aleatória de determinado atributo encontrou-se a seguinte distribuição de freqüências. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências 2000 – 4000 18 4000 – 6000 45 6000 – 8000 102 8000 – 10000 143 10000 – 12000 32 12000 – 14000 60Assinale a opção que corresponde à melhor aproximação do nonagésimo quinto percentil.a) 13.000 d) 12.667b) 12.585 e) 13.900c) 13.333Sol.: Agora não tem mais segredo!! Qual é a fração do P95? É a seguinte: (95n/100). Vamos descobrir o valor do n? Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 5
  6. 6. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Classes fi 2000 – 4000 18 4000 – 6000 45 6000 – 8000 102 8000 – 10000 143 10000 – 12000 32 12000 – 14000 60 n=400 Assim, teremos que: (95n/100)=380 Faremos, construiremos a coluna da fac e faremos as perguntas de praxe, a fim dedescobrirmos a classe do P95. Teremos: Classes fi fac 2000 – 4000 18 18 18 é ≥ 380? Não! 4000 – 6000 45 63 63 é ≥ 380? Não! 6000 – 8000 102 165 165 é ≥ 380? Não! 8000 – 10000 143 308 308 é ≥ 380? Não! 10000 – 12000 32 340 340 é ≥ 380? Não! 12000 – 14000 60 400 400 é ≥ 380? Sim! n=400 Fazendo agora o desenho, teremos: 2000 XLimites da Classe: 12000 P95 14000fac associadas: 340 380 400 40 60 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 2000 x 60 40 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(2000x40)/60 X=1.333,33 Finalmente, teremos: P95=12.000+1.333,33 P95=13.333,33 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 6
  7. 7. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO06.(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.a) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90Sol.: A questão envolve uma transformação da variável. O que faremos? Claro! Faremos odesenho de transformação! Que é o seguinte: 1º)-14 2º)÷4 Xi Zi Sz=1,10 2º)+14 1º)x4 Vejam que já está do lado da variável transformada Z a informação adicional doenunciado, qual seja, que o desvio padrão de Z é Sz=1,10. Agora, a questão pergunta qual o desvio padrão de X. Ora, basta percorrermos ocaminho de volta, lembrando-nos das propriedades do desvio padrão. Teremos: 1,10 x 4 = 4,40 A soma que se segue, no caminho de volta, não será efetuada, uma vez que DesvioPadrão não sofre influência nem de soma nem de subtração! Assim, passando direto pela soma, teremos, finalmente, que: Sx=4,40 Resposta!07.(Analista CVM - 2000/ ESAF) Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este objetivo seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações amostrais constam da tabela seguinte: Valor (R$) Freqüência de Março Freqüência de Abril 1.000,00 6 10 3.000,00 13 14 5.000,00 12 10 7.000,00 15 13 9.000,00 4 - 11.000,00 - 3 Assinale a opção que corresponde a amplitude do intervalo interquartílico, em reais, parao mês de março.a) 3.250,00 d) 6.000,00b) 5.000,00 e) 2.000,00c) 4.000,00Sol.: O intervalo interquartílico, também chamada amplitude interquartílica, é uma medida dememorização muito fácil. Senão, vejamos. O que sugere o nome interquartílico? Sugere entre osquartis. Concordam? E quais são os quartis mais distantes entre si? São o primeiro e o terceiro: Q1 e Q3. Assim, a distância entre os quartis, ou a amplitude interquartílica, ou ainda o intervalointerquartílico nada mais é que: Q3-Q1. Só isso! www.pontodosconcursos.com.br 7
  8. 8. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vamos começar nossa busca pelo primeiro quartil (Q1). Teremos: Valor (R$) fi 1.000,00 6 3.000,00 13 5.000,00 12 7.000,00 15 9.000,00 4 n=50 A fração do Q1 é (n/4), conforme sabemos. Neste caso, temos que (n/4)=12,5. Construindo a coluna da fac e fazendo as perguntas de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000,00 6 6 6 é ≥ 12,5? Não! 3.000,00 13 19 19 é ≥ 12,5? Sim! 5.000,00 12 31 7.000,00 15 46 9.000,00 4 50 n=50 Assim, achamos que Q1=3.000,00 Para o terceiro quartil, sabemos que a fração correspondente é (3n/4). Teremos, pois,que: (3n/4)=37,5. Usando a pergunta de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000,00 6 6 6 é ≥ 37,5? Não! 3.000,00 13 19 19 é ≥ 37,5? Não! 5.000,00 12 31 31 é ≥ 37,5? Não! 7.000,00 15 46 46 é ≥ 37,5? Sim! 9.000,00 4 50 n=50 Uma vez descobertos os valores de Q1 e de Q3, resta-nos aplicar a fórmula quecorresponde ao conceito de intervalo interquartílico. Teremos que: Intervalo Interquartílico = Q3 – Q1 = 7000 – 3000 = 4.000, Resposta!08.(AFPS-2002/ESAF) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ3 . Assinale a opção correta.a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média.b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média.c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média.d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações.e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média.Sol.: O enunciado nos pede, simplesmente, o conceito do terceiro momento central, o que ésinônimo de terceiro momento centrado na média. Ora, para acertar esta questão só é precisoconhecer a fórmula dos momentos! Aprendemos isso em uma de nossas aulas! ∑ (Xi − X ) 3 Teremos que o terceiro momento é dado por: m3 = n Traduzindo: a média dos cubos dos desvios em relação à média Letra E Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 8
