Limites, derivadas e suas aplicações
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Limites, derivadas e suas aplicações Document Transcript

  • 1. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comMATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS – CÁLCULO DIFERENCIAL PARA PERITO MGAULA 01: LIMITES1. Limite de uma Função Real de uma VariávelA função real de uma variável pode assumir uma das seguintes formas:a) y = f ( x )b) y = f ( x ) ×g ( x )c) y = f ( x ) ± g ( x ) f ( x)d) y = g ( x)e) y = n f ( x )etcEm qualquer uma dessas situações, o valor do limite da função quando x tende (“se aproxima”) de um númerofinito é obtido substituindo-se a variável x por esse número finito. Assim, temos:a) x → a f ( x ) = f ( a) limb) lim f ( x ) ×g ( x )  = f ( a) ×g ( a)   x →ac) lim f ( x ) ± g ( x )  = f ( a) ± g ( a)   x →a f ( x) f ( a)d) lim = x →a g ( x) g ( a)e) lim f ( x ) = f ( a) n n x →aTemos que ter em mente duas situações especiais: A +∞ ⇔ A > 0 Alim = e lim =0x →0 x −∞ ⇔ A < 0 x →±∞ xAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 1
  • 2. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com1.1. Exercícios propostos1.1.1. Calcule os limites a seguir: x 3 − 2x 2 + 4x + 21. lim = x →2 x2 + 12. ( lim 5x 4 − 7 = x →2 )3. ( lim 7x 3 + x 2 + x + 2 = x → +∞ )4. ( lim 5x 4 + x 2 − x − 4 = x → −∞ )5. ( lim −7x 2 + 5x + 2 = x →+∞ )6. ( lim −13x 3 + x 2 − x + 4 = x → −∞ ) 4x + 27. lim = x →5 x − 1 4x 2 + 2x + 18. lim = x →+∞ 3x 2 + 1 4x 2 − 5x + 19. lim = x →−∞ 3x + 1 4x 2 − 5x + 110. lim = x →+∞ x 3 − 3x 2 + 2x − 1 16x 2 − 411. lim = x→2 x + 2 + 3x − 2 2x 2 − 7x + 112. lim = x → +∞ 5AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 2
  • 3. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comAULA 02: DERIVADAS1. Derivadas1.1. Derivada por DefiniçãoA derivada de uma função real de uma variável do tipo y = f(x) é dada pelo limite abaixo: f ( x + h) − f ( x)f ( x ) = lim h →0 hA derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 é dada pelo limite abaixo: f ( x ) − f ( x0 )f ( x ) = lim x → x0 x − x01.2. Regras de DerivaçãoApesar de sua importância a definição de derivada muitas vezes é monótona e trabalhosa, por isso utiliza-se asRegras de Derivação mostradas a seguir:1) y = k ⇒ y = 02) y = u n ⇒ y = n ×u n −1 ×u • Em particular se u = x, y = x n ⇒ y = nx n −1 .3) y = u ×v ⇒ y = u v + v u u u v − v u4) y= ⇒ y = v v25) y = a u ⇒ y = u a u • Em particular, se u = x, y = ax ⇒ y = ax . u6) y = log a u ⇒ y = u ×ln a 1 • Em particular, se u = x, y = log a x ⇒ y = . x ×ln aAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 3
  • 4. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com u7) y = ln u ⇒ y = u 1 • Em particular se u = x, y = ln x ⇒ y = . x  u8) y = u v ⇒ y = u v  v ×ln u + v × ÷  vAqui temos uma observação a fazer:Função Conceito Expressão Derivada Exemplo y = un y = n ×u n −1 ×u y = ( 3x − 1) ( função ) número 2Potência y = 5( y = au y = u ×a u 3x² − 2 ) ( número ) funçãoExponencialExponencial y = uv y = ( 3x − 1) ( função ) função ln x  uComposta y = u v  v ×ln u + v × ÷  u9) y = sen u ⇒ y = u × u cos • Em particular se u = x, y = sen x ⇒ y = cos x .10) y = cos u ⇒ y = −u ×sen u • Em particular se u = x, y = cos x ⇒ y = −sen x .1.3. Tabela de DerivadasAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 4
