Lista de calculo

1. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a
Lista 9 - CDI II
C´alculo de Integrais e Aplica¸c˜oes
1. Calcule as integrais iteradas.
(a)
1
0
2
0
(x + 3) dydx (b)
4
2
1
0
x2
y dxdy
(c)
ln 3
0
ln 2
0
ex+y
dydx (d)
0
−1
5
2
dxdy
2. Calcule as integrais dupla na regi˜ao retangular R.
(a)
R
4xy3
dA; R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}
(b)
R
x
√
1 − x2 dA; R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3}
(c)
R
(x sen y − sen x) dA; R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ π
2
, 0 ≤ y ≤ π
3
}
3. Use a integral dupla para calcular os volumes:
(a) O volume sob o plano z = 2x + y e acima do retˆangulo
R = {(x, y)|3 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 2}.
(b) O volume compreendido pela superf´ıcie z = x2
e os planos x = 0, x = 2, y = 3, y = 0 e
z = 0.
4. As integrais a seguir representam o volume de um s´olido. Esboce o s´olido:
(a)
5
0
2
1
4 dxdy (b)
3
0
4
0
25 − x2 − y2 dydx
5. Calcule a integral
R
x cos(xy) cos2
πx dA; R = [0, 1/2] × [0, π]
6. Use integrais duplas para calcular a ´area da regi˜ao plana compreendida pelas curvas dadas.
(a) y = sen x e y = cos x, para 0 ≤ x ≤ π/4
(b) y2
= 9 − x e y2
= 9 − 9x
7. (a) Use integrais duplas para calcular o volume do s´olido limitado pelo cilindro x2
+ y2
= 9
e os planos z = 0 e z = 3 − x.
(b) O s´olido limitado acima pelo parabol´oide z = 9x2
+ y2
, abaixo pelo plano z = 0 e lateral-
mente pelos planos x = 0, y = 0, x = 3 e y = 2.
(c) A cunha seccionada do cilindro 4x2
+ y2
= 9 e pelos planos z = 0 e z = y + 3.
8. Calcule a integral dada escrevendo-a em coordenadas polares:
(a)
R
x dA, sendo R o disco com centro na origem e raio r;
(b)
R
y dA, sendo R a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pelo c´ırculo
x2
+ y2
= 9 e pelas retas y = x e y = 0;
Professora: Sandra Tieppo
1

2. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a
(c)
R
xy dA, sendo R a regi˜ao do primeiro quadrante compreendida entre os c´ırculos x2
+y2
=
4 e x2
+ y2
= 25.
9. Use coordenadas polares para obter a ´area da regi˜ao:
(a) compreendida pela cardi´oide r = 1 − cosθ;
(b) compreendida pela ros´acea r = sen 2θ;
(c) no interior do c´ırculo x2
+ y2
= 4 e a direita da reta x = 1;
10. Use coordenadas polares para obter o volume do s´olido dentro de x2
+ y2
+ z2
= 9 e fora
de x2
+ y2
= 1.
11. Calcule as integrais duplas, convertendo-as em coordenadas polares:
(a)
R
e−(x2+y2)
dA, R ´e a regi˜ao contida no c´ırculo x2
+ y2
= 1;
(b)
R
9 − x2 − y2 dA, R ´e a regi˜ao do primeiro quadrante contida no c´ırculo x2
+ y2
= 9.
12. Calcule as integrais iteradas.
(a)
1
−1
2
0
1
0
(x2
+ y2
+ z2
) dxdydz (b)
2
0
y2
−1
z
−1
yz dxdzdy
(c)
3
0
√
9−z2
0
x
0
xy dydxdz (d)
3
1
x2
x
ln z
0
xey
dydzdx
13. Calcule a integral tripla:
(a)
G
xy sen yz dV, sendo G a caixa retangular definida pelas desigualdades
0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ π/6.
(b)
G
cos(z/y) dV, sendo G o s´olido definido pelas desigualdades
π/6 ≤ y ≤ π/2, y ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ xy.
14. Use integral tripla para determinar o volume do s´olido:
(a) O s´olido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3x+6y+4z = 12.
(b) O s´olido limitado pela superf´ıcie y = x2
e os planos y + z = 4 e z = 0.
15. Esboce o s´olido cujo volume ´e dado pela integral
(a)
1
−1
√
1−x2
−
√
1−x2
1−x
0
dzdydx e (b)
1
0
√
1−x2
0
2
0
dydzdx
16. Calcule as integrais iteradas.
(a)
2π
0
1
0
√
1−r2
0
zr dzdrdθ (b)
pi/2
0
π/2
0
1
0
ρ3
sen φ cos φ dρdφdθ
17. Use coordenadas cil´ındricas para determinar o volume do s´olido:
(a) O s´olido compreendido pelo parabol´oide z = x2
+ y2
e o plano z = 9.
Professora: Sandra Tieppo
2

3. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a
(b) O s´olido limitado acima e abaixo pela esfera x2
+y2
+z2
= 9 e dentro do cilindro x2
+y2
= 4.
18. Use coordenadas esf´ericas para determinar o volume do s´olido:
(a) O s´olido limitado pela esfera ρ = 4 e abaixo pelo cone φ = π/3.
(b) O s´olido dentro da esfera x2
+ y2
+ z2
= 9 e fora do cone z = x2 + y2 e acima do plano
xy.
19. Calcule o Jacobiano J
x, y
u, v
:
(a) x = u + 4v, y = 3u − 5v (b) x = sen u + cos v, y = − cos u + sen v
(c) u = ex
, v = ye−x
(d) u = x2
− y2
, v = x2
+ y2
(x > 0, y > 0)
20. Calcule o Jacobiano
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
:
(a) x = 3u + v, y = u − 2w, z = v + w (b) u = xy, v = y, w = x + z
21. Esboce a nova regi˜ao, ap´os aplicada a transforma¸c˜ao sugerida:
(a) Seja a regi˜ao S um quadrado de v´ertices (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) e a transforma¸c˜ao
x = u2
− v2
e y = 2uv.
(b) A regi˜ao S ´e uma circunferˆencia de raio 1 e a transforma¸c˜ao x = 2u e y = 3v.
22. Use a transforma¸c˜ao u = x − 2y, v = 2x + y para determinar
R
x − 2y
2x + y
dA sendo R a
regi˜ao retangular envolvida pelas retas x − 2y = 1, x − 2y = 4, 2x + y = 1 e 2x + y = 3.
23. Use a transforma¸c˜ao u = 1
2
(x + y), v = 1
2
(x − y) para determinar
R
sen
1
2
(x + y) cos
1
2
(x − y) dA
sendo R a regi˜ao triangular com v´ertices (0, 0), (2, 0), (1, 1).
24. Calcule
R
16x2 + 9y2 dA, sendo R a regi˜ao envolvida pela elipse
x2
9
+
y2
16
= 1.
25. Calcule
G
x2
dV, sendo G a regi˜ao envolvida pelo elips´oide 9x2
+ 4y2
+ z2
= 36.
26. Generalize o exerc´ıcios anterior para um elips´oide qualquer de equa¸c˜ao
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1,
isto ´e, calcule o volume do elips´oide em fun¸c˜ao de a, b e c. Sugest˜ao: fa¸ca uma mudan¸ca de
vari´aveis, tomando x=a.u, y=b.v e z=c.v. Use o Jacobiano. Adapte esta sugest˜ao para os dois
exerc´ıcios anteriores.
27. Calcular I =
T
x dV, sendo T a esfera s´olida de raio a.
Professora: Sandra Tieppo
3

4. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a
28. Calcular I =
T
z dx dy dz, sendo T a regi˜ao limitada pela esfera de raio 4 e pelo cone
z = x2 + y2.
29. Descreva em coordenadas esf´ericas o s´olido T limitado inferiormente pelo plano xy, supe-
riormente pelo cone φ = π/6 e lateralmente pelo cilindro x2
+ y2
= a.
Escreva na forma de uma integral iterada tripla I =
T
(x2
+ y2
+ z2
) dV.
30. Mostre que I =
R
f(x, y)dx dy =
S
f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρ dθ.
RESPOSTAS:
1)a) 7, b)2 ,c)2 ,d) 3;
2) a) 0, b) 1/3;
3) a) 19, b) 8;
5)1/3π
6) a)
√
2 − 1, b)32;
7) a) 27π, b) 170, c) 27π/2;
8) a) 0, b) 9 - 9
√
2
2
c) 609/8;
9) a) 3π/2, b) π/2, c) 4π/3 −
√
3;
10)64
√
2π/3;
11) a) (1 − e−1
)π;
12) a) 8, b)47/3, c) 81/5, d) 118/3;
13) a) π(π − 3)/2, b) 5π/12 −
√
3/2;
14) a)4, b) 256/15;
16) a) π/4, b) π/16;
17) a) 81π/2, b) −4π/3(5
√
5 − 27) ;
18) a) 64π/3, b) 9π
√
2;
19) a) -17, b) cos(u − v); d) x =
√
u+v√
2
, y =
√
v−u√
2
, 1
4
√
v2−u2 ;
20) a) 5, b) 1/v;
22)3/2 ln 3;
23) 1 - 1/2 sen 2;
24) 96π;
25) 192π/5
26)
4
3
πabc
27) 0
28) 32π
Professora: Sandra Tieppo
4