Polinômios
Ao final dessa aula você saberá...O que é um polinômioClassificar os polinômiosDeterminar o grau de um polinômioOrdena...
O que é polinômio?  É uma adição algébrica de monômios.      Exemplos de polinômios4a3       x2+3y        4m2+3m+1        ...
Classificação dos polinômios Monômios  polinômios com apenas 1 termo Binômios  polinômios com 2 termos Trinômios  po...
Como sabemos o grau de um polinômio?  Verificamos o grau de cada monômio da  expressão. O maior deles é o grau do  polinôm...
Observação  Polinômios com uma só variável geralmentesão apresentados ordenadamente, começando pelomonômio de maior grau.E...
O que são polinômios incompletos    em relação a uma variável?    Se um polinômio estiver ordenado e o coeficiente de algu...
Qual é a regra para somar e     subtrair polinômios?Basta fazer a redução dos termos semelhantes.Exemplos:a) (y3 – 2y2 + 5...
Tente fazer sozinho!Dados os polinômios:A = 5x2 – 3x + 4B = 2x2 + 4x – 3C = x2 – 3x         Calcule A + C – B
SoluçãoA+C–B=(5x2 – 3x + 4) + (x2 – 3x) – (2x2 + 4x – 3)=5x2 – 3x + 4 + x2 – 3x – 2x2 – 4x + 3 =5x2 + x2 – 2x2 – 3x – 3x –...
Como multiplicamos polinômios?   Aplicando a propriedade distributiva.Exemplos:a) – y2 (y3 – 2y2 + 1) = – y5 + 2y4 – y2b) ...
Tente fazer sozinho!             3       1         2x + y    x− ySeja A =     5 eB=   2Calcule AB.
SoluçãoA.B=      3        1                   3 xy 3 y 2 2x +     y x − y      5        2    = 2 x 2 − xy +   ...
Como dividimos um polinômio      por um monômio?      Aplicando a propriedade distributiva.Exemplos:a) (15m3 – 10m2) : (-5...
Tente fazer sozinho!(Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão   3     (2   3           )  a a +a : a  5                ,...
Solução  (        )a 3 a 2 + a 3 : a 5 = (a 5 +a 6 ) : a 5 = 1 + a                 Resposta: A
Para dividir um polinômio por outro  também usamos a distributiva?                   Não!  Nesse caso temos que armar a co...
Exemplo 1         (Calcule: x + 2 x − 15             2                        )   :   ( x + 5)1º passo: ordenar e completa...
3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo  1º termo do divisor.                         x 2 + 2 x − 15   x+5         ...
5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ªlinha, obtendo um novo dividendo.              x 2 + 2 x − 15       x+5            ...
x 2 + 2 x − 15   x+5      x 2 + 2 x − 15   x+5− x2 − 5x          x −3   − x2 − 5x          x −3    − 3 x − 15             ...
Exemplo 2Encontre o resto da divisão de x + 1 por x3 + 1 .                                              41º passo:     x 4...
4º passo:                           5º passo:  x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1     x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1− x4  ...
Tente fazer sozinho!1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio       4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:  a) 1     b) 2      ...
SoluçõesExercício 1:        4 x 3 + 12 x 2 + x − 4   2x + 3      − 4 x3 − 6 x 2             2 x 2 + 3x − 4                ...
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  1. 1. Polinômios
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá...O que é um polinômioClassificar os polinômiosDeterminar o grau de um polinômioOrdenar e completar um polinômioSomar e subtrair polinômiosMultiplicar polinômiosDividir um polinômio por um monômioDividir um polinômio por outro polinômio
  3. 3. O que é polinômio? É uma adição algébrica de monômios. Exemplos de polinômios4a3 x2+3y 4m2+3m+1 Atenção! O 1º exemplo é a soma do monômio 4a3 com o zero.
  4. 4. Classificação dos polinômios Monômios  polinômios com apenas 1 termo Binômios  polinômios com 2 termos Trinômios  polinômios com 3 termos Não existe um nome específico para os polinômios que apresentam 4 ou mais termos.