  • 5. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com(1) y = un ⇒ y = nun−1 ×u; n ∈ ¡(2) y = au ⇒ y = u ×au ×ln a a>1 Ex.: y = ax ⇒ y = ax ×ln a(2.1) y = eu ⇒ y = u×eu Ex.: y = ex ⇒ y = ex u 1(3) y = loga u ⇒ y = Ex.: y = loga x ⇒ y = u ×ln a x ×ln a u 1(3.1) y = loge u = ln u ⇒ y = Ex.: y = loge x = ln x ⇒ y = u x u u v − v u(4) y = ⇒ y = v v²(5) y = sen u ⇒ y = u×cos u y = cos u ⇒ y = −u ×sen u(5.1) y = tan u ⇒ y = u×sec ² u(5.2) y = co tan u ⇒ y = −u×co sec ² u(5.3) y = sec u ⇒ y = u×tanu ×sec u(5.4) y = co sec u ⇒ y = −u×co tanu ×co sec u u(5.5) y = arc sen u ⇒ y = 1 − u² −u (5.6) y = arc cos u ⇒ y = 1 − u² u(5.7) y = arc tan u ⇒ y = 1 + u² −u (5.8) y = arc co tan u ⇒ y = 1 + u²É evidente que devemos saber que:1º) A derivada de uma constante (um nº real) é zero.2º) A derivada de uma variável qualquer é igual à unidade.3º) A derivada de uma soma algébrica é igual à soma algébrica das derivadas.O aluno não deve se preocupar em memorizar as tabelas de derivadas apresentadas nesta apostila, pois essamemorização se dará à medida que muitos exercícios forem feitos. Ninguém aprende derivar se não exercitarbastante, esta é uma regra básica que todos devem seguir para evitar problemas no futuro.1.4. Exercícios PropostosAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 5
  • 6. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com2.4.1. Usando as Regras de Derivação, encontre a derivada primeira das funções a seguir: 2x + 41. f ( x ) = 3x − 12. f ( x ) = ( 7x − 1) ( x + 4 ) 3 23. f ( x ) = + 5 x3 + x4 x 1 ( ) 54. f ( x ) = 2x 5 + 6x −3 35. f ( x ) = ( 5x − 2 ) ( 3x − 1) 3 6 2x6. f ( x ) = 3x − 17. f ( x ) = 2( 3x² + 6x + 7 )8. f ( x ) = log 2 ( 2x² + 4x − 1) 1 1 9. f ( x ) = ln  + ÷  x x² 10. f ( x ) = sen ( 2x + 4 )  x 11. f ( x ) = cos   2x − 1 ÷ 12. f ( x ) = ( x + 1) ( 2x ) 2 +313. f ( x ) = x ( ) ln x² ( x + 1) 2 × x − 114. f ( x ) = ( x + 4 ) 3 ×e x15. . y = 5x3 + 417. y = 7x2 – 318. y = x2 – 4x + 519. y = 2x3 + 5x – 6AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 6
  • 7. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com20. y = 3x3 – 2x2 + 2x + 421. y = 4x4 – 3x3 + 722. y = x4 + x3 + x2 + x + 523. y = (x + 2)(x + 3)24. y = (x2 + 1)(x – 4)25. y = (2x + 1)(3x +2)26. y = (3x3 + 2x – 4)( 4x4 – 5x3 – 2x2 + x + 1) 5x3 3 x227. y = + 3 2 5 x3 4x228. y = − 6 5 4x 3 3x 4 x 529. y = + + 5 4 3 1 2 630. y = + + x x2 5x 4 x +131. y = x −2 2x − 332. y = 3x − 2 3x − 433. y = 2x + 5 3x2 − 434. y = 2x + 5 (35. y = 2x 3 + 5 ) 3 x336. y = (1 + x )2 ( x + 4) 237. y = x+338. y =3 xAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 7
  • 8. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com39. y = x 3 + 340. y = 2x 2 +141. y = 6 x − 5 x + 2 x 2 3 142. y = 3 x + 2x 2 − x + 2 + x3 3 x 4 + 2x 2 − 3 x + 2 y=43. 4x 2 + 5x + 1 2x + 31.5. Derivação ImplícitaExemplo Modelo: Derive implicitamente a função x2y2 + xsen ( y ) = 0Solução:Derivamos termo a termo:Lembre-se que quando derivamos um termo em y, acrescentamos y’:Iremos isolar y’:Iremos colocar y’ em evidência:Agora vamos isolar y’:AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 8
  • 9. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comREGRA PRÁTICA:  DERIVADA EM RELAÇÃO A x, COM y CONSTANTE y = − ÷  DERIVADA EM RELAÇÃO A y, COM y CONSTANTE Assim :x2y2 + xsen ( y ) = 0Aplicando a Re gra Pr ática :  DERIVADA EM RELAÇÃO A x, COM y CONSTANTE y = − ÷  DERIVADA EM RELAÇÃO A y, COM y CONSTANTE  2xy2 + sen ( y )∴ y = − 2x2y + x cos ( y )AULA 03: DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES1. Aplicações de Derivadas1.1. IntroduçãoAs derivadas têm inúmeras aplicações nos mais diversos ramos das Ciências, destacaremos os seguintesproblemas: Retas Tangente e Normal; Movimentos Retilíneos e Circulares; Análise Gráfica; Taxas Relacionadas,etc.Vamos começar a colocar em prática esses conceitos que aprendemos até então, a derivada de uma função éutilizada para diversas finalidades, algumas delas vamos explorar neste capítulo, porém não é possívelgeneralizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas, muitos recursos podem ser criados a partir dos seusconceitos, bastando para isto que a criatividade de cada mente possa se manifestar.A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela tambémé uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da retatangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor datangente deste ângulo.Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os númerosem uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz denos trazer novas formas de analisar dados numéricos, vejamos o que podemos aproveitar de imediato...AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 9
