QUESTÕES PUC-RIO - K-ÉSIMO NÚMERO DA SEQUÊNCIA! (A REENCARNAÇÃO
1. QUESTÕES PUC-RIO - K-ÉSIMO NÚMERO DA
SEQUÊNCIA! (A REENCARNAÇÃO)
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
2. Essa é a chamada sequência de Farey de ordem N (F(N)).
a/b pertence a F(N) <==> 0 <= a <= b <= N e mdc(a,b) = 1.
Além disso, se o k-ésimo termo é a/b e o (k+1)-ésimo eh c/d então:
a/b < c/d e bc - ad = 1, ou seja:
c/d = a/b + 1/(bd).
3. Apesar de não fornecer uma fórmula, o algoritmo abaixo (descrito em "An
Introduction to the Theory of Numbers" - Hardy-Wright - sec. 3.4) permite
determinar o c/d conhecendo-se a/b:
Como mdc(a,b) =1, existem inteiros x e y tais que bx - ay = 1.
4. Se (p,q) é uma solução particular dessa equação diofantina (ou seja, bp -
aq = 1) então, a solução geral será:
x = p + a*k
y = q + b*k (k em Z)
Podemos escolher k de modo que N - b < q + b*k = y <= N.
5. Dessa forma, teremos uma solução (x,y) tal que:
mdc(x,y) = 1 e N - b < y <= N ==>
x/y pertence a F(N) e x/y = a/b + 1/(by) > a/b.
Vamos provar, por absurdo, que x/y = c/d.
Suponhamos que x/y <> c/d. Então, x/y > c/d ==>
x/y - c/d = (dx - cy)/(dy) >= 1/(dy)
