1) O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo com integrais duplas e triplas, envolvendo funções como x2y3, exy(x2 + y2), z = x2 + y2, entre outras. 2) São propostos cálculos de volumes de sólidos delimitados por superfícies como z = f(x,y) e planos, utilizando integrais duplas e triplas. 3) Há exercícios que envolvem mudança de variáveis em integrais duplas e triplas.

1. 1oLista de exerccios de calculo C
1. Calcule
ZZ
D
f(x; y) dxdy, se:
(a) f(x; y) = x2y3 e R = [0; 1] [0; 1]
(b) f(x; y) = (x + y)2(x2 y2) e R = [0; 1] [0; 1]
(c) f(x; y) = x2 + 4 e R = [0; 2] [0; 3]
(d) f(x; y) =
x2
y2 + 1
e R = [1; 1] [1; 1]
(e) f(x; y) = exy(x2 + y2) e R = [1; 3] [2; 1]
(f) f(x; y) = 2x + k2y e R = [2; 2] [1; 1]
(g) f(x; y) = x2 y2 e R = [1; 2] [1; 1]
2. Calcule o volume do limitado superiormente pelo gra

2. co da func~ao
z = f(x; y) e inferiormente pelo ret^angulo dado.
(a) z =
p
9 y2 e R = [0; 4] [0; 2]
(b) z = x2 + y2 e R = [2; 2] [3; 3]
(c) z = acos(x) + bsen(2y) e R = [0;
2 ] [0;
2 ]
(d) z = xsen(y) e R = [0; ] [0; ]
3. Calcule as integrais a seguir sabendo que regi~ao D e limitadas pelas
curvas dadas:
(a)
ZZ
D
y dxdy, y = 2x2 2 e y = x2 + x
(b)
ZZ
D
xy dxdy,
x2
a2 +
y2
b2 = 1 e x; y 0
(c)
ZZ
D
y
dxdy
1 + x2 , y = x2 e y = 1
(d)
ZZ
D
y dxdy, y = 2x2 2 e y = x2 + x
(e)
ZZ
D
ex+y dxdy, y = 0, y = x 1, x = 1 e x = 0
(f)
ZZ
D
xcos(y) dxdy, y = 0, y = x2 e y = 1
(g)
ZZ
D
(x2 + 2y) dxdy, y = 2x2 e y = x2 + 1
1

3. (h)
ZZ
D
sen(y)
y
dxdy, y = x, y = 1, x = 0 e x = 1
(i)
ZZ
D
cos(y3) dxdy, y =
p
(x), y = 2 e x = 0
4. Determine o volume do solido limitado por z = 2x + 1, x = y2 e
x y = 2.
5. Calcule o volume do solido que esta acima do plano xy e e limitado por
z = x2 + 4y2 e x2 + 4y2 = 4.
6. Calcule o volume do solido pela intersec~ao dos cilindros x2 + y2 = a2 e
x2 + z2 = a2.
7. Considere a aplicac~ao de

4. nida por
x = uv e y = v u
(a) Determine a imagem D do plano xy do ret^angulo R no plano uv
de vertices (0; 1); (1; 1); (1; 2) e (0; 2).
(b) Calcule a area de D.
8. Utilizando a mudanca de variaveis x = u + v e y = u v, calcule:
Z 1
0
Z 1
0
dy
(x2 + y2)dx
9. Utilizando a mudanca de variaveis x + y = u e x y = v, calcule:
ZZ
D
(x + y)2(x y)2)dxdy;
Onde D e limitado pelo tri^angulo de vertices (1; 0); (2; 1) e (0; 1).
10. Utilizando a mudanca de variaveis u = x y e v = x + y, calcule:
ZZ
D
(x2 y2)sen2(x + y)dxdy;
Onde D = f(x; y)= x + y ; x y g .
11. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas
(a)
ZZ
D
e(x2+y2)dxdy, D = f(x; y)=x2 + y2 1g.
2

