SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 15
Baixar para ler offline
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica
Departamento de Matem´atica Aplicada
C´alculo 3A – Lista 11
Exerc´ıcio 1: Seja o campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (x − y, x + y, z). Calcule o fluxo de
−→
F atrav´es de
S, orientada com −→n exterior a S se:
a) S : x2
+ y2
= a2
com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h;
b) S : x2
+ y2
+ z2
= a2
com a > 0.
Solu¸c˜ao:
a) O esbo¸co de S est´a representado na figura que se segue.
x
y
z
S
−→n
a
a
h
Da teoria, temos no caso do cilindro x2
+ y2
= a2
, que o unit´ario normal exterior ´e da forma
−→n =
(x, y, 0)
a
. Ent˜ao o fluxo φ ´e dado por:
φ =
S
−→
F · −→n dS =
S
(x − y, x + y, z) ·
(x, y, 0)
a
dS =
=
1
a
S
x2
− xy + xy + y2
dS =
1
a
S
x2
+ y2
dS =
=
a2
a
S
dS = aA(S) = a(2πah) = 2πa2
h .
C´alculo 3A Lista 11 165
b) O esbo¸co de S est´a representado na figura a seguir.
x
y
z
S
−→n
a
a
a
Da teoria, temos no caso da esfera x2
+ y2
+ z2
= a2
, que o unit´ario normal exterior ´e dado por
−→n =
(x, y, z)
a
. Ent˜ao fluxo ´e dado por:
φ =
S
−→
F · −→n dS =
S
(x − y, x + y, z) ·
(x, y, z)
a
dS =
=
1
a
S
x2
− xy + xy + y2
+ z2
dS =
=
1
a
S
x2
+ y2
+ z2
dS =
a2
a
S
dS = aA(S) =
= a (4πa2
) = 4πa3
.
Exerc´ıcio 2: Calcular o fluxo do campo vetorial de
−→
F = (x − y − 4)
−→
i + y
−→
j + z
−→
k
atrav´es da semi-esfera superior de x2
+ y2
+ z2
= 1, com campo de vetores normais −→n tal que
−→n ·
−→
k > 0.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de S est´a representado na figura a seguir.
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 166
x
y
z
S
1
1
1
−→n
Como −→n ·
−→
k > 0 ent˜ao −→n aponta para cima e, portanto, −→n = =
(x, y, z)
a
= (x, y, z) pois a = 1. O
fluxo ´e dado por:
S
−→
F · −→n dS =
S
(x − y − 4, y, z) · (x, y, z) dS =
=
S
x2
− xy − 4x + y2
+ z2
dS =
=
S
x2
+ y2
+ z2
= 1
−xy − 4x dS =
S
(1 − xy − 4x) dS =
=
S
dS −
S
(xy − 4x) dS = A(S) −
S
(xy − 4x) dS =
=
1
2
· 4π · 12
−
S
(xy − 4x) dS = 2π −
S
(xy − 4x) dS .
Ora, para calcular
S
(xy − 4x) dS devemos parametrizar S. Ent˜ao temos que S : ϕ(φ, θ) =
(sen φ cos θ, sen φ sen θ, cos φ), com (φ, θ) ∈ D :
0 ≤ φ ≤ π/2
0 ≤ θ ≤ 2π
. Tamb´em temos que dS =
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 167
a2
sen φ dφdθ = sen φ dφdθ. Logo:
S
(xy − 4x) dS =
=
D
sen2
φ sen θ cos θ − 4 sen φ cos θ sen φ dφdθ =
=
D
sen3
φ sen θ cos θ dφdθ − 4
D
sen2
φ cos θ dφdθ =
=
π/2
0
sen3
φ
2π
0
sen θ cos θ dθdφ − 4
π/2
0
sen2
φ
2π
0
cos θ dθdφ =
=
π/2
0
sen3
φ
sen2
θ
2
2π
0
dφ − 4
π/2
0
sen2
φ sen θ
2π
0
dθ = 0 .
Portanto:
S
−→
F · −→n dS = 2π .
Exerc´ıcio 3: Calcule
S
−→
F · −→n dS, onde
−→
F = −z
−→
k e S ´e a parte da esfera x2
+ y2
+ z2
= 4 fora
do cilindro x2
+ y2
= 1, −→n apontando para fora.
Solu¸c˜ao: A superf´ıcie S est´a ilustrada na figura a seguir:
x
y
z
S
√
3
π/6
1
2
2
2
1
φ
√
3 ⇒ tg φ =
1
√
3
⇒ φ =
π
6
Uma parametriza¸c˜ao para S ´e dada por
S : ϕ(φ, θ) = (2 sen φ cos θ , 2 sen φ sen θ , 2 cos φ)
com (φ, θ) ∈ D =
π
6
,
5π
6
× [0, 2π] . Temos:
dS = a2
sen φ dφ dθ
a=2
= 4 sen φ dφ dθ .
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 168
Como −→n ´e exterior a S, ent˜ao
−→n =
(x, y, z)
a
a=2
=
(x, y, z)
2
.
Assim:
S
−→
F · −→n dS =
S
(0, 0, −z) ·
(x, y, z)
2
dS =
= −
S
z2
dS = −
D
4 cos2
φ · 4 sen φ dφ dθ =
= −16
5π/6
π/6
2π
0
cos2
φ sen φ dθ dφ = 32π
5π/6
π/6
cos2
φ d(cos φ) =
= 32π
cos3
φ
3
5π/6
π/6
=
32π
3
−
√
3
2
3
−
√
3
2
3
=
= −
32π
3
·
3
√
3
8
= −4π
√
3 .
Exerc´ıcio 4: Calcule o fluxo do campo
−→
F = −x
−→
i − y
−→
j + 3y2
z
−→
k sobre o cilindro x2
+ y2
= 16,
situado no primeiro octante entre z = 0 e z = 5 − y com a orienta¸c˜ao normal que aponta para o
eixo z.
Solu¸c˜ao: A superf´ıcie S est´a ilustrada na figura a seguir.
x y
z
S
C
4
4
5
5
−→n
Temos S : ϕ(t, z) = (4 cos t , 4 sen t , z), com (t, z) ∈ D :
0 ≤ t ≤ π/2
0 ≤ z ≤ 5 − 4 sen t
. Al´em disso,
dS = a dt dz
a=4
= 4 dt dz .
Como −→n aponta para o eixo z, ent˜ao:
−→n =
(−x, −y, 0)
a
=
(−x, −y, 0)
4
.
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 169
Portanto:
S
−→
F · −→n dS =
S
− x, −y, 3y2
z ·
(−x, −y, 0)
4
dS =
=
1
4
S
x2
+ y2
= 16
dS = 4
S
dS = 4
S
dS =
= 4
D
4 dt dz = 16
π/2
0
5−4 sen t
0
dz dt =
= 16
π/2
0
(5 − 4 sen t) dt = 16 5t + 4 cos t
π/2
0
=
= 16
5π
2
− 4 = 40π − 64 .
Exerc´ıcio 5: Calcule
S
−→
F · −→n dS onde
−→
F (x, y, z) = xzey−→
i − xzey−→
j + z
−→
k
e S ´e a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante com orienta¸c˜ao para baixo.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de S est´a representado na figura a seguir.
x
y
z
S
1
1
1
−→n
x
y
D
1
1
y = 0
x + y = 1
y = 1 − x
A superf´ıcie pode ser descrita por S : z = 1 − x − y = f(x, y), com (x, y) ∈ D : 0 ≤ x ≤ 1 e
0 ≤ y ≤ 1−x. Um vetor normal a S ´e dado por N = (−fx, −fy, 1) = (1, 1, 1) Como −→n aponta para
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 170
baixo ent˜ao −→n =
(−1, −1, −1)
√
3
. Temos que dS = 1 + (fx)2 + (fy)2 dxdy =
√
3 dxdy . Ent˜ao:
S
−→
F · −→n dS =
S
xzey
, −xzey
, z ·
(−1, −1, −1)
√
3
dS =
=
S
− xzey
+ xzey
+ z ·
(−1, −1, −1)
√
3
dS =
=
S
xzey
− xzey
− z
√
3
dS =
S
−z
√
3
dS =
=
D
d−(1−x−y)
√
3
·
√
3 dxdy =
D
(−1 + x + y) dxdy =
=
1
0
1−x
0
(−1 + x + y) dydx =
1
0
− y + xy +
y2
2
1−x
0
dx =
−1
6
.
