Análise Combinatória
Objetivos da aula• Princípio Fundamental da Contagem• Arranjo Simples• Permutações: simples e com repetição• Combinação si...
Princípio Fundamental da                   Contagem   Vamos imaginar o caso de uma montadorade carros que dispõe de 5 core...
Temos 15diferentes tipos de       carro.
Princípio Fundamental   Evento que depende                    da contagem         de evento anterior  AnáliseCombinatória
Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantas   sequências diferentes      podemos obter?
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SoluçãoLogo, temos 8 resultados diferentes
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Cálculo do Fatorial  O fatorial de um número natural n édado pelo seguinte produto:     n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). .....
O fatorial de zero    é igual a 1      0! = 1
Tente fazer sozinho              17! 3!2) Calcule:              15! 6!
Solucão17! 3! 17.16.15!.3!      =             =15! 6! 15!.6.5.4.3!17.16.15.3! 17.16 34            =     =15!.6.5.4.3! 6.5....
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Arranjo Simples     O arranjo simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosou alguns elementos de um conju...
Também podemos usar a fórmula de                  arranjo simples:                  p         n!              A n         ...
Princípio Fundamental   Evento que depende                    da contagem         de evento anterior                      ...
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Permutação Simples     A permutação simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosos elementos de um conjun...
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Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como  base a palavra UFPEL, resolva as  seguintes questões:a)Quantos...
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Soluçãoa)    5   4    3   2   1= 120b)    2   3    2   1    1= 12   1      3    2   1c)                  = 6 ; 6 .4 = 24  ...
Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Saben...
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Solução            caronamotorista             janelas       2     2    2     1   =8                            1        ...
Permutação com Repetição    Caso o conjunto dado apresenteelementos repetidos, usaremos a seguintefórmula:              α ...
Permutação com RepetiçãoExemplo: A palavra ARARAQUARA apresentaum total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U        5, 310!...
Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra       MISSISSIPI.
Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra       MISSISSIPI.
Solução MISSISSIPI: 10 letras, sendo1M, 4I, 4S, 1P     4, 4 10! 10.9.8.7.6.5.4!   P10 4!4!        =      =                ...
Princípio Fundamental     Evento que depende                    da contagem           de evento anterior                  ...
Definição                 Agrupamento de pelo menos 2 elementos            característica              Importa a ordemArra...
Combinação Simples     A combinação simples acontecequando agrupamos uma quantidade p deelementos de um conjunto com n ele...
Combinação Simples   Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula:                p       ...
Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandid...
Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandid...
Solução   4       7!         7!C 7 = 4!( 7 − 4 )! = 4!3! =  7.6.5.4!=           = 35   4! 3.2
Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser...
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Solução  6       10!        10!C10 = 6!(10 − 6 )! = 6!4! =  10.9.8.7.6!=             = 210   6! 4.3.2
Princípio Fundamental      Evento que depende                    da contagem            de evento anterior                ...
Bibliografia• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fun• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/ana...
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  1. 1. Análise Combinatória
  2. 2. Objetivos da aula• Princípio Fundamental da Contagem• Arranjo Simples• Permutações: simples e com repetição• Combinação simples
  3. 3. Princípio Fundamental da Contagem Vamos imaginar o caso de uma montadorade carros que dispõe de 5 cores (preto,vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figoe Amora). Para saber quantos tipos de carrosdiferentes podem ser fabricados, bastacruzar cada cor, com cada tipo de carro. Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
  4. 4. Temos 15diferentes tipos de carro.
  5. 5. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior AnáliseCombinatória
  6. 6. Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantas sequências diferentes podemos obter?
  7. 7. Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantas sequências diferentes podemos obter?
  8. 8. SoluçãoLogo, temos 8 resultados diferentes
  9. 9. Fatorial de um número natural Representamos o fatorial de umnúmero colocando um ponto deexclamação depois desse número (n!)Exemplos: 4! 7! 20!
  10. 10. Cálculo do Fatorial O fatorial de um número natural n édado pelo seguinte produto: n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1 Exemplos:• 4! = 4.3.2.1 = 24• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
  11. 11. O fatorial de zero é igual a 1 0! = 1
  12. 12. Tente fazer sozinho 17! 3!2) Calcule: 15! 6!
