Uma questão debatida no forum da PUC-Rio sobre um problema de um triângulo equilátero muito interessante e que vale a pena relembrar.

1. QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Uma questão debatida no forum da PUC-Rio sobre um problema de um
triângulo equilátero muito interessante e que vale a pena relembrar.
Problema:
Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo
equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de
preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma
cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero.

3. Solução:
Eu consegui provar que bastam 10 moedas - também dispostas formando um
triângulo equilátero.
Infelizmente, a demonstração não usa nenhuma "sacada brilhante", mas
consiste apenas de uma análise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas,
eu recomendo fortemente o uso de papel e lápis.
Considere a seguinte disposição das moedas:

4. (01)
(02) (03)
(04) (05) (06)
(07) (08) (09) (10)
Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, então acabou.
Caso contrário, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) é
preta e (07) e (10) são brancas.
Se (02) e (03) forem ambas pretas, então (01), (02) e (03) serão pretas.

5. Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca.
Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte:
A) (02) é branca;
B) (02) é preta.
(o caso em que (02) é branca e (03) é preta será a imagem especular do caso
em que (02) é preta e (03) branca)
A) (02) é branca:

6. Se (08) ou (09) for branca, então (02), (07) e (09) serão brancas ou (03), (08)
e (10) serão brancas.
Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas.
Nesse caso, se (05) for branca, então (02), (03) e (05) serão brancas
acabou

7. Por outro lado, se (05) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas
acabou
Assim, se (02) for branca, sempre haverá um triângulo monocromático.
B) (02) é preta:
Se (08) for branca, então (03), (08) e (10) serão brancas
acabou
Suponhamos que (08) seja preta.

8. Se (06) for preta, então (02), (06) e (08) serão pretas
acabou
Suponhamos que (06) seja branca.
Se (05) for branca, então (03), (05) e (06) serão brancas
acabou
Suponhamos que (05) seja preta.
Se (09) for branca, então (06), (09) e (10) serão brancas
acabou

9. Por outro lado, se (09) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas
acabou.
Portanto, no caso em que (02) é preta também estará assegurada a existência
de um triângulo monocromático.