1. 1
EST 105 - Exerc´
ıcios de testes de hip´teses
o
Defini¸˜o: p-valor ou n´
ca ıvel descritivo ou valor probabil´
ıstico ou valor p
O p-valor em um teste de hip´tese ´ o menor n´ de significˆncia para o qual se
o e ıvel a
rejeita H0 . Uma defini¸˜o mais geral: o p-valor ´ a probabilidade de se obter um
ca e
valor da estat´
ıstica do teste t˜o ou mais extremo do que o valor observado, em favor
a
da hip´tese alternativa H1 .
o
A seguir dois exemplos com o c´lculo do p-valor nos testes Z para uma m´dia e χ2 .
a e
1. Considere o teste Z para uma m´dia e seja Z0 o valor da estat´
e ıstica do teste
calculado sob a pressuposi¸˜o de que a hip´tese de nulidade ´ verdadeira,
ca o e
X − µ0
H0 : µ = µ0 ⇒ Z0 = √
σ/ n
Portanto, o p-valor depende do valor z0 e tamb´m se o teste ´ unilateral (H1 :
e e
µ < µ0 ou H1 : µ > µ0 ) ou bilateral (H1 : µ = µ0 ). Ent˜o, se f (z) ´ a
a e
fun¸˜o densidade de probabilidade da vari´vel aleat´ria Z, para Z ∼ N (0, 1)
ca a o
e z ∗ = |z0 | tem-se:
∞
teste unilateral : p-valor = P (Z ≥ z ∗ ) = f (z)dz
z∗
∞
teste bilateral : p-valor = 2 × P (Z ≥ z ∗ ) = 2 × f (z)dz
z∗
Informe o p-valor e a decis˜o do teste quando:
a
a. z0 = −1, 99 e α = 5%, teste bilateral.
b. z0 = 1, 83 e α = 5%, teste unilateral.
c. z0 = 2, 20 e α = 1%, teste unilateral.
d. z0 = −2, 20 e α = 1%, teste bilateral.
2. Considere agora o teste de qui-quadrado e seja χ2 o valor da estat´
0 ıstica do teste
sob H0 . Para uma tabela r × c, com r linhas e c colunas, tem-se que ν =
(r − 1) × (c − 1) − s ou ν = k − 1 − s (k colunas ou tabela 1 × k) ´ o n´mero de
e u
graus de liberdade, onde k ´ o n´mero de classes e s ´ o n´mero de parˆmetros
e u e u a
estimados para se obter as frequˆncias esperadas (s = 0 em geral). Portanto,
e
p-valor = P (χ2 ≥ χ2 ). Pede-se: informe o p-valor quando,
ν 0
a. A tabela ´ 3 × 4 com s = 0 e χ2 = 16, 812.
e 0
b. A tabela ´ 1 × 6 com s = 2 e χ2 = 9, 348.
e 0
1
Cont´m 10 exerc´
e ıcios em p´ginas numeradas de 1 a 6.
a
1

2. 3. Com o objetivo de tornar seu produto mais competitivo, um fabricante de au-
tom´veis deseja extender a garantia oferecida em pe¸as e servi¸os de 15000 Km
o c c
para 30000 Km. Entretanto, esta mudan¸a somente ser´ vi´vel se for compro-
c a a
vado que os custos n˜o ir˜o aumentar devido ` esta extens˜o na garantia. A
a a a a
garantia atual ´ com base em estudos que indicam um custo m´dio de 100um
e e
(um = unidades monet´rias) por carro na garantia.
a
a. Suponha que um estudo preliminar trabalhou com uma amostra de 120
carros cujo custo total devido ` servi¸os cobertos pela garantia tenha
a c
sido superior a 100um por carro. Esta amostra incluia carros na garantia
e tamb´m fora da garantia e para cada um destes carros havia o registro
e
da quilometragem, de modo que obteve-se quilometragem m´dia igual a
e
30890 Km. Pede-se:
a1. A garantia deve ser extendida ou n˜o? Utilize σ = 5836 Km para
a
realizar um teste de hip´tese e escreva as hip´teses estat´
o o ısticas em
termos do problema em quest˜o e tamb´m em termos de um teste de
a e
hip´tese.
o
a2. Conclua para α = 1% e tamb´m para α = 5%.
e
a3. Para averiguar se haver´ um aumento no custo m´dio por carro,
a e
devido ` extens˜o na garantia, quais mudan¸as devem ser realizadas
a a c
no estudo? explique.
b. Se um novo estudo for realizado conforme descrito em (a3.) considerando-
se os valores n = 120 e σ = 25, informe os valores x para se rejeitar
H0 : µ = 100 em favor de H1 : µ > 100 a 5% e 1%.