  9. 9. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO09.(TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram os seguintes sumários: média aritmética = $1,20 , mediana = $0,53 e moda = $0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta:a) A distribuição é assimétrica à direita.b) A distribuição é assimétrica à esquerda.c) A distribuição é simétrica.d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor medida de tendência central.e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25.Sol.: Uma questão muito fácil e recorrente! Aqui, precisaríamos lembrar a relação entre asmedidas de tendência central – média, moda e mediana – e a situação de assimetria de umconjunto! A melhor forma de memorizar esta teoria é por meio do desenho das curvasassimétricas, vistas por nós em aula pretérita do nosso Curso. São as seguintes: Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva): Moda < Mediana < Média Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa): Média < Mediana < Moda Distribuição Simétrica: Média=Mediana=Moda www.pontodosconcursos.com.br 9
  10. 10. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Uma vez que os dados da questão nos revelam que a Média é maior que a Mediana, eesta é maior que a Moda, estamos, indubitavelmente, diante de uma distribuição assimétrica àdireita (ou de assimetria positiva)! Logo: Letra A Resposta!10.(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23Pode-se afirmar que:a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativab) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positivac) a distribuição amostral dos preços é simétricad) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com assimetria negativae) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preçosSol.: Ora, estamos diante de um rol. Só precisamos conhecer o valor de duas medidas detendência central, e já teremos condições de afirmar qual a situação de assimetria desteconjunto. No caso, mais rápido é descobrir quem são a Mediana e a Moda. A Mediana, inclusive, já havia sido objeto de uma questão anterior desta prova! Questãoesta já resolvida por nós neste Curso! Mas façamos de novo, para não perder a viagem. Temos que n=50 elementos. Logo, há duas posições centrais: 1ª) n/2=25ª e 2ª) a vizinha posterior: 26ª Os elementos que ocupam estas duas posicoes centrais são: 9 e 9. Assim, fazendo amédia desses dois valores (o que não é, absolutamente, necessário!!), teremos: Md=9,0. Agora, para saber a Moda do conjunto, basta ver qual foi o elemento que mais apareceu!Qual foi? Foi o elemento 8. Logo: Mo=8,0. Assim, tendo que a mediana é maior que a moda, já sabemos que o conjunto éassimétrico à direita, ou de assimetria positiva. (Vide desenho da curva de freqüência daquestão anterior!). Logo: Letra B Resposta!11.(AFTN-98) Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual específica que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a tarefa. Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da distribuição amostral de tais observações. a) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica e com duas modas nos extremos. b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino. c) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular. d) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda. e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular.Sol.: Essa questão foi a mais atípica já elaborada pela Esaf (ou por qualquer outra mesa)! Eudiria que foi uma grande viagem do elaborador... Saibam que esta questão foi causa de muitapolêmica, e que nunca mais, depois de 1998 (e nem antes!), se viu algo parecido em prova. www.pontodosconcursos.com.br 10
  11. 11. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Dêem uma olhadinha de novo na curva assimétrica à esquerda: Agora imagine que a linha horizontal é a linha do tempo, e que a linha vertical é aprodutividade que uma pessoa atinge, numa tarefa manual específica que exige algumahabilidade. Vamos soltar a imaginação! (Isso é muito necessário, diante de uma questão comoesta!). Imagine que a atividade é fazer crochê. Você já deu uns pontos de crochê na vida?Possivelmente não! Nem eu! Pois bem! Imagine que há um grupo de pessoas que nunca fez crochê na vida, e queessas pessoas recebem um curso relâmpago de cinco minutos. E cada uma começa o seutrabalho manual. Ora, diante desta situação, vocês imaginam que a maior parte destas pessoasvai levar pouco tempo ou vai levar muito tempo para desenvolver um pouco mais a habilidade e,assim, alcançar uma produtividade melhor? Obviamente que levará muito tempo. É o que está retratado na curva acima – a assimétrica à esquerda. Vejamos: Esta área marcada em vermelho é a maior sob a curva, e representa a maior parte daspessoas daquele grupo, as quais irão gastar mais tempo (vejam que a área está à direita do eixohorizontal) para atingir uma produtividade maior (maior altura da curva). Bem! Essa, pelo menos, foi a minha maneira de interpretar a questão. Muita gente boa não conseguiu acertar. E soube até de professores com PhD quetentaram anular esta questão, e não conseguiram! Eu costumo dizer a meus alunos presencias que esta não é uma questão para sepreocupar. Por quê? Pela sua atipicidade! Cai uma vez em mil anos. Ok? Sigamos adiante! www.pontodosconcursos.com.br 11
