3. Inferência
Inferir certas características da
população
amostra
Distribuição estimar
desconhecida X
ou estimar
Intervalo
Parâmetros S2 2 de
desconhecidos confiança
^ estimar
p p
4. Teste de hipóteses
amostra
X 107,56
Uma população com
média =100 conhecida
= 100 poderia produzir uma
amostra com média
107,56?
O objetivo do teste de hipóteses é verificar se os dados
amostrais trazem evidências que contrariam ou não uma
hipótese estatística formulada.
5. Teste de hipóteses
Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de
uma certa substância no sangue se comporta segundo
um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio
padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a
concentração média se alterada para 18 unidades/ml
com mesmo desvio padrão.
Sadios: N(14,36)
Doentes: N(18,36)
6. Teste de hipóteses para a média
Desejamos verificar se um determinado
tratamento é eficaz a essa doença.
Uma amostra aleatória de 31 pessoas doentes que
foram submetidas ao tratamento é selecionada.
X1, X2, ... Xn Xi ~ N( , 36)
O valor da média desta amostra vai indicar se o
tratamento foi eficaz (=14) ou não foi eficaz (=18)
7. Teste de hipóteses para a média
Pelo teorema do limite central, sabe-se que:
36
X ~ N ,
31
Um critério que pode ser utilizado para
decidir a qual população (=14 ou =18)
pertence a amostra é determinar um valor
crítico xc
8. Teste de hipóteses para a média
Se X>xc concluímos que a amostra pertence
à população doente (=18), ou seja o
tratamento não é eficaz;
Se X xc concluímos que a amostra
pertence à população sadia (=14) sendo o
tratamento considerado eficiente.
= 14 = 18
xobs
xc
9. Teste de hipóteses para a média
Podemos formular duas hipóteses para esse
problema:
Hipótese nula
H0: O tratamento NÃO é eficaz;
Ha: O tratamento é eficaz.
Hipótese alternativa
Hipótese simples Hipótese composta
H0: = 18 H0: = 18 H0: = 18
Ha: = 14 Ha: < 18 Ha: 18
Teste unilateral Teste bilateral
10. Teste de hipóteses para a média
TESTE UNILATERAL:
No caso do tratamento ser eficaz é razoável
assumirmos que ele foi capaz de fazer com
que as pessoas ficassem curadas, ou seja,
que mudassem para uma população que
X<18
H0: = 18 versus Ha: < 18
TESTE BILATERAL
Para verificar se o tratamento produziu algum
efeito benéfico X<18 ou danoso X>18
H0: = 18 versus Ha: 18
11. Teste de hipóteses para a média
Como X é uma estimativa (é apenas 1 de
infinitas amostras possíveis) pode-se correr o
risco de concluir incorretamente que o
tratamento é eficaz, ou decidir que o tratamento
não é eficiente quando na verdade ele é.
Devemos quantificar os possíveis erros
associados a essa decisão.
12. Teste de hipóteses
Erro tipo I
Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é
verdadeira
Erro tipo II
Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria
ser rejeitada
Situação
H0 verdadeira H0 falsa
Rejeitar H0 Erro tipo I Sem erro
Decisão
Não rejeitar H0 Sem erro Erro tipo II
13. Teste de hipóteses
= P(erro tipo I) = P(Rejeitar H0| H0 é verdadeira)
= P(erro tipo II) = P(Não rejeitar H0| H0 é falsa)
Nível de significância
No exemplo:
= P(concluir que o tratamento é eficaz | na verdade ele não é)
= P(concluir que o tratamento não é eficaz | na verdade ele é)
Qual é o erro mais
importante de ser
evitado?
14. Teste de hipóteses para a média
Com determinar o valor crítico xc?
P(erro I ) P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)
P( X xc | 18)
X xc 18
P
6
n 31
P( Z zc )
Sendo que Z ~ N(0,1)
15. Teste de hipóteses para a média
O valor de zc é obtido na tabela da distribuição
normal, dado um valor para e o valor crítico é
calculado como:
xc 18
zc
6
31
6 Intervalo de confiança
xc 18 zc para com n>30!!!
31
Para =0,05:
0,05 P( Z zc )
zc 1,64
16. Teste de hipóteses para a média
Logo
6
xc 18 1,64 16,23
31
Se Xobs < 16,23 rejeitamos H0 concluindo que o
tratamento é eficaz.
Região crítica:
RC={x : x<xc}
RC={x : x<16,23}
17. Teste de hipóteses para a média
Se a amostra forneceu estimativa da média
16,04 então 16,04<16,23 e rejeitamos H0 ao
nível de significância =0,05 ou =5%.
