O documento apresenta um problema geométrico envolvendo três circunferências tangentes duas a duas e a uma reta. A solução do problema é dada geometricamente através de triângulos retângulos e leva à igualdade 1/c = 1/a + 1/b. O texto também lista todas as possíveis soluções para colocar números de 1 a 9 nos lados de um triângulo equilátero de forma que a soma em cada lado seja constante.

1. painéis
revista do professor de matemática | no. 80 | 1

2. seção
painéis
PAINEL I
MAIS UM SANGAKU
tiago santos feitosa
Já publicamos anteriormente na RPM 49 (Sangaku - A Geometria sagrada) e na RPM 80 (Um sangaku difícil) artigos apresentando sangakus, ou seja,
gravuras com problemas geométricos, registradas
em tábuas de madeira, feitas no Japão, a partir da
segunda metade do século XVII. Essas gravuras, em
geral, tinham autoria múltipla de matemáticos profissionais e amadores e eram simultaneamente obras
de arte e oferendas aos deuses nos santuários xintoístas e templos budistas. Eram também uma forma de lançar desafios matemáticos.
22 | no. 80 | revista do professor de matemática
Há, nos sangakus, um grande número de problemas envolvendo circunferências e elipses com grau
de dificuldade, em geral, elevado.
Para melhores informações sobre os sangakus e
sua história, sugerimos aos interessados a leitura dos
textos introdutórios dos dois artigos citados.
Neste painel vamos apresentar mais um sangaku que achamos ser interessante para os leitores da
revista.
O problema apresentado é o seguinte:

3. b
a
PAINEL II
A SOLUÇÃO COMPLETA
painéis
Na figura as três circunferências de raios
a, b e c são simultaneamente tangentes duas a duas e a uma reta. Prove que
1
1
1
=
+
.
c
a
b
Sérgio Orsi
Na seção Em Classe da RPM 65 é apresentado o
problema: “colocar os números inteiros de 1 a 9,
sem repetição, sobre os lados de um triângulo equilátero de modo que a soma dos quatro números em
cada lado seja igual a 20.” A figura abaixo mostra
duas soluções do problema.
c
Solução
No triângulo retângulo O1O2L, observando que
O1O2 = a + b e O1L = a – b,
temos pelo teorema de Pitágoras:
(a + b)2 = (LO2)2+ (a – b)2
(LO2)2 = 4ab
LO2 = 2 ab
a
O1
b
L
O2
M
N
J
K
Analogamente, nos triângulos retângulos O1O3M
e O2O3N, observando que
O1O3 = a + c; O1M = a – c; O2O3= b + c e
O2N = b – c, obtemos as igualdades
= 2= 2 bc .
MO3
ac e NO3
Como JK = MO3 + NO3 = LO2 temos
ab = ac + bc .
Dividindo todos os termos por abc obtemos
1
c
=
1
a
+
1
b
.
Depois disso, na seção Painéis da RPM 81, foi
publicada uma generalização do problema para polígonos regulares, com um número qualquer de lados, e foi apresentada uma estratégia para obter uma
solução. Há um adendo da RPM observando que a
estratégia não fornece todas as possíveis soluções,
exibindo uma solução para o triângulo, com soma
dos quatro números colocados nos lados igual a 19,
que não pode ser obtida com a estratégia considerada.
Neste texto, vamos apresentar todos os possíveis
valores para a soma dos quatro números a serem colocados nos lados do triângulo equilátero e todas as
possíveis soluções para cada soma.
Lembrando que estamos considerando os números de 1 a 9, sem repetição, seja SL a soma dos
quatro números colocados em cada um dos lados do
triângulo e SV a soma dos números colocados nos
três vértices do triângulo.
Como cada vértice participa da soma dos números de exatamente dois lados, temos
3 × SL = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + SV .
Logo, SL =
S
45 + SV
= 15 + V .
3
3
Observamos que o valor mínimo para a soma SV
dos números colocados nos vértices é 1 + 2 + 3 = 6
e o valor máximo é 7 + 8 + 9 = 24. Sendo assim, os
revista do professor de matemática | no. 80 | 23