  • 10. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com1.2. Retas Tangente e Normal a uma CurvaComo dissemos a derivada é a medida da declividade de uma reta tangente num ponto do gráfico querepresenta a função dada. Para encontrarmos esta reta tangente devemos seguir os seguintes passos:1º) Encontrar y0 = f ( x0 ) , ou seja, substituímos a abscissa do ponto de tangência na função dada.2º) Calcular a declividade m da reta tangente, definida como m = f ( x0 ) ; agora, substituímos a abscissa doponto de tangência na derivada da função dada.3º) Escrever a equação da reta tangente como y − y0 = m ( x − x0 ) .A reta normal segue o mesmo procedimento, exceto que a sua equação tem a seguinte expressão 1y − y0 = − m ( x − x0 ) .O procedimento acima aplica-se tanto no caso de função explícita y = f(x) ou de função implícita F(x,y) = 0.1.2.1. Exemplos Resolvidos em Sala de Aula1. Encontre as equações das retas tangente e normal à curva y = x³ − 2x² + 4 no ponto de abscissa x0 = 2 .2. Encontre as equações das retas tangente e normal à curva x² + 4xy + 16y2 = 27 no ponto de abscissax0 = 3 .1.3. Taxas Relacionadas1.3.1. Aplicações à MecânicaToda grandeza que sofre uma variação em relação ao tempo pode ser tratada com o conceito de taxas devariação, que relacionam essas grandezas e suas derivadas em relação ao tempo.Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelasruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidadeconstante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial xi eum final xf, além de um instante inicial tie um final tf, também podemos calcular a velocidade média desenvolvidapelo veículo neste trajeto, que é:AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 10
  • 11. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com xf − xi ∆xVm = ou Vm = t f − ti ∆tAgora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quaseque instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente afazer com que o valor de Δt se aproxime de zero: ∆xv = lim ∆t → 0 ∆tIsto não nos lembra algo conhecido? Exatamente, uma derivada; a velocidade medida a cada instante é umataxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor davelocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidadeinstantânea, precisamos apenas da função "x" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "x" comrelação a "t" e teremos: • dxv = x ( t ) ou v = dtQue é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função x(t), todosos movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vezque qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada emseguida.Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:O que nos dá a aceleração instantãnea: • dva = v ( t ) ou a = dtNote que ao derivarmos a função s(t) duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizardesta forma: •• d2 xa = x ( t ) ou a = dt2Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o quechamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos otermo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 11
  • 12. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comNote que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o graudo polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencialsubseqüente.Nesta primeira aplicação ao estudo dos movimentos, podemos resumir as equações de movimento abaixo.Movimento Retilíneo  dx v = dt   dv(1) a = `  dt  vdv a =  dxMovimento Circular  dθ ω = dt   dω(2) α =  dt  ωd ω α =  dθNos problemas de Mecânica, a função horária da posição x(t) é fornecida e a partir dela determina-se avelocidade e a aceleração em qualquer instante, quer seja no movimento retilíneo, quer