4. Suponha que a m´dia da distribui¸˜o das estaturas (X) dos adultos seja 1, 60m
e ca
com desvio-padr˜o igual a 0, 18m. Se uma amostra aleat´ria de 200 adultos
a o
fornece m´dia X, qual deve ser o valor x para se declarar que:
e
a. a m´dia aumentou a 1% de significˆncia.
e a
b. a m´dia se alterou a 5% de significˆncia.
e a
5. Um fabricante informa que um medicamento ´ 90% eficiente para curar dores de
e
cabe¸a (explique o significado desta informa¸˜o). Um estudo com 200 pacientes
c ca
resultou em 170 pacientes curados. Pede-se: Utilize σ = 0, 3 para testar a
informa¸˜o do fabricante, (informe o p-valor) e conclua para α = 0, 01 (1%).
ca
6. Uma m´quina est´ regulada para fornecer µ = 500g por pacote e seja σ 2 = 25
a a
g2 . Seja d = |X − µ|, calcule o tamanho da amostra para se concluir a 5% de
probabilidade que a m´quina n˜o est´ bem regulada quando: d = 1; d = 0, 8;
a a a
d = 0, 6; d = 0, 4 e d = 0, 2.
7. O n´mero de defeitos nas placas de circuito impresso ´ suposto seguir a dis-
u e
tribui¸˜o poisson. Uma amostra aleat´ria de 80 circuitos forneceu os dados
ca o
2

3. informados na tabela abaixo. Realize um teste a 5% de probabilidade e con-
clua.
N´mero de defeitos
u 0 1 2 ≥3
N´mero de placas
u 35 22 13 10
8. Uma amostra aleat´ria de 300 notas forneceu m´dia X = 56 e desvio-padr˜o
o e a
SX = 22. Deseja-se testar a hip´tese de que estas notas sejam de uma dis-
o
2
tribui¸˜o normal(µ, σ ). A tabela a seguir mostra resultados parciais do teste
ca
de hip´tese, utilizando-se 6 classes de notas equiprov´veis. Pede-se: Calcule
o a
as frequˆncias esperadas e explique como os valores das notas que dividem as
e
classes (Li ) foram calculados, execute o teste e conclua para α = 0, 025(2, 5%)
e tamb´m para α = 0, 05(5%).
e
Frequˆncias
e
Classe(i) notas(Xi ) observadas (Oi ) esperadas (Ei )
1 0 ≤ Xi < 34, 88(L1 ) 41
2 34, 88 ≤ Xi < 46, 54(L2 ) 55
3 46, 54 ≤ Xi < 56, 00(ˆ)
µ 59
4 56, 00 ≤ Xi < 65, 46(L3 ) 48
5 65, 46 ≤ Xi < 77, 12(L4 ) 60
6 77, 12 ≤ Xi ≤ 100 37
9. Utilize a nota¸˜o da tabela a seguir para demonstrar como se obt´m a f´rmula,
ca e o
ni. n.j
Eij = nij =
ˆ , frequˆncias esperadas (Eij ) nos testes de χ2 para,
e
n..
independˆncia: H0 : X e Y s˜o independentes, e
e a
homogeneidade: H0 : As popula¸˜es s˜o homogˆneas para as categorias de Y .
co a e
Y
Popula¸˜o
ca ou X y1 y2 ... yC Total
1 x1 n11 n12 ... n1C n1.
2 x2 n21 n22 ... n2C n2.
... ... ... ...
L xL nL1 nL2 ... nLC nL.
Total n.1 n.2 ... n.C n..
10. Para testar a hip´tese de que um dispositivo adicionado ao cinto de seguran¸a
o c
diminua a for¸a m´dia exercida no peito do passageiro durante o impacto,
c e
3

4. testou-se 12 carros com e sem o dispositivo. Nestes testes o carro colide com
um murro de concreto a uma velocidade de 60km/h e ap´s a colis˜o avalia-
o a
se a for¸a exercida no peito dos passageiros (bonecos dummy), registrada no
c
aparelho apropriado.
a. Com base nos dados da tabela a seguir execute um teste unilateral a 1% de
significˆncia e conclua sobre a efic´cia do dispositivo em reduzir a for¸a
a a c
m´dia do impacto em 2 Kg.
e
Dispositivo For¸a (Kg)
c
SEM 5,0 8,0 9,3 10,2 4,8 6,5
COM 2,5 4,0 5,0 7,2 3,2 4,5
b. Se um novo estudo for conduzido com 14 carros (n = 7 para cada amostra)
e forem obtidos os valores da tabela a seguir, conclua sobre a efic´cia do
a
dispositivo em reduzir a for¸a m´dia do impacto em 3Kg, em um teste
c e
bilateral a 5%.
Dispositivo m´dia variˆncia
e a
SEM 8,8 3,25
COM 4,5 2,98
RESPOSTAS
1.(Z uma m´dia) A decis˜o do teste ser´ rejeitar H0 quando p-valor ≤ α.
e a a a.
2 × 0, 0233 = 0, 0466 = 4, 67%, b. 0, 0336 = 3, 36%, c. 0, 0139 =
1, 39%, d. 0, 0278 = 2, 78%.
2.(χ2 ) a. p-valor = 0, 01, b. p-valor = 0, 025
3.(Z uma m´dia) a. H0 : µ = 30000, a amostra ´ de uma popula¸˜o com quilome-
e e ca
tragem m´dia igual a 30 mil Km e portanto os custos ir˜o aumentar com a
e a
extens˜o da garantia, j´ que nesta amostra o custo foi superior a 100um por
a a
carro. Se H1 : µ > 30000 e a decis˜o for rejeitar H0 (optar por H1 ), n˜o se
a a
pode concluir quanto ao aumento do custo m´dio por carro com a extens˜o
e a
da garantia, j´ que a amostra ´ de carros com custo superior a 100um por
a e
carro e veio de uma popula¸˜o com quilometragem m´dia superior a 30 mil.
ca e
Alternativamente, se H1 : µ < 30000 n˜o h´ necessidade do teste j´ que
a a a
X = 30890. a2. Z0 = 1, 67 e p-valor = 0, 0475(4, 75%), portanto rejeita-se
H0 a 5% (Z = 1, 64 ou 1, 65 tabelado) e n˜o se rejeita a 1% (Z = 2, 33 tabelado)
a
a3. trabalharia com uma amostra aleat´ria de carros com quilometragem
o
maior do que 15 mil e no m´ximo 30 mil Km e com os registros dos custos por
a
4

5. carro (dos itens na garantia), para testar H0 : µ = 100 versus H1 : µ > 100.
Neste caso, n˜o rejeitar H0 significa mudar a garantia, ou extender para 30
a
mil Km, j´ que os carros amostrados s˜o uma amostra aleat´ria da nova po-
a a o
pula¸˜o de carros que ser´ acrescida ` popula¸˜o da garantia atual.
ca a a ca b.
x ≈ 103, 8(5%) e x ≈ 105, 3(1%).
4.(Z uma m´dia) a. x ≥ 1, 629
e b. x ≤ 1, 575 ou x ≥ 1, 625.
5. (Z uma m´dia) Seja Xi = 1, se paciente curou e Xi = 0 se paciente n˜o curou,
e a
ap´s tomar o medicamento, para i = 1, 2, . . . , 200. Ent˜o, X = p = 0, 85.
o a
H0 : µ = 0, 9 e a informa¸˜o do fabricante ´ verdadeira, H1 : µ < 0.9, n˜o ´
ca e a e
verdadeira. Z0 ≈ −2, 36, portanto p-valor = 0, 5 − 0, 4909 = 0, 0091(0, 91%) e
rejeita-se H0 a 1%.