  12. 12. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO12.(AFTN-94) Assinale a alternativa correta:Sol.: Vou comentar item por item.a) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável aleatória. As medidas estatísticas que se confundem com fórmulas de Assimetria são a Média Aritmética (que é igual ao primeiro momento simples) e a Variância (que é igual ao segundo momento centrado na média aritmética). O item está, portanto, errado! .b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de freqüência. A média aritmética depende da variação da variável. Ou seja, se alguém modificar o valor de um só elemento do conjunto, o valor da média já terá sido também alterado! Errado o item.c) Em qualquer distribuição de freqüência, a média aritmética é mais representativa do que a média harmônica. Em algumas situações muito específicas, a média harmônica é, em tese, mais representativa que a média aritmética. O item está errado!d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é nula. Errado! A soma dos quadrados é um valor mínimo!e) A moda, a mediana e a média aritmética são medidas de posição com valores expressos em reais que pertencem ao domínio da variável a que se referem. Correto! Traduzindo o que diz este item: os valores da média, moda e mediana estarão sempre variando entre o menor e o maior elemento do conjunto! Só isso!13.(AFTN-94) Indique a opção correta:Sol.: De novo, comentarei cada item.a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que o coeficiente de curtose. Não existe nenhuma relação entre as medidas de assimetria e de curtose! Item incorreto!b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no intervalo [-3, 3]. Esta limitação inexiste. Item elaborado para pegar franco-atiradores! Errado!c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o quadrado da variância da distribuição. Outro absurdo! O que ele sugere é que C=3.(S2)2. Sabemos que, na verdade: C=m4/S4.d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão. Correto! Esta é a interpretação da fórmula do índice momento de curtose! E se for maior que 3, será leptocúrtica, e se for menor que 3 será platicúrtica!e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. Já foi dito na questão anterior: inexiste relação entre assimetria e curtose!14.(AFTN-98) Assinale a opção correta.a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente àmédia for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa.A soma dos desvios em relação à média jamais poderá ser negativa! Diz a propriedade da médiaque esta soma será sempre igual a zero! Item incorreto! www.pontodosconcursos.com.br 12
  13. 13. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOb) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observaçõesamostrais são medidas.O Coeficiente de Variação, CV, é adimensional. Ou seja, independe da unidade da variável. Itemerrado!c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação eposterior divisão pelo desvio padrão não está definido.É a opção correta! O texto deste item é péssimo! Leva-se muito tempo até se atingir acompreensão perfeita do que é dito aqui. O item sugere uma transformação da variável, em queas operações de transformação são as seguintes: 1ª) Subtrair da média; 2ª) Dividir pelo desvio padrão. O desenho de transformação é o seguinte: 1º)- X 2º)÷Sx Xi Yi Assim, se partirmos do lado da variável X com a média X , qual será a média a qualchegaremos na variável Y? Teremos: X − X =0 0 ÷ Sx = 0 Ou seja, teremos que Y =0. Qual seria, então, o valor do coeficiente de variação de Y? Temos que: CVy=Sy/ Y Ora, já sabemos que o denominador é nulo. Logo, o CVy não está definido! É isso que está sendo dito neste item, que está, pois, correto!d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observaçõesamostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média maisdois desvios padrões.Há dois erros neste texto. 1º) a propriedade visual do desvio padrão (de que trata este item)não se aplica para qualquer distribuição. 2º) a referida propriedade trata apenas de umaaproximação, e não de exatidão!e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtoseexcessiva.Mesocúrtica é a situação intermediária de curtose. Quem apresenta cauda pesada e curtoseexcessiva é a curva platicúrtica!15.(AFPS-2002/ESAF) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências 4-9 5 9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4 39-44 3 44-49 2 www.pontodosconcursos.com.br 13
