Polinômios
<ul><li>O que é um polinômio </li></ul><ul><li>Classificar os polinômios </li></ul><ul><li>Determinar o grau de um polinôm...
  O que é polinômio? É uma  adição  algébrica de  monômios . Exemplos de polinômios 4a 3 x 2 +3y 4m 2 +3m+1 Atenção! O 1º ...
Classificação dos polinômios <ul><li>Monômios     polinômios com apenas  1 termo </li></ul><ul><li>Binômios     polinômi...
Como sabemos o grau de um polinômio? <ul><li>Verificamos o  grau de cada monômio  da expressão. O  maior deles  é o grau d...
Observação Polinômios com uma só variável geralmente  são apresentados ordenadamente, começando pelo monômio de maior grau...
O que são polinômios incompletos em relação a uma variável? <ul><li>Se um polinômio estiver  ordenado  e o  coeficiente  d...
Qual é a regra para somar e subtrair polinômios? <ul><li>Basta fazer a  redução dos termos semelhantes . </li></ul><ul><li...
Tente fazer sozinho! Dados os polinômios: A = 5x 2  – 3x + 4  B = 2x 2  + 4x – 3  C = x 2  – 3x Calcule A + C – B
Solução A + C – B = (5x 2  – 3x + 4) + (x 2  – 3x) – (2x 2  + 4x – 3)= 5x 2  – 3x + 4 + x 2  – 3x – 2x 2  – 4x + 3 =  5x 2...
Como multiplicamos polinômios? <ul><li>Aplicando a propriedade  distributiva . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><...
<ul><li>Tente fazer sozinho! </li></ul><ul><li>Seja A =    e B = </li></ul><ul><li>Calcule AB. </li></ul>
Solução <ul><li>A . B = </li></ul><ul><li>  =  =  </li></ul><ul><li>=  </li></ul>
Como dividimos um polinômio por um monômio? <ul><li>Aplicando a propriedade  distributiva . </li></ul><ul><li>Exemplos: </...
<ul><li>Tente fazer sozinho! </li></ul><ul><li>(Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão </li></ul><ul><li>, encontramos...
Solução <ul><li>= =  1 + a  </li></ul><ul><li>Resposta: A </li></ul>
Para dividir um polinômio por outro também usamos a distributiva? Não!  Nesse caso temos que  armar a conta , como se foss...
Exemplo 1 <ul><li>Calcule:  : </li></ul><ul><li>1º passo:  ordenar  e  completar  o  dividendo , se necessário. </li></ul>...
<ul><li>3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo </li></ul><ul><li>1º termo do divisor. </li></ul><ul><li>4º passo: ...
5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha, obtendo um novo dividendo. 6º passo: Verificar se o 1º termo do novo divide...
Logo, quociente = x – 3 e resto = 0. Importante! Note que para toda divisão vale dizer que dividendo = divisor x quociente...
Exemplo 2 <ul><li>Encontre o resto da divisão de  por  . </li></ul><ul><li>1º passo: </li></ul><ul><li>2º passo:    3º pas...
<ul><li>4º passo:   5º passo: </li></ul><ul><li>6º passo:  como o  1º termo  do novo dividendo é  menor  que o  1º termo  ...
<ul><li>Tente fazer sozinho! </li></ul><ul><li>1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio    4x 3  + 12x 2  + x – 4 por 2x...
Soluções <ul><li>Exercício 1: </li></ul><ul><li>  Resposta: E </li></ul><ul><li>Exercício 2: </li></ul><ul><li>D = d.q + r...
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  1. 1. Polinômios
  2. 2. <ul><li>O que é um polinômio </li></ul><ul><li>Classificar os polinômios </li></ul><ul><li>Determinar o grau de um polinômio </li></ul><ul><li>Ordenar e completar um polinômio </li></ul><ul><li>Somar e subtrair polinômios </li></ul><ul><li>Multiplicar polinômios </li></ul><ul><li>Dividir um polinômio por um monômio </li></ul><ul><li>Dividir um polinômio por outro polinômio </li></ul>Ao final dessa aula você saberá...
  3. 3. O que é polinômio? É uma adição algébrica de monômios . Exemplos de polinômios 4a 3 x 2 +3y 4m 2 +3m+1 Atenção! O 1º exemplo é a soma do monômio 4a 3 com o zero.