Exerc´ıcio 6: Calcule
S
−→
F · −→n dS onde
−→
F (x, y, z) = x
−→
i + y
−→
j + 5
−→
k e S ´e a fronteira da regi˜ao
delimitada pelo cilindro x2
+ z2
= 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 com a orienta¸c˜ao positiva
(isto ´e, −→n exterior a S).
Solu¸c˜ao: Para esbo¸car S, fa¸camos uma invers˜ao nos eixos coordenados.
x
y
z
S1
S2
S3
1
1
2
2
−→n1
−→n2
−→n3
Temos que S = S1 ∪ S2 ∪ S3, orientada positivamente. Logo:
S
−→
F · −→n dS =
S1
−→
F · −→n1 dS +
S2
−→
F · −→n2 dS +
S3
−→
F · −→n3 dS .
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 171
C´alculo de
S1
−→
F · −→n1 dS
Temos S1 : y = 2 − x = f(x, z), com (x, z) ∈ D : x2
+ z2
≤ 1. Logo, uma parametriza¸c˜ao de S1
´e ϕ(x, z) = (x, f(x, z), z) = (x, 2 − x, z), com (x, z) ∈ D. Logo, ϕx = (1, fx, 0) = (1, −1, 0) e
ϕz = (0, fz, 1) = (0, 0, 1) donde
ϕx × ϕz =
−→
i
−→
j
−→
k
1 fx 0
0 fz 1
= (fx, −1, fz) = (−1, −1, 0) .
Logo, dS = ϕx × ϕz dxdz =
√
2 dxdz. Como −→n1 aponta para cima, ent˜ao a componente y de −→n1
´e positiva. Logo −→n1 =
(1, 1, 0)
√
2
. Ent˜ao:
S1
−→
F · −→n1 dS =
D
(x, 2 − x, 5) ·
(1, 1, 0)
√
2
·
√
2 dxdz =
=
D
2 dxdz = 2 · A(D) = 2π .
C´alculo de
S2
−→
F · −→n2 dS
Temos S2 : x2
+z2
= 1, com 0 ≤ y ≤ 2−x. Uma parametriza¸c˜ao de S2 ´e: ϕ(t, y) = (cos t, y, sen t),
com (t, y) ∈ D1 : 0 ≤ t ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2 − cos t. Temos
−→
N = ϕt × ϕy =
−→
i
−→
j
−→
k
− sen t 0 cos t
0 1 0
= (− cos t, 0, − sen t)
donde dS =
−→
N dtdy = dtdy. Como −→n2 ´e exterior a S2 ent˜ao −→n2 = (cos t, 0, sen t) . Logo:
S2
−→
F · −→n2 dS =
D1
(cos t, y, 5) · (cos t, 0, sen t) dtdy =
=
D1
cos2
t dtdy =
2π
0
2−cos t
0
cos2
t dydt =
=
2π
0
2 cos2
t − cos3
t dt = 2
2π
0
cos2
t dt −
2π
0
cos3
t dt =
= 2 ·
1
2
t +
sen 2t
2
2π
0
− 0 = 2π (Verifique!) .
C´alculo de
S3
−→
F · −→n3 dS
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 172
Temos S3 : y = 0 = f(x, z), com (x, z) ∈ D : x2
+z2
≤ 1. Logo, dS = 1 + (fx)2 + (fz)2 dxdz =
dxdz e −→n3 = −
−→
j . Ent˜ao:
S3
−→
F · −→n3 dS =
D
(x, 0, 5) · (0, −1, 0) dxdz =
D
0 dxdz = 0 .
Portanto:
S
−→
F · −→n dS = 2π + 2π = 4π .
Exerc´ıcio 7: Calcule
S
−→
F · −→n dS, onde
−→
F (x, y, z) = −x
−→
i + 2z
−→
k e S ´e a fronteira com regi˜ao
limitada por z = 1 e z = x2
+ y2
, com −→n exterior a S.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de S = S1 ∪ S2 est´a representado na figura a seguir.
x
y
z
D
S1
S2
−→n1
−→n2
1
1
1
Usando propriedade de fluxo, temos
S
−→
F · −→n dS =
S1
−→
F · −→n1 dS +
S2
−→
F · −→n2 dS .
C´alculo de
S1
−→
F · −→n1 dS:
Temos S1 : z = 1 = f(x, y), com (x, y) ∈ D : x2
+ y2
≤ 1. Temos tamb´em que −→n1 =
−→
k e
dS = dxdy. Ent˜ao:
S1
−→
F · −→n1 dS =
S1
(−x, 0, 2 · 1) · (0, 0, 1) dS =
=
S1
2 dS = 2A(S) = 2 π · 12
= 2π .
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 173
C´alculo de
S2
−→
F · −→n2 dS:
Temos S2 : z = x2
+ y2
= g(x, y), com (x, y) ∈ D : x2
+ y2
≤ 1. Um vetor normal a S ´e dado
por
−→
N = (−gx, −gy, 1) = (−2x, −2y, 1) que aponta para cima. Como −→n2 aponta para baixo, ent˜ao
−→n2 =
(2x, 2y, −1)
1 + 4x2 + 4y2
.
Temos que dS =
−→
N dxdy = 1 + 4x2 + 4y2 dxdy. Ent˜ao:
S2
−→
F · −→n2 dS =
D
−x, 0, 2 x2
+ y2
· (2x, 2y, −1) dxdy =
=
D
−2x2
− 2x2
− 2y2
dxdy =
Drθ
−2r2
− 2r2
cos2
θ r drdθ =
= −2
2π
0
1
0
1 + cos2
θ r3
drdθ = −2
r4
4
1
0
2π
0
1 + cos2
θ dθ =
= −
1
2
θ +
1
2
θ +
sen 2θ
2
2π
0
= −
3π
2
.
Exerc´ıcio 8: Calcule
S
−→
F ·−→n dS onde
−→
F = 2
−→
i +5
−→
j +3
−→
k e S ´e a parte do cone z = x2 + y2
interior ao cilindro x2
+ y2
= 1, orientada com normal −→n tal que −→n ·
−→
k < 0.
Solu¸c˜ao: De x2 + y2 e x2
+ y2
= 1 temos que z = 1. Logo, as duas superf´ıcies interceptam-se
no plano z = 1, segundo a circunferˆencia x2
+ y2
= 1. Assim, o esbo¸co de S est´a representado na
figura a seguir.
x
y
z
S
D
−→n
1
1
1
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 174
Como −→n ·
−→
k < 0 ent˜ao a terceira componente de −→n ´e negativa e, portanto −→n aponta para baixo.
A superf´ıcie de S ´e dada por S : z = x2 + y2 com (x, y) ∈ D : x2
+ y2
≤ 1.
Um vetor normal a S apontando para baixo ´e
−→
N =
∂z
∂x
,
∂z
∂y
, −1 =
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
, −1
donde −→n =
−→
N
−→
N
e dS =
−→
N dxdy. Ent˜ao:
S
−→
F · −→n dS =
D
(2, 5, 3) ·
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
, −1 dxdy =
=
D
2x
x2 + y2
+
5y
x2 + y2
− 3 dxdy =
=
D
2x
x2 + y2
dxdy +
D
5y
x2 + y2
dxdy − 3
D
dxdy .
Como a fun¸c˜ao
2x
x2 + y2
´e ´ımpar em rela¸c˜ao a x e a regi˜ao D tem simetria em rela¸c˜ao ao eixo y
ent˜ao:
D
2x
x2 + y2
dxdy = 0 .
Como a fun¸c˜ao
5y
x2 + y2
´e ´ımpar em rela¸c˜ao a y e a regi˜ao D tem simetria em rela¸c˜ao ao eixo x
ent˜ao:
D
5y
x2 + y2
dxdy = 0 .
Ent˜ao:
S
−→
F · −→n dS = 0 + 0 − 3A(D) = −3π .
Exerc´ıcio 9: Ache o fluxo de
−→
F = yz, −xz, x2
+ y2
atrav´es de S superf´ıcie de revolu¸c˜ao obtida
girando-se o segmento de reta que liga (1, 0, 1) e (0, 0, 3) em torno do eixo z, onde o vetor normal
−→n tem componente z n˜ao negativa.
Solu¸c˜ao: As figuras a seguir, mostram a curva C e a superf´ıcie S.
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 175
x
y
z
C
1
1
3
x
y
z
S
1
1
3
−→n
⇒
Uma parametriza¸c˜ao para C ´e dada por:
σ(t) = (1, 0, 1) + t (0, 0, 3) − (1, 0, 1) =
= (1, 0, 1) + t(−1, 0, 2) = (1 − t , 0 , 1 + 2t) ,
com t ∈ [0, 1]. Logo: 