  5. 5. Como sabemos o grau de um polinômio? Verificamos o grau de cada monômio da expressão. O maior deles é o grau do polinômio.Exemplos: x 2 y 3 +2 xy 2   polinômio do 5º grau 5 º grau 3 º grau 4a 3 + 7 a 2 − 6ab  polinômio do 4º grau   b2  3 º grau 2 º grau 4 º grau
  6. 6. Observação Polinômios com uma só variável geralmentesão apresentados ordenadamente, começando pelomonômio de maior grau.Exemplo: Ordenar o polinômio 2x2 + x + 5x3 + 9. Resposta: 5x3 + 2x2 + x + 9Verifique que o 9 é um monômio de grau zero. 9 = 9x0
  7. 7. O que são polinômios incompletos em relação a uma variável? Se um polinômio estiver ordenado e o coeficiente de algum termo for zero, então esse polinômio é incompleto. Exemplos:x4 – 3 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 38m3 + m2 = 8m3 + m2 + 0m + 0
  8. 8. Qual é a regra para somar e subtrair polinômios?Basta fazer a redução dos termos semelhantes.Exemplos:a) (y3 – 2y2 + 5) + (2y3 – 5y – 7) = y3 – 2y2 + 5 + 2y3 – 5y – 7 = 3y3 – 2y2 – 5y – 2 b) (6m2 – 7mn + 8n2) – (8mn + 5m2 – 7n2) = 6m2 – 7mn + 8n2 – 8mn – 5m2 + 7n2 = m2 – 15mn + 15n2
  9. 9. Tente fazer sozinho!Dados os polinômios:A = 5x2 – 3x + 4B = 2x2 + 4x – 3C = x2 – 3x Calcule A + C – B
  10. 10. SoluçãoA+C–B=(5x2 – 3x + 4) + (x2 – 3x) – (2x2 + 4x – 3)=5x2 – 3x + 4 + x2 – 3x – 2x2 – 4x + 3 =5x2 + x2 – 2x2 – 3x – 3x – 4x + 4 + 3 =4x2 – 10x + 7
  11. 11. Como multiplicamos polinômios? Aplicando a propriedade distributiva.Exemplos:a) – y2 (y3 – 2y2 + 1) = – y5 + 2y4 – y2b) (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
  12. 12. Tente fazer sozinho! 3 1 2x + y x− ySeja A = 5 eB= 2Calcule AB.
  13. 13. SoluçãoA.B= 3   1  3 xy 3 y 2 2x + y x − y 5   2  = 2 x 2 − xy + − = 5 10 5 xy 3xy 3 y 2 2 xy 3 y 2 2x − 2 + − = 2x2 − − 5 5 10 5 10
  14. 14. Como dividimos um polinômio por um monômio? Aplicando a propriedade distributiva.Exemplos:a) (15m3 – 10m2) : (-5m) = - 3m2 + 2m 2  3 3 2 1   4  9x 9x 3  6x − x + x  :  x  = − +  4 2  3  2 16 8b)
  15. 15. Tente fazer sozinho!(Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão 3 (2 3 ) a a +a : a 5 , encontramos:a) 1 + a b) a2 + a c) 1 + 5ad) 1 – a e) a3
  16. 16. Solução ( )a 3 a 2 + a 3 : a 5 = (a 5 +a 6 ) : a 5 = 1 + a Resposta: A
  17. 17. Para dividir um polinômio por outro também usamos a distributiva? Não! Nesse caso temos que armar a conta, comose fosse uma divisão de números naturais: dividendo divisor resto quociente e seguir os passos descritos nos próximos exemplos.
  18. 18. Exemplo 1 (Calcule: x + 2 x − 15 2 ) : ( x + 5)1º passo: ordenar e completar o dividendo, se necessário.Nesse caso não será necessário2º passo: armar a conta. x+5 x 2 + 2 x − 15
  19. 19. 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo 1º termo do divisor. x 2 + 2 x − 15 x+5 x4º passo: multiplicar o resultado por cada termo do divisor, colocando a resposta embaixo do dividendo,− com xo 5 x 2 + 2 x 15 + sinal contrário. so, pas − x − 5x 2 pr óximo os x acilitar o ar os term ão. Para f re coloc reç proc u mes m a di ant es na semelh
  20. 20. 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ªlinha, obtendo um novo dividendo. x 2 + 2 x − 15 x+5 − x2 − 5x x − 3 x − 156º passo: Verificar se o 1º termo do novodividendo é menor que o 1º termo dodivisor. Caso não seja, voltamos ao 3ºpasso. x 2 + 2 x − 15 x+5 − x 2 − 5x x−3 − 3 x − 15
  21. 21. x 2 + 2 x − 15 x+5 x 2 + 2 x − 15 x+5− x2 − 5x x −3 − x2 − 5x x −3 − 3 x − 15 − 3 x − 15 3 x + 15 3 x + 15 0 Logo, quociente = x – 3 e resto = 0. Importante! Note que para toda divisão vale dizer que dividendo = divisor x quociente + resto, ou seja, D = d.q + r
  22. 22. Exemplo 2Encontre o resto da divisão de x + 1 por x3 + 1 . 41º passo: x 4 + 0 x3 + 0 x 2 + 0 x + 12º passo: 3º passo:x + 0x + 0x + 0x +1 x +1 4 3 2 3 x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1 x
  23. 23. 4º passo: 5º passo: x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1 x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1− x4 −x x − x4 −x x − x +1 6º passo: como o 1º termo do novo dividendo é menor que o 1º termo do divisor, não podemos continuar a divisão. Logo, o quociente = x e o resto = - x +1
  24. 24. Tente fazer sozinho!1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 82) Determine o polinômio que dividido por x + 5, tem por quociente x – 2 e resto 3.
  25. 25. SoluçõesExercício 1: 4 x 3 + 12 x 2 + x − 4 2x + 3 − 4 x3 − 6 x 2 2 x 2 + 3x − 4 6x2 + x − 4 − 6x2 − 9x − 8x − 4 + 8 x + 12 8 Resposta: EExercício 2: D = d.q + r = (x + 5) (x – 2) + 3 = x2 – 2x + 5x – 10 + 3 = x2 + 3x – 7

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