5. (b)
ZZ
D
ln(x2+y2)dxdy, D = f(x; y)=x 0; y 0; a2 x2+y2 b2g.
(c)
ZZ
D
p
(x2 + y2) p
(x2 + y2)
sen
dxdy, onde D e limitada pelas curvas x2+y2 =
2
4
e x2 + y2 = 2.
12. Mostre usando a integral dupla que o volume de uma esfera de raio a
e V =
4a3
3
.
13. Mostre usando a integral dupla que area da regi~ao limitada pela curva
x2 + (y 1)2 = a2 e a2.
14. Determine o centro de massa da l^amina plana R, no plano xy e densi-dade
dada f:
(a) R e limitada por x2+y2 = 1 no primeiro quadrante e f(x; y) = xy:
(b) R e limitada por y = x e y = x2 e f(x; y) = x2 + y2.
15. Calcule o valor medio da func~ao f(x; y) = x2 + y2 na regi~ao R dada
por R = f(x; y)=x2 + y2 4g.
16. Calcule o valor medio da func~ao f(x; y) = ln(x2+y2) na regi~ao R dada
por R = f(x; y)=1 x2 + y2 4g.
17. Calcule as seguinte integrais triplas:
(a)
ZZZ
W
zdxdydz, onde W e a regi~ao do primeiro octante limitada
pelos planos y = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 e o cilindro
x2 + z2 = 4.
(b)
ZZZ
xy2z3dxdydz, onde W e a regi~ao do primeiro octante limi-tada
pela superfcie z = xy e os planos y = x, x = 1 e z = 0.
W
(c)
ZZZ
W
zdxdydz, onde W e a regi~ao limitada pelas superfcies z =
p
x2 + y2, y = x2, z = 0 e y = 1.
(d)
ZZZ
W
ycos(x+z)dxdydz, onde W e primeira regi~ao limitada pelo
cilindro x = y2 e os planos x + y =
2 e z = 0.
18. Calcule o volume dos solidos W descrito abaixo.
3

6. (a) W e limitado pelo cone z =
p
x2 + y2 e o paraboloide z = x2+y2.
(b) W e limitado pelas superfcies z = 8 x2 y2 e z = x2 + 3y2.
(c) W e limitado pelas superfcies z = 4x2y2 e z = y, esta situado
no interior do cilindro x2 + y2 = 1 e z 0.
19. Calcule as integrais a seguir, usando o teorema de mudanca de variaveis.
(a)
ZZZ
W
zdxdydz, onde W = f(x; y; z) 2 R3=x2 + y2 + z2 1; z
0; x2 + y2
1
4
g.
(b)
ZZZ
W
xyzdxdydz, onde W = f(x; y; z) 2 R3=
x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2
1; x ; y 0; z 0g.
(c)
ZZZ
W
zdxdydz, onde W e o solido limitado pelas superfcies z =
p
x2 + y2, z =
p
3(x2 + y2) e z2 + x2 + y2 = 4.
(d)
ZZZ
W
dxdydz
x2 + y2 + z2 dxdydz, onde W = f(x; y; z) 2 R3=x2 + y2 +
z2 2y; z
p
x2 + y2; y x; x 0g.
(e)
ZZZ
W
xdxdydz, onde W = f(x; y; z) 2 R3=4 x2 + y2 + z2
9; z 0; x 0g.
(f)
ZZZ
W
dxdydz
z2 , onde W e o solido limitado pelas superfcies z =
p
x2 + y2, z =
p
1 x2 y2 e z =
p
4 x2 y2.
20. Calcule
ZZZ
W
p
x2 + y2 + z2dxdydz, onde W e o solido limitado supe-riormente
pela esfera x2 + y2 + (z 1
2 )2 = 1
4 e inferiormente pelo cone
z =
p
x2 + y2.
21. Determine o volume do solido limitado por z = 9 x2 y2 e z =
1 + x2 + y2.
22. Sabendo que a densidade em cada ponto de um solido W e dada por
f(x; y; z) =
1
x2 + y2 + z2 , determine a massa de W quando
W = f(x; y; z) 2 R3=x2 + y2 + z2 9; x2 + y2 + z2 2yg:
4