x(t) = 1 − t
y(t) = 0
z(t) = 1 + 2t
com t ∈ [0, 1]. Uma parametriza¸c˜ao para S ´e dada por:
S : ϕ(θ, t) = x(t) cos θ , x(t) sen θ , z(t) =
= (1 − t) cos θ , (1 − t) sen θ , 1 + 2t
com θ ∈ [0, 2π] e t ∈ [0, 1].
Um vetor normal a S ´e dado por:
−→
N =
∂ϕ
∂θ
×
∂ϕ
∂t
=
−→
i
−→
j
−→
k
−(1 − t) sen θ (1 − t) cos θ 0
− cos θ − sen θ 2
=
= 2(1 − t) cos θ , 2(1 − t) sen θ , 1 − t .
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 176
Temos:
φ =
S
−→
F · −→n dS =
=
D
(1 − t)(1 + 2t) sen θ , −(1 − t)(1 + 2t) cos θ) , (1 − t)2
·
· 2(1 − t) cos θ , 2(1 − t) sen θ , 1 − t dt =
=
D
1(1 − t)2
(1 + 2t) sen θ cos θ − 2(1 − t)2
(1 + 2t) sen θ cos θ +
+(1 − t)3
dt =
=
1
0
2π
0
(1 − t)3
dt = −2π
(1 − t)4
4
1
0
= −2π 0 −
1
4
=
π
2
.
Exerc´ıcio 10: Calcule
S
−→
F · −→n dS, onde
−→
F (x, y, z) = (z + 3x)
−→
i + 5y
−→
j + (z + 3)
−→
k
e S ´e a superf´ıcie do s´olido limitado por z = 1 − y2
, x = 0, x = 2 e o plano xy, com vetor normal
−→n exterior.
Solu¸c˜ao: A superf´ıcie S ´e constituida de quatro superf´ıcies:
Superf´ıcie S1
Temos S1 : z = 1 − y2
= z(x, y) com (x, y) ∈ D1 :
0 ≤ x ≤ 2
−1 ≤ y ≤ 1
e
dS = 1 +
∂z
∂x
2
+
∂z
∂y
2
dxdy = 1 + 4y2 dxdy .
Superf´ıcie S2
Temos S2 : x = 0 = x(y, z) com (y, z) ∈ D2 :
−1 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1 − y2 e
dS = 1 +
∂x
∂y
2
+
∂x
∂z
2
dydz =
√
1 + 02 + 02 dydz = dydz .
Superf´ıcie S3
Temos S3 : x = 2 = x(y, z) com (y, z) ∈ D3 = D2. Logo dS = dydz.
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 177
Superf´ıcie S4
Temos S4 : z = 0 = z(x, y) com (x, y) ∈ D4 = D1. Logo dS = dxdy.
A superf´ıcie S pode ser vista na figura a seguir:
x
y
z
S1
S2
S3
S4
−→n1
−→n2
−→n3
−→n4
1
1
2
Como −→n ´e exterior, ent˜ao −→n1 =
(0, 2y, 1)
1 + 4y2
, −→n2 = −
−→
i , −→n3 =
−→
i e −→n4 = −
−→
k . Temos:
S
−→
F · −→n dS =
4
i=1 Si
−→
F · −→ni dS
onde:
Superf´ıcie S1
S1
−→
F · −→n1 dS =
=
D1
1 − y2
+ 3x , 5y , 1 − y2
+ 3 · (0 , 2y , 1) dxdy =
=
D1
10y2
+ 4 − y2
=
1
−1
2
0
9y2
+ 4 dxdy =
= 2
1
−1
9y2
+ 4 dy = 2 3y3
+ 4y
1
−1
= 4(3 + 4) = 28 .
UFF IME - GMA
C´alculo 3A Lista 11 178
Superf´ıcie S2
S2
−→
F · −→n2 dS =
=
S2
z , 5y , z + 3 · (−1 , 0 , 0) dS =
= −
S2
z dS = −
D2
z dS = −
1
−1
1−y2
0
z dzdy =
= −
1
2
1
−1
z2 1−y2
0
dy = −
1
2
1
−1
1 − 2y2
+ y4
dy =
= −
1
2
y −
2y3
3
+
y5
5
1
−1
= − 1 −
2
3
+
1
5
= −
8
15
.
Superf´ıcie S3
S3
−→
F · −→n3 dS =
S3
z + 6 , 5y , z + 3 · (1 , 0 , 0) dS =
=
S3
(z + 6) dS =
S3
z dS + 6
S3
dS =
=
8
15
+ 6
1
−1
1−y2
0
z dzdy =
8
15
+ 6
1
−1
1 − y2
dy =
=
8
15
+ 6 y −
y3
3
1
−1
=
8
15
+ 12 1 −
1
3
=
8
15
+ 8 .
Superf´ıcie S4
S4
−→
F · −→n4 dS =
S4
3x , 5y , 3 · (0 , 0 , −1) dS =
= −
D4
dxdy = −A(D4) = −A(D1) = −4 .
Logo:
S
−→
F · −→n dS = 28 −
8
15
+
8
15
+ 8 − 4 = 32 .
UFF IME - GMA