  4. 4. Classificação dos polinômios <ul><li>Monômios  polinômios com apenas 1 termo </li></ul><ul><li>Binômios  polinômios com 2 termos </li></ul><ul><li>Trinômios  polinômios com 3 termos </li></ul><ul><li>Não existe um nome específico para os polinômios </li></ul><ul><li>que apresentam 4 ou mais termos. </li></ul>
  5. 5. Como sabemos o grau de um polinômio? <ul><li>Verificamos o grau de cada monômio da expressão. O maior deles é o grau do polinômio. </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>  polinômio do 5º grau </li></ul><ul><li> polinômio do 4º grau </li></ul>
  6. 6. Observação Polinômios com uma só variável geralmente são apresentados ordenadamente, começando pelo monômio de maior grau. Exemplo: Ordenar o polinômio 2x 2 + x + 5x 3 + 9. Resposta: 5x 3 + 2x 2 + x + 9 Verifique que o 9 é um monômio de grau zero . 9 = 9x 0
  7. 7. O que são polinômios incompletos em relação a uma variável? <ul><li>Se um polinômio estiver ordenado e o coeficiente de algum termo for zero , então esse polinômio é incompleto . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>x 4 – 3 = x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x – 3 </li></ul><ul><li>8m 3 + m 2 = 8m 3 + m 2 + 0m + 0 </li></ul>
  8. 8. Qual é a regra para somar e subtrair polinômios? <ul><li>Basta fazer a redução dos termos semelhantes . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>a) (y 3 – 2y 2 + 5) + (2y 3 – 5y – 7) = </li></ul><ul><li> y 3 – 2y 2 + 5 + 2y 3 – 5y – 7 = </li></ul><ul><li> 3y 3 – 2y 2 – 5y – 2 </li></ul><ul><li>b) (6m 2 – 7mn + 8n 2 ) – (8mn + 5m 2 – 7n 2 ) = </li></ul><ul><li>6m 2 – 7mn + 8n 2 – 8mn – 5m 2 + 7n 2 = </li></ul><ul><li> m 2 – 15mn + 15n 2 </li></ul>
  9. 9. Tente fazer sozinho! Dados os polinômios: A = 5x 2 – 3x + 4 B = 2x 2 + 4x – 3 C = x 2 – 3x Calcule A + C – B
  10. 10. Solução A + C – B = (5x 2 – 3x + 4) + (x 2 – 3x) – (2x 2 + 4x – 3)= 5x 2 – 3x + 4 + x 2 – 3x – 2x 2 – 4x + 3 = 5x 2 + x 2 – 2x 2 – 3x – 3x – 4x + 4 + 3 = 4x 2 – 10x + 7
  11. 11. Como multiplicamos polinômios? <ul><li>Aplicando a propriedade distributiva . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>– y 2 (y 3 – 2y 2 + 1) = – y 5 + 2y 4 – y 2 </li></ul><ul><li>(a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 </li></ul><ul><li> </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Tente fazer sozinho! </li></ul><ul><li>Seja A = e B = </li></ul><ul><li>Calcule AB. </li></ul>
  13. 13. Solução <ul><li>A . B = </li></ul><ul><li> = = </li></ul><ul><li>= </li></ul>
  14. 14. Como dividimos um polinômio por um monômio? <ul><li>Aplicando a propriedade distributiva . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>(15m 3 – 10m 2 ) : (-5m) = - 3m 2 + 2m </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Tente fazer sozinho! </li></ul><ul><li>(Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão </li></ul><ul><li>, encontramos: </li></ul><ul><li>a) 1 + a b) a 2 + a c) 1 + 5a </li></ul><ul><li>d) 1 – a e) a 3 </li></ul>
  16. 16. Solução <ul><li>= = 1 + a </li></ul><ul><li>Resposta: A </li></ul>
  17. 17. Para dividir um polinômio por outro também usamos a distributiva? Não! Nesse caso temos que armar a conta , como se fosse uma divisão de números naturais: e seguir os passos descritos nos próximos exemplos. quociente dividendo divisor resto
  18. 18. Exemplo 1 <ul><li>Calcule: : </li></ul><ul><li>1º passo: ordenar e completar o dividendo , se necessário. </li></ul><ul><li>Nesse caso não será necessário </li></ul><ul><li>2º passo: armar a conta . </li></ul>
  19. 19. <ul><li>3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo </li></ul><ul><li>1º termo do divisor. </li></ul><ul><li>4º passo: multiplicar o resultado por cada termo do divisor, colocando a resposta embaixo do dividendo, com o sinal contrário . </li></ul>Para facilitar o próximo passo, procure colocar os termos semelhantes na mesma direção.
  20. 20. 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha, obtendo um novo dividendo. 6º passo: Verificar se o 1º termo do novo dividendo é menor que o 1º termo do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo. 15 3   x 15 3   x
  21. 21. Logo, quociente = x – 3 e resto = 0. Importante! Note que para toda divisão vale dizer que dividendo = divisor x quociente + resto, ou seja, D = d.q + r 15 3   x 15 3   x
  22. 22. Exemplo 2 <ul><li>Encontre o resto da divisão de por . </li></ul><ul><li>1º passo: </li></ul><ul><li>2º passo: 3º passo: </li></ul>
  23. 23. <ul><li>4º passo: 5º passo: </li></ul><ul><li>6º passo: como o 1º termo do novo dividendo é menor que o 1º termo do divisor , não podemos continuar a divisão. </li></ul><ul><li>Logo, o quociente = x e o resto = - x +1 </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Tente fazer sozinho! </li></ul><ul><li>1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x 3 + 12x 2 + x – 4 por 2x + 3 é: </li></ul><ul><li>a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 </li></ul><ul><li>2) Determine o polinômio que dividido por x + 5, tem por quociente x – 2 e resto 3. </li></ul>
  25. 25. Soluções <ul><li>Exercício 1: </li></ul><ul><li> Resposta: E </li></ul><ul><li>Exercício 2: </li></ul><ul><li>D = d.q + r = (x + 5) (x – 2) + 3 = </li></ul><ul><li> x 2 – 2x + 5x – 10 + 3 = </li></ul><ul><li> x 2 + 3x – 7 </li></ul>

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