Mat coordenadas polares, cilíndricas e esféricas

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Mat coordenadas polares, cilíndricas e esféricas

  1. 1. GUIDG.COM – PG. 14/1/2010 – ALGA-1: Revisão – Coordenadas: Polares, Cilíndricas e Esféricas.* Desenvolvido a partir da Apostila de Álgebra 1 (DMAT, UDESC-CCT)* Revisão de conteúdo sem formalidades, com exercícios resolvidos.Antes do sistema polar, é importante que você esteja familiarizado com a tabela de ângulos notáveis,pois será necessário para a construção de gráficos e localização de pontos (uma calculadora cientificairá ajudar). . πf ff ff πf ff ff πf ff ff πf ff ff π= θ 0 6 4 3 2 180º ww w w ww ww w w ww 1f ff pff f2 f fff ff ff pff f3 f fff ff ff sen θ 0 1 0 2 2 2 ww w w ww ww w w ww pff f3 f fff ff ff pff f2 f fff ff ff 1f ff cos θ 1 0 -1 2 2 2 Circunferência de raio 1, com centro em (0,0)Coordenadas Polares.Assim como o sistema cartesiano P(x,y) existem outros sistemas, um deles é o sistema polar, osoutros sistemas que estudaremos serão: as coordenadas cilíndricas e as esféricas.Considere as figuras ao lado:ρ: letra grega rô, θ: letra grega theta.No sistema polar, localiza-se um ponto através:1 - Da distância desse ponto até a origem echamamos de ρ.2 – Pelo ângulo que essa reta forma com o eixopolar. (fig.1)Obs: a distância, é chamada de raio vetor.E o ponto é apresentado na forma P(ρ, θ)Os únicos cuidados são:θ > 0 , e ρ > 0 então estará como na figura 1. πfExemplo: (2, ff ff ). 4Mas se θ < 0 , e ρ > 0 então estará como na (fig.2) 3πf ff ff ff ffigura 2. Exemplo: (2, @ ) 4
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2Exemplos de representação de pontos com o sistema polar, (dica: refaça os exemplos!) πf ff ff d e a) P 2 @ 2, 4 πf b) P 3 @ 2, @ ff ff d e 4Relação entre o sistema cartesiano e o sistema polar. Convertendo Coordenadas.(1) Fazendo coincidir a origem do sistema polar (ρ, θ)com à do sistema cartesiano (x,y) , a relação que se tempara o primeiro quadrante (fig.3) é o triangulo retângulo,então a partir disso vale as relações trigonométricas seno eco-seno. catetofopostof yf fffffffffff f ffffffffff f ffffffffff f fff fffffsen θ = = [ y = ρ A senθ hipotenusa ρcos θ = fffffffffffff f [ catetofadjacentef xf ffffffffffff f ffffffffffff f fff fffffff = x = ρ A cos θ (fig.3) hipotenusa ρ(2) Agora se elevarmos as duas ao quadrado e somarmos membro a membro temos:Xy = ρ A senθ [ y2 = ρ 2 A sen2 θZx = ρ A cos θ [ x2 = ρ 2 Acos 2 θ Logo: y2 + x2 = ρ 2 Asen2 θ + ρ 2 A cos 2 θ y2 + x2 = ρ 2 sen2 θ + cos 2 θ b c Ou: Mas: sen2 θ + cos 2 θ = 1 (Relação fundamental) Então: y2 + x2 = ρ 2 wwww wwww wwww wwww wwww wwww wwww wwww Ou: ρ = F q y2 + x2 Com essas relações, podemos converter coodernadas polares em cartesianas ou vice e versa.
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3Coordenadas cilíndricas:Agora que já conhecemos o sistema polar, basta adicionar o eixo z e pronto, passamos a ter o sistemacilíndrico. Este se mostra muito útil quando precisamos determinar áreas e volumes quando asuperfície limite é de revolução.No sistema cartesiano representamos um pontopelas coordenadas P(x,y,z). No cilíndrico porP(ρ, θ, z), que são na verdade as coordenadaspolares (ρ, θ) mais a coordenada z do sistemacartesiano (ver fig. ao lado).O que ocorre em cilíndricas, é que escrevemosas coordenadas polares (para um pontoqualquer), e arrastamos o ponto no eixo z (dosistema cartesiano), em qualquer sentido.Curiosidade: Imagine que você tenha a coordenada ρ constante, sevariarmos θ em 360º, passamos a ter uma circunferência (de raio ρ ), e por último arrastando a circunferência no eixo z, então geramosuma superfície cilíndrica, e por isso o sistema tem esse nome.Veja a figura ao lado, se você imaginou alguma coisa parecida,então esta no caminho certo!Convertendo coordenadas cilíndricas, relações de conversão:A mesma relação é válida, mas agora Podemos obter θ, dividindo o primeiro peloadicionamos o z: segundo, lembrando da relação: . tgθ = ffffX senθf ffff fff fff^y = ρ A senθ [ y2 = ρ 2 A sen2 θ . cos θ^^^x = ρ A cos θ [ x2 = ρ 2 A cos 2 θ .Zz = z^ yf ρffffff ff fffffff f ffffff f ffffff A senθ =^ wwww wwww wwww wwww wwww wwww wwww wwww x ρ A cos θ Logo: ρ = F q y2 + x2 . yf fff = tgθ x . θ = arc tg ff yf f f Logo: x
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4Coordenadas Esféricas:Visto o sistema polar e o cilíndrico, vamos parao sistema esférico. Este pode parecercomplicado, mas veremos que é só aparência. Adiferença para o sistema polar é que ele seencontra no espaço (assim como o cilíndrico).Defini-se a posição do ponto pela sua distânciaaté a origem ρ (rô), mais duas coordenadasangulares θ (theta) e φ (fi).O ponto é apresentado na forma P(ρ, θ, φ), ondeρ é o raio vetor, θ é a longitude, e φ é a co-latitude.Agora o que realmente importa : As relações de conversão entre os sistemas.Esféricas em cartesianas: Cartesianas em esféricas: wwwwwww wwwwwww wwwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww x = OR = ρ A senφ A cos θX^^^ ρ = F q x2 + y2 + z2 y = RQ = ρ A senφ A senθ . θ = arc tg ff^ z = QP = ρ A cos φ^^ yf f f xZ . zf fff φ = arc cos ρ .Demonstração:Dos triângulos da figura deduzimos:Triângulo OPQ:senφ = fffffffffff fff [ catetofopostof OQf ffffffffff fff ffffffffff ff fff fffff = ff OQ = ρ A senφ hipotenusa ρcos φ = fffffffffffff fff [ catetofadjacentef QP f ffffffffffff ff ffffffffffff ff fff fffffff = ff QP = ρ A cos φ hipotenusa ρEntão: z = QP = ρ A cos φAgora o triângulo ORQ:senθ = fffffffffff fff [ catetofopostof RQf ffffffffff fff ffffffffff ff fff fffff = ff RQ = OQA sen θ hipotenusa OQSubstituindo OQ: y = RQ = ρ A senφ A senθcos θ = fffffffffffff fff [ catetofadjacentef ORf ffffffffffff fff ffffffffffff ff fff fffffff = ff OR = OQA cos θ hipotenusa OQSubstituindo OQ: x = OR = ρ A senφ A cos θ
  5. 5. GUIDG.COM – PG. 5Agora se elevarmos todas as relações ao quadrado e somarmos membro a membro, temos: x2 = ρ 2 Asen2 φ A cos 2 θX^^^^^ y2 = ρ 2 Asen2 φ A sen2 θZ z = ρ 2 A cos 2 φ^^ 2^x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 A sen2 φ Acos 2 θ + ρ 2 A sen 2 φ A sen 2 θ + ρ 2 A cos 2 φFatorando:x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 A sen2 φ cos 2 θ + A sen 2 θ + ρ 2 Acos 2 φ b cRelação fundamental:x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 A sen2 φ + ρ 2 Acos 2 φOu:x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 sen2 φ + cos 2 φ b cRelação fundamental (de novo):x2 + y 2 + z 2 = ρ 2Ou: wwwwwww wwwwwww wwwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwwwρ =F q x2 + y2 + z2Agora se pegarmos as duas primeiras relações demonstradas anteriormente e dividirmos, obtemos:xf ρfffffffffff A senφ A cos θff ffffffffffff f ffffffffffff f fffffffffff =y ρ A sen φ A sen θ f ffθfxf cosffff ffff f ffff fff senθf ffff ffff fff fff = (invertendo e aplicando a relação: tgθ = )y sen θ cos θtgθ = f yf ff xAssim:θ = arc tg ff yf f f xO mesmo para:z = ρ A cos φEntão:zf f ff zf fff = cos φ [ φ = arc cosρ ρ

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