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO II
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO IIDICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO II
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO II
Renatho Sousa
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definida
educacao f
 
resumo Função do 2 grau
 resumo Função do 2 grau resumo Função do 2 grau
resumo Função do 2 grau
Celia Lana
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
Wilson Kushima
 
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Carlos Campani
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7
Bowman Guimaraes
 
Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011
Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011
Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011
Joelson Lima
 

Mais procurados (20)

Equações
EquaçõesEquações
Equações
 
Ufba12mat2
Ufba12mat2Ufba12mat2
Ufba12mat2
 
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO II
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO IIDICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO II
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO II
 
Lista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - CálculoLista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - Cálculo
 
Função Polinomial
Função PolinomialFunção Polinomial
Função Polinomial
 
Lista 4 equacoes_2_grau
Lista 4 equacoes_2_grauLista 4 equacoes_2_grau
Lista 4 equacoes_2_grau
 
Lista 5 sistemas
Lista 5 sistemasLista 5 sistemas
Lista 5 sistemas
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
Dicas ufsc-ricardinho
Dicas ufsc-ricardinhoDicas ufsc-ricardinho
Dicas ufsc-ricardinho
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definida
 
resumo Função do 2 grau
 resumo Função do 2 grau resumo Função do 2 grau
resumo Função do 2 grau
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
 
Regra da cadeia
Regra da cadeiaRegra da cadeia
Regra da cadeia
 
08 derivadas
08 derivadas08 derivadas
08 derivadas
 
Limites, derivadas e suas aplicações
Limites, derivadas e suas aplicaçõesLimites, derivadas e suas aplicações
Limites, derivadas e suas aplicações
 
Assintotas e Descontinuidades
Assintotas e DescontinuidadesAssintotas e Descontinuidades
Assintotas e Descontinuidades
 
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
 
Exercicios derivada lista3
Exercicios derivada lista3Exercicios derivada lista3
Exercicios derivada lista3
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 7
 
Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011
Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011
Vp 2etapa gab_ 9a_algebra i_2011
 

Destaque

Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Bowman Guimaraes
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Bowman Guimaraes
 
Inac 2009 Sigepi Development Case
Inac 2009 Sigepi Development CaseInac 2009 Sigepi Development Case
Inac 2009 Sigepi Development Case
willyhoppe
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Bowman Guimaraes
 
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Bowman Guimaraes
 
Centro acadêmico livre de computação - UFS
Centro acadêmico livre de computação - UFSCentro acadêmico livre de computação - UFS
Centro acadêmico livre de computação - UFS
Kalil Araujo Bispo
 

Destaque (20)

Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 6
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 12
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
 
O que é um Centro Acadêmico?
O que é um Centro Acadêmico?O que é um Centro Acadêmico?
O que é um Centro Acadêmico?
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
 
Inac 2009 Sigepi Development Case
Inac 2009 Sigepi Development CaseInac 2009 Sigepi Development Case
Inac 2009 Sigepi Development Case
 
Uscs edital inverno 2014
Uscs   edital inverno 2014Uscs   edital inverno 2014
Uscs edital inverno 2014
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
 
Programa Gestão da Informação e TESI
Programa Gestão da Informação e TESIPrograma Gestão da Informação e TESI
Programa Gestão da Informação e TESI
 
1 ciclo rankine (1)
1  ciclo rankine (1)1  ciclo rankine (1)
1 ciclo rankine (1)
 
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
 
Disciplina Gestão da Informação | DCOMP, UFS | Prof. Dr. Rogério PC do Nascim...
Disciplina Gestão da Informação | DCOMP, UFS | Prof. Dr. Rogério PC do Nascim...Disciplina Gestão da Informação | DCOMP, UFS | Prof. Dr. Rogério PC do Nascim...
Disciplina Gestão da Informação | DCOMP, UFS | Prof. Dr. Rogério PC do Nascim...
 