  14. 14. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOSabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção quedá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e nodesvio padrão.a) -0,600 c) 0,709 e) -0,610b) 0,191 d) 0,603Sol.: Precisaríamos aqui identificar qual foi a fórmula pedida pelo enunciado, para o cálculo daAssimetria! Ora, o enunciado até que foi muito claro: tem que ser aquela fórmula na qualconstarão a Média, a Mediana e o Desvio-Padrão. Trata-se, obviamente, do 2º Coeficiente de Assimetria de Pearson, dado pelo seguinte: A= ( 3 X − Md ) S Temos que o enunciado já nos forneceu o valor do denominador (S=10). Resta-nos,pois, calcular duas medidas: a Média e a Mediana! Comecemos pela Média: Classes fi PM (PM − 6,5) = Yi fi.Yi 5 4-9 5 6,5 0 0 9-14 9 11,5 1 9 14-19 10 16,5 2 20 19-24 15 21,5 3 45 24-29 12 26,5 4 48 29-34 6 31,5 5 30 34-39 4 36,5 6 24 39-44 3 41,5 7 21 44-49 2 46,5 8 16 ∑=213 Calculando a Média da variável transformada Y , teremos: 213 Y= = 3,227 66 Daí, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos: 3,227 x 5 = 16,14 16,14 + 6,5 = 22,64 Daí: Média = 22,64 Passando ao cálculo da Mediana, faremos: (n/2)=33. Construiremos a coluna da fac, ecompararemos seus valores com o resultado da fração (33). Teremos: Classes Fi Fac 4-9 5 5 5 é maior ou igual a 33? NÃO! 9-14 9 14 14 é maior ou igual a 33? NÃO! 14-19 10 24 24 é maior ou igual a 33? NÃO! 19-24 15 39 39 é maior ou igual a 33? SIM! 24-29 12 51 29-34 6 57 34-39 4 61 39-44 3 64 44-49 2 66 www.pontodosconcursos.com.br 14
  15. 15. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Daí, faremos o desenho que nos ajuda a formar a regra de três, para descobrirmos ovalor da Mediana. Teremos: 5 (=24-19) X 19 Md 24 24 33 39 9 15 (=39-24)Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 5 X = 15 9Daí: X=(5x9)/15 X=45/15 X=3,00 Daí: Md=22,00Agora, aplicando a equação da Assimetria, teremos: 3(22,64 − 22,00 ) A= A=0,191 Resposta! 10 AFRF 2005 – ESTATÍSTICA BÁSICA16. Para dados agrupados representados por uma curva de freqüências, as diferençasentre os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria dacurva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma distribuiçãonegativamente assimétrica.a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda.b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana.c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda.d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor.e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média.Sol.: A ESAF cometeu dois enganos nesta questão: 1º) A questão é de Assimetria e esteassunto não está mais presente no edital do concurso de AFRF, e 2º) há duas alternativascorretas na questão. Vamos à solução! Numa distribuição assimétrica negativa temos a seguinte relação entre as medidas damédia ( X ), mediana (Md) e moda (Mo). X < Md < Mo Verificando as alternativas B e C, concluímos que ambas estão corretas! www.pontodosconcursos.com.br 15
  16. 16. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO17. Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores deseu principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com oobjetivo de ampliar sua participação no mercado, a empresa realizou uma campanhade divulgação voltada para consumidores com idades mais avançadas. Umlevantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dosconsumidores apresentaram a seguinte distribuição: Idade (X) Freqüência Porcentagem 18 ‫52 -ו‬ 20 40 25 ‫03 -ו‬ 15 30 30 ‫53 -ו‬ 10 20 35 ‫04 -ו‬ 5 10 Total 50 100Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguintecritério de decisão: 2σ xse a diferença X - 25 for maior que o valor , nentão a campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; casocontrário, a campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado. 2σ xa) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que =1,53. n 2σ xb) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que =1,64. n 2σ xc) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que =1,41. n 2σ xd) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que =1,53. n 2σ xe) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,5 é maior que =1,41. nSol.: Para saber se a campanha surtiu efeito devemos efetuar o cálculo de duas medidas: X eσ x . Mas o que significam os símbolos X e σ x ? A ESAF esqueceu de defini-los. O símbolo X jáé bem conhecido nosso, aparece em diversas provas e livros, ele significa a média aritmética.Mas o símbolo σ x , que normalmente representa o desvio padrão populacional, não é tãoconhecido e a ESAF tinha o dever de informar. Pela primeira vez a ESAF apresentou uma distribuição de freqüências em que asamplitudes das classes não são todas iguais. A primeira classe tem amplitude 7, enquanto asdemais têm amplitude 5. Isso interfere um pouco na solução da questão, como mostraremosadiante. Vamos ao cálculo da média aritmética X . A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula:X = ∑fx i i , nonde: os xi são representados pelos pontos médios das classes (PMi). os fi são as freqüências absolutas simples das classes. n é o tamanho da amostra. www.pontodosconcursos.com.br 16
