SlideShare uma empresa Scribd logo
TOPOGRAFIA BÁSICA PARA
ENGENHEIROS E ARQUITETOS
Antonio Henriques Bento
Rosane Maciel Vargas
Manaus
Agosto/1999
SUMÁRIO
1 HISTÓRICO ........................................................................................... 1
2 TOPOGRAFIA ....................................................................................... 3
2.1 Levantamento topográfico ................................................................. 4
A. Expedito ....................................................................................... 4
B. Comum ......................................................................................... 5
C. Precisão ........................................................................................ 5
2.2 Divisões da Topografia ..................................................................... 6
A. Topometria ................................................................................... 6
A1. Planimetria ........................................................................... 6
A2. Altimetria ............................................................................. 6
B. Topologia ..................................................................................... 6
2.3 Partes de um trabalho de Topografia ................................................ 6
2.3.1 Parte Matemática ..................................................................... 6
2.3.2 Parte Interpretativa .................................................................. 6
2.3.3 Parte Artística .......................................................................... 6
2.4 Unidades de Medida ......................................................................... 8
2.4.1 Medida de distância ................................................................. 8
2.4.2 Medida de superfície ................................................................ 9
2.4.3 Medida de volume .................................................................. 10
2.4.4 Medida de massa .................................................................... 10
2.4.5 Medida de ângulo ................................................................... 11
A. Sistema Centesimal de divisão de áreas .......................... 11
B. Sistema sexagesimal de divisão de arcos ......................... 11
C. Radiano ............................................................................ 11
D. Milésimo .......................................................................... 12
2.5 Medição de ângulos ......................................................................... 13
2.5.1 Ângulos Azimutais ................................................................. 14
A. Rumos .............................................................................. 15
B. Azimutes .......................................................................... 16
B1. Contrazimute ou azimute à ré ................................... 17
B2. Relações existentes entre azimute e contrazimute .... 17
2.5.2 Ângulos goniométricos .......................................................... 20
A. Ângulo de flexão .............................................................. 21
B. Ângulo de deflexão .......................................................... 21
C. Sentido dos ângulos goniométricos ................................. 22
2.5.3 Ângulos azimutais x ângulos goniométricos ......................... 22
2.5.4 Cálculo de rumos e azimutes a partir de ângulos goniométricos
................................................................................................ 23
2.5.4.1 Fórmula geral dos azimutes ...................................... 26
A. Fórmula geral para ângulos de flexão .................. 26
B. Fórmula geral para ângulos de deflexão .............. 28
2.5.5 Limites do azimute ................................................................. 28
2.6 Medidas de distância ....................................................................... 31
2.6.1 Processos de medida direta .................................................... 31
A. Processos de baixa precisão ............................................... 31
B. Processos de média precisão .............................................. 32
C. Processos de alta precisão .................................................. 32
2.6.2 Técnica de Medida com Trena ............................................... 33
2.6.3 Técnica de Medidas Indiretas ................................................. 34
2.7 Métodos de Levantamento Topográfico ......................................... 35
2.7.1 Método do Caminhamento Perimétrico ou Método da
Poligonal.............................................................................. 35
2.7.2 Método da Irradiação ............................................................. 37
2.7.3 Cálculo da Poligonal .............................................................. 38
A. Poligonal Aberta .............................................................. 38
A.1 Cálculo das Coordenadas dos Pontos ...................... 39
A.2 Regras para a Correção de Ângulos Internos .......... 41
B. Poligonal Fechada ............................................................ 41
B.1 Cálculo do Erro Linear Relativo ( Er ) ..................... 42
B.2 Cálculo dos Fatores de Correção .............................. 43
B.3 Cálculo da Área de Poligonais Fechadas através das
Coordenadas de seus vértices .................................. 45
B.3.1 Fórmula de Gauss ............................................ 45
2.7.4 Método da Interseção ............................................................. 46
2.7.5 Método das Coordenadas Retangulares ................................. 50
A. Aplicação .......................................................................... 50
B. Precisão ............................................................................ 51
2.8 Levantamento dos Detalhes ............................................................ 51
2.8.1 Definição dos Detalhes ........................................................... 51
2.8.2 Método de Levantamento de Detalhes ................................... 52
2.9 Áreas Extra Poligonais .................................................................... 53
2.9.1 Cálculo da Área Extra Poligonal ............................................ 53
A. Método Analítico .............................................................. 53
A.1 Fórmula dos Trapézios ou de Bezout ....................... 53
A.2 Fórmula de Simpson ................................................ 54
A.3 Fórmula de Poncelet ................................................. 54
3 ALTIMETRIA ..................................................................................... 57
3.1 Cotas e Altitudes ............................................................................. 57
3.2 Diferença de Nível .......................................................................... 57
3.3 Referência de Nível ......................................................................... 58
3.4 Nivelamento .................................................................................... 58
3.5 Tipos de Nivelamento ..................................................................... 59
3.5.1 Nivelamento Barométrico ...................................................... 59
3.5.2 Nivelamento Trigonométrico ................................................. 60
3.5.3 Nivelamento Geométrico ....................................................... 62
3.5.3.1 Material Utilizado ..................................................... 62
A. Níveis ................................................................... 62
B. Miras .................................................................... 63
3.5.3.2 Princípio do Levantamento Geométrico ................... 63
3.5.3.3 Tipos de Nivelamento Geométrico ........................... 64
A. Nivelamento Geométrico Simples .................... 64
B. Nivelamento Geométrico Composto ................ 66
3.5.4 Erro de Nivelamento ............................................................. 68
3.5.5 Planilha de Nivelamento ....................................................... 68
3.5.6 Verificação do Cálculo da Planilha ....................................... 70
3.6 Curvas de nível ............................................................................. 73
3.6.1 Traçado das Curvas de Nível ............................................... 75
3.6.2 Interpolação ......................................................................... 77
3.6.3 Determinação dos Pontos de Cota Inteira ........................... 78
3.7 Elaboração de um Perfil Topográfico a partir da Planta Topográfica
com Curvas de Nível .................................................................... 83
3.8 Determinação da Cota de um Ponto situado entre Curvas de Nível
........................................................................................................ 84
3.9 Elaboração de um Perfil Topográfico a partir de pontos Nivelados
....................................................................................................... 86
3.10 Determinação da Declividade entre dois Pontos ........................ 87
4 NOÇÕES DE TERRAPLANAGEM ...................................................89
4.1 Cálculo de Volumes ........................................................................ 92
4.1.1 Método de Perfis Paralelos Equidistantes .............................. 92
4.1.2 Método das Curvas de Nível .................................................. 94
4.2 Traçado da Linha de OFF-SET de um talude .................................. 96
5 NOÇÕES DE GEODÉSIA................................................................. 100
5.1 Transporte de Coordenadas ........................................................... 102
5.1.1 Classificação das Triangulações ........................................... 103
5.1.2 Triangulação Geodésica ....................................................... 105
5.1.3 Determinação do Excesso Esférico ...................................... 106
5.2 Trilateração .................................................................................... 108
5.3 Convergência Meridiana ............................................................... 109
6 EXEMPLO DE UM LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO.......... 113
7 MEMORIAL DESCRITIVO............................................................. 114
7.1 Modelo I de Memorial Descritivo ................................................. 114
7.2 Modelo II de Memorial Descritivo ................................................ 115
7.3 Modelo III de Memorial Descritivo .............................................. 116
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA...................................................... 118
1
1 HISTÓRICO
Os instrumentos e processos utilizados para cadastramento de
propriedades rurais nos foram passados pelos egípcios, gregos e árabes.
