Lista 9 -_integrais (1)

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Lista 9 -_integrais (1)

  1. 1. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a Lista 9 - CDI II C´alculo de Integrais e Aplica¸c˜oes 1. Calcule as integrais iteradas. (a) 1 0 2 0 (x + 3) dydx (b) 4 2 1 0 x2 y dxdy (c) ln 3 0 ln 2 0 ex+y dydx (d) 0 −1 5 2 dxdy 2. Calcule as integrais dupla na regi˜ao retangular R. (a) R 4xy3 dA; R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2} (b) R x √ 1 − x2 dA; R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3} (c) R (x sen y − sen x) dA; R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 3 } 3. Use a integral dupla para calcular os volumes: (a) O volume sob o plano z = 2x + y e acima do retˆangulo R = {(x, y)|3 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 2}. (b) O volume compreendido pela superf´ıcie z = x2 e os planos x = 0, x = 2, y = 3, y = 0 e z = 0. 4. As integrais a seguir representam o volume de um s´olido. Esboce o s´olido: (a) 5 0 2 1 4 dxdy (b) 3 0 4 0 25 − x2 − y2 dydx 5. Calcule a integral R x cos(xy) cos2 πx dA; R = [0, 1/2] × [0, π] 6. Use integrais duplas para calcular a ´area da regi˜ao plana compreendida pelas curvas dadas. (a) y = sen x e y = cos x, para 0 ≤ x ≤ π/4 (b) y2 = 9 − x e y2 = 9 − 9x 7. (a) Use integrais duplas para calcular o volume do s´olido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 9 e os planos z = 0 e z = 3 − x. (b) O s´olido limitado acima pelo parabol´oide z = 9x2 + y2 , abaixo pelo plano z = 0 e lateral- mente pelos planos x = 0, y = 0, x = 3 e y = 2. (c) A cunha seccionada do cilindro 4x2 + y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = y + 3. 8. Calcule a integral dada escrevendo-a em coordenadas polares: (a) R x dA, sendo R o disco com centro na origem e raio r; (b) R y dA, sendo R a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pelo c´ırculo x2 + y2 = 9 e pelas retas y = x e y = 0; Professora: Sandra Tieppo 1
  2. 2. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a (c) R xy dA, sendo R a regi˜ao do primeiro quadrante compreendida entre os c´ırculos x2 +y2 = 4 e x2 + y2 = 25. 9. Use coordenadas polares para obter a ´area da regi˜ao: (a) compreendida pela cardi´oide r = 1 − cosθ; (b) compreendida pela ros´acea r = sen 2θ; (c) no interior do c´ırculo x2 + y2 = 4 e a direita da reta x = 1; 10. Use coordenadas polares para obter o volume do s´olido dentro de x2 + y2 + z2 = 9 e fora de x2 + y2 = 1. 11. Calcule as integrais duplas, convertendo-as em coordenadas polares: (a) R e−(x2+y2) dA, R ´e a regi˜ao contida no c´ırculo x2 + y2 = 1; (b) R 9 − x2 − y2 dA, R ´e a regi˜ao do primeiro quadrante contida no c´ırculo x2 + y2 = 9. 12. Calcule as integrais iteradas. (a) 1 −1 2 0 1 0 (x2 + y2 + z2 ) dxdydz (b) 2 0 y2 −1 z −1 yz dxdzdy (c) 3 0 √ 9−z2 0 x 0 xy dydxdz (d) 3 1 x2 x ln z 0 xey dydzdx 13. Calcule a integral tripla: (a) G xy sen yz dV, sendo G a caixa retangular definida pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ π/6. (b) G cos(z/y) dV, sendo G o s´olido definido pelas desigualdades π/6 ≤ y ≤ π/2, y ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ xy. 14. Use integral tripla para determinar o volume do s´olido: (a) O s´olido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3x+6y+4z = 12. (b) O s´olido limitado pela superf´ıcie y = x2 e os planos y + z = 4 e z = 0. 15. Esboce o s´olido cujo volume ´e dado pela integral (a) 1 −1 √ 1−x2 − √ 1−x2 1−x 0 dzdydx e (b) 1 0 √ 1−x2 0 2 0 dydzdx 16. Calcule as integrais iteradas. (a) 2π 0 1 0 √ 1−r2 0 zr dzdrdθ (b) pi/2 0 π/2 0 1 0 ρ3 sen φ cos φ dρdφdθ 17. Use coordenadas cil´ındricas para determinar o volume do s´olido: (a) O s´olido compreendido pelo parabol´oide z = x2 + y2 e o plano z = 9. Professora: Sandra Tieppo 2
