Hoje compartilharei uma dúvida interessante publicada na lista da PUC-RIO. Acompanhe a resolução desta questão.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - DEMONSTRAÇÃO MAIS ELEMENTAR
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje compartilharei uma dúvida interessante publicada na lista da PUC-RIO.
Acompanhe a resolução desta questão.

3. DÚVIDA
É bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide
infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta
usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está
relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de
obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares.
Alguém conhece alguma?

4. SOLUÇÃO
Se p = 3, então p divide 111, 111111, 111111111, e qualquer número formado
por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo).
Suponhamos, portanto, que p <> 2, 3 e 5.
Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil
de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler)
Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2...,
teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2....a_na_1a_2...
de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja,
p divide 10^n - 1 = 9*11...1

5. Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1).
Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos
formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200504/msg00028.html