Plantas, cartas militares e geográficas, organizadas nos primórdios da
Topografia, são mencionadas por Laussedat em sua obra “História da
Topografia”( Espartel, 1978 ).
Segundo Espartel ( op.cit. ), o desenvolvimento da Matemática e da
Física nos últimos séculos, possibilitaram a passagem da topografia do
empirismo às bases de uma autêntica ciência. O primeiro trabalho
topográfico realizado com técnica e estilo próprio, foi a Carta da França
compilada pelo cartógrafo italiano Cassini e publicada no início do século
XIX pela Academia Francesa.
O progresso dos métodos desenvolvidos pela Topografia teve
contribuição eficiente do engenheiro suiço Henrique Wild, do geodesista
italiano Ignazio Porro, de Carl Zeiss e outros, cujos estudos resultaram na
introdução dos aperfeiçoamentos da mecânica de precisão nos instrumentos
topográficos. Ademais, os apefeiçoamentos na parte ótica dos instrumentos,
por Kepler, Porro, Zeiss e Wild; os avanços nas técnicas de medida direta
das distâncias, por Porro, Bessel e Jäderin; melhorias na precisão da leitura
de ângulos, devidas a Vernier, Nonius, Zeiss e Wild; os progressos nos
levantamentos topográficos devidos a Pothénot, Snellius, Hansen e na
avaliação mecânica das áreas devidas aos aparelhos Amsler, Coradi e
outros, deram à Topografia o valor que ela tem como ciência e como
técnica no levantamento topométrico preciso do terreno e na representação
gráfica equivalente, servindo como apoio de qualquer trabalho de
Engenharia e Agrimensura ( Espartel, op. cit.). Assim, o projeto de
qualquer obra de Engenharia, Arquitetura ou Agronomia, tem como
subsídio o prévio levantamento topográfico do lugar onde será implantada.
2
A importância da Topografia fica evidente na boa administração das
terras públicas ou particulares, bem como no estudo, projeto e
planejamento das diversas atividades antrópicas, que exigem o
conhecimento do terreno, e este pode ser representado numa planta
topográfica com suas formas e dimensões, por meio de convenções pré-
estabelecidas sempre tendo em vista a escala da planta.
3
2 TOPOGRAFIA
Etimologicamente o significado da palavra TOPOGRAFIA é
“descrição do lugar”. Segundo Mesquita ( 1969 ), a topografia pode ser
considerada um capítulo de uma área de conhecimento mais geral, a
GEODÉSIA, cujo objetivo é o estudo da forma e dimensões da Terra. A
Geodésia se ocupa dos processos de medida e especificação para o
levantamento da superfície de um Estado ou de um País, projetada sobre
uma superfície de referência que é a de um Elipsóide de Revolução. Este
Elipsóide, girando em torno de seu eixo menor, é a forma geometricamente
definida por dois parâmetros, mais próxima da figura da Terra
( Figura 01a ). As dimensões adotadas para o Elipsóide Internacional de
Referência são:
a = 6.378.388m ( semi-eixo maior ); b = 6.356.911,946m ( semi-eixo
menor )
3
2 ba +
= 6.371.229m ( raio médio ); oachatament
a
ba
f ==
−
=
297
1
O Geóide é a figura ideal caracterizada pela superfície de nível
médio dos mares prolongada através dos continentes. Esta superfície
prolongada, devido à Lei de Newton, da atração das massas, tende a elevar-
se em relação ao Elipsóide à medida que se aproxima e penetra nos
continentes, e a aprofundar-se à medida que se afasta dos continentes e
penetra nas bacias oceânicas.
4
Topografia: até 50 Km de diâmetro
Figura 01a: Superfícies do Elipsóide, do Geóide e Topográfica (Mesquita, 1969 )
Em Topografia, o Geóide se confunde com o Elipsóide de
Referência, o qual se confunde com uma esfera osculadora regional cuja
superfície, numa extensão limitada, funde-se com a de um plano tangente
que é o Plano Topográfico.
A topografia é uma ciência aplicada de âmbito restrito, que se baseia
nos princípios da Geometria e da Trigonometria Plana.
2.1Levantamento Topográfico
Conjunto de operações de campo e escritório, necessários para a
representação de contornos de áreas e posição de pontos existentes na
superfície terrestre.
O levantamento topográfico pode ser:
A – Expedito: é um trabalho de reconhecimento da área, utilizando-se
aparelhos e instrumentos que conduzem à resultados de pouca precisão. O
levantamento expedito de um lote, por exemplo, consiste em efetuarmos a
medida de todos os seus lados com uma trena e balizas para não perdermos
o alinhamento no caso de mais de uma trenada para medida dos lados ou
das diagonais. Em seguida, medimos uma de suas diagonais. Com este
5
procedimento obtemos as medidas dos lados de dois triângulos, o que
facilita a reprodução em escala, uma vez que um triângulo fica
perfeitamente identificado com o conhecimento das dimensões de seus três
lados ( Figura 01b).
Figura 01b: Levantamento expedito de um lote
No exemplo da Figura 01b, o lote ABCD teve os lados AB, BC, CD,
DA e a diagonal AC, medidos com uma trena. Com este procedimento o
quadrilátero ABCD fica dividido nos triângulos CDA e ABC. Com o
auxílio de um compasso, desenhamos os dois triângulos com o seguinte
procedimento:
a) Traçamos, na escala escolhida, o lado DC;
b) Com a ponta seca em D e abertura DA, traçamos um arco de
circunferência;
c) Agora com a ponta seca em C e abertura CA, traçamos outro arco de
circunferência que no cruzamento com o arco anterior determinará o
vértice A. Até aquí já temos o triângulo CDA;
d) Com a ponta seca em C e abertura CB traça-se novamente um arco de
circunferência;
e) Por fim, com a ponta seca em A e abertura AB, traçamos o arco de
circunferência que cruzará com o do ítem d determinando o vértice B. A
união de A com B e C com B, resultará no lote que foi medido.
B – Comum: é o mais utilizado nos trabalhos topográficos utilizando
aparelhos e instrumentos que conduzem a resultados de média precisão,
porém, suficiente para a grande maioria dos trabalhos de engenharia.
C – Precisão: é utilizado em alguns trabalhos especiais e, ainda, quando
tivermos com grandes áreas para levantamento.
6
NBR 13133/94
Execução dos Levantamentos
Topográficos
2.2 Divisões da Topografia
A - Topometria
B - Topologia
A - Topometria: compreende o conjunto de operações necessárias a
obtenção de elementos indispensáveis a representação gráfica do terreno.
A.1 Planimetria: é a parte da topometria que estuda todas as projeções
dos contornos e pontos medidos que são representados em um plano
horizontal, sem considerar o relevo do terreno.
A.2 Altimetria: é a parte da topometria que trata do relevo da
superfície terrestre, onde são medidas as alturas dos pontos definidos pela
planimetria em relação à um plano de referência de nível. RN
B - Topologia: é a parte que se dedica ao estudo das formas do terreno
e das leis que regem seu modelado.
