1) O documento descreve uma linha de metrô em construção que cresceu 0,5km por mês desde janeiro do ano passado. 2) É apresentada a sequência dos comprimentos mensais da linha em quilômetros como uma progressão aritmética. 3) Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante.

1. 2º ANO MÉDIO
Prof: Ronoaldo

2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA
 Uma nova linha de metrô, ainda em construção, tinha
12km no início de janeiro do ano passado. De lá para
cá, essa linha cresceu 0,5km ao mês.
 A sequência a seguir apresenta os comprimentos, em
quilômetros, dessa linha do metrô, mês a mês, a partir
do inicio de janeiro do ano passado:
 (12; 12,5; 13; 13,5; 14; 14,5; ...)

3. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
PROGRESSÃO ARITMÉTRICA (PA) é toda sequencia
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
igual à soma do termo precedente (anterior) com uma
constante r.
O número r é chamado de razão da progressão
aritmética.

4. Exemplos
a) A sequência (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39) é uma P.A.
finita de razão r=5
b) (18, 10, 2, -6, -14,...) é uma P.A. infinita de razão r= -8
c) (4, 4, 4, 4, ...) é uma P.A. infinita de razão r=0

5. Classificação das progressões
aritméticas
Podemos classificar as progressões aritméticas em
crescente, decrescente ou constante.
Crecente: uma P.A. é crescente quando cada termo, a
partir do segundo, é maior que o antecedente. Para que
isso ocorra é necessário e suficiente que ela tenha
razão positiva.
Ex: (6, 10, 14, 18) é uma P.A. crescente. Note que sua
razão é positiva: r = 4

6. Classificação das progressões
aritméticas
Decrescente: uma P.A. é decrescente quando cada
termo, a partir do segundo, é menor que o
antecedente. Para que isso ocorra é necessário e
suficiente que ela tenha razão negativa.
Ex: (13, 8, 3, -2, -7, ...) é uma P.A. decrescente. Note que
sua razão é negativa: r=-5

7. Classificação das progressões
aritméticas
Constante: uma P.A. é constante quando todos os seus
termos são iguais. Para que isso ocorra é necessário e
suficiente que ela tenha razão nula.
Ex: (4, 4, 4, 4, ...) é uma P.A. constante. Note que sua
razão é nula: r=0

8. Fórmula do termo geral de uma
P.A.
Vamos considerar a sequência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7,
…, an) de razão r, podemos escrever:

9. Somando membro a membro essas n – 1 igualdades,
obtemos:
a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ … an -1+ (n-1).r
Após a simplificação temos a fórmula do termo geral
de uma P.A.: an = a1 + (n – 1).r

10. Representação genérica de uma
progressão aritmética
 Nota Importante: Quando procuramos uma
progressão aritmética com 3, 4 ou 5 termos, podemos
utilizar um recurso bastante útil.
 Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)
 Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y,
x+3y). Onde y =
 Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x,
x+r, x+2r)

11. SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.
(Sn)
 Vamos considerar a P.A.: (a1, a2, a3, …, an-2, an-1,
an) (1).
 Agora vamos escrevê-la de uma outra forma: (an, an-1,
an-2, …, a3, a2, a1) (2).
 Vamos representar por Sn a soma de todos os
membros de (1) e também por Sn a soma de todos os
membros de (2), já que são iguais.

12.  Somando (1) + (2), vem:
 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an
 Sn = an + an-1 + an-2 +…+ a3 + a2 + a1
 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) … + (an-1 +
a2) + (an + a1)

13.  Observe que cada parênteses representa a soma dos
extremos da progressão aritmética, portanto
representa a soma de quaisquer termos equidistantes
dos extremos. Então:
 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … +(a1 + an) + (a1 + an)
n – vezes
 2Sn = que é a soma
dos n termos de uma P.A.