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
 
Centro acadêmico livre de computação - UFS
Centro acadêmico livre de computação - UFSCentro acadêmico livre de computação - UFS
Centro acadêmico livre de computação - UFS
 
PROCC 2014 - Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação da UFS
PROCC 2014 - Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação da UFSPROCC 2014 - Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação da UFS
PROCC 2014 - Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação da UFS
 
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêaLivro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
 
(1) O Risco Fiscal do Cadastro desatualizado: uso com SPED NF-e
(1) O Risco Fiscal do Cadastro desatualizado: uso com SPED NF-e(1) O Risco Fiscal do Cadastro desatualizado: uso com SPED NF-e
(1) O Risco Fiscal do Cadastro desatualizado: uso com SPED NF-e
 
Aula Inaugural do DCOMP/UFS.br by Prof Dr. Alberto Costa Neto em 2015
Aula Inaugural do DCOMP/UFS.br by Prof Dr. Alberto Costa Neto em 2015Aula Inaugural do DCOMP/UFS.br by Prof Dr. Alberto Costa Neto em 2015
Aula Inaugural do DCOMP/UFS.br by Prof Dr. Alberto Costa Neto em 2015
 
Fundamentos da Computação para o DCOMP - Departamento de Computação da UFS
Fundamentos da Computação para o DCOMP - Departamento de Computação da UFSFundamentos da Computação para o DCOMP - Departamento de Computação da UFS
Fundamentos da Computação para o DCOMP - Departamento de Computação da UFS
 

Semelhante a Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 11

Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3
Bowman Guimaraes
 
Ita2008 3dia
Ita2008 3diaIta2008 3dia
Ita2008 3dia
cavip
 
Matemática- Miniteste 2: Polinómios
Matemática- Miniteste 2: PolinómiosMatemática- Miniteste 2: Polinómios
Matemática- Miniteste 2: Polinómios
Dark_Neox
 

Semelhante a Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 11 (20)

Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 3
 
Técnicas de integração
Técnicas de integraçãoTécnicas de integração
Técnicas de integração
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
 
mma12_res_qte2 (6).pdf
mma12_res_qte2 (6).pdfmma12_res_qte2 (6).pdf
mma12_res_qte2 (6).pdf
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
3ra provacal1 fisica2015
3ra provacal1 fisica20153ra provacal1 fisica2015
3ra provacal1 fisica2015
 
Potenciação
Potenciação Potenciação
Potenciação
 
Matemática n°01 (cláudia leonardo) (parte 2)
Matemática   n°01 (cláudia leonardo)  (parte 2)Matemática   n°01 (cláudia leonardo)  (parte 2)
Matemática n°01 (cláudia leonardo) (parte 2)
 
Discreta1
Discreta1Discreta1
Discreta1
 
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
Mat140questoesresolvidasvoli 111209133424-phpapp01
 
Matemática 140 questoes resolvidas
Matemática 140 questoes resolvidasMatemática 140 questoes resolvidas
Matemática 140 questoes resolvidas
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
 
4º teste 10_resolucao.pdf
4º teste 10_resolucao.pdf4º teste 10_resolucao.pdf
4º teste 10_resolucao.pdf
 
Fuvest2016 2fase 3dia
Fuvest2016 2fase 3diaFuvest2016 2fase 3dia
Fuvest2016 2fase 3dia
 
Ita2008 3dia
Ita2008 3diaIta2008 3dia
Ita2008 3dia
 
Lista 01 gabarito
Lista 01   gabaritoLista 01   gabarito
Lista 01 gabarito
 
Lista 3 equacoes_1_grau
Lista 3 equacoes_1_grauLista 3 equacoes_1_grau
Lista 3 equacoes_1_grau
 
Matemática- Miniteste 2: Polinómios
Matemática- Miniteste 2: PolinómiosMatemática- Miniteste 2: Polinómios
Matemática- Miniteste 2: Polinómios
 
Solução de equaes de 2º grau
Solução de equaes de 2º grauSolução de equaes de 2º grau
Solução de equaes de 2º grau
 

Mais de Bowman Guimaraes

1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos
Bowman Guimaraes
 
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêaLivro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
Bowman Guimaraes
 
Materiais de construção básico
Materiais de construção básicoMateriais de construção básico
Materiais de construção básico
Bowman Guimaraes
 
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Bowman Guimaraes
 
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Bowman Guimaraes
 
Tecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil iTecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil i
Bowman Guimaraes
 
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linhaCadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Bowman Guimaraes
 
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Bowman Guimaraes
 
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Bowman Guimaraes
 
Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1
Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1
Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1
Bowman Guimaraes
 
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Bowman Guimaraes
 

Mais de Bowman Guimaraes (18)

1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos
 
1 ciclo rankine
1  ciclo rankine1  ciclo rankine
1 ciclo rankine
 
Livro de topográfia
Livro de topográfiaLivro de topográfia
Livro de topográfia
 
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêaLivro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
 
Materiais de construção básico
Materiais de construção básicoMateriais de construção básico
Materiais de construção básico
 
Livro de topográfia
Livro de topográfiaLivro de topográfia
Livro de topográfia
 
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
 
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
 
Tecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil iTecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil i
 
1 ciclo rankine
1  ciclo rankine1  ciclo rankine
1 ciclo rankine
 
Topografia básica
Topografia básicaTopografia básica
Topografia básica
 
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linhaCadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
 
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
 
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
 
Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1
Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1
Paginas.fe.up.pt ~ldinis capitulo1
 