2.3 Partes de um Trabalho de Topografia
A ) Parte Matemática: Topometria com as medições de distâncias e
ângulos nos planos horizontal e vertical;
B ) Parte Interpretativa: Topologia com a descrição e interpretação das
diversas formas de relevo;
C ) Parte Artística: Desenho topográfico com a representação de todos os
detalhes do terreno, mediante convenções. Tais detalhes são: divisas, áreas
florestadas, rios, estradas, povoações etc.
O desenho de qualquer porção da superfície terreste, que
normalmente representamos em um papel, é sempre feito mediante a
utilização de um fator de redução que denominamos de ESCALA.
A ESCALA nada mais é que uma razão entre dimensão gráfica e dimensão
real, que analiticamente representamos por:
D
d
E = , onde: E = Escala; d = dimensão gráfica; D = Dimensão real.
A topometria se divide em duas partes:
A.1 Planimetria, e
A.2 Altimetria
7
A razão
D
d
é usualmente utilizada nos cálculos para resolução de
problemas que envolvem escalas. Quando as dimensões gráficas e reais são
referentes a superfície ( área ) ou volume, a mesma expressão é utilizada na
resolução de problemas, porém elevada ao quadrado ou ao cubo
respectivamente, como por exemplo:
( )
A
a
E =
2
ou ( )
V
v
E =
3
, onde :
a = área gráfica, A = área real, v = volume nas dimensões do desenho, V=
volume nas dimensões reais.
Comumente representamos uma escala na forma de uma fração que
tem para numerador a unidade e para denominador o número que
representa quantas vezes a dimensão real, D, foi reduzida para poder ser
representada num papel de dimensão padronizada ( A2, A3, A4 etc...).
Todavia, também é frequente representar a escala na forma de divisão,
onde o primeiro número, a unidade, é separada do número redutor por dois
pontos, por exemplo:
250
1
=E ou E = 1:250, o que significa que cada centímetro no papel
representa 250 centímetros de dimensão real. Se este um centímetro no
papel for a extensão de uma parede, significa que a parede verdadeira, terá
250 centímetros de dimensão real, ou 2,50 metros.
Ao se procurar determinar uma escala a partir do conhecimento das
duas dimensões, d e D, é importante que ambas sejam escritas na mesma
unidade de medida, ou seja: se d for escrito em centímetro, D também
deverá sê-lo; se d, for escrito em milímetro, da mesma forma será D. Isto
porque a Escala é um número adimensional, isto é, não tem unidade.
As escalas também são representadas nas formas gráficas: simples e
de transversais.
A Figura 01c mostra uma escala gráfica simples, através da qual
podemos determinar imediatamente o comprimento real de um segmento
AB qualquer de uma planta mediante o seguinte procedimento: com um
compasso de ponta seca determina-se a abertura AB que comparada na
escala gráfica nos fornece diretamente o comprimento real. Na Figura 01c
este comprimento é de aproximadamente 13,4km.
8
Figura 01c: Escala gráfica simples ( Mesquita, 1969 ).
A Figura 01d mostra uma escala gráfica de transversais. Nesta uma
distância AB qualquer em uma planta, comparada da mesma forma como a
anterior, com utilização de um compasso de ponta seca, será um tanto mais
precisa do que na escala gráfica simples. Na Figura 01d o segmento AB
corresponde a 13,46km. As escalas gráficas são muito utilizadas em
plantas, uma vez que fornecem a distância real de imediato.
Figura 01d: Escala gráfica de transversais ( Mesquita, 1969 )
2.4 UNIDADES DE MEDIDA
2.4.1 Medidas de Distância
Para medidas de distância a unidade padrão é o metro, com seus múltiplos
e sub – múltiplos que são:
múltiplos: km ( kilômetro ), hm ( hectômetro ), dam ( decâmetro );
sub-múltiplos: mm ( milímetro ), cm ( centímetro ), dm ( decímetro ).
km ←hm ←dam ←m →dm →cm →mm
9
Ao fazermos a conversão de uma unidade para a outra que está
situada à sua direita, multiplicamos por dez cada vez que deslocamos até
chegar a unidade desejada, por exemplo: para fazermos a conversão de 25,2
hm para cm, deveremos multiplicar por dez quatro vezes até chegarmos em
cm, o que resulta em 252.000cm ou 25,2 x 104
cm.
Quanto se tratar de fazermos a conversão para uma unidade situada à
esquerda, o processo é semelhante, porém, ao invés de multiplicarmos,
dividimos por dez, por exemplo: para fazermos a conversão de 25,2cm para
hm, deveremos dividir por dez quatro vezes até chegarmos em hm, o que
resulta em 0,00252hm ou 25,2 x 10-4
hm.
2.4.2 Medida de superfície ( área )
Para medida de superfícies a unidade padrão é o metro quadrado com
seus múltiplos e sub-múltiplos que são:
km2
←hm2
←dam2
←m2
→dm2
→cm2
→mm2
Para conversão das unidades de superfície, o processo utilizado é similar
ao empregado para as unidades lineares, com a diferença que
multiplicamos e dividimos por 100, por exemplo: para fazermos a
conversão de 100cm2
em m2
, portanto para uma unidade da esquerda,
deveremos dividir por 100 duas vezes, isto é, por 10.000, o que resulta em
0,01m2
ou 100 x 10-4
m2
. No caso de convertermos 10hm2
em cm2
, portanto
para uma unidade situada à direita, multiplicaremos por 100 cinco vezes,
isto é, por 100.000.000, o que resulta em 1.000.000.000cm2
, ou 10 x
108
cm2
.
Outras unidades de medida de superfície são utilizadas em Topografia,
como o alqueire paulista, alqueire goiano e o hectare, as quais possuem a
seguinte equivalência:
1 alqueire goiano = 48.400m2
= 220m x 220m;
1 alqueire paulista = 24.200m2
= 110m x 220m;
1 hectare = ha = 10.000m2
= 100m x 100m.
O hectare ainda possui seus sub-múltiplos que são o are = 100m2
e o
centiare = 1m2
.
10
2.4.3 Medida de volumes
Para medida de volumes a unidade padrão é o metro cúbico com seus
múltiplos sub-múltiplos que são:
km3
←hm3
←dam3
←m3
→dm3
→cm3
→mm3
Para conversão de uma unidade de volume em outra, usa-se o mesmo
processo utilizado para as unidades lineares e de superfície, diferindo na
multiplicação e divisão que neste caso será por 1.000 cada vez que nos
deslocamos para chegarmos na unidade desejada.
2.4.4 Medida de massa
A unidade padrão para medida de massa é o grama com seus múltiplos e
sub-múltiplos que são:
kg ←hg ←dag ←g →dg →cg →mg
Para conversão de uma unidade de massa, o procedimento é o mesmo
empregado nas unidades lineares, isto é, ao passarmos para uma unidade à
direita multiplicamos por 10, e dividimos por 10 quando se tratar de passar
para uma unidade da esquerda, tantas vezes quantas forem necessárias para
atingirmos a unidade desejada.
Finalizando, observa-se que a conversão de uma unidade resume-se a
um processo de multiplicação e divisão por potências de dez.
