Este documento fornece noções básicas de geometria e trigonometria, incluindo definições de perímetro, área, ângulos, razões trigonométricas e exemplos resolvidos. Explica conceitos como circunferência, raio, diâmetro, perímetro e área do círculo.

1. TRIGONOMETRIA
NOÇÕES DE GEOMETRIA E
TRIGONOMETRIA
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1

2. NOÇÕES DE GEOMETRIA
PERÍMETRO – soma dos lados de um
polígono qualquer.
O perímetro do quadrado é: 12
O perímetro do triângulo é 12
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2

3. ÁREA - é a medida de
superfície
 Área de um triângulo
base
altura
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4.  Área do quadrado
A = a²
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5.  Área do retângulo
A = a .
b
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6.  Área do Paralelogramo
A = a .
b
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7.  Área do losango
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8.  Área do Trapézio
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9.  Circunferência e Círculo
 Circunferência – lugar geométrico dos
pontos que possuem a mesma
distância de um determinado
ponto, chamado CENTRO.
.C
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10.  Círculo – é a união da circunferência
com o seu anterior.
.C
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1
0

11. CONCEITOS IMPORTANTES
 RAIO – é a distância do centro a
qualquer ponto da circunferência.
.C
O raio é a metade do diâmetro
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12.  Diâmetro – é uma corda que passa
pelo centro ( mede o dobro do raio).
. C
Diâmetro é duas vezes o raio
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13. O NÚMERO ∏ (Pi)
 Imagine uma circunferência e seu
respectivo diâmetro.
.
C
Imagine que o círculo seja cortado e esticado.
Se compararmos o tamanho do diâmetro com essa
linha, veremos que ela é 3,14 vezes maior.
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14. Perímetro da circunferência

Área do círculo
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15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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16.  1. Calcule o perímetro das figuras
abaixo:
P = 2 + 4 + 5 + 7 = 18
P = 4 . 5 = 20
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17.  2. Calcule a área das figuras abaixo:
QUADRADO
A = a²
A = 5² = 25
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18. CÍRCULO
RETÂNGULO
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19. TRIÂNGULO
PARALELOGRAMO
A = a .
bA = 5.3 = 15
Obs: a altura é perpendicular ao lado
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20. LOSANGO
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21. NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA
 RETA, SEMI-RETA E SEGMENTO DE
RETA
r
s
t
reta
Semi-reta
Segmento de reta
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22.  ÂNGULOS – é a união de duas semi-retas
distantes que possuem uma origem
comum.
r
s
O
A
B
ÂNGULO
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23.  Ângulos Consecutivos – quando dois
ângulos possuem um lado em
comum. r
s
O
A
B
t
C
AÔB e AÔC são consecutivos porque tem um lado em comum
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24.  Ângulos Adjacentes - quando dois ângulos
consecutivos não possuírem pontos
internos comuns eles serão adjacentes.
s
O
A
B
t
C
AÔB e BÔC são consecutivos, pois OB é um lado comum e
são adjacentes pois não possuem pontos internos comuns
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2
4

25. MEDIDA DE ÂNGULOS
Se dividirmos um círculo em 360 “fatias”
finas, cada uma dessas fatias poderá ser
chamada de grau.
0º
90º
180º
270º
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26.  Ângulo Raso – é o ângulo formado
entre um segmento de reta e o seu
prolongamento. (180º)
180º
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27.  Ângulo Reto – possui a metade de um
ângulo raso e mede 90º.
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28. TRIÂNGULO
 Figura geométrica que apresenta 3
lados e 3 ângulos internos.
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2
8

29. Triângulo retângulo
 Aquele em que um dos ângulos
internos apresenta 90°
“pai” da trigonometria
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30. ELEMENTOS DO TRIÂNGULO
RETANGULO
 HIPOTENUSA – lado oposto ao ângulo de 90°
(maior lado)
 CATETOS – lados que formam o ângulo de
90°
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31. TEOREMA DE PITÁGORAS
 RELAÇÃO ENTRE OS LADOS DO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
a² = b² + c²
EX: Em um triângulo retângulo os catetos
medem 3 e 4. determine a medida da
hipotenusa. a² = 3² + 4²
a² = 9 + 16
a² = 25
a = 5
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32. CATETO OPOSTO E CATETO ADJACENTE
 CATETO OPOSTO – é o cateto que não participa
de um ângulo.
 CATETO ADJACENTE – é o cateto que participa
de um ângulo.
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33. Razões Trigonométricas
SENO – razão entre cateto oposto e a hipotenusa
COSSENO – razão entre cateto adjacente e a
hipotenusa.
TANGENTE – razão entre cateto oposto e cateto
adjacente.(ou seno sobre cosseno
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3
3