  17. 17. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos imediatamente passar aos passos do cálculo da Média.1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi) Idade (X) fi xi (=PMi) 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 Total 502) Neste passo, poderíamos aplicar a fórmula da média aritmética, porém a construção dacoluna fi.xi exige multiplicações um pouco trabalhosas, assim usaremos a variável transformadapara facilitar esses cálculos. Além do mais, essa variável transformada vai simplificar bastante ocálculo do desvio padrão. A obtenção da variável transformada normalmente é feita pela subtração da variável Xpor um ponto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude daclasse. Porém nesta questão nem todas as classes tem a mesma amplitude. Então faremossomente a subtração por um ponto médio da distribuição. Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediáriasda distribuição, então escolheremos o ponto médio da segunda classe, e chamaremos a variáveltransformada de Z. A coluna zi será construída abaixo. Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 -6 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 0 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 5 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 10 Total 50 3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z . Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 fi.zi 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 -6 -120 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 0 0 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 5 50 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 10 50 Total 50 -20 4) Efetuaremos o cálculo do Z : ⎛ Z =⎜ ∑ f .zi i ⎞ ⎟ Z= − 20 Z =-0,4 ⎜ n ⎟ 50 ⎝ ⎠ 5) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , podemos obter X . A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte: Z = X – 27,5 www.pontodosconcursos.com.br 17
  18. 18. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO A relação entre as médias de Z e X é obtida, simplesmente, substituindo-se X por X e Zpor Z , devido às propriedades da média aritmética. Teremos: Z = X – 27,5 Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z = - 0,4, teremos: X = Z + 27,5 X = -0,4 + 27,5 X = 27,1 Já obtivemos a média aritmética X ! Para sabermos qual é a alternativa correta, temosque calcular a diferença: ( X – 25). Essa diferença é igual a: ( X – 25) = (27,1 – 25) = 2,1 Com este resultado, somente as alternativas A e C podem estar corretas. Para descobrira única alternativa correta teremos que proceder ao cálculo do desvio-padrão da variável X.Vamos ao cálculo do desvio padrão populacional ( σ x ). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Desta forma, procederemosprimeiramente ao cálculo da variância. ⎡ (∑ f ) ⋅ xi ⎤ 2 ∑f 1 Fórmula da variância populacional: Vx = ⎢ ⋅ xi − ⎥ 2 i n⎢ ⎥ i n ⎣ ⎦ Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformadaZ=X-27,5 para facilitar os cálculos da variância. Ou seja, primeiramente encontraremos avariância de Z para depois obtermos a variância de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3ºpasso do cálculo da média, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto dascolunas zi e fizi. Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 fi.zi fi.zi2 18 ‫52 -ו‬ 20 21,5 -6 -120 720 25 ‫03 -ו‬ 15 27,5 0 0 0 30 ‫53 -ו‬ 10 32,5 5 50 250 35 ‫04 -ו‬ 5 37,5 10 50 500 Total 50 -20 1470 Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ): ⎡ (∑ f ⋅ zi ⎤ 2 ) 1 ⎡ (− 20)2 ⎤ [1462] ∑ 1 1 VZ = ⎢ f i ⋅ zi − ⎥ 1470 − 2 i VZ = ⎢ ⎥ VZ = n⎢ n ⎥ 50 ⎢ ⎣ 50 ⎥ ⎦ 50 ⎣ ⎦ VZ = 29,24 www.pontodosconcursos.com.br 18
  19. 19. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte: Z = X – 27,5 Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se altera ao somarmos ou subtrairmos uma constante, daí a variância de X é igual a variância de Z: VX = 29,24 Ao invés de calcularmos o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância, é melhor elevarmos ao quadrado a seguinte expressão dada no enunciado: 2σ x n Elevando ao quadrado, teremos: 2 ⎛ 2σ x ⎞ 4σ x 2 ⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ ⎝ n ⎠ n O termo σ x que aparece no numerador é a própria variância, da qual já sabemos quanto 2 é seu valor. Assim, teremos: 2 ⎛ 2σ x ⎞ 4σ x 2 4 ⋅ 29,24 ⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ = = 2,34 ⎝ n ⎠ n 50 Já sabemos que as possíveis alternativas corretas são a A e a C. A alternativa A afirma 2σ x que =1,53. Para que esta alternativa seja a correta é necessário que o quadrado de 1,53 n seja igual a 2,34. Vamos testar! (1,53)2 = 2,34 Teste positivo! Então a alternativa correta é a alternativa A!18. Considerando-se os dados sobre os preços e as quantidades vendidas de doisprodutos em dois anos consecutivos, assinale a opção correta. Produto I Produto II Ano P11 Q11 P21 Q21 1 40 6 40 2 2 60 2 20 6a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços dos dois produtos,enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 50%.b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 para o preço relativo doproduto 1 e 240 para o preço relativo do produto 2.c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos,enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 75%.d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para o preço relativo doproduto 1 e 80 para o preço relativo do produto 2. www.pontodosconcursos.com.br 19