É importante observar, também, que tanto os múltiplos quanto os sub-
múltiplos de unidades de medidas são precedidos de um prefixo indicativo
de potência de dez. Os prefixos normalmente utilizados e as respectivas
potências de dez que indicam são os seguintes:
Prefixos indicativos de expoentes negativos de base 10
Deci = 10-1
Centi = 10-2
Mili = 10-3
Micro = 10-6
Nano = 10-9
Pico = 10-12
Femto = 10-15
Atto = 10-18
Prefixos indicativos de expoentes positivos de base 10
Deca = 10 Hecto = 102
11
Kilo = 103
Mega = 106
Giga = 109
Tera = 1012
Peta = 1015
Exa = 1018
2.4.5 Medidas de Ângulos
A. Sistema Centesimal de divisão de áreas
B Sistema Sexagesimal de divisão de arcos
C Radiano: unidade de medida de ângulo central que subentende um
arco de circunferência de comprimento igual ao raio. Assim podemos
escrever:
A circunferência se divide em 400 parte iguais chamadas
de Grade, que por sua vez se divide em 100 partes iguais
(minuto), que por sua vez se divide em 100 partes iguais
(Segundos).
A circunferência se divide em 360
partes iguais chamado de Grau, que
por sua vez se divide em 60 partes
(minutos) e por sua vez se divide em
60 partes (segundos).
10
= 60’
1’ = 60”
12
R
S
=θ , onde S = comprimento do arco de circunferência subentendido pelo
ângulo central; R = raio da circunferência.
Para θ = 1 radiano, temos: S = R. Uma circunferência completa tem 2πrad.
D Milésimo: Por curiosidade, é uma unidade de medida de ângulo
que foi muito usada nos equipamentos de pontaria de peças de artilharia
antigas. Corresponde à milésima parte do radiano e, portanto, uma
circunferência completa tem 6.400 milésimos.
Desta forma, temos a seguinte equivalência entre as unidades:
360o
= 400 grd = 2πrad = 6.400 milésimos, ou dividindo tudo por 2:
180o
= 200 grd = πrad = 3.200 milésimos, o que permite a conversão de
unidades.
EXERCÍCIOS
1 ) Qual a largura, em planta na escala 1:200, do leito carroçável de 10
metros de largura de uma estrada?
2 ) Em uma planta na escala 1:250, dois pontos A e B, estão afastados de
40cm. Qual a distância real entres eles?
3 ) Um prédio possui um volume de 4.000 m3
. Qual o volume deste mesmo
prédio, em cm3
, ao ser reduzido na escala de 1:200?
4 ) Em uma planta na escala de 1:500, um terreno apresenta 4cm de frente
por 8cm de fundo. Qual a área do terreno em ha?
5 ) Dois pontos, A e B, em uma planta cuja escala desejamos saber, estão
afastados de 40cm. A distância real entre eles é de 4 km. Qual a escala da
planta?
13
6 ) A testada de um lote é de 20m. A dimensão gráfica é de 2cm. Qual a
escala da planta e qual a dimensão gráfica em uma planta na escala
1:2.000?
7) O milésimo é uma unidade de medida de ângulo empregada em cálculos
militares. Corresponde a abertura angular resultante da paralaxe de 1 metro
a 1.000 metros de distância. Uma circunferência completa tem 6.400
milésimos. Tomando como base estas informações, qual a distância de um
observador em relação a uma tôrre de 40 metros de altura, vista sob um
ângulo de 8 milésimos?
8 ) Um lote com as dimensões de 20 metros de frente por 40 metros de
fundo, deverá ser representado em uma planta na escala 1:2.000. Quais as
dimensões deste lote na planta, em centímetros?
9 ) Os Marcos quilométricos 240 e 242 de uma rodovia, distam 20 cm em
uma planta. Em uma outra planta, na mesma escala, a distância real entre
duas casas é de 6km. Qual a distância gráfica entre elas?
10 ) Qual a área real de um terreno de 10cm x 30cm representado em uma
planta na escala 1:2.500?
2.5 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS
Em topografia, considera-se somente a medida dos ângulos contidos
em dois planos: horizontal, nas operações de planimetria, e o vertical nas
operações de altimetria.
Os ângulos contidos no plano horizontal, por isso chamados de
horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que serve de origem
14
para a sua medida, classificam-se em AZIMUTAIS e
GONIOMÉTRICOS.
2.5.1 ÂNGULOS AZIMUTAIS
São ângulos que possuem como origem a direção da linha Norte -
Sul. Estes ângulos são denominados de : RUMOS E AZIMUTES. A linha
Norte-Sul é o meridiano local, isto é, aquela que une o polo Norte com o
polo Sul terreste. Neste caso temos os azimutes e rumos verdadeiros ou
geográficos. Quando esta linha Norte-Sul é aquela que une os polos Norte e
Sul magnéticos, temos os azimutes e rumos magnéticos que podem ser
obtidos com uma bússola. É importante salientar que as linhas Norte-Sul
verdadeira e magnética, dependendo da nossa posição na superfície
terreste, formam um ângulo entre si denominado de declinação magnética.
A declinação magnética, portanto, é o ângulo formado entre os
alinhamentos Norte-Sul verdadeiro e Norte-Sul magnético medido a partir
da extremidade do Norte verdadeiro no sentido da extremidade do Norte
magnético. Ela pode ser positiva ( declinação para LESTE ) ou negativa
( para OESTE ), isto é, quando o Norte magnético estiver a leste do
verdadeiro ou a oeste respectivamente ( Figura 01d ).
Figura 01e: Declinação magnética negativa (a) e positiva (b).
15
Por outro lado, a declinação magnética varia anualmente. Assim, nos
trabalhos de topografia em que há necessidade de converter rumos e
azimutes magnéticos em verdadeiros ou geográficos, é necessário que
saibamos qual a sua variação anual na região objeto do levantamento. Esta
operação de atualização da declinação é chamada de “reaviventação”.
A reaviventação pode ser feita através da seguinte expressão:
δa t = δp + δan . ∆t, onde:
δat = declinação atual;
δp = declinação passada;
δan = variação anual;
∆t = intervalo de tempo.
Assim, por exemplo, se a declinação em uma determinada região era
de 10o
25’para oeste, no ano de 1969, com variação anual de 10’, a sua
declinação em 1999 ( δat ) será:
δat = δp + δan.∆t
δat = 10o
25’+10’x 30 = 15o
25’ para oeste ou (–)10o
25’.
A RUMOS
Rumo é o menor ângulo formado entre o alinhamento e a linha Norte
- Sul, medido a partir do Norte ou do Sul e variando de 0º à 90º
. É
representado por R. Para que este ângulo fique determinado é necessário
indicar o quadrante no qual o alinhamento se encontra. Quando a linha
Norte-Sul é a verdadeira ou geográfica, temos os rumos verdadeiros ou
geográficos; quando é a magnética, temos os rumos magnéticos.
16
N 2 N
2
R1,2
3
1 N R2,3
IV (NW) I (NE)
W E
III (SW) II (SE)
S
EXEMPLOS
N B N
C
20º
35º
A
RA,B=20º
(NE) D RC,D=35º
(SE)
B AZIMUTES
Azimutes são os ângulos formados entre o alinhamento e a linha
Norte - Sul, medido a partir do Norte em sentido horário e variando de 0º
à
360º
e é representado por Az. Quando a linha Norte-Sul é a verdadeira ou
geográfica, temos os azimutes verdadeiros ou geográficos; quando é a
magnética, temos os azimutes magnéticos.
