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XXXIII OPM ­12.11.2014 
­Pr 
e­Olimp 
´´ıadas OES 
­5 
o ano Quest ao ˜1: 
cada opc¸ ao ˜correta: 4 pontos 
cada opc¸ ao ˜errada: ­1 
ponto 
Questoes ˜2, 3: 10 pontos cada 
˜SOLUC¸ Sugest˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas 
1. (a) Opc¸ ˜ao B. 
(b) Opc¸ ˜ao C. 
(c) Opc¸ ˜ao E. 
(d) Opc¸ ˜ao C. 
(e) Opc¸ ˜ao E. 
2. O per´ımetro da figura preta ´e constitu´ıdo por trˆes lados do quadrado e quatro lados dos triˆangulos. Como dois 
lados do triˆangulo tˆemo mesmo comprimento que um lado do quadrado, conclui­se 
que o per´ımetro da figura 
´e igual a cinco vezes o comprimento de um lado do quadrado. Assim o lado do quadrado mede 60/5 = 12 
mm, pelo que a sua ´area ´e 12 × 12 = 144 mm2. 
3. Num n´umero s ´etico de trˆes algarismos, a soma dos algarismos pode ser 7, 14 ou 21, pois 28 > 27 = 3 × 9. 
Tendo em atenc¸ ˜ao que os algarismos s ˜ao todos pares, a soma dos algarismos no nosso caso s ´o pode ser 14. 
Apresentamos na seguinte tabela as diferentes escolhas de algarismos que somam 14 e fazemos a contagem 
dos respetivos n´umeros s ´eticos. 
algarismos n´umeros s ´eticos contagem 
0, 6, 8 608, 680, 806, 860 4 
2, 4, 8 248, 284, 428, 482, 824, 842 6 
2, 6, 6 266, 626, 662 3 
4, 4, 6 446, 464, 644 3 
H´a portanto 4 + 6 + 3 + 3 = 16 n´umeros s ´eticos de trˆes algarismos, com os algarismos todos pares. 
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  • 1. XXXIII OPM ­12.11.2014 ­Pr e­Olimp ´´ıadas OES ­5 o ano Quest ao ˜1: cada opc¸ ao ˜correta: 4 pontos cada opc¸ ao ˜errada: ­1 ponto Questoes ˜2, 3: 10 pontos cada ˜SOLUC¸ Sugest˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas 1. (a) Opc¸ ˜ao B. (b) Opc¸ ˜ao C. (c) Opc¸ ˜ao E. (d) Opc¸ ˜ao C. (e) Opc¸ ˜ao E. 2. O per´ımetro da figura preta ´e constitu´ıdo por trˆes lados do quadrado e quatro lados dos triˆangulos. Como dois lados do triˆangulo tˆemo mesmo comprimento que um lado do quadrado, conclui­se que o per´ımetro da figura ´e igual a cinco vezes o comprimento de um lado do quadrado. Assim o lado do quadrado mede 60/5 = 12 mm, pelo que a sua ´area ´e 12 × 12 = 144 mm2. 3. Num n´umero s ´etico de trˆes algarismos, a soma dos algarismos pode ser 7, 14 ou 21, pois 28 > 27 = 3 × 9. Tendo em atenc¸ ˜ao que os algarismos s ˜ao todos pares, a soma dos algarismos no nosso caso s ´o pode ser 14. Apresentamos na seguinte tabela as diferentes escolhas de algarismos que somam 14 e fazemos a contagem dos respetivos n´umeros s ´eticos. algarismos n´umeros s ´eticos contagem 0, 6, 8 608, 680, 806, 860 4 2, 4, 8 248, 284, 428, 482, 824, 842 6 2, 6, 6 266, 626, 662 3 4, 4, 6 446, 464, 644 3 H´a portanto 4 + 6 + 3 + 3 = 16 n´umeros s ´eticos de trˆes algarismos, com os algarismos todos pares. spm