6. (Z uma m´dia) n = 96; n = 151; n = 267; n = 600 e n = 2401.
e
7. (χ2 aderˆncia) H0 : O modelo poisson(m) ´ adequado e H1 : poisson n˜o ´
e e a e
adequado. m = 78/80 = 0.975 defeitos por placa, estimado com os dados
ˆ
(s = 1) e utilizando-se x = 3 na classe ≥ 3. Ei = P (xi ) × 80, P (xi ) =
e−m mxi /xi !, para os valores xi = 0, 1, 2 e P (≥ 3) = 1 − P (0) − P (1) −
ˆ
ˆ
P (2). Obt´m-se χ2 ≈ 5, 3 com ν = 4 − 1 − s = 2 graus de liberdade. A
e 0
hip´tese H0 n˜o deve ser rejeitada a 5% de significˆncia, χ2 (5%, 2) = 5, 991.
o a a
Abaixo a solu¸˜o obtida com o sistema SAS (software estat´
ca ıstico)
xi 0 1 2 ≥3
P (xi ) 0,37719 0,36776 0,17928 0,07576
Oi 35 22 13 10
Ei 30,1754 29,4210 14,3427 6,0609
χ2 0,77139
i 1,87184 0,12570 2,56015
8. (χ2 aderˆncia) H0 : o modelo normal(µ, σ 2 ) ´ adequado e H1 : o modelo normal
e e
2
n˜o ´ adequado. E1 = . . . = E6 = 300/6 = 50, χ0 = 9, 20 com ν = k − 1 − s =
a e
6 − 1 − 2 = 3 graus de liberdade, pois µ e σ foram estimados por X = 56
e SX = 22. Os valores Li indicados na tabela s˜o obtidos por X = Zσ +
a
µ =⇒ Li = Zi SX + X, em que os valores Zi s˜o os correspondentes `s classes
a a
com probabilidade 1/6 ≈ 0, 166, z1 = −0, 96; z2 = −0, 43; z3 = 0, 43; z4 =
0, 96, portanto l1 = 34, 88; l2 = 46, 54; l3 = 65, 46; l4 = 77, 12. Os valores
tabelados s˜o χ2 (5%, 3) = 7, 815 e χ2 (2, 5%, 3) = 9, 348, portanto rejeita-se
a
H0 a 5% e n˜o se rejeita a 2, 5%.
a
9. No teste para independˆncia, H0 : P (xi , yj ) = P (xi )P (yj ) ∀ (xi , yj ),
e
ni.
P (xi ) = n..
, probabilidade marginal para X
n.j
P (yj ) = n..
, probabilidade marginal para Y.
5

6. portanto,
nij ni. n.j ni. n.j
= ⇒ nij =
ˆ .
n.. n.. n.. n..
n.j
No teste para homogeneidade H0 : P (i, yj ) = n..
∀ (i, yj ),
nij
P (i, yj ) = , propor¸˜o da categoria Yj na popula¸˜o i
ca ca
ni.
portanto,
nij n.j ni. n.j
= ⇒ nij =
ˆ .
ni. n.. n..
10.(t duas m´dias) a. Tem-se H0 : µSEM − µCOM = 2 e H1 : µSEM − µCOM <
e
2. Observe que X SEM − X COM = 2, 9 > 2 e portanto n˜o h´ nenhuma
a a
evidˆncia contr´ria a H0 e o teste n˜o ´ necess´rio. Observe tamb´m que o
e a a e a e
valor tabelado t(1%, 10) = 2, 76 se refere ao valor sim´trico ` direita da curva,
e a
isto ´, P (t10 ≤ −2, 76) = P (t10 ≥ 2, 76) = 0, 01. Apenas por curiosidade, o
e
valor calculado seria,
(X SEM − X COM ) − 2 (7, 3 − 4, 4) − 2
t0 = = ≈ 0, 794
2 2
SSEM +SCOM 1 1 (5, 016 + 2, 684)/6
2 6
+ 6
b. tem-se H0 : µSEM − µCOM = 3 e H1 : µSEM − µCOM = 3. t tabelado igual
a t12 (5%) = 2, 179 = 2, 18 e o calculado igual a,
(8, 8 − 4, 5) − 3
t0 = ≈ 1, 38
(3, 25 + 2, 98)/7
A decis˜o ser´ de n˜o rejeitar H0 . Conclui-se que n˜o h´ evidˆncias para
a a a a a e
se suspeitar que o dispositivo seja ainda mais eficiente do que se suspeitava
inicialmente, ou seja, ele n˜o diminui a for¸a m´dia em mais do que 3kg (j´
a c e a
que 8, 8 − 4, 5 = 4, 3).
6