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
 

Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 11

  • 1. Universidade Federal Fluminense Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Departamento de Matem´atica Aplicada C´alculo 3A – Lista 11 Exerc´ıcio 1: Seja o campo vetorial −→ F (x, y, z) = (x − y, x + y, z). Calcule o fluxo de −→ F atrav´es de S, orientada com −→n exterior a S se: a) S : x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h; b) S : x2 + y2 + z2 = a2 com a > 0. Solu¸c˜ao: a) O esbo¸co de S est´a representado na figura que se segue. x y z S −→n a a h Da teoria, temos no caso do cilindro x2 + y2 = a2 , que o unit´ario normal exterior ´e da forma −→n = (x, y, 0) a . Ent˜ao o fluxo φ ´e dado por: φ = S −→ F · −→n dS = S (x − y, x + y, z) · (x, y, 0) a dS = = 1 a S x2 − xy + xy + y2 dS = 1 a S x2 + y2 dS = = a2 a S dS = aA(S) = a(2πah) = 2πa2 h .
  • 2. C´alculo 3A Lista 11 165 b) O esbo¸co de S est´a representado na figura a seguir. x y z S −→n a a a Da teoria, temos no caso da esfera x2 + y2 + z2 = a2 , que o unit´ario normal exterior ´e dado por −→n = (x, y, z) a . Ent˜ao fluxo ´e dado por: φ = S −→ F · −→n dS = S (x − y, x + y, z) · (x, y, z) a dS = = 1 a S x2 − xy + xy + y2 + z2 dS = = 1 a S x2 + y2 + z2 dS = a2 a S dS = aA(S) = = a (4πa2 ) = 4πa3 . Exerc´ıcio 2: Calcular o fluxo do campo vetorial de −→ F = (x − y − 4) −→ i + y −→ j + z −→ k atrav´es da semi-esfera superior de x2 + y2 + z2 = 1, com campo de vetores normais −→n tal que −→n · −→ k > 0. Solu¸c˜ao: O esbo¸co de S est´a representado na figura a seguir. UFF IME - GMA
  • 3. C´alculo 3A Lista 11 166 x y z S 1 1 1 −→n Como −→n · −→ k > 0 ent˜ao −→n aponta para cima e, portanto, −→n = = (x, y, z) a = (x, y, z) pois a = 1. O fluxo ´e dado por: S −→ F · −→n dS = S (x − y − 4, y, z) · (x, y, z) dS = = S x2 − xy − 4x + y2 + z2 dS = = S x2 + y2 + z2 = 1 −xy − 4x dS = S (1 − xy − 4x) dS = = S dS − S (xy − 4x) dS = A(S) − S (xy − 4x) dS = = 1 2 · 4π · 12 − S (xy − 4x) dS = 2π − S (xy − 4x) dS . Ora, para calcular S (xy − 4x) dS devemos parametrizar S. Ent˜ao temos que S : ϕ(φ, θ) = (sen φ cos θ, sen φ sen θ, cos φ), com (φ, θ) ∈ D : 0 ≤ φ ≤ π/2 0 ≤ θ ≤ 2π . Tamb´em temos que dS = UFF IME - GMA
  • 4. C´alculo 3A Lista 11 167 a2 sen φ dφdθ = sen φ dφdθ. Logo: S (xy − 4x) dS = = D sen2 φ sen θ cos θ − 4 sen φ cos θ sen φ dφdθ = = D sen3 φ sen θ cos θ dφdθ − 4 D sen2 φ cos θ dφdθ = = π/2 0 sen3 φ 2π 0 sen θ cos θ dθdφ − 4 π/2 0 sen2 φ 2π 0 cos θ dθdφ = = π/2 0 sen3 φ sen2 θ 2 2π 0 dφ − 4 π/2 0 sen2 φ sen θ 2π 0 dθ = 0 . Portanto: S −→ F · −→n dS = 2π . Exerc´ıcio 3: Calcule S −→ F · −→n dS, onde −→ F = −z −→ k e S ´e a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 fora do cilindro x2 + y2 = 1, −→n apontando para fora. Solu¸c˜ao: A superf´ıcie S est´a ilustrada na figura a seguir: x y z S √ 3 π/6 1 2 2 2 1 φ √ 3 ⇒ tg φ = 1 √ 3 ⇒ φ = π 6 Uma parametriza¸c˜ao para S ´e dada por S : ϕ(φ, θ) = (2 sen φ cos θ , 2 sen φ sen θ , 2 cos φ) com (φ, θ) ∈ D = π 6 , 5π 6 × [0, 2π] . Temos: dS = a2 sen φ dφ dθ a=2 = 4 sen φ dφ dθ . UFF IME - GMA
  • 5. C´alculo 3A Lista 11 168 Como −→n ´e exterior a S, ent˜ao −→n = (x, y, z) a a=2 = (x, y, z) 2 . Assim: S −→ F · −→n dS = S (0, 0, −z) · (x, y, z) 2 dS = = − S z2 dS = − D 4 cos2 φ · 4 sen φ dφ dθ = = −16 5π/6 π/6 2π 0 cos2 φ sen φ dθ dφ = 32π 5π/6 π/6 cos2 φ d(cos φ) = = 32π cos3 φ 3 5π/6 π/6 = 32π 3 − √ 3 2 3 − √ 3 2 3 = = − 32π 3 · 3 √ 3 8 = −4π √ 3 . Exerc´ıcio 4: Calcule o fluxo do campo −→ F = −x −→ i − y −→ j + 3y2 z −→ k sobre o cilindro x2 + y2 = 16, situado no primeiro octante entre z = 0 e z = 5 − y com a orienta¸c˜ao normal que aponta para o eixo z. Solu¸c˜ao: A superf´ıcie S est´a ilustrada na figura a seguir. x y z S C 4 4 5 5 −→n Temos S : ϕ(t, z) = (4 cos t , 4 sen t , z), com (t, z) ∈ D : 0 ≤ t ≤ π/2 0 ≤ z ≤ 5 − 4 sen t . Al´em disso, dS = a dt dz a=4 = 4 dt dz . Como −→n aponta para o eixo z, ent˜ao: −→n = (−x, −y, 0) a = (−x, −y, 0) 4 . UFF IME - GMA