Portanto o tratamento é eficaz.
18. Passos para construção do TH.
Passo 1: Estabelecer as hipótese nula e
alternativa;
Passo 2: Definir a forma da região crítica, com
base na hipótese alternativa;
Passo 3: Identificar a distribuição do estimador
e obter sua estimativa;
Passo 4: Fixar e obter a região crítica;
Passo 5: Concluir o teste com base na
estimativa e na região crítica.
19. Exercício
Uma variável aleatória tem distribuição
normal com desvio padrão igual a 12.
Estamos testando se sua média é igual ou
menor que 20 e coletamos uma amostra de
100 valores dessa variável, obtendo uma
média amostral de 17,4.
Formule as hipóteses.
Obtenha a região crítica e dê a conclusão do
teste para os seguintes níveis de
significância: 1%, 4% e 8%.
21. Teste de hipóteses
Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de
uma certa substância no sangue se comporta segundo
um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio
padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a
concentração média se alterada para 18 unidades/ml
com mesmo desvio padrão.
Sadios: N(14,36)
Doentes: N(18,36)
22. Teste de hipóteses - bilateral
NOVO OBJETIVO:
Verificar se o tratamento produziu algum efeito
benéfico X<18 ou danoso X>18
H0: O tratamento NÃO é eficaz
Ha: O tratamento produz algum efeito (benéfico ou
danoso)
H0: = 18 versus Ha: 18
23. Teste de hipóteses - bilateral
A região crítica, ou região de rejeição para
o teste de hipóteses bilateral será dada
por:
RC {x : x xc1 ou x xc 2 }
A região de aceitação é o completar da
região crítica:
RA {x : xc1 x xc 2 }
24. Teste de hipóteses - bilateral
Para fixo, encontramos os ponto críticos xc1 e xc2:
P(erro I ) P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)
P( X RC | 18) P( X xc1 ou X xc 2 | 18)
X 18 xc1 X 18 xc 2 18
P ou
6 6 6
31 n 31 31
P( Z zc1 ou Z zc 2 )
P( Z zc1 ) e P ( Z zc 2 )
2 2
25. Teste de hipóteses - bilateral
Os valores de zc1 e zc2 são obtidos na tabela da
distribuição normal, dado um valor para e o
valor crítico é calculado como:
6 Intervalo de confiança
xci 18 zci para com n > 30!!!
31
Para =0,05:
0,025 P( Z zc1 ) 0,025 P( Z zc 2 )
zc1 1,96 zc 2 1,96
26. Teste de hipóteses - bilateral
Logo 6
xc1 18 1,96 15,89
31
6
xc 2 18 1,96 20,11
31
A região crítica para =0,05 é:
RC {x : x 15,89 ou x 20,11}
27. Teste de hipóteses - bilateral
Como Xobs não pertence a RC, aceitamos H0 a
um nível de 5% de significância. Concluímos
que o tratamento não é eficaz.
28. Teste de hipóteses - bilateral
Também podemos calcular a probabilidade de
acontecer o erro tipo II
Para calcular , nós conhecemos o valor de :
P(erro I )
P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)
P( X RC | 18)
29. Teste de hipóteses - bilateral
Mas para calcular a probabilidade de ocorrer o
erro tipo II não sabemos quem é .
P(erro II )
P( Não rejeitar H 0 | H 0 falsa )
P( X RC | 18)
Quem é o
verdadeiro
valor de ?
30. Teste de hipóteses - bilateral
Desta forma será uma função dos valores de
definido na região da hipótese alternativa.
Então a probabilidade do erro tipo II será
denotada por ().
Por exemplo, se verdadeiro for =16
(16) P(erro tipo II )
P( X RC | 16)
P(15,89 X 20,11 | 16)
31. Teste de hipóteses - bilateral
15,89 16 X 16 20,11 16
(16) P
36 36 36
31 31 31
P(0,10 Z 3,81)
0,0398 0,499
0,5397
Se o verdadeiro =16, estamos concluindo
equivocadamente, com probabilidade de
0,5397, que H0 é verdadeiro.
32. Exercício
Um relatório de uma companhia afirma que 40%
de toda a água obtida, através de poços
artesianos no nordeste, é salobra.
Mas alguns dizem que a proporção é maior,
outros que é menor.
Para diminuir as dúvidas, sortearam 400 poços
e observou-se, em 120 deles, água salobra.
Qual seria a conclusão, ao nível de 3%?