34. Exemplificando
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35. Ângulos Notáveis
 São ângulos de 30°, 45° e 60° e seus
respectivos valores de seno, cosseno e
tangente.
30° 45° 60°
SENO
COSSENO
TANGENTE
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36. EXERCICIOS RESOLVIDOS
 1. Calcule x:
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
x = 5
10² = x² + 8²
100 = x² + 64
- x² = 64 - 100
- X² = - 36
X² = 36
x = 6
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37. x + 5
(x + 6)² = (x + 5)² + (x - 2)²
x² +12x + 36 = (x² + 10x + 25) + (x² - 4x + 4)
x² +12x + 36 = x² + 10x + 25 + x² - 4x + 4
x² +12x + 36 = 2x² + 6x + 29
x² +12x + 36 – 2x² - 6x – 29 = 0
- x² + 6x + 7 = 0 (-1)
x² - 6x – 7x = 0 x = -1
ou
x = 7
Obs: subst. X por
qualquer lado não pode
ficar negativo no
resultado.
Ex: x – 2
- 1 – 2 = 3 ???
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38. 2. Qual a medida da diagonal de um quadrado de lado 3?
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39. 3. Qual a medida da altura de um triângulo equilátero
de lado 6?
6
h
6
6h
3
273
9 3
3 3
1
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40. 4. Determine x e seno de alfa:
.
x
104 2
52 2
26 2
13 13
1
Seno de alfa = co/h
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41. E se quiséssemos achar a Tangente de 17º ????
Desenhe um triângulo retângulo com um ângulo de
17º, meça seus lados. A razão entre o cateto oposto ao
ângulo de 17 graus e o cateto adjacente ao mesmo
ângulo dará a tangente do ângulo de 17°.
19,2cm
5,2cm
17º
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42. Exemplo de aplicação
Um navegador avista do seu barco uma montanha de
altura conhecida (4000m). Observando a montanha com
um instrumento especial (ex: um astrolábio) ele
consegue medir um ângulo de 17 entre a base e o topo
vistos se sua posição atual. A qual distância está a
montanha?
x
4000m
17º
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43. x
4000m
17º Cateto oposto
Cateto adjacente
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44. 1. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de
20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, qual
será a altura atingida pelo avião, aproximadamente?
(Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º =
0,364)
EXERCICIOS
A altura atingida pelo avião será de 684 metros.
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45. 2. Um avião decola, percorrendo uma trajetória
retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º
(suponha que a região sobrevoada pelo avião seja
plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a
altura atingida pelo avião?
A altura será de 500 metros.
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46. a) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as
medidas de x e y indicadas (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 =
0,42 ; tg 65 = 2,14)
cos 65° = y / 9
0,42 . 9 = y
y = 3,78
sen 65° = x /9
0,91 . 9 = x
x = 8,19
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47. b) Considerando o triângulo retângulo ABC da
figura, determine as medidas a e b indicadas.
(Sen 60 = 0,866)
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48. Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô:
tg  = 48 / 14 = 24 / 7
tg Ê = 14 / 48 = 7 / 24
tg Ô = / = 1
tg Ê = / = 1
16² = 2² + x²
x² = 252
x =
tg  = 2 / = / 21
tg Ô = / 2 = 3
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49. MEDIDAS DO ÂNGULO
Nossas duas principais medidas são o GRAU e o RADIANO
90°
180°
270°
400° = 360° + 40°
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50. CONVERSÃO DE GRAUS EM RADIANOS
Ex: converter 30 em radianos
GRAUS RADIANOS
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51. y
x
1
1- 1
- 1
0
O círculo trigonométrico
é uma circunferência de
raio unitário com centro
na origem do plano
cartesiano.
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52. Qualquer ponto no círculo trigonométrico possui pelo menos 3
características:
a) Um ângulo associado
b) Uma abscissa (cosseno)
c) Uma ordenada (seno)
y
x
1
1- 1
- 1
0
30
30
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53. OS QUADRANTES
90°
180°
270°
X
Y
O círculo trigonométrico possui 4 quadrantes
Para os ângulos localizados nos eixos (0°, 90°, 180°, 270° e
360° não é definido o quadrante.
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54. ÂNGULOS CÔNGRUOS
Se dois valores estão relacionadas com as mesmas
posições no Ciclo Trigonométrico, dizemos que eles
são CÔNGRUOS
y
x
0
y
x
0
45
405
Os ângulos de 45° e 405° são CÔNGRUOS
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55. Os ângulos no círculo trigonométrico são medidos
no sentido anti-horário. Um ângulo negativo
significa que ele está sendo medido no sentido
horário.
y
x
0
45
y
x
0
- 315
Os ângulos de 45° e - 315° são CÔNGRUOS
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