4. painéis
possíveis valores para SL satisfazem:
6
24
ou 17 < SL < 23.
15 + ≤ SL ≤ 15 +
3
3
Considerando ser SL necessariamente inteiro,
SV será um múltiplo de 3, levando a apenas 30
soluções para os vértices, apresentadas na tabela
ao lado. Foram excluídos os triângulos simétricos,
por exemplo, [2, 3, 1], [3, 1, 2], [1, 3, 2], [2, 1, 3] e
[3, 2, 1], simétricos de [1, 2, 3] (a notação [2, 3, 1]
indica que os números 2, 3 e 1 estão nos vértices).
Vamos procurar a solução para a primeira opção
da tabela, com vértices 1, 2 e 3 e SL = 17.
Para o lado [1, 2] (essa notação indica o lado com
os números 1 e 2 nos seus vértices) é necessário
escolher dois números que somem 17 – 1 – 2 = 14.
Números disponíveis para alocação: 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Pares com soma 14: [5, 9] e [6, 8].
Escolhendo o [5, 9] para o lado [1, 2] obtemos o
lado [1, 5, 9, 2].
Para o lado [2, 3] é necessário escolher dois números
que somem 17 – 2 – 3 = 12.
Números disponíveis para alocação: 4, 6, 7 e 8.
Único par com soma 12: [4, 8]
Obtemos o lado [2, 4, 8, 3].
Resta o lado [3, 1], no qual a soma dos dois números a serem colocados deve ser 17 – 1 – 3 = 13
e os únicos números disponíveis para a alocação
são 6 e 7 cuja soma é 13. Obtemos então o lado
[3, 6, 7, 1].
Temos então a
Solução 1: [1, 5, 9, 2] [2, 4, 8, 3] [3, 6, 7, 1]
Escolhendo o [6, 8] para o lado [1, 2] obtemos o
lado [1, 6, 8, 2].
Para o lado [2, 3]:
Números disponíveis para alocação: 4, 5, 7 e 9.
Único par com soma 12: [5, 7]
Obtemos o lado [2, 5, 7, 3].
Para o lado [3, 1] resta [4, 9], cuja soam é 13.
Obtemos então o lado [3, 4, 9, 1].
Temos, então a
Solução 2: [1, 6, 8, 2] [2, 5, 7, 3] [3, 4, 9, 1]
24 | no. 80 | revista do professor de matemática
Vértices
SV
SL
1, 2, 3
6
17
1, 2, 6
9
18
1, 3, 5
9
18
2, 3, 4
9
18
1, 2, 9
12
19
1, 3, 8
12
19
1, 4, 7
12
19
1, 5, 6
12
19
2, 3, 7
12
19
2, 4, 6
12
19
3, 4, 5
12
19
1, 5, 9
15
20
1, 6, 8
15
20
2, 4, 9
15
20
2, 5, 8
15
20
2, 6, 7
15
20
3, 4, 8
15
20
3, 5, 7
15
20
4, 5, 6
15
20
1, 8, 9
18
21
2, 7, 9
18
21
3, 6, 9
18
21
3, 7, 8
18
21
4, 5, 9
18
21
4, 6, 8
18
21
5, 6, 7
18
21
4, 8, 9
21
22
5, 7, 9
21
22
6, 7, 8
21
22
7, 8, 9
24
23

5. painéis
Se tomarmos, por exemplo, o caso dos vértices 1, 5, 6, que está na 8a linha da tabela, temos SL = 19 e,
para o lado [1, 5], por exemplo, teremos que escolher dois números com soma igual a 19 – 1 – 5 = 13. Os
números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 4, 7, 8 e 9. O único par com soma 13 é [4, 9], gerando
o lado [1, 4, 9, 5]. Para o lado [5, 6] devemos escolher dois números com soma igual a 19 – 5 – 6 = 8. Os
números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 7 e 8. Não há dois deles com soma 8, logo essa alternativa
não oferece solução para o problema.
Depois de examinar todas as alternativas, encontramos apenas 18 soluções para o problema, obtidas de
10 linhas da tabela. Essas soluções são:
Vértices
sV
sL
1, 2, 3
6
[1, 5, 9, 2]
[2, 4, 8, 3]
[3, 6, 7, 1]
17
1, 2, 3
6
[1, 6, 8, 2]
[2, 5, 7, 3]
[3, 4, 9, 1]
17
1, 4, 7
12
[1, 5, 9, 4]
[4, 2, 6, 7]
[7, 3, 8, 1]
19
1, 4, 7
12
[1, 6, 8, 4]
[4, 3, 5, 7]
[7, 2, 9, 1]
19
2, 3, 7
12
[2, 5, 9, 3]
[3, 1, 8, 7]
[7, 4, 6, 2]
19
2, 3, 7
12
[2, 6, 8, 3]
[3, 4, 5, 7]
[7, 1, 9, 2]
19
1, 5, 9
15
[1, 6, 8, 5]
[5, 2, 4, 9]
[9, 3, 7, 1]
20
2, 5, 8
15
[2, 4, 9, 5]
[5, 1, 6, 8]
[8, 3, 7, 2]
20
2, 5, 8
15
[2, 6, 7, 5]
[5, 3, 4, 8]
[8, 1, 9, 2]
20
3, 5, 7
15
[3, 4, 8, 5]
[5, 2, 6, 7]
[7, 1, 9, 3]
20
4, 5, 6
15
[4, 2, 9, 5]
[5, 1, 8, 6]
[6, 3, 7, 4]
20
4, 5, 6
15
[4, 3, 8, 5]
[5, 2, 7, 6]
[6, 1, 9, 4]
20
3, 6, 9
18
[3, 4, 8, 6]
[6, 1, 5, 9]
[9, 2, 7, 3]
21
3, 6, 9
18
[3, 5, 7, 6]
[6, 2, 4, 9]
[9, 1, 8, 3]
21
3, 7, 8
18
[3, 2, 9, 7]
[7, 1, 5, 8]
[8, 4, 6, 3]
21
3, 7, 8
18
[3, 5, 6, 7]
[7, 2, 4, 8]
[8, 1, 9, 3]
21
7, 8, 9
24
[7, 2, 6, 8]
[8, 1, 5, 9]
[9, 3, 4, 7]
23
7, 8, 9
24
[7, 3, 5, 8]
[8, 2, 4, 9]
[9, 1, 6, 7]
23
Soluções
PARA O LEITOR
Deixamos para o leitor determinar todas as soluções (são apenas quatro) do problema:
“colocar os números inteiros de 1 a 6, sem repetição,
sobre os lados de um triângulo equilátero de modo que a
soma dos três números em cada lado seja constante.”
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