  13. 13. Solucão17! 3! 17.16.15!.3! = =15! 6! 15!.6.5.4.3!17.16.15.3! 17.16 34 = =15!.6.5.4.3! 6.5.4 15
  14. 14. Tente fazer sozinho3) (UEMG) Simplificando a expressão n!+( n + 1)! , obtemos: ( n + 2)! n 1 n na) b) c) d) n −1 n −1 n +1 n −1
  15. 15. Soluçãon!+( n + 1)! n!+( n + 1) n! = = ( n + 2)! ( n + 2)( n + 1) n! n!(1 + n + 1) n!( n + 2 ) = =( n + 2)( n + 1) n! ( n + 2)( n + 1) n! n!( n + 2 ) 1 =( n + 2)( n + 1) n! n + 1 Letra D
  16. 16. Arranjo Simples O arranjo simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosou alguns elementos de um conjunto, cujaordem dos elementos é considerada.Exemplo: Quantos números de 3 algarismosdistintos podemos formar com os algarismos2, 3, 4, 5 e 6. 5 4 3 = 60 números
  17. 17. Também podemos usar a fórmula de arranjo simples: p n! A n = ( n − p )! Sendo:n  número total de elementos do conjuntop  quantidade de algarismos pedida 3 6! 6! 6.5.4.3! A6 = ( 6 − 3)! = 3! = 3! = 60
  18. 18. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Importa a ordem Arranjo Análise Simples p n! Fórmula A =Combinatória n ( n − p )!
  19. 19. Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.a)Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?b)Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
  20. 20. Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.a) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?b) Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
  21. 21. Soluçãoa) 9 8 7 = 504b) 8 7 6 1= 336 7c) 1 7 6 5 4 1 840 = 3 8
  22. 22. Permutação A permutação é um caso particular doarranjo simples, pois acontece quandoagrupamos todos os elementos do conjuntodado. Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremosformar números de 3 algarismos, temos umcaso de arranjo. Se queremos formarnúmeros de 5 algarismos, temos um caso dearranjo, particularmente, a permutação.
  23. 23. Permutação Simples A permutação simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosos elementos de um conjunto.Exemplo: A palavra AMOR apresenta 4 letras e comelas, podemos formar alguns anagramas: ROMA – MORA – ROAM - ARMO
  24. 24. Permutação Simples Para calcular o número total deanagramas, podemos seguir o seguinteraciocínio: 4 3 2 1 = 24 Também podemos usar a fórmula de permutação simples: Pn = n! P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
  25. 25. Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal?c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
  26. 26. Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal?c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
  27. 27. Soluçãoa) 5 4 3 2 1= 120b) 2 3 2 1 1= 12 1 3 2 1c) = 6 ; 6 .4 = 24 UF 2 1 =2; 2 x 24 = 48
  28. 28. Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  29. 29. Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  30. 30. Solução caronamotorista janelas 2 2 2 1 =8 1   bancos bancos da frente de trás
  31. 31. Permutação com Repetição Caso o conjunto dado apresenteelementos repetidos, usaremos a seguintefórmula: α , β ,γ n! P n = α! β !γ ! Sendo: n  o número total de elementos α, β, γ  número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo.
  32. 32. Permutação com RepetiçãoExemplo: A palavra ARARAQUARA apresentaum total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U 5, 310! 10.9.8.7.6.5! P10 = 5!3! = 5! 3.2 = 10.9.8.7.6.5! = 5040 5! 3.2
  33. 33. Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra MISSISSIPI.
  34. 34. Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra MISSISSIPI.
  35. 35. Solução MISSISSIPI: 10 letras, sendo1M, 4I, 4S, 1P 4, 4 10! 10.9.8.7.6.5.4! P10 4!4! = = 4! 4.3.2 = 10.9.8.7.6.5.4! = 6300 4! 4.3.2
  36. 36. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Importa a ordem Arranjo Análise Simples p n! Fórmula A =Combinatória n ( n − p )! Caso Particular Permutação
  37. 37. Definição Agrupamento de pelo menos 2 elementos característica Importa a ordemArranjo p n!Simples Fórmula A = n ( n − p )! Agrupamento de todos Definição Caso elementos dados Permutação Particular simples P! Tipos Com α , β ,γ = n! repetição P n α ! β !γ !
  38. 38. Combinação Simples A combinação simples acontecequando agrupamos uma quantidade p deelementos de um conjunto com n elementos,sem importar a ordem que esses elementossão escolhidos. Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre as 5 que se candidataram a umaviagem, não importa a ordem que as 3 serãoescolhidas, pois todas as 3 irão da mesmaforma.
  39. 39. Combinação Simples Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula: p n! C n = p!( n − p )! Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre 5. 3 5! 5! 5.4.3! 5.4.3! C 5 = 3!( 5 − 3)! = 3!2! = 3! 2 = 3! 2 = 10
  40. 40. Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir: Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
  41. 41. Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir:Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
  42. 42. Solução 4 7! 7!C 7 = 4!( 7 − 4 )! = 4!3! = 7.6.5.4!= = 35 4! 3.2
  43. 43. Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
  44. 44. Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
  45. 45. Solução 6 10! 10!C10 = 6!(10 − 6 )! = 6!4! = 10.9.8.7.6!= = 210 6! 4.3.2
  46. 46. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Importa a ordem Arranjo Análise Simples p n! Fórmula A =Combinatória n ( n − p )! Caso Particular Permutação Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Combinação Importa a ordem Simples p n! Fórmula C n = p!( n − p )!
  47. 47. Bibliografia• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fun• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/ana• Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325

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