Quadrantes topográficos:
17
N N d N
a Az a,b e
Az c,d Az e,f
c
b f
B.1 CONTRA – AZIMUTE ou AZIMUTE À RÉ
Contra – Azimute é o azimute em sentido contrário ao alinhamento.
N
1 N
2
B.2 Relações Existentes entre Azimute e Contra – Azimute
N
1º Quadrante (NE)
N
2
1
Az 1,2
CAz1,2 = Az 2,1
CAz = Az 1,2+180º
18
2º Quadrante (SE)
3
4
3º Quadrante (SW) N
5
N
6
4º Quadrante ( NW )
N
N
8
7
Quando o azimute de um for menor que 180º o
CAz será Az+180º. Quando o Azimute for
maior que 180º o CAz será o Az – 180º.
CAz = Az 5,6-180º
CAz = Az 3,4+180º
CAz = Az 7,8-180º
19
EXERCÍCIOS
1 ) Transformar em Rumos (R) os Seguintes Azimutes (AZ)
a-)Az1,2 = 45º10’20’’
R: R1,2 = 45º10’20’’ 1º Quadrante (NE)
b-)Az2,3 = 90º
R: R2,3 = 90º (E)
c-)Az3,4 = 360º
R: R3,4 = 0º
d-)Az4,5 = 225º40’
R: R4,5 = 225º40’ – 180º = 45º40’ 3º Quadrante (SW)
e-)Az5,6 = 270º
R: R5,6 = 90º (W)
f-) Az6,7 = 305º30’20’’
R: R6,7 = 54º29’40’’ 4º Quadrante (NW)
2 ) Calcular os Contra – Azimutes (CAz) dos azimutes dados abaixo:
a-) Az1,2 = 40º20’10’’
R: CAz = Az + 180º = 40º20’10’’+180º = 220º20’10’’
b-) Az2,3 = 360º
R: CAz = Az – 180º = 360º – 180º = 180º
c-) Az3,4 = 181º10’20’’
R: CAz = Az – 180º = 181º10’20’’ – 180º = 1º10’20’’
d-) Az4,5 = 0º
R: CAz = Az + 180º = 0º + 180º = 180º
3 ) A leitura de um azimute efetuada com um teodolito graduado em
radianos, foi de 5 rad. Qual seria a leitura em graus, minutos e segundos?
4 ) O leito carroçável de uma rodovia tem a largura de 7.000mm. Qual a
sua largura em km, hm, dam e metro?
5 ) O ângulo de uma rampa é de 30o
50’45”. Qual o ângulo desta rampa em
grados?
20
6 ) O perfil de um lote apresenta uma declividade em que a sua altura varia
de 1metro a cada metro de caminhamento na horizontal. Qual o seu ângulo
de rampa ( ângulo formado com a horizontal )?.
7 ) A quantos Gigametros corresponde o Nanometro?
8 ) Uma circunferência completa tem 6400 milésimos ( unidade de medida
de ângulo usada para fins militares ). Com base nesta informação, qual o
ângulo em milésimos correspondente a 250 grd?
9 ) Para implantação de uma obra foi efetuada uma escavação de 1.000 cm
de largura, 40.000 mm de comprimento e 0,025 hm de profundidade. Qual
o volume de material retirado, em metros cúbicos?
10 ) Um recipiente possui um volume de 2,5 hl. Qual o peso deste volume,
em hg, tratando-se de água a 4o
C?
11) Em uma planta na escala 1:2.500, a largura de um terreno é de
0,00002km. Se o comprimento real do terreno for de 100.000mm, qual é a
área real do terreno em hectares?
12 ) Na locação de um ponto, distante 2km de uma estaca, foi cometido um
erro angular de 1”. Qual o deslocamento ocorrido na locação do ponto e
qual o erro relativo cometido nesta operação?
2.5.2 ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS
Definição: são ângulos que possuem como origem um alinhamento
qualquer. Classificam-se em : ângulo de flexão ou ângulo entre
alinhamentos e ângulo de deflexão...
21
A. FLEXÃO
É o ângulo formado entre dois alinhamentos consecutivos e variável
de 0º à 360º.
Exemplo:
1 3
2
B. DEFLEXÃO
É o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento à ré e o
alinhamento à vante variando de 0º à 180º.
Exemplo:
1 3
2
3 1
2
α2
α’2
d2
d2
22
C. SENTIDO DOS ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS
Os ângulos goniométricos poderão ser à direita ou à esquerda do
alinhamento. Por convenção, o ângulo será à direita ou positivo (+) quando
medido no sentido horário do alinhamento à ré para o à vante e, será à
esquerda ou (-) quando medido em sentido anti - horário do alinhamento à
ré para o à vante.
2.5.3 ÂNGULOS AZIMUTAIS X ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS
Poligonal Topográfica é uma seqüência de
alinhamentos, podendo ser aberta, fechada ou apoiada.
Exemplos
1 3
2 4
1 2 1 2
6
5
4 3 4 3
Aberta
Fechada
Apoiada
23
2.5.4 CÁLCULO DE RUMOS E AZIMUTES A PARTIR DE ÂNGULOS
GONIOMÉTRICOS
1 3
2 4
1 3
2 4
Az2,3=Az1,2 – ββββ
ββββ = 180º – αααα2Az23 =
Az23 =Az12 – (180º – αααα2)
Az23 = Az12 – 180º + αααα
Az12
α2
d3
Az12
α2
Az23=?
Az12
180º
β
24
EXERCÍCIO
Calcular os Az e R das linhas que formam a poligonal a seguir:
B E F
A C D G
B
A C
RBC = RB,A-40°15’05’’
RBC = 20°15’05’’ (SE)
AzAB= 180° - RAB = 180° −= 180° −= 180° −= 180° − 60°30’10’’ = 119°29’50’’
AzBC= 180° - RBC = 159°44’55’’
40°15’05’’
152°40’20’’
272°05’07’’
210°25’03’’
85°10’20’’
R A,B=60°30’10’’
Az
40°15’05’’
RAB=60°30’10’’(SE)
RBA=60°30’10’’(NW)
119°29’50’’
RB,C
25
B D
A C
AzCD= AzBC - ββββ ( ββββ = 180° – 152°40’20’’ = 27°19’40’’ = ββββ =27°19’40’’)
AzCD= 180° - β = 159β = 159β = 159β = 159°44’55’’ −−−− 27°19’40’’ = 132°25’15’’
RCD = 180° - AzCD = 47°34’45’’ (SE)
E
F
D
C
AzDE = AzCD – ββββ (ββββ = 210°25’03’’ – 180° = 30°25’03’’ = ββββ)
AzDE = AzCD – ββββ = 132°25’15’’ – 30°25’03’’ = 102°00’12’’
RDE = 180° - AzDE = 77°59’48’’ (SE)
AzCD
180º
152°40’20’’
AzBC = 159°44’55’
β
RCD
RCD
210°25’03’’
β
180°
AzDE
RDE
26
E
F
AzEF = ββββ + AzDE (ββββ = 272°05’07’’ – 180° = 92°05’07’’ = ββββ)
AzEF = AzDE + ββββ = 102°00’12’’ + 92°05’07’’ = 194°05’19’’
REF = AzEF – 180° = 14°05’19’’(SW)
2.5.4.1 FÓRMULA GERAL DOS AZIMUTES
A. Fórmula Geral para Ângulos de Flexão
1 3
2 4
Az2,3 = Az1,2 – ββββ
ββββ = 180° – αααα2 Az2,3 = Az1,2 + αααα2 – 180°
Az1,2
α2
Az1,2
Az2,3
α3
Az2,3
Az3,4
272°05’07’’
AzEF
β
REF
RED
27
Az3,4 = Az2,3 + ββββ’
ββββ’ = 180° - αααα3 Az3,4 = Az2,3 – αααα3 + 180°
Azn = Azn-1 + ααααn + 180°
QUANTO AOS SINAIS
Do ângulo de flexão α
Será positivo α quando este ângulo for à direita
Será negativo α quando este ângulo for à esquerda
Do ângulo de 180°
Será positivo 180° quando o azimute anterior + αn for menor que 180°
Será negativo 180° quando o azimute anterior + αn for maior que 180°
Azimute da linha
em questão
Azimute da
linha anterior
Ângulo de flexão no
vértice inicial da linha
em questão
28
B. Fórmula Geral para Ângulos de Deflexão
1 3
2 4
Az2,3 = Az1,2 – d2
Azn = Azn-1 + dn
Az3,4 = Az2,3 + d3
2.5.5 Limites do Azimute
Como o azimute é um ângulo que varia de 0° à 360°, então quando
ocorrer valor para o azimute maior que 360°, este valor deverá ser
subtraído de 360° e, quando ocorrer valor menor que 0° então, o valor
deverá ser acrescido em 360°.
