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  1. 1. Módulo Para termos uma primeira noção de módulo considere a reta real abaixo: Damos o nome de módulo ou valor absoluto à distância de um ponto da reta àorigem (distância de um ponto ao zero). Assim, a distância do ponto 2 à origem é 2. Dizemos que o módulo de 2 é igual a 2.E representamos:|2| = 2 Da mesma forma, a distância do ponto -3 à origem é 3, ou seja, o módulo de -3 é 3,pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:|-3| = 3 Outros exemplos:|5| = 5|-9| = 9|0| = 0|-15| = 15 Definição (Generalização de módulo): Sendo x define – se módulo ou valor absoluto de x que se indica por , Através da relação Isto significa que: (1°) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; (2°) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.
  2. 2. Propriedades:Decorrem da definição as seguintes propriedades:1)Módulo é a representação de distância de um número real até a origem zero. Comonão existe distância negativa então o módulo de qualquer número deve serobrigatoriamente maior ou igual a zero.2)Qual é o único número que possui uma distância zero em relação à origem?R: Logicamente é a própria origem, pois não à distância dela para com ela mesma.3)Lembrando a regra de sinais da multiplicação: “Sinais iguais passam para mais, já sinais diferentes passam para menos” Matematicamente: (+a). (+b)= (+ab) ou (-a).(-b)= (+ab) (-a). (+b) = (-ab) ou (+a).(-b)= (-ab)Agora voltando à propriedade de módulo podemos observar sua veracidade dividindo ela emdois casos:(1° caso) x e y têm sinais iguais, por exemplo, x e y são positivos (x≥0 e y≥0): , pois x ≥ 0 e y ≥ 0também será positiva e com isso:
  3. 3. Portanto: O símbolo “ , “significa se, e somente se”.(2° Caso) x e y têm sinais diferentes, por exemplo, x ≥ 0 e y < 0: , pois x ≥ 0 e y < 0.Portanto:Conclusão: A propriedade é válida para x e y com sinais iguais e para x e y com sinaisdiferentes. Ou seja, ela é válida para qualquer x e y pertencente aos Reais, pois Reais ( ) é oconjunto que estamos trabalhando.4) , qualquer que seja xPara tentar mostrar a veracidade da propriedade vamos dividi – lá em dois casos diferentes:(1° Caso) x≥0Nesse caso pela definição de módulo:
  4. 4. (2° Caso) x<0Pela definição:Como (o que é Verdade!)Conclusão: é válido para qualquer x pertencente aos Reais ( ). 5) , qualquer que seja x, y Para mostrar essa propriedade vamos lembrar a potenciação da soma e da diferença de dois números reais a e b: Voltando a propriedade temos que:
  5. 5. . Agora chegamos que Para que se comprove a propriedade, temos que mostrar que a expressão quechegamos ( é válida para qualquer x, y pertencente aos . Vamos então analisar em casos: (1°Caso) x≥0 e y≥0. Nesse caso: xy ≥0, , Sendo assim: (2°Caso) x<0 e y<0. Nesse caso: xy >0, , Sendo assim:
  6. 6. Lembre-se que quando multiplicamos uma desigualdade por um número negativo, o símbolo da desigualdade se altera: Ex: Observe a resolução dessa inequação: -2x+2 > 0 -2x > -2 (-1) 2x < 2 x<1 (3°Caso) x≥0 e y<0. Nesse caso: xy ≤ 0, , . Sendo assim: (4°Caso) x<0 e y≥0. Nesse caso: xy ≤0, , . Sendo assim: Conclusão: , qualquer que seja x, y6) , qualquer que seja x, y Para mostrarmos essa propriedade usamos o mesmo raciocínio usado da propriedadeanterior:
  7. 7. . Agora chegamos que Para que se comprove a propriedade, temos que mostrar que a expressão que chegamos( é válida para qualquer x, y pertencente aos .Vamos então analisar em casos:(1°Caso) x≥0 e y≥0.Nesse caso: xy ≥0, , . Sendo assim: (2°Caso) x<0 e y<0. Nesse caso: xy >0, , Sendo assim:
  8. 8. (3°Caso) x≥0 e y<0. Nesse caso: xy ≤ 0, , Sendo assim: (4°Caso) x<0 e y≥0. Nesse caso: xy ≤0, , . Sendo assim: Conclusão: , qualquer que seja x, y7) . Para mostrarmos esta propriedade vamos lembrar que:A comprovação da propriedade pode ser feita dividindo a situação em dois casos:(1° caso) x≥0, sendo assim, .Nesse caso:(2° caso) x<0, sendo assimNesse caso:Chegamos à conclusão que e , ou seja, .
  9. 9. 8) O raciocínio usado para demonstrar essa propriedade é igual ao da propriedade anterior, porisso dividiremos também em dois casos:(1° caso) x≥0, sendo assim, .Nesse caso:(2° caso) x<0, sendo assimNesse caso:Chegamos à conclusão que ou .

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