  20. 20. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOe) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos,enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 25%.Sol.: Esta é um questão de Números Índices que envolve o cálculo dos índices de Laspeyres ePaasche de preço. Frequentemente a ESAF coloca o cálculo desses índices em suas provas,então esta questão não deve ter sido surpresa para os candidatos. As fórmulas de Laspeyres e Paasche de preço têm a mesma forma, mudando somente ossubscritos das quantidades dos produtos. O índice de Laspeyres é conhecido como método daépoca base, portanto consideraremos as quantidades da época base. O índice de Paasche éconhecido como método da época atual, portanto consideraremos as quantidades da épocaatual. A época base é o ano 1 e a época atual é o ano 2, pois os índices indicados nasalternativas da questão mostram a evolução de preços do ano 1 para o ano 2. Fórmula de Laspeyres de preço: La = ∑( p 2 ⋅ q1 ) ∑( p 1 ⋅ q1 ) Fórmula de Paasche de preço: Pa = ∑( p 2 ⋅ q2 ) ∑( p 1 ⋅ q2 ) Cálculo do Laspeyres de preço: preço de I no ano 2 × qde de I no ano 1 + preço de II no ano 2 × qde de II no ano 1 La= preço de I no ano 1 × qde de I no ano 1 + preço de. II no ano 1 × qde de II no ano 1 Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Laspeyres, obteremos: 60 × 6 + 20 × 2 6×6 + 2× 2 40 5 La = = = = = 1,25 = 125% 40 × 6 + 40 × 2 4×6 + 4× 2 32 4 Este resultado indica que houve um aumento de preços de 25% (=125%-100%). Cálculo do Paasche de preço: preço de. I no ano 2 × qde de I no ano 2 + preço de II no ano 2 × qde de II no ano 2 Pa= preço de I no ano 1 × qde de I no ano 2 + preço de. II no ano 1 × qde de II no ano 2 Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Paasche, obteremos: 60 × 2 + 20 × 6 6× 2 + 2×6 24 3 Pa = = = = = 0,75 = 75% 40 × 2 + 40 × 6 4× 2 + 4×6 32 4 Este resultado indica que houve uma variação de preços de -25% (=75%-100%), ouseja, uma redução de 25%. De acordo com estes resultados dos índices de Laspeyres e Paasche a alternativa corretaé a alternativa E. www.pontodosconcursos.com.br 20
  21. 21. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO19. Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, registraram-seos seguintes salários mensais (em salários mínimos): Identificação do casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salário do marido (Y) 30 25 18 15 20 20 21 20 25 27 Salário da esposa (X) 20 25 12 10 10 20 18 15 18 23Sabe-se que:Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos homens eos salários das mulheres.a) 0,72b) 0,75c) 0,68d) 0,81e) 0,78Sol.: Esta questão é uma simples aplicação da fórmula do Coeficiente de Correlação (r) que édada por: (∑ X )(∑ Y ) ∑X Y − i i i i r= n (∑ X ) (∑ Y ) 2 2 ∑ X − n ⋅ ∑Y − n 2 i 2 i i i Substituindo os valores fornecidos na questão dentro da fórmula da correlação, teremos: 3940 − (171)(221) r= 10 3171 − (171) 2 ⋅ 5069 − (221)2 10 10 Resolvendo, vem: 37791 3940 − r= 10 29241 48841 3171 − ⋅ 5069 − 10 10 3940 − 3779,1 r= 3171 − 2924,1 ⋅ 5069 − 4884,1 160,9 r= 246,9 ⋅ 184,9 160,9 r= 246,9 ⋅ 184,9 www.pontodosconcursos.com.br 21
  22. 22. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 161 r≅ 45652 Neste ponto, temos que calcular a raiz quadrada de 45652. Vamos achá-la na base datentativa: 1002 = 10.000 (< 45652) 2002 = 40.000 (< 45652) 2102 = 44.100 (< 45652) 2202 = 48.400 (> 45652) Daí, a raiz quadrada de 45652 é um valor entre 210 e 220. Usaremos esses dois valorespara encontrarmos o coeficiente de correlação (r): Usando o valor de 210 como raiz quadrada de 45652, teremos: 161 r= r = 0,766 210 Usando o valor de 220 como raiz quadrada de 45652, teremos: 161 r= r = 0,73 220 A partir destes dois resultados, concluímos que o coeficiente de correlação linear está entre 0,73 e 0,766, e, portanto, a alternativa correta é a alternativa B.20. Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ),geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ...,Xn):a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais.c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.Sol.: Esta foi a questão mais fácil da prova, pois bastava conhecer a propriedade conjunta dasmédias aritmética, geométrica e harmônica para acertar a questão. Esta propriedade já haviasido exigida recentemente na prova de Fiscal da Bahia, elaborada pela FCC, mas na ESAF nuncahavia sido cobrada. E eu sempre aviso em sala de aula, que não é importante saber as fórmulasda média geométrica e harmônica, pois nunca foram objeto de prova, mas sim a propriedadeconjunta dessas médias. A propriedade de que lhes falo é a seguinte: Para um conjunto de valores positivos a média aritmética é maior ou igual a médiageométrica que por sua vez é maior ou igual a média harmônica. E a igualdade só ocorre se os nvalores forem todos iguais. Portanto, a alternativa correta é a D.21. De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários dedeterminada área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanosdecidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferiora dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar portreinamento específico para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários comrendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS)serão promovidos a líderes de equipe. www.pontodosconcursos.com.br 22
  23. 23. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Indicador Freqüência 0 ‫2 -ו‬ 10 2 ‫6 -ו‬ 20 4 ‫6 -ו‬ 240 6 ‫8 -ו‬ 410 8 ‫01 -ו‬ 120 Total 800Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente deRecursos Humanos.a) LI = 4,0 e LS = 9,0b) LI = 3,6 e LS = 9,4c) LI = 3,0 e LS = 9,8d) LI = 3,2 e LS = 9,4e) LI = 3,4 e LS = 9,6Sol.: Aqui ocorre mais um erro da ESAF, a 2ª classe da distribuição de freqüências é 2 ‫ 4 -ו‬enão 2 ‫ 6 -ו‬como está escrito acima. Para encontrarmos a alternativa correta devemos obter a média e o desvio padrão dadistribuição. Usaremos a variável transformada na obtenção dessas duas medidas. Vamos ao cálculo da média aritmética X . A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula:X = ∑fx i i , nonde: os xi serão representados pelos pontos médios das classes (PMi). os fi são as freqüências absolutas simples das classes. n é o tamanho da amostra. Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos imediatamente passar aos passos do cálculo da Média.1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi) Indicador fi xi (=PMi) 0 ‫2 -ו‬ 10 1 2 ‫4 -ו‬ 20 3 4 ‫6 -ו‬ 240 5 6 ‫8 -ו‬ 410 7 8 ‫01 -ו‬ 120 9 Total 8002) Construção da coluna da variável transformada Z. Como todas as classes possuem a mesma amplitude, então faremos o cálculo usual davariável transformada, ou seja, a variável transformada Z é obtida pela subtração da variável Xpor um ponto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude daclasse. Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediáriasda distribuição, então escolheremos o ponto médio da terceira classe. www.pontodosconcursos.com.br 23
  24. 24. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Indicador fi xi zi=xi-5 (=PMi) 2 0 ‫2 -ו‬ 10 1 -2 2 ‫4 -ו‬ 20 3 -1 4 ‫6 -ו‬ 240 5 0 6 ‫8 -ו‬ 410 7 1 8 ‫01 -ו‬ 120 9 2 Total 8003) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z . Indicador fi xi zi=xi-5 fi.zi (=PMi) 2 0 ‫2 -ו‬ 10 1 -2 -20 2 ‫4 -ו‬ 20 3 -1 -20 4 ‫6 -ו‬ 240 5 0 0 6 ‫8 -ו‬ 410 7 1 410 8 ‫01 -ו‬ 120 9 2 240 Total 800 6104) Efetuaremos o cálculo do Z : Z= ∑ f .z i i Z= 610 Z = 0,7625 n 8005) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , obteremos o X . A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte: Z=X–5 2 A relação entre as médias de Z e X é facilmente obtida, simplesmente substituindo-se Xpor X e Z por Z , devido às propriedades da média aritmética. Teremos: Z = X –5 2 Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z =0,7625, teremos: X = 2. Z + 5 X = 2 . 0,7625 + 5 X = 6,525 Acabamos de encontrar a média aritmética X ! Esta medida deve ser o ponto médio dointervalo de limite inferior LI e limite superior LS. Por esse motivo, as alternativas C e D jápodem ser descartadas.Passaremos ao cálculo do desvio padrão da distribuição. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Portanto, primeiramente procederemosao cálculo da variância. Pelo enunciado da questão notamos que a distribuição não é umaamostra e, portanto, usaremos a fórmula da variância populacional: ⎡ (∑ f ) ⋅ xi ⎤ 2 ∑f 1 Vx = ⎢ ⋅ xi − ⎥ 2 i n⎢ ⎥ i n ⎣ ⎦ www.pontodosconcursos.com.br 24
  25. 25. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformadaZ=(X-5)/2 para facilitar os cálculos de obtenção da variância. Ou seja, primeiramenteencontraremos a variância de Z para depois obtermos a variância de X. Aproveitaremos atabela feita no 3º passo do cálculo da média, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtidapelo produto das colunas zi e fizi. Indicador fi xi zi=xi-5 fi.zi fi.zi2 (=PMi) 2 0 ‫2 -ו‬ 10 1 -2 -20 40 2 ‫4 -ו‬ 20 3 -1 -20 20 4 ‫6 -ו‬ 240 5 0 0 0 6 ‫8 -ו‬ 410 7 1 410 410 8 ‫01 -ו‬ 120 9 2 240 480 Total 800 610 950 Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ): 1 ⎡ (610)2 ⎤ 1 ⎡ 3721 ⎤ 1 [950 − 465,125] VZ = ⎢950 − ⎥ VZ = ⎢950 − 8 ⎥ VZ = 800 ⎢ ⎣ 800 ⎥ ⎦ 800 ⎣ ⎦ 800 484,75 VZ = 800 A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte: Z=X–5 2 Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se alteraao somarmos (ou subtrairmos) uma constante. E pela propriedade do produto e divisão,temos que ao multiplicarmos (ou dividirmos) uma distribuição por uma constante, a variânciaficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da constante. Daí, a relação entre asvariâncias de X e de Z é a seguinte: VZ = VX (2)2 Segue-se que: VX = 4.VZ 484,75 484,75 O valor de VX é igual a: VX = 4. = = 2,42 800 200 O desvio padrão de X é igual a raiz quadrada de 2,42. O valor desta raiz está entre 1,5 e1,6, assim consideraremos que o desvio padrão é aproximadamente 1,55. O limite superior, de acordo com o enunciado da questão, é: LS = X + 2.dp Substituindo os resultados que encontramos, teremos: LS = X + 2.dp = 6,525 + 2 . 1,55 = 9,625 O limite inferior, de acordo com o enunciado da questão, é: LI = X - 2.dp www.pontodosconcursos.com.br 25