  3. 3. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a (b) O s´olido limitado acima e abaixo pela esfera x2 +y2 +z2 = 9 e dentro do cilindro x2 +y2 = 4. 18. Use coordenadas esf´ericas para determinar o volume do s´olido: (a) O s´olido limitado pela esfera ρ = 4 e abaixo pelo cone φ = π/3. (b) O s´olido dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 9 e fora do cone z = x2 + y2 e acima do plano xy. 19. Calcule o Jacobiano J x, y u, v : (a) x = u + 4v, y = 3u − 5v (b) x = sen u + cos v, y = − cos u + sen v (c) u = ex , v = ye−x (d) u = x2 − y2 , v = x2 + y2 (x > 0, y > 0) 20. Calcule o Jacobiano ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) : (a) x = 3u + v, y = u − 2w, z = v + w (b) u = xy, v = y, w = x + z 21. Esboce a nova regi˜ao, ap´os aplicada a transforma¸c˜ao sugerida: (a) Seja a regi˜ao S um quadrado de v´ertices (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) e a transforma¸c˜ao x = u2 − v2 e y = 2uv. (b) A regi˜ao S ´e uma circunferˆencia de raio 1 e a transforma¸c˜ao x = 2u e y = 3v. 22. Use a transforma¸c˜ao u = x − 2y, v = 2x + y para determinar R x − 2y 2x + y dA sendo R a regi˜ao retangular envolvida pelas retas x − 2y = 1, x − 2y = 4, 2x + y = 1 e 2x + y = 3. 23. Use a transforma¸c˜ao u = 1 2 (x + y), v = 1 2 (x − y) para determinar R sen 1 2 (x + y) cos 1 2 (x − y) dA sendo R a regi˜ao triangular com v´ertices (0, 0), (2, 0), (1, 1). 24. Calcule R 16x2 + 9y2 dA, sendo R a regi˜ao envolvida pela elipse x2 9 + y2 16 = 1. 25. Calcule G x2 dV, sendo G a regi˜ao envolvida pelo elips´oide 9x2 + 4y2 + z2 = 36. 26. Generalize o exerc´ıcios anterior para um elips´oide qualquer de equa¸c˜ao x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, isto ´e, calcule o volume do elips´oide em fun¸c˜ao de a, b e c. Sugest˜ao: fa¸ca uma mudan¸ca de vari´aveis, tomando x=a.u, y=b.v e z=c.v. Use o Jacobiano. Adapte esta sugest˜ao para os dois exerc´ıcios anteriores. 27. Calcular I = T x dV, sendo T a esfera s´olida de raio a. Professora: Sandra Tieppo 3
  4. 4. Unioeste - Universidade Estadual do Oeste do Paran´a 28. Calcular I = T z dx dy dz, sendo T a regi˜ao limitada pela esfera de raio 4 e pelo cone z = x2 + y2. 29. Descreva em coordenadas esf´ericas o s´olido T limitado inferiormente pelo plano xy, supe- riormente pelo cone φ = π/6 e lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = a. Escreva na forma de uma integral iterada tripla I = T (x2 + y2 + z2 ) dV. 30. Mostre que I = R f(x, y)dx dy = S f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρ dθ. RESPOSTAS: 1)a) 7, b)2 ,c)2 ,d) 3; 2) a) 0, b) 1/3; 3) a) 19, b) 8; 5)1/3π 6) a) √ 2 − 1, b)32; 7) a) 27π, b) 170, c) 27π/2; 8) a) 0, b) 9 - 9 √ 2 2 c) 609/8; 9) a) 3π/2, b) π/2, c) 4π/3 − √ 3; 10)64 √ 2π/3; 11) a) (1 − e−1 )π; 12) a) 8, b)47/3, c) 81/5, d) 118/3; 13) a) π(π − 3)/2, b) 5π/12 − √ 3/2; 14) a)4, b) 256/15; 16) a) π/4, b) π/16; 17) a) 81π/2, b) −4π/3(5 √ 5 − 27) ; 18) a) 64π/3, b) 9π √ 2; 19) a) -17, b) cos(u − v); d) x = √ u+v√ 2 , y = √ v−u√ 2 , 1 4 √ v2−u2 ; 20) a) 5, b) 1/v; 22)3/2 ln 3; 23) 1 - 1/2 sen 2; 24) 96π; 25) 192π/5 26) 4 3 πabc 27) 0 28) 32π Professora: Sandra Tieppo 4

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