O documento define o produto misto de dois vetores e apresenta a fórmula para calculá-lo. Explica que o volume de um paralelepípedo é igual ao produto misto dos vetores que definem suas arestas e que o volume de um tetraedro é igual a 1/6 do produto misto dos vetores que definem suas arestas.

1. PRODUTO MISTO
 
Definimos o produto misto de dois
vetores u e v dados por
   
 u = (a, b, c) = a.i + b. j + c.k
   
v = (d , e, f ) = d .i + e. j + f .k
como :
     
[ u , v , w ] = u.( v x w )

2.   
Pelo Produto Vetorial
Pelo Produto Vetorial i j k
já estudado
já estudado  
anteriormente ,, temos ::
anteriormente temos vxw= d e f
g h 
Pela Regra de Sarrus ,, temos ::
Pela Regra de Sarrus temos
  
i j k
  e f  d f  d e 
vxw= d e f = .i − .j + .k
h  g  g h
g h 

3.   
i j k
  e f  d f  d e 
vxw= d e f = .i − .j + .k
h  g  g h
g h 
     
[ u , v , w ] = u.( v x w ) =
  
i j k
   e f d f d e
u.( v x w) = d e f = a. − b. + c.
h  g  g h
g h 

4.   
i j k
   e f d f d e
u.( v x w) = d e f = a. − b. + c.
h  g  g h
g h 
a b c
     
[ u , v , w ] = u.( v x w) = d e f
Pelas Propriedades dos
Pelas Propriedades dos
g h 
Determinantes, temos ::
Determinantes, temos
[ u , v , w ] = u.( v x w) = (u x v ) .w
        

6.         
(u x v ) .w = w.( u x v ) = w.( − v x u ) =
g h  g h 
= −d −e −f = −d e f =
a b c a b c
a b c a b c
= ( −1).( −1). d e f = d e f
Logo : g h  g h 
[ u , v , w ] = u.( v x w) = (u x v ) .w
        

7.   INTERPRETAÇÃO
INTERPRETAÇÃO
vxw
GEOMÉTRICA
GEOMÉTRICA
h
θ
u  Veja que :
w 
 h = u . cos θ
v  
Sb = v x w

8. Lembre-se que todo paralelepípedo é
um prisma.
  
h = u . cos θ ; S b = v x w
  
V = S b .h = v x w . u . cos θ
V = S b .h = ( v x w ).u = [ u , v , w ]
     
V = [u , v , w ]
  

9. VETORES
COPLANARES
São vetores que estão contidos no
mesmo plano.

 v
w 
u

10.  
w v 
u
Repare que vetores que estão
contidos no mesmo plano, não
formam paralelepípedo.
Digamos então que o que seria um
paralelepípedo é um sólido de volume
igual a zero. Então :
[u , v , w] = 0
  

11.  
vxw VOLUME DO
O Paralelepípedo pode TETRAEDRO
ser dividido em dois
Prismas Triangulares Da Geometria Espacial,
de mesmo volume. temos que o volume de
uma Pirâmide, vale
1/3 do volume do
h Prisma.
θ
u  Assim, temos :
w 1 1 
Vtetr . = . .Vparal . 
 3 2 
v
1   
V = . [u , v , w ]
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