seja no movimentocircular.A posição x(t) é crescente, quando v(t) é positva; é decrescente, quando v(t) é negativa. A velocidade v(t) écrescente, quando a a(t) é positiva; é decrescente, quando a a(t) é negativa. Avelocidade escalar é crescentequnado v e a têm o mesmo sinal e é decrescente quando v e a têm sinais contrários.1.3.1.1. Exemplos Resolvidos3. A posição de uma partícula ao longo de uma reta horizontal é dada no Sistema Internacional (SI) porx ( t ) = t³ − 9t2 + 24 . Determine:a) As equações horárias de movimento.b) A posição, a velocidade e a aceleração em t = 2s.AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 12
  • 13. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comc) Os intervalos em que x é crescente e decrescente.d) Os intervalos em que v é crescente e decrescente.e) A distância total percorrida nos primeiros cinco segundos de movimento.4. Uma partícula é colocada em rotação no sentido anti-horário a partir do repouso de acordo com a equação t3θ= − t , onde θ é dado em radianos e t em segundos. 50a) Escreva as equações horárias de movimento.b) Determine o deslocamento angular θ , a velocidade angular ω e a acelração angular α no final do décimosegundo.5. A relação x ( t ) = t − 12t + 45t − 20 , no SI, define o movimento de um ponto material. Determine: 3 2a) A posição, a velocidade e a celeração em t = 2s.b) O instante em que a velocidade se anula.c) A distância total percorrida após 5 segundos de movimento.  −  t6. O movimento de um disco girando em óleo é dado por θ = 0, 80  1 − e 4 ÷ , onde θ é dado em radianos e t em  ÷  segundos. Determine a coordenada angular, a velocidade angular e a aceleração angular do disco nos seguintesinstantes: (a) t = 0; (b) t = 4 s: (c) t = ∞ .1.4. Análise GráficaA Teoria das Derivadas fornece um poderoso instrumento para a elaboração do gráfico de qualquer função e paraesboçarmos esse gráfico devemos seguir os seguintes passos:1º) Encontrar o Domínio da FunçãoA restrição aos valores de x implica que nesses pontos existem descontinuidade e esses pontos podem ser retasverticais assíntotas à curva dada.2º) Encontrar as Raízes da Função DadaNem sempre será possível encontrar essas raízes, mas as raízes são pontos notáveis do gráfico que interceptamo eixo das abscissas. Para se calcular as raízes devemos igualar a função a zero, ou seja, f(x) = 0.3º) Encontrar os Pontos CríticosPara encontrar os pontos críticos devemos igualar a zero a derivada primeira da função. Ou seja, sey = f ( x) ⇒ f ( x) = 0 . Também podemos encontrar os máximos e os mínimos locais; para isto basta substituiros pontos críticos na função dada.AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 13
  • 14. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comNesta etapa, devemos encontrar os pontos de interseção com os eixos cartesianos; desde que os cálculos nãosejam trabalhosos. Os pontos de interseção com os eixos cartesianos são calculados anulando-se a variável quenão pertence ao eixo. Se y = 0, encontra-se a interseção com o eixo das abascissas; se x = 0, encontra-se ainterseção com o eixo das ordenadas.4º) Crescimento e Decrescimento da FunçãoAnalisando o sinal da derivada primeira podemos estabelecer os intervalos nos quais a função é crescente oudecrescente. Assim, temos: • Se f’(x) > 0, então, a função y = f(x) é estritamente crescente. • Se f’(x) < 0, então, a função y = f(x) é estritamente decrescente. • Se f’(x) = 0, então, a função assume um valor máximo ou mínimo.5º) Pontos de Inflexão e ConcavidadeIgualando a zero a derivada segunda da função encontramos os pontos de inflexão da função. Os pontos deinflexão são aqueles onde o gráfico da função muda a sua concavidade.Analisando o sinal da derivada segunda estabelecemos os intervalos nos quais a concavidade do gráfico dafunção se encontrada voltada para cima ou para baixo. Assim: • Se f’’(x) > 0, então, o gráfico tem