  26. 26. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Substituindo os resultados que encontramos, teremos: LI = X - 2.dp = 6,525 - 2 . 1,55 = 3,425 A alternativa que traz os valores corretos para os limites inferior e superior, com uma casa decimal, é a alternativa E!22. Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades depedidos para os produtos A e B: Produto A 39 33 25 30 41 36 37 Produto B 50 52 47 49 54 40 43Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos:a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%Sol.: O coeficiente de variação é obtido pela divisão do desvio padrão pela média aritmética,ou seja: dp CV = X Essa é a terceira questão da prova em que precisamos efetuar o cálculo da média e dodesvio padrão. Cálculo do CV do produto A.1) Cálculo da média dos pedidos do produto A. 39 33 25 30 41 36 37 Usaremos a fórmula da média para um conjunto de valores: X= ∑x i n 39 + 33 + 25 + 30 + 41 + 36 + 37 Daí, X A = = 34,4 72) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto A. Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada paraencontrarmos o desvio padrão. Subtrairemos os valores do produto A por uma constante, isso não afetará o valor davariância e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para seressa constante. Veja abaixo os valores do produto A em ordem crescente. 25 30 33 36 37 39 41 Subtraindo todos os valores pela constante 33, obteremos: -8 -3 0 3 4 6 8 De acordo com o enunciado, não há dúvidas de que os dados apresentados são de umaamostra, e, portanto, usaremos a fórmula da variância amostral: www.pontodosconcursos.com.br 26
  27. 27. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vx = 1 ⎡ ⎢ ∑ xi − 2 (∑ xi )2 ⎤ ⎥ n −1 ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios: ∑x i e∑x i 2 . Xi Xi2 -8 64 -3 9 0 0 3 9 4 16 6 36 8 64 10 198 Daí: Vx = 1⎡ 198 − (10)2 ⎤ = 30,61 ⎢ ⎥ 6⎣ 7 ⎦ O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente5,53.3) Cálculo do CVA dp A O CVA é dado por: CV A = XA 5,53 Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: CV A = 34,4 Resolvendo, vem: CV A = 0,161 = 16,1% Cálculo do CV do produto B.1) Cálculo da média dos pedidos do produto B. 50 52 47 49 54 40 43 50 + 52 + 47 + 49 + 54 + 40 + 43 Daí, X B = = 47,9 72) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto B. Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada paraencontrarmos o desvio padrão. Subtrairemos os valores do produto B por uma constante, isso não afetará o valor davariância e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para seressa constante. Veja abaixo os valores do produto B em ordem crescente. 40 43 47 49 50 52 54 Subtraindo todos os valores pela constante 47, obteremos: -7 -4 0 2 3 5 7 Usaremos novamente a fórmula da variância amostral: www.pontodosconcursos.com.br 27
  28. 28. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vx = 1 ⎡ ⎢ ∑ xi − 2 (∑ xi )2 ⎤ ⎥ n −1 ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios: ∑x i e∑x i 2 . Xi Xi2 -7 49 -4 16 0 0 2 4 3 9 5 25 7 49 6 152 Daí: Vx = 1⎡ 152 − (6)2 ⎤ = 24,5 ⎢ ⎥ 6⎣ 7 ⎦ O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente4,95.3) Cálculo do CVB dp B O CVB é dado por: CVB = XB 4,95 Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: CVB = 47,9 Resolvendo, vem: CVB = 0,103 = 10,3% Resultados: O CVA = 16,1% e o CVB = 10,3% Resposta: alternativa B! As resoluções destas últimas questões, referentes à prova do AFRF 2005, foramelaboradas conjuntamente por mim e pelo prof. Weber Campos, com quem divido a parceria emdiversos Cursos Online e, agora também, no livro de Matemática Financeira. Como vocês puderam constatar, tratou-se de uma prova muitíssimo trabalhosa e, emminha opinião, covarde. Sim! Covarde por quê? Porque não possibilitava o aluno resolvê-la notempo hábil. É isso! Com estas questões de hoje, nós encerramos os trabalhos do nosso Curso! Não tenho outras palavras a lhes dirigir, senão de um profundo agradecimento – e dedesculpas pelas várias falhas cometidas! O intuito foi sempre o de acertar! Espero, sinceramente, ter contribuído no seu processo de aprendizagem da EstatísticaBásica! E que esse conhecimento seja revertido em sucesso absoluto nos próximos concursos! Nos veremos ainda nos próximos dias, nas perguntas do Fórum. Ok? Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 28

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