Aula 11 estimação

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Aula 11 estimação

  1. 1. Aula 11 Estimação Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes Universidade Federal de Itajubá
  2. 2. Resumo  A principal preocupação numa inferência estatística é obter conclusões sobre a população.  Com a média de uma amostra extraída de uma população será estimada a média dessa população.  Entretanto, de uma mesma população pode-se tomar muitas amostras diferentes do mesmo tamanho. O parâmetro média da população é um valor único e desconhecido. A estatística média da amostra é um valor conhecido, porém pode variar de amostra para amostra.
  3. 3. Resumo  Com as médias das amostras, é possível construir a distribuição de freqüências das médias das amostras, denominada distribuição amostral da média, cuja média denomina-se média amostral e seu desvio padrão, erro padrão ou erro amostral.
  4. 4. Estimação • Devido a natureza aleatória envolvida num procedimento amostral (AAS), não podemos garantir que repetições de amostras produzam sempre resultados idênticos. • Então, ao coletarmos uma amostra, não podemos prever antecipadamente seu resultado, ou seja, todas as quantidades associadas à amostra terão caráter aleatório e portanto, devem receber tratamento probabilístico.
  5. 5. Estimação • À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar, um parâmetro de interesse na população denominamos estimador. Em geral, denotamos os estimadores por símbolos com o acento circunflexo: ^ ^ , etc. , , ^ • Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas pontuais ou estimativas
  6. 6. Estimação • Def. Um estimador T do parâmetro  é qualquer função da amostra, ou seja, T=g(X1,...,Xn). Um estimador é uma estatística associada a um parâmetro populacional. • Estimativa é o valor assumido pelo estimador em uma amostra.
  7. 7. Estimação • Mas qualquer função representa bem o parâmetro em estudo? • O estimador precisa ter algumas propriedades: Vício: Um estimador é não viciado ou não viesado para um parâmetro  se: ˆ E ( )   Em outras palavras, um estimador é não viciado se o seu valor esperado coincide com o parâmetro de interesse.
  8. 8. Estimação Consistência: Um estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado converge para o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero: ˆ i ) lim E ( )   ; n  O estimador depende de n !! ˆ ii ) lim Var ( )  0; n 
  9. 9. Estimação Eficiência: Dados dois estimadores ^ 1 e 2, não  ^ viciados para um parâmetro . Dizemos que ^ 1 é  mais eficiente do que ^ 2 se:  ˆ ˆ Var (1 )  Var ( 2 )
  10. 10. Parâmetro Estimador Propriedades  X n i Não viciado e X i 1 consistente n p % com caracterís tica Não viciado e p ˆ n consistente 2 n (X i  X )2 Não viciado e S2  i 1 consistente n 1 2  n ( X i  X )2 Viciado e 2  ˆ i 1 consistente n
  11. 11. Exemplo • Considere que, numa certa população, uma variável aleatória X assuma os valores 0, 10, 20 e 30 com porcentagens 20%, 30%, 30% e 20%, respectivamente. Logo  = 15 e 2 = 105. X 0 10 20 30 P(X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
  12. 12. • Retirando todas as amostras de 2 elementos com reposição tem-se a distribuição conjunta X1X2 0 10 20 30 0 0,04 0,06 0,06 0,04 10 0,06 0,09 0,06 0,09 20 0,06 0,09 0,09 0,06 30 0,04 0,06 0,06 0,04
  13. 13. • Para estimar  na população, considere os estimadores: 1  X 1 ˆ n X i 2  ˆ i 1 n 1 ^ 0 10 20 30 P(1=x) 0,2 0,3 0,3 0,2 2 ^ 0 5 10 15 20 25 30 P(2=x) 0,04 0,12 0,21 0,26 0,21 0,12 0,04
  14. 14. • Obtendo o valor esperado de 1 ,2: ^ ^ E ( 1 )  0 * 0,2  10 * 0,3  20 * 0,3  30 * 0,3  15 ˆ E ( 2 )  0 * 0,04  5 * 0,12  10 * 0,21  ...  30 * 0,04  15 ˆ • Portanto, os estimadores são não viciados: E ( 1 )   ˆ E (2 )   ˆ
  15. 15. • Esses estimadores são consistentes? Propriedade da Variância: Var (aX )  a 2Var ( X ) i ) lim E (  1)  lim E ( X 1 )  lim 15   ˆ n  n  n  ii ) lim Var (  1)  lim Var ( X 1 )  lim 105   2 ˆ n  n  n  n  X 1  X 2  ...  X n   E( X i ) n i ) lim E (  2)  lim E  ˆ   lim i 1  lim  n  n   n  n  n n  n n  X  X 2  ...  X n  Var ( X ) i n 2 2 ii ) lim Var (  2)  lim Var  1 ˆ   lim i 1  lim 2  lim 0 n  n   n  n  n2 n  n n  n Portanto,o estimador 1 não é consistente e o estimador 2 é consistente!!!
  16. 16. • Qual é o estimador mais eficiente? Var (  1)   2  105 ˆ 2 105 Var (  2)  ˆ   52,5 n 2 Portanto o estimador 2 é mais eficiente que o estimador 1. Var (2 )  Var (1 ) ˆ ˆ
  17. 17. Trabalho em grupo para casa • Mostre que o estimador da variância dividido por n-1 é não viciado? • Supondo uma amostra (X1,...,Xn) obtida de uma população com média  e variância 2. Um estimador natural da variância é: n (X i  X) 2 1  ˆ 2 i 1 n
  18. 18. Estimação • Esse estimador é viciado? n n  ( X i  X ) 2  ( X i      X ) 2 i 1 i 1 n n n   ( X i   )  2 ( X i   )( X   )   ( X   ) 2 2 i 1 i 1 i 1 X  é uma constante e  ( X i   )  n( X   ) 2 n • Como i 1 n n  ( X i  X )   ( X i   ) 2  n( X   ) 2 . i 1 2 i 1
  19. 19. • Segue que  n 2 E  ( X i  X )  E ( 12 )   i 1 ˆ  n 1 n 2   E ( X i   )  nE ( X   )  2 n  i 1  1 1 2  n   2 n n  n 1  2    n 
  20. 20. • Logo  n 2 E ˆ1    12 ˆ  n 1  1 n S  2 (Xi  X ) n  1 i 1 2
  21. 21. Exercício 1 • Foi analisado uma população de 15 famílias com filhos num certo bairro e observado o número de crianças de cada família, matriculadas na escola. Os dados foram: 1,1,2,0,2,0,2,3,4,1,1,2,0,0, e 2. • Qual dos estimadores abaixo é o “melhor” estimador da média e por quê? (max  min) ( X1  X 2 )  1 ˆ ; 2  ˆ ;  3 X ˆ 2 2
  22. 22. Exercício 2 • Suponha um experimento consistindo de n provas de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p. Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores X 1, se a primeira prova resultar sucesso, p1  ; ˆ p2   ˆ n  0, caso contrário. • Determine a esperança e a variância de cada ^ estimador. Por que p2 não é um bom estimador? • Verifique se ^ 1 e p2 são consistentes. p ^

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