concavidade voltada para cima. • Se f’’(x) < 0, então, o gráfico tem concavidade voltada para baixo. • Se f’’(x) = 0, então, encontramos os pontos de inflexão da curva.6º) Limites no Infinito (Assíntotas Vertical e Horizontal)A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico y = f(x) se pelo menos uma das seguintes afirmações a seguirfor verdadeira: lim f(x) = ±∞ • x → a+ lim f(x) = ±∞ • x → a−A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico y = f(x) se pelo menos uma das seguintes afirmações a seguirfor verdadeira: lim f ( x ) = b • x →+∞ lim f ( x ) = b • x →−∞1.4.1. Exemplos Resolvidos7. Esboçar o gráfico das funções abaixo, indicando os passos seguidos.AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 14
  • 15. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com1. f ( x ) = 3x − 8x + 6x + 2 4 3 2 x22. f ( x ) = x −38. Determine os máximos e os mínimos, os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de inflexãodas funções a seguir:1. f ( x ) = x − 4x³ + 10 42. f ( x ) = x + 3x + 1 3 2 2x3. f ( x ) = 2 x −44. f ( x ) = x − x 3 21.5. Problemas de Máximos e de MínimosEm muitos problemas práticos devemos lidar com situações em que pretendemos maximizar ou minimizardeterminada grandeza. Apresentamos dois métodos de examinar uma função no que diz respeito a máximos emínimos.1.5.1. Primeiro Método de Determinação de Máximos e Mínimos1º) Achar a derivada da função.2º) Igualar a derivada a zero e achar as raízes reais da equação. Estas raízes são os valores críticos da variável.3º) Analisemos a variação de sinais da derivada primeira em torno de seus pontos críticos. Se o sinal da derivadamuda de + para - , então, a função tem um máximo para o valor crítico examinado. Se o sinal da derivada de –para +, então, a função tem um mínimo para o valor crítico em exame.1.5.2. Segundo Método para o Exame de Máximos e Mínimos1º) Achar a derivada da função.2º) Igualar a derivada a zero e achar as raízes reais da equação obtida (os valores críticos da variável).3º) Achar a derivada segunda.4º) Subsituir cada valor crítico da variável na derivada segunda. Se o resultado é negativo, a função tem ummáximo para esse crítico; se o resultado é positivo, a função tem um mínimo para esse valor crítico.Obs.: Quando f’’(x) = 0 ou não existe, o processo acima falha, embora possa haver eventualmente máximo oumínimo para a função e, neste caso, devemos aplicar o primeiro método.1.5.3. Exemplos Resolvidos em Sala de AulaAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 15
  • 16. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com9. Um fabricante de TV acha que pode vender x aparelhos por semana a p reais cada, onde 5x = 375 – 3p. O 1 2custo de produção é C ( x ) = 500 + 15x + x . Qual a produção para se obter o lucro máximo? 5Sugestão:Lucro = Receita – CustoReceita = Preço.Quantidade10. Um ponto move-se sobre a parábola 6y = x² de tal modo que quando x = 6cm a abascissa cresce com avelocidade de 2 cm por segundo. Com velocidade cresce a ordenada nesse instante?11. O raio da base de um cone cresce 3 cm/min e sua altura decresce 4 cm/min. Como variará a área total docone quando o raio for 7 cm e a altura 24 cm? A T = πRg + πR2 , onde existe a seguinte relação entre a geratriz,Sugestão: A área total de um cone é dada por: g2 = R2 + h2 .a altura e o raio do cone1.6. Regra de L’HospitalQuando, para um particular valor da variável independente, a função assume uma das formas:0 ∞ , , 0 × ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞0 ∞ , estamos diante de uma indeterminação; e a função não é definida para aquelevalor da variável independente.Neste curso estamos interessados apenas nas duas primeiras formas de indeterminação. 0 ∞Para levantarmos indeterminações do tipo 0 ou ∞ , lançamos mãos da Regra de L’Hospital procedendo daseguinte maneira:1º) Derive o numerador e denominador separadamente.2º) As derivadas obtidas seão o numerador e o denominador de uma nova fração cujo valor no ponto deindeterminação da fração original é o limite desta fração quando a variável tende para o ponto deindeterminação.3º) Se necessário repita o processo até que a indeterminação seja removida.1.6.1. Exemplos Resolvidos em Sala de aula12. Verifique as indeterminações e resolva os limites sen ( nx ) lim =1. x →0 xAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 16