d2
d3
Az1,2
Az1,2
Az2,3
Az2,3
Az3,4
29
EXERCÍCIO
Calcule os azimutes das linhas poligonais abaixo.
1
3 2 0
5
4 6
Az0,1 = 73°50’30’’
Az1,2 = 73°50’30’’ – 75°45’12’’ = 358°05’18’’
Az2,3 = 358°05’18’’ – 140°53’08’’ – 180° = 37°12’10’’
Az3,4 = 37°12’10’’ – 280°42’18’’ + 180° = – 61°30’ + 360° = 296°29’52’’
Az4,5 = 296°29’52’’ + 89°20’35’’ – 180° = 205°50’27’’
Az5,6 = 205°50’27’’ + 31°15’03’’ = 237°05’30’’
Az6,0 = 237°05’30’’ + 102°15’ – 180° = 159º20’30’’
75°45’12’’
280°42’18’’
94°30
140°53’08’’
89°20’35’’ 31°15’03’’
102°15’
30
Linhas Az CAz R
0 – 1 73°50’30’’ Az+180°=253°50’30’’ 73°50’30’’ (NE)
1 – 2 358°05’18’’ Az-180°=178°05’18’’ 360°-Az=1°54’42’’(NW)
2 – 3 37°12’10’’ Az+180°=217°12’10’’ 37°12’10’’(NE)
3 – 4 296°29’52’’ Az-180°=116°12’10’’ 360°-Az=63°30’08’’(NW)
4 – 5 205°50’27’’ Az-180°=25°50’27’’ Az-180°=25°50’27’’(SW)
5 – 6 237°05’30’’ Az-180°=57°05’30’’ Az-180°=57°05’30’’(SW)
6 – 0 159°20’30’’ Az+180°=339°20’30’’ 180°-Az=20°39’30’’(SE)
EXERCÍCIOS
1 ) Em maio de 1958 foi efetuado um levantamento topográfico de uma
propriedade pelo método do caminhamento perimétrico, no sentido
horário, numa região cuja declinação magnética era de +9o
15’ com
variação anual de +5’. O azimute magnético à ré lido do vértice 2 para o
vértice 1 ( Azm 2,1 ) foi de 194o
02’ 33’’ ; o ângulo de flexão (-) no vértice 2
foi de 113o
29’10”; o ângulo de deflexão (+) no vértice 3 foi de 119o
06’10”; o azimute magnético à ré do vértice 1 para o vértice 4 foi de 94o
30’30”.
Com relação ao levantamento efetuado, pede-se:
1 ) Calcular todos os azimutes vante verdadeiros: Azv1,2, Azv 2,3, Azv 3,4,
Azv 4,1 . ( 2,0 )
2 ) Calcular todos os ângulos de flexão (-). ( 2,0 )
3 ) Calcular todos os contra-azimutes verdadeiros. ( 1,5 )
4 ) Calcular todos os rumos vante e ré verdadeiros. ( 1,5 )
5 ) Calcular a soma dos ângulos internos da poligonal. ( 1,5 )
6 ) Fazer um esboço da poligonal levantada. ( 1,5 )
31
2.6 Medidas de Distância
A determinação da extensão de um alinhamento pode ser feita por
medida direta, quando o instrumento de medida é aplicado no terreno ao
longo do alinhamento, por medida indireta, se em função da medida de
outras grandezas com ela relacionada matematicamente, ou por medida
eletrônica, realizada com instrumentos que utilizam raios infravermelhos
ou a laser permitindo a determinação das distâncias com rapidez e precisão
(Distanciômetro).
2.6.1. Medida Direta – Processos
Nos processos para medida direta de distâncias, o instrumento
aplicado ao longo do alinhamento a medir denomina-se diastímetro.
De acordo com a natureza do diastímetro e grau de precisão desejado
para a medida, os processos de medida direta classificam-se em:
A)- Processos de Baixa Precisão
B)- Processos de Média Precisão
C)- Processo de Alta Precisão
A Processo de Baixa Precisão
São os processo que conduzem a resultados com baixo grau de
precisão. São empregados nos trabalhos de reconhecimento, levantamentos
rápidos onde não se exige grande precisão (levantamentos expeditos). Os
diastímetros utilizados são: Passo humano, passômetro, velocímetro, etc.
32
B Processos de Média Precisão
Nesta categoria se processam as medidas executadas nos trabalhos
normais de topografia.
Além do instrumento de medida, vamos empregar alguns
instrumentos auxiliares; tais como:
Piquetes ou estacas, servem para sinalizar a origem e o fim dos
alinhamentos, os vértices das poligonais, a origem e o fim das
curvas, etc.
Estacas testemunhas, servem para identificação rápida do piquete e
devem ser cravadas a 0,5 metros do piquete.
Balizas, servem para o operador do teodolito realizar a rápida
visualização do piquete; serve para fixar o plano vertical que contém
um alinhamento.
O diastímetro utilizado para medida direta do alinhamento com média
precisão é a “trena”, podendo ainda ser utilizada a “fita de aço”.
C Processos de Alta Precisão
São utilizados na medição das bases geodésicas ( lados dos
triângulos geodésicos ) . Empregam-se os distanciômetros eletrônicos
baseados na propagação de micro-ondas ou de ondas luminosas. Entre os
que emitem micro-ondas temos os telurômetros, cujo alcance chega a
160km com precisão de 5cm ±3:1.000.000. Na classe dos que emitem
ondas luminosas temos o Geodímetro com alcance de 60km e precisão de
6mm±1:1.000.000, e o Geodolito com alcance de 32km nas medições
diurnas e 80km nas medições noturnas ( T34-400 ).
33
2.6.2 Técnica de Medida com Trena
Para que a distância entre dois pontos seja medida com precisão, a
trena dispor-se-á horizontalmente e estará contida no plano vertical que
contém o alinhamento.
Ao operador e seus auxiliares compete cuidar da horizontalidade da
trena e da verticalidade da baliza no momento da medida.