  • 6. C´alculo 3A Lista 11 169 Portanto: S −→ F · −→n dS = S − x, −y, 3y2 z · (−x, −y, 0) 4 dS = = 1 4 S x2 + y2 = 16 dS = 4 S dS = 4 S dS = = 4 D 4 dt dz = 16 π/2 0 5−4 sen t 0 dz dt = = 16 π/2 0 (5 − 4 sen t) dt = 16 5t + 4 cos t π/2 0 = = 16 5π 2 − 4 = 40π − 64 . Exerc´ıcio 5: Calcule S −→ F · −→n dS onde −→ F (x, y, z) = xzey−→ i − xzey−→ j + z −→ k e S ´e a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante com orienta¸c˜ao para baixo. Solu¸c˜ao: O esbo¸co de S est´a representado na figura a seguir. x y z S 1 1 1 −→n x y D 1 1 y = 0 x + y = 1 y = 1 − x A superf´ıcie pode ser descrita por S : z = 1 − x − y = f(x, y), com (x, y) ∈ D : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1−x. Um vetor normal a S ´e dado por N = (−fx, −fy, 1) = (1, 1, 1) Como −→n aponta para UFF IME - GMA
  • 7. C´alculo 3A Lista 11 170 baixo ent˜ao −→n = (−1, −1, −1) √ 3 . Temos que dS = 1 + (fx)2 + (fy)2 dxdy = √ 3 dxdy . Ent˜ao: S −→ F · −→n dS = S xzey , −xzey , z · (−1, −1, −1) √ 3 dS = = S − xzey + xzey + z · (−1, −1, −1) √ 3 dS = = S xzey − xzey − z √ 3 dS = S −z √ 3 dS = = D d−(1−x−y) √ 3 · √ 3 dxdy = D (−1 + x + y) dxdy = = 1 0 1−x 0 (−1 + x + y) dydx = 1 0 − y + xy + y2 2 1−x 0 dx = −1 6 . Exerc´ıcio 6: Calcule S −→ F · −→n dS onde −→ F (x, y, z) = x −→ i + y −→ j + 5 −→ k e S ´e a fronteira da regi˜ao delimitada pelo cilindro x2 + z2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 com a orienta¸c˜ao positiva (isto ´e, −→n exterior a S). Solu¸c˜ao: Para esbo¸car S, fa¸camos uma invers˜ao nos eixos coordenados. x y z S1 S2 S3 1 1 2 2 −→n1 −→n2 −→n3 Temos que S = S1 ∪ S2 ∪ S3, orientada positivamente. Logo: S −→ F · −→n dS = S1 −→ F · −→n1 dS + S2 −→ F · −→n2 dS + S3 −→ F · −→n3 dS . UFF IME - GMA
  • 8. C´alculo 3A Lista 11 171 C´alculo de S1 −→ F · −→n1 dS Temos S1 : y = 2 − x = f(x, z), com (x, z) ∈ D : x2 + z2 ≤ 1. Logo, uma parametriza¸c˜ao de S1 ´e ϕ(x, z) = (x, f(x, z), z) = (x, 2 − x, z), com (x, z) ∈ D. Logo, ϕx = (1, fx, 0) = (1, −1, 0) e ϕz = (0, fz, 1) = (0, 0, 1) donde ϕx × ϕz = −→ i −→ j −→ k 1 fx 0 0 fz 1 = (fx, −1, fz) = (−1, −1, 0) . Logo, dS = ϕx × ϕz dxdz = √ 2 dxdz. Como −→n1 aponta para cima, ent˜ao a componente y de −→n1 ´e positiva. Logo −→n1 = (1, 1, 0) √ 2 . Ent˜ao: S1 −→ F · −→n1 dS = D (x, 2 − x, 5) · (1, 1, 0) √ 2 · √ 2 dxdz = = D 2 dxdz = 2 · A(D) = 2π . C´alculo de S2 −→ F · −→n2 dS Temos S2 : x2 +z2 = 1, com 0 ≤ y ≤ 2−x. Uma parametriza¸c˜ao de S2 ´e: ϕ(t, y) = (cos t, y, sen t), com (t, y) ∈ D1 : 0 ≤ t ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2 − cos t. Temos −→ N = ϕt × ϕy = −→ i −→ j −→ k − sen t 0 cos t 0 1 0 = (− cos t, 0, − sen t) donde dS = −→ N dtdy = dtdy. Como −→n2 ´e exterior a S2 ent˜ao −→n2 = (cos t, 0, sen t) . Logo: S2 −→ F · −→n2 dS = D1 (cos t, y, 5) · (cos t, 0, sen t) dtdy = = D1 cos2 t dtdy = 2π 0 2−cos t 0 cos2 t dydt = = 2π 0 2 cos2 t − cos3 t dt = 2 2π 0 cos2 t dt − 2π 0 cos3 t dt = = 2 · 1 2 t + sen 2t 2 2π 0 − 0 = 2π (Verifique!) . C´alculo de S3 −→ F · −→n3 dS UFF IME - GMA
  • 9. C´alculo 3A Lista 11 172 Temos S3 : y = 0 = f(x, z), com (x, z) ∈ D : x2 +z2 ≤ 1. Logo, dS = 1 + (fx)2 + (fz)2 dxdz = dxdz e −→n3 = − −→ j . Ent˜ao: S3 −→ F · −→n3 dS = D (x, 0, 5) · (0, −1, 0) dxdz = D 0 dxdz = 0 . Portanto: S −→ F · −→n dS = 2π + 2π = 4π . Exerc´ıcio 7: Calcule S −→ F · −→n dS, onde −→ F (x, y, z) = −x −→ i + 2z −→ k e S ´e a fronteira com regi˜ao limitada por z = 1 e z = x2 + y2 , com −→n exterior a S. Solu¸c˜ao: O esbo¸co de S = S1 ∪ S2 est´a representado na figura a seguir. x y z D S1 S2 −→n1 −→n2 1 1 1 Usando propriedade de fluxo, temos S −→ F · −→n dS = S1 −→ F · −→n1 dS + S2 −→ F · −→n2 dS . C´alculo de S1 −→ F · −→n1 dS: Temos S1 : z = 1 = f(x, y), com (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1. Temos tamb´em que −→n1 = −→ k e dS = dxdy. Ent˜ao: S1 −→ F · −→n1 dS = S1 (−x, 0, 2 · 1) · (0, 0, 1) dS = = S1 2 dS = 2A(S) = 2 π · 12 = 2π . UFF IME - GMA
  • 10. C´alculo 3A Lista 11 173 C´alculo de S2 −→ F · −→n2 dS: Temos S2 : z = x2 + y2 = g(x, y), com (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1. Um vetor normal a S ´e dado por −→ N = (−gx, −gy, 1) = (−2x, −2y, 1) que aponta para cima. Como −→n2 aponta para baixo, ent˜ao −→n2 = (2x, 2y, −1) 1 + 4x2 + 4y2 . Temos que dS = −→ N dxdy = 1 + 4x2 + 4y2 dxdy. Ent˜ao: S2 −→ F · −→n2 dS = D −x, 0, 2 x2 + y2 · (2x, 2y, −1) dxdy = = D −2x2 − 2x2 − 2y2 dxdy = Drθ −2r2 − 2r2 cos2 θ r drdθ = = −2 2π 0 1 0 1 + cos2 θ r3 drdθ = −2 r4 4 1 0 2π 0 1 + cos2 θ dθ = = − 1 2 θ + 1 2 θ + sen 2θ 2 2π 0 = − 3π 2 . Exerc´ıcio 8: Calcule S −→ F ·−→n dS onde −→ F = 2 −→ i +5 −→ j +3 −→ k e S ´e a parte do cone z = x2 + y2 interior ao cilindro x2 + y2 = 1, orientada com normal −→n tal que −→n · −→ k < 0. Solu¸c˜ao: De x2 + y2 e x2 + y2 = 1 temos que z = 1. Logo, as duas superf´ıcies interceptam-se no plano z = 1, segundo a circunferˆencia x2 + y2 = 1. Assim, o esbo¸co de S est´a representado na figura a seguir. x y z S D −→n 1 1 1 UFF IME - GMA