  • 17. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com ex − e−x − 2x lim =2. x →0 x − sen x x2 − 16 lim =3. x→4 x2 + x − 20 ln x lim =4. x →1 x −11.7. Propriedades dos Logaritmos Aplicadas às Derivadas1.7.1. MotivaçãoEntre as mais diversas aplicações das propriedades dos logaritmos destacamos a resolução de cálculo de certasderivadas, como a do exemplo a seguir que deixamos como tarefa de casa para os nossos alunos.Primeiro, vamos apresentar a resolução de uma forma tradicional com o uso da regra da cadeia; em seguidaapresentaremos a resolução aplicando as propriedades dos logaritmos. Escolher um ou outro método fica acritério de cada um; mas cremos que o segundo método seja o mais adequado.Derive a expressão y = ( 3 ) x³ + 1 ( x³ + 5x ) 6 ( x² + 3) 2Solução pela Regra da Cadeia: ( ) 1 x³ + 1 ( x³ + 5x ) 3 6y= ⇔y= ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6 ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2Definimos: 1z = ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) ( 1) 6 ( ) 2w = x2 + 3 ( 2)Dessa forma, temos: z z w − zw y= ⇒ y = ( 3) w w2AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 17
  • 18. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comMas: 1z = ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6 1 2 1 1 −3z = u3 ×v6 ⇒ z = u u v6 + 6v5v u3 3u = x³ + 1 ⇒ u = 3x²v = x³ + 5x ⇒ v = 3x² + 5Substituindo : 2 1z = 1 3 ( ) ( x³ + 1) − 3 3 x² ( x³ + 5x ) 6 + 6 ( x³ + 5x ) 5 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 2 1z = x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 + 6 ( x³ + 5x ) 5 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 ( 4) − 3 ( ) 2w = x2 + 3 ⇒ w = 2 ( x² + 3 ) ( 2x ) ∴ w = 4x ( x² + 3 ) ( 5)Substituindo (1), (2), (4) e (5) em (3): z w − zw y = w2  2 1  1 6 x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x ( x³ + 3 ) − 6 5 2    y =  2    ( x³ + 3 ) 2       2 1  1 6 x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x ( x³ + 3 ) − 6 5 2    y =     ( x³ + 3 ) 4  2 1  1 6 x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x − 6 5    y =     ( x³ + 3) 3  2 1  1 6 x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x − 6 5    y =     ( x³ + 3 ) 3 2 1 1 x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 ( x³ + 3) 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 ( x³ + 3) − 5 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6 3y = + − ( x³ + 3) 3 ( x³ + 3) 3 ( x³ + 3) 3 2 1 1 x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 4x ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 − 5 3 3 3y = + − ( x³ + 3) ( x³ + 3 ) ( x³ + 3 ) 2 2 3Logo: 2 1 1 x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) − 5 6 3y = + − ( x³ + 3) 2 ( x³ + 3) 2 ( x³ + 3) 3AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 18
  • 19. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comé a derivada pedida.Solução pelas Propriedades dos Logaritmos: ( ) 1 x³ + 1 ( x³ + 5x ) 3 6 ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6y= ⇔y= ( 1) ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2Aplicando o logaritmo neperiano (ln) a ambos os membros da expressão (1),e aplicando as propriedades doslogaritmos, obtemos:  1 6  ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) ln y = ln    ( x² + 3) 2     1 6ln y = ln ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  − ln ( x² + 3 ) 2     1ln y = ln ( x³ + 1) 3 + ln ( x³ + 5x ) − ln ( x² + 3 ) 6 2 1ln y = ln ( x³ + 1) + 6 ln ( x³ + 5x ) − 2 ln ( x² + 3 ) ( 2) 3Derivando a expressão (2) e levando em conta (1):AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 19