O plano vertical poderá ser materializado com o emprego de balizas
e um instrumento óptico (teodolito) através da operação denominada
balizamento.
Suponhamos que se deseje medir o cumprimento “L”, com uma trena
a partir do ponto “A” até o ponto “B” fixado no terreno. Um auxiliar deverá
por uma baliza no ponto “A”, mantendo o zero da trena junto ao eixo da
baliza disposta verticalmente; outro auxiliar deverá ir desenrolando a trena
até a de marca “L metros”. Os auxiliares dos pontos A e B se colocam atrás
das respectivas balizas, quando o operador do teodolito orientará os
auxiliares para que fiquem na mesma direção, ou seja, no mesmo plano
vertical que contém o alinhamento AB e, ainda orientará para que a trena
fique disposta na horizontal. Então, neste momento, farão a medida do
alinhamento.
34
2.6.3 Técnica de Medidas Indiretas
35
EXEMPLO
2.7 MÉTODO DE LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO
2.7.1. Método do caminhamento perimétrico ou método da poligonal
Consiste na ligação dos pontos 2 a 2, da poligonal a ser levantada, através
da medição de ângulos e distâncias em cada vértice da poligonal.
Vantagens:
Pode ser usado em qualquer área, desde que os pontos sejam acessíveis.
Desvantagens:
Método demorado e trabalhoso. Proporciona grande acúmulo de erros.
36
Em áreas extensas combinam-se o método com o GPS
GPS – Global Positioning System: Sistema de Posicionamento Global
Segundo Barros (1995 ) o Sistema de Posicionamento Global foi
idealizado pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos. Consiste em
uma constelação de 21 satélites em grandes altitudes. Este conjunto de
satélites substitui as estrelas até então usadas pelo homem para navegação.
O seu custo foi por volta de US$ 10 bilhões. O princípio básico do Sistema
consiste em utilizar satélites como pontos de referência para triangular
nossa posição em algum lugar da Terra, isto é, a nossa posição é conhecida
através da medição da distância de onde nos encontramos sobre a superfície
da Terra, até um grupo de satélites no espaço.
Assim, por exemplo, se sabemos que estamos a uma distância de 18.000km
de um satélite A, temos uma posição específica dentro do Universo que é
no interior de uma esfera com raio conhecido e com centro no satélite A
( Figura 01f). Conhecendo a nossa distância em relação a um outro satélite
B, por exemplo de 20.000km, a nossa posição fica melhor definida.
Portanto, o único lugar do Universo onde podemos estar a 18.000km do
satélite A e 20.000km do satélite B é no círculo formado pela interseção
das duas esferas ( Figura 01g).
Figura 01f: Um satélite Figura 01g: Dois Satélites
37
Obtendo-se uma medida de distância a um terceiro satélite, 15.000km por
exemplo, podemos determinar realmente a nossa posição, uma vez que o
lugar geométrico que a define são apenas dois pontos: a interseção do
círculo formado pelos satélites A e B com a esfera do satélite C ( Figura
01h).
Figura 01h: Três Satélites
2.7.2 Método da Irradiação
3
2 4
1 5
Consiste em se fazer visadas de um ponto chamado sede da irradiação, para
os demais pontos da poligonal, ou pontos de detalhes, medindo-se os
ângulos e as distâncias formadas entre a sede da irradiação e os pontos
Sede da
Irradiação
Azimutes
Norte
Magnético
Distâncias
38
visados. Este método poderá ser utilizado para levantamento de áreas e
para levantamento dos pontos de detalhes.
Vantagens:
Método rápido e de fácil execução
Desvantagens:
Não possibilita a verificação dos erros cometidos
É um método restrito, utilizado somente em áreas que permitam a
visualização de todos os seus vértices a partir de um ponto (sede da
irradiação), e ainda, que não seja extrapolado o alcance máximo da
luneta no momento das visadas.
2.7.3 CÁLCULO DA POLIGONAL
A Poligonal Aberta
3
1
4
2
Poligonal aberta é aquela que não retorna ao ponto de partida, não
possibilitando a verificação de erros, cometidos no campo.
Az1,2
α2
α3
L1,2
L2,3 L3,4
39
A.1 CÁLCULO DAS COORDENADAS DOS PONTOS
y
N
y3
y2
x
x2 x3
X2 e Y2 serão coordenadas arbitradas ou conhecidas
FÓRMULA NO EIXO X
FÓRMULA NO EIXO Y
Az2,3L2,3
L2,3 x
Az2,3
23
23
23
L
xL
SenAZ =
L2,3X = L2,3SenAz2,3
X3 = X2 + L2,3X
L2,3Y = L2,3 CosAz2,3
Y3 = Y2 + L2,3Y
40
EXERCÍCIOS
Calcular as coordenadas dos vértices da poligonal a seguir
Lado Comprimento
do lado
Azimute Projeção natural
dos lados
Vértice
Coordenadas
LX LY X Y
1 – 2 57,60 100°50’ 56,573 -10,826 1 500,0 500,0
2 – 3 42,35 43°20’ 29,062 30,804 2 556,573 489,174
3 – 4 59,43 124°45 48,830 -33,874 3 585,635 519,978
4 634,465 486,104
Az1,2 = 100°50’
α2 = 237°30’
α3=98°35’
L1,2 = 57,60
L2,3 = 42,35
L3,4 = 59,43
Comprimento do
lado vezes SenAz
Comprimento do
lado vezes CosAz
LxXnXn ±−= 1
LyYnYn ±−= 1
41
A.2 Regras para correção dos ângulos internos
1.Todo Polígono fechado
Se o erro de campo for menor que o erro admissível, então distribuir.
Se o erro de campo for maior que o erro admissível, retornar para o campo
e medir novamente.
B Poligonal Fechada
Erro Linear = Ef
Detrminação do Erro linear de fechamento
2
1
5
3
4
Ec = erro de campo
ÂI = Ângulos Internos
Ead = erro admissível
pa = precissão angular do aparelho
npaead =
n = número de
vértices da poligonal
0
180).2(.. −=∑ nIntÂng
0
180).2()( −−∑= ncampoÂIEc
Ef
Efx
Efy
22
yExEE fff +=
42
Determinação da projeção Efx e Efy
Teorema de Thales
A soma algébrica das projeções dos lados de um polígono qualquer
sobre uma reta orientada é sempre nula, quando a extremidade do último
lado coincide com a origem do primeiro.
B
A
C
D
Então temos: quando Σx≠0 temos Efx e,
Σy≠0 temos Efy.
B.1 Cálculo do erro linear relativo = Er
,
1
M
Er = sendo
fE
p
M
2
=
Onde 2p é o perímetro da poligonal
Ef é o erro linear de fechamento
São aceitos os seguintes limites de tolerância do erro linear de fechamento:
Terreno Plano 1:2000
Terreno Ondulado 1:1000
Terreno Acidentado 1:500
0
0
0
0
=∑
=∑
=+++
=+++
y
x
yyyy
xxxx
DACDBCAB
DACDBCAB
43
B.2 Cálculos dos Fatores de Correção
Onde l = lado a ser corrigido.
EXERCÍCIO
Calcular as coordenadas da poligonal dada a seguir:
0 3
1
2
pa=6’’ X1=1.000,00m Y1=2.000,00
107°44’10’
72°43’30’’
88°41’40’’
90°50’32’’
l
p
xE
C
l
p
xE
C
f
y
f
x
.