  • 11. C´alculo 3A Lista 11 174 Como −→n · −→ k < 0 ent˜ao a terceira componente de −→n ´e negativa e, portanto −→n aponta para baixo. A superf´ıcie de S ´e dada por S : z = x2 + y2 com (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1. Um vetor normal a S apontando para baixo ´e −→ N = ∂z ∂x , ∂z ∂y , −1 = x x2 + y2 , y x2 + y2 , −1 donde −→n = −→ N −→ N e dS = −→ N dxdy. Ent˜ao: S −→ F · −→n dS = D (2, 5, 3) · x x2 + y2 , y x2 + y2 , −1 dxdy = = D 2x x2 + y2 + 5y x2 + y2 − 3 dxdy = = D 2x x2 + y2 dxdy + D 5y x2 + y2 dxdy − 3 D dxdy . Como a fun¸c˜ao 2x x2 + y2 ´e ´ımpar em rela¸c˜ao a x e a regi˜ao D tem simetria em rela¸c˜ao ao eixo y ent˜ao: D 2x x2 + y2 dxdy = 0 . Como a fun¸c˜ao 5y x2 + y2 ´e ´ımpar em rela¸c˜ao a y e a regi˜ao D tem simetria em rela¸c˜ao ao eixo x ent˜ao: D 5y x2 + y2 dxdy = 0 . Ent˜ao: S −→ F · −→n dS = 0 + 0 − 3A(D) = −3π . Exerc´ıcio 9: Ache o fluxo de −→ F = yz, −xz, x2 + y2 atrav´es de S superf´ıcie de revolu¸c˜ao obtida girando-se o segmento de reta que liga (1, 0, 1) e (0, 0, 3) em torno do eixo z, onde o vetor normal −→n tem componente z n˜ao negativa. Solu¸c˜ao: As figuras a seguir, mostram a curva C e a superf´ıcie S. UFF IME - GMA
  • 12. C´alculo 3A Lista 11 175 x y z C 1 1 3 x y z S 1 1 3 −→n ⇒ Uma parametriza¸c˜ao para C ´e dada por: σ(t) = (1, 0, 1) + t (0, 0, 3) − (1, 0, 1) = = (1, 0, 1) + t(−1, 0, 2) = (1 − t , 0 , 1 + 2t) , com t ∈ [0, 1]. Logo:    x(t) = 1 − t y(t) = 0 z(t) = 1 + 2t com t ∈ [0, 1]. Uma parametriza¸c˜ao para S ´e dada por: S : ϕ(θ, t) = x(t) cos θ , x(t) sen θ , z(t) = = (1 − t) cos θ , (1 − t) sen θ , 1 + 2t com θ ∈ [0, 2π] e t ∈ [0, 1]. Um vetor normal a S ´e dado por: −→ N = ∂ϕ ∂θ × ∂ϕ ∂t = −→ i −→ j −→ k −(1 − t) sen θ (1 − t) cos θ 0 − cos θ − sen θ 2 = = 2(1 − t) cos θ , 2(1 − t) sen θ , 1 − t . UFF IME - GMA
  • 13. C´alculo 3A Lista 11 176 Temos: φ = S −→ F · −→n dS = = D (1 − t)(1 + 2t) sen θ , −(1 − t)(1 + 2t) cos θ) , (1 − t)2 · · 2(1 − t) cos θ , 2(1 − t) sen θ , 1 − t dt = = D 1(1 − t)2 (1 + 2t) sen θ cos θ − 2(1 − t)2 (1 + 2t) sen θ cos θ + +(1 − t)3 dt = = 1 0 2π 0 (1 − t)3 dt = −2π (1 − t)4 4 1 0 = −2π 0 − 1 4 = π 2 . Exerc´ıcio 10: Calcule S −→ F · −→n dS, onde −→ F (x, y, z) = (z + 3x) −→ i + 5y −→ j + (z + 3) −→ k e S ´e a superf´ıcie do s´olido limitado por z = 1 − y2 , x = 0, x = 2 e o plano xy, com vetor normal −→n exterior. Solu¸c˜ao: A superf´ıcie S ´e constituida de quatro superf´ıcies: Superf´ıcie S1 Temos S1 : z = 1 − y2 = z(x, y) com (x, y) ∈ D1 : 0 ≤ x ≤ 2 −1 ≤ y ≤ 1 e dS = 1 + ∂z ∂x 2 + ∂z ∂y 2 dxdy = 1 + 4y2 dxdy . Superf´ıcie S2 Temos S2 : x = 0 = x(y, z) com (y, z) ∈ D2 : −1 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1 − y2 e dS = 1 + ∂x ∂y 2 + ∂x ∂z 2 dydz = √ 1 + 02 + 02 dydz = dydz . Superf´ıcie S3 Temos S3 : x = 2 = x(y, z) com (y, z) ∈ D3 = D2. Logo dS = dydz. UFF IME - GMA
  • 14. C´alculo 3A Lista 11 177 Superf´ıcie S4 Temos S4 : z = 0 = z(x, y) com (x, y) ∈ D4 = D1. Logo dS = dxdy. A superf´ıcie S pode ser vista na figura a seguir: x y z S1 S2 S3 S4 −→n1 −→n2 −→n3 −→n4 1 1 2 Como −→n ´e exterior, ent˜ao −→n1 = (0, 2y, 1) 1 + 4y2 , −→n2 = − −→ i , −→n3 = −→ i e −→n4 = − −→ k . Temos: S −→ F · −→n dS = 4 i=1 Si −→ F · −→ni dS onde: Superf´ıcie S1 S1 −→ F · −→n1 dS = = D1 1 − y2 + 3x , 5y , 1 − y2 + 3 · (0 , 2y , 1) dxdy = = D1 10y2 + 4 − y2 = 1 −1 2 0 9y2 + 4 dxdy = = 2 1 −1 9y2 + 4 dy = 2 3y3 + 4y 1 −1 = 4(3 + 4) = 28 . UFF IME - GMA
  • 15. C´alculo 3A Lista 11 178 Superf´ıcie S2 S2 −→ F · −→n2 dS = = S2 z , 5y , z + 3 · (−1 , 0 , 0) dS = = − S2 z dS = − D2 z dS = − 1 −1 1−y2 0 z dzdy = = − 1 2 1 −1 z2 1−y2 0 dy = − 1 2 1 −1 1 − 2y2 + y4 dy = = − 1 2 y − 2y3 3 + y5 5 1 −1 = − 1 − 2 3 + 1 5 = − 8 15 . Superf´ıcie S3 S3 −→ F · −→n3 dS = S3 z + 6 , 5y , z + 3 · (1 , 0 , 0) dS = = S3 (z + 6) dS = S3 z dS + 6 S3 dS = = 8 15 + 6 1 −1 1−y2 0 z dzdy = 8 15 + 6 1 −1 1 − y2 dy = = 8 15 + 6 y − y3 3 1 −1 = 8 15 + 12 1 − 1 3 = 8 15 + 8 . Superf´ıcie S4 S4 −→ F · −→n4 dS = S4 3x , 5y , 3 · (0 , 0 , −1) dS = = − D4 dxdy = −A(D4) = −A(D1) = −4 . Logo: S −→ F · −→n dS = 28 − 8 15 + 8 15 + 8 − 4 = 32 . UFF IME - GMA