  • 20. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com 1ln y = ln ( x³ + 1) + 6 ln ( x³ + 5x ) − 2 ln ( x² + 3 ) 3y 1 3x² = × +6× ( 3x² + 5) − 2 × 2xy 3 x³ + 1 x³ + 5x x² + 3y = 1 × 3 x² y +6× ( 3x² + 5) y − 2 × 2x y 3 x³ + 1 x³ + 5x x² + 3 1 1 1 x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6 6 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6y = × + × − × ( x³ + 1) ( x² + 3) 2 ( x³ + 5x ) ( x² + 3) 2 ( x² + 3) ( x² + 3) 2 2 1 1 x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) − 6 3y = + − ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 3Logo: 2 1 1 x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) − 6 3y = + − é a derivada pedida. ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 3Compare os dois métodos e divirta-se!1.7.2. Demonstrações de Algumas Fórmulas de Derivadas1ª) Regra da Função ProdutoSeja y = u g , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados: vy = u g ⇒ ln y = ln ( u g ) ⇔ ln y = ln u + ln v v vDerivando :y u v u v = + ⇔ y = gy + gy y u v u vSubstituindo y = u g : v u v u vy = gy + gy ⇔ y = g u g + g u gv ∴ y = u g + v g u v u v v v u ( ) ( )Assim :y = u g ⇒ y = u g + v g v v u2ª) Regra da Função QuocienteAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 20
  • 21. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com uSeja y= , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados: v u uy= ⇒ ln y = ln  ÷ ⇔ ln y = ln u − ln v v vDerivando :y u v u v = − ⇔ y = g − g y y y u v u v uSubstituindo y = : v u v u  u  v  u  u vuy = gy − gy ⇔ y = g ÷− g ÷ ⇔ y = − 2   u v u  v  v v v v u vu u v − vuy = − 2 ⇔ y = v v v2Assim : u u v − vuy = ⇒ y = v v23ª) Regra da Função PotênciaSeja y = u n , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados: ( )y = u n ⇒ ln y = ln u n ⇔ ln y = n ln uDerivando :y u u = ng ⇔ y = ng g y y u uSubstituindo y = u g : v u u ( )y = n g g ⇔ y = y = n g g u n ⇔ y = n ×u ×u n ×u −1 ∴ y = n ×u ×u n −1 u y uAssim :y = u n ⇒ y = n ×u ×u n −14ª) Regra da Função ExpoenteAFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 21
  • 22. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.comSeja y = a u , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados: ( )y = a u ⇒ ln y = ln a u ⇔ ln y = u ln aDerivando :y = u × a ⇔ y = u × a ×y ln lnySubstituindo y = a u : ln ln ( )y = u × a ×y ⇔ y = u × a × a u ∴ y = u × u × a a lnAssim :y = a u ⇒ y = u × u × a a ln5ª) Regra da Função Expoente de FunçãoSeja y = u v , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados:AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 22
  • 23. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com ( )y = u v ⇒ ln y = ln u v ⇔ ln y = v ln uDerivando :y u u = v ×ln u + ×v ⇔ y = v ×ln u ×y + ×v ×yy u uSubstituindo y = u v : u u ( )uy = v ×ln u ×y + ×v ×y ⇔ y = v ×ln u × u v + ×v × u v u ( )  u ×v  v  u × × u + u ×  v ln vy = u v  v ×ln u + ÷⇔ y = u  ÷  u   u y = u v ×u −1 ( u ×v ×ln u + u ×v ) ∴ y = u v−1 ( u ×v ×ln u + u ×v )Assim :y = u v ⇒ y = u v−1 ( u ×v ×ln u + u ×v )Como se pode notar das demonstrações acima, a utilização das Propriedades Operatórias dos Logaritmos permitecalcular as derivadas das funções com muita facilidade. Acompanhe os exemplos.1.7.3. Exercícios Resolvidos1. Utilizando as Propriedades dos Logaritmos, derive as funções a seguir:a) y = xxSolução: ( )y = x x ⇔ ln y = ln x x ⇔ ln y = x ×ln xDerivando : y 1 yln y = x ×ln x ⇔ = 1 ×ln x + ×x ⇔ = ln x + 1∴ y = y ×ln x + y y x ySusbtituindo y = x x : ( )y = y ×ln x + y ⇔ y = x x ×ln x + x x ∴ y = x x ( ln x + 1) 2b) y = 3xSolução:AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 23
  • 24. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com 2y = 3x ⇔ ln y = ln 3x ( ) ⇔ ln y = x ×ln 32 2Derivando : yln y = x 2 ×ln 3 ⇔ = 2x ×ln 3 ⇔ y = 2x ×ln ( 3 ) ×y y 2Substituindo y = 3x : 2 2y = 2x ×ln ( 3) ×y ⇔ y = 2x ×ln ( 3) × x ∴ y = 2x × x ×ln 3 3 3 ( ) 4 y = ( x + 7) × x2 − 3 5c)Solução: ( ) ( ) 4 4y = ( x + 7) × x2 − 3 ⇔ ln y = ln ( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5 ( ) ( ) 4ln y = ln ( x + 7 ) + ln x 2 − 3 ⇔ ln y = 5ln ( x + 7 ) + 4 ln x 2 − 3 5Derivando :y 5×1 4 × 2x ) ( y 5 8x = + ⇔ = +y ( x + 7) 2 x −3 ( y ( x + 7) 2 x −3 ) ( ) 5 8xy = ×y + ×y ( x + 7) 2 x −3 ( ) ( ) 4Substituindo y = ( x + 7 ) × x 2 − 3 : 5 ( ) ( ) 5 4 8x 4 × x + 7) × x2 − 3 ( ×( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5y = + ( x + 7) ( x 2 − 3)Simplificando : 3 ( ) ( ) 4 5 4 8x 4 × x + 7) ( × x + 7) × x − 3 ( 5 2 5 2y = × x −3 + ( x + 7) (x 2 −3 )Logo : ( ) ( ) 4 3y = 5 × x + 7) × x2 − 3 ( + 8x ×( x + 7 ) × x 2 − 3 4 5AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 24
  • 25. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com 2y = 3x ⇔ ln y = ln 3x ( ) ⇔ ln y = x ×ln 32 2Derivando : yln y = x 2 ×ln 3 ⇔ = 2x ×ln 3 ⇔ y = 2x ×ln ( 3 ) ×y y 2Substituindo y = 3x : 2 2y = 2x ×ln ( 3) ×y ⇔ y = 2x ×ln ( 3) × x ∴ y = 2x × x ×ln 3 3 3 ( ) 4 y = ( x + 7) × x2 − 3 5c)Solução: ( ) ( ) 4 4y = ( x + 7) × x2 − 3 ⇔ ln y = ln ( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5 ( ) ( ) 4ln y = ln ( x + 7 ) + ln x 2 − 3 ⇔ ln y = 5ln ( x + 7 ) + 4 ln x 2 − 3 5Derivando :y 5×1 4 × 2x ) ( y 5 8x = + ⇔ = +y ( x + 7) 2 x −3 ( y ( x + 7) 2 x −3 ) ( ) 5 8xy = ×y + ×y ( x + 7) 2 x −3 ( ) ( ) 4Substituindo y = ( x + 7 ) × x 2 − 3 : 5 ( ) ( ) 5 4 8x 4 × x + 7) × x2 − 3 ( ×( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5y = + ( x + 7) ( x 2 − 3)Simplificando : 3 ( ) ( ) 4 5 4 8x 4 × x + 7) ( × x + 7) × x − 3 ( 5 2 5 2y = × x −3 + ( x + 7) (x 2 −3 )Logo : ( ) ( ) 4 3y = 5 × x + 7) × x2 − 3 ( + 8x ×( x + 7 ) × x 2 − 3 4 5AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 24
  • 26. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com 2y = 3x ⇔ ln y = ln 3x ( ) ⇔ ln y = x ×ln 32 2Derivando : yln y = x 2 ×ln 3 ⇔ = 2x ×ln 3 ⇔ y = 2x ×ln ( 3 ) ×y y 2Substituindo y = 3x : 2 2y = 2x ×ln ( 3) ×y ⇔ y = 2x ×ln ( 3) × x ∴ y = 2x × x ×ln 3 3 3 ( ) 4 y = ( x + 7) × x2 − 3 5c)Solução: ( ) ( ) 4 4y = ( x + 7) × x2 − 3 ⇔ ln y = ln ( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5 ( ) ( ) 4ln y = ln ( x + 7 ) + ln x 2 − 3 ⇔ ln y = 5ln ( x + 7 ) + 4 ln x 2 − 3 5Derivando :y 5×1 4 × 2x ) ( y 5 8x = + ⇔ = +y ( x + 7) 2 x −3 ( y ( x + 7) 2 x −3 ) ( ) 5 8xy = ×y + ×y ( x + 7) 2 x −3 ( ) ( ) 4Substituindo y = ( x + 7 ) × x 2 − 3 : 5 ( ) ( ) 5 4 8x 4 × x + 7) × x2 − 3 ( ×( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5y = + ( x + 7) ( x 2 − 3)Simplificando : 3 ( ) ( ) 4 5 4 8x 4 × x + 7) ( × x + 7) × x − 3 ( 5 2 5 2y = × x −3 + ( x + 7) (x 2 −3 )Logo : ( ) ( ) 4 3y = 5 × x + 7) × x2 − 3 ( + 8x ×( x + 7 ) × x 2 − 3 4 5AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 24
  • 27. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com 2y = 3x ⇔ ln y = ln 3x ( ) ⇔ ln y = x ×ln 32 2Derivando : yln y = x 2 ×ln 3 ⇔ = 2x ×ln 3 ⇔ y = 2x ×ln ( 3 ) ×y y 2Substituindo y = 3x : 2 2y = 2x ×ln ( 3) ×y ⇔ y = 2x ×ln ( 3) × x ∴ y = 2x × x ×ln 3 3 3 ( ) 4 y = ( x + 7) × x2 − 3 5c)Solução: ( ) ( ) 4 4y = ( x + 7) × x2 − 3 ⇔ ln y = ln ( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5 ( ) ( ) 4ln y = ln ( x + 7 ) + ln x 2 − 3 ⇔ ln y = 5ln ( x + 7 ) + 4 ln x 2 − 3 5Derivando :y 5×1 4 × 2x ) ( y 5 8x = + ⇔ = +y ( x + 7) 2 x −3 ( y ( x + 7) 2 x −3 ) ( ) 5 8xy = ×y + ×y ( x + 7) 2 x −3 ( ) ( ) 4Substituindo y = ( x + 7 ) × x 2 − 3 : 5 ( ) ( ) 5 4 8x 4 × x + 7) × x2 − 3 ( ×( x + 7 ) × x 2 − 3 5 5y = + ( x + 7) ( x 2 − 3)Simplificando : 3 ( ) ( ) 4 5 4 8x 4 × x + 7) ( × x + 7) × x − 3 ( 5 2 5 2y = × x −3 + ( x + 7) (x 2 −3 )Logo : ( ) ( ) 4 3y = 5 × x + 7) × x2 − 3 ( + 8x ×( x + 7 ) × x 2 − 3 4 5AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 24