2
.
2
=
=
Topografia básica
45
B.3 CÁLCULO DA ÁREA DE POLIGONAIS FECHADAS
ATRAVÉS DAS COORDENADAS DOS SEUS VÉRTICES
0
N0
N1 1
2
N2
E0 E2 E1
B.3.1 Fórmula de Gauss
S – área da
poligonal
46
AB
Além dos métodos já estudados (Irradiação e Caminhamento
Perimétrico), outros métodos também são importantes e aplicados, muitas
vezes, em casos particulares de levantamento.
2.7.4 Método da Interseção
É bastante utilizado quando o ponto a determinar é inacessível. Ex:
um ponto situado dentro de um rio.
Consiste na determinação da posição de um ponto pela interseção
das visadas feitas das extremidades de um alinhamento, denominado
BASE, para este ponto.
M
A B
AzA,B
AzA,M
AzB,A
AzB,M
αA
αM
αB
Do campo: AB ; AzA,M, AzA,B, AzB,M, AzB,A
47
Da Lei dos Senos:
Calcula-se αA, αB e αM:
Coordenadas do Ponto M a partir do ponto A
XM = XA + AM . Sen AzA,M
YM = YA + AM . Cos AzA,M
Coordenadas do Ponto M a partir do ponto B
XM = XB + BM . Sen AzB,M
YM = YB + BM . Cos AzB,M
)(1800
,,
,,
BAM
AzAzB
AzAzA
abmb
maba
ααα
α
α
+−=
−=
−=
m
b
Sen
Sen
AB
AM
α
α
=
m
b
Sen
Sen
ABAM
α
α
.=
m
a
Sen
Sen
AB
BM
α
α
= m
a
Sen
Sen
ABBM
α
α
.=
48
EXERCÍCIOS
1 ) Calcular as coordenadas do ponto M levantado por interseção a partir da base AB
definida por RA,B = 72°30’ (NE); AB = 418,40; XA = 500m; YA = 700m. Tendo sido
medidos RA,M = 42°20’ (NE) e RB,M = 50°45’(NW).
Resolução:
RA,B = 72°30’ (NE) XA = 500m
AB = 418,40m YA = 700m
Foram medidos no campo:
RA,M = 42°20’ (NE) RB,M = 50°45’(NW)
M
A B
αA = (RA,B) 72°30’ – (RA,M ) 42°20’ = 30°10’
αB = 180° - [(RB,M) 50°45’+(RA,B) 72°30’] = αB = 56°45’
αΜ = 180° – (αA) 30°10’ + (αB) 93°05’ = αM = 93°05’
Coordenadas do Ponto M
XM = XA + AM .Sen AzA,M ⇒ 500+350,40939.Sen 42°20 = 735,98064
YM = YA + AM .Cos AzA,M ⇒ 700 + 350,40939.Cos 42°20 = 959,0364
RA,B = 72°30’
RA,M = 42°20’
50°45’(NW)
RB,A = 72°30’
αA = 30°10’
αM = 93°05’
αB = 56°45
m
b
Sen
Sen
ABAM
α
α
.= 40939,350
'0593
'4556
.40,418 0
0
==
Sen
Sen
AM
49
2 ) As coordenadas do vértice no. 2 de uma poligonal são: W = 20m; N =
40m, em relação a um referencial no vértice no. 1. Qual o azimute 1-2
( Az1-2 )?
3 ) O perímetro de um terreno é uma circunferência de raio igual a 50
metros. Qual o comprimento de uma parte deste perímetro subentendida
por um ângulo de 0,5 radianos?
4 ) Qual a área, em alqueires paulista, de uma poligonal cujo levantamento
topográfico resultou nas seguintes coordenadas para os vértices?
Vértice 1 ( 202 Este; 300 Norte );
Vértice 2 ( 250 Este; 315 Norte );
Vértice 3 ( 240 Este; 290 Norte );
Vértice 4 ( 210 Este; 250 Norte ).
5 ) A declinação magnética de uma determinada região, objeto de um
levantamento topográfico, é de –10o
25’ em 31/07/1980. A variação anual
desta declinação é de –5’. Qual será o azimute verdadeiro ou geográfico
referente ao azimute magnético de 20o
30’ lido em 30/06/1997?
6 ) Utilizando-se o alinhamento C-D coincidente com o meridiano local, e
C distante de D 300 metros, estacionou-se o teodolito em C obtendo-se os
azimutes Azca e Azcb de 240o
e 120o
respectivamente. Em seguida, com o
teodolito estacionado em D, obteve-se os azimutes Azda e Azdb de 290o
e
25o
respectivamente.
Com base no procedimento de campo acima descrito, responda as seguintes
questões:
A ) Qual é a distância A-B?
B ) Qual é a distância A-D?
C ) Qual é a distância D-B?
7 ) Com um teodolito estacionado em uma estaca 1, foi determinado o
azimute 1-3 ( Az1-3 ) de 70o
, sendo o ponto 3 inacessível. Ainda com o
teodolito estacionado na estaca 1, foi lido o azimute 1-2 ( Az1-2 ) de 120o
e
determinada a distância 1-2 de 254,50 metros. Em seguida o teodolito foi
estacionado na estaca 2 e lido o azimute 2-3 ( Az2-3 ) de 10º
. A altitude da
estaca 1 é de 702,50m e a altura do aparelho, quando estacionado na estaca
1 era de 1,60m e em 2 de 1,62m. Os ângulos verticais 1-2 e 2-3 lidos foram
de 30o
30’50” e 28o
30’00” respectivamente.
Com base no procedimento de campo descrito acima, responda as seguintes
perguntas:
A ) Qual é a distância horizontal 1-3?
50
B ) Qual é a distância horizontal 2-3?
C ) Qual é a altitude da estaca 2?
D ) Qual é a altitude do ponto inacessível 3?
E ) Faça um esboço da operação descrita.
8 ) Qual a área real de um terreno cujas dimensões representadas em uma
planta planimétrica, escala 1:2.500, são: 10cm de frente e 30cm de fundo.
9 ) Qual a área, em alqueires paulista, de uma poligonal cujo levantamento
topográfico resultou nas seguintes coordenadas finais para os vértices?
Vértice 1 ( 202 Este; 300 Norte );
Vértice 2 ( 250 Este; 315 Norte );
Vértice 3 ( 240 Este; 290 Norte );
Vértice 4 ( 210 Este; 250 Norte ).
10) Os vértices 1 e 2 de uma poligonal apresentam as seguintes
coordenadas:
Vértice 1: 500m Este; 500m Norte;
Vértice 2: 480m Este; 540m Norte.
Com base nestes dados, qual é o R1,2, o Az1,2, o R2,1,Az2,1 e a distância 1-2?
2.7.5 Método das Coordenadas Retangulares
A) Aplicação: Pela facilidade e rapidez das operações, este método é
especialmente indicado para levantamento de detalhes que apresentam
configuração curvilínea (Rios, divisas de propriedades).
Neste método, a posição do ponto topográfico de interesse é
definida pela medição de suas coordenadas retangulares (X,Y). Um dos
lados da poligonal de apoio servirá como eixo de referência para medição
das abcissas e ordenadas.
51
Definindo o eixo de referência, sobre ele serão marcadas as abcissas
(X) dos pontos de interesse; perpendicularmente, anotam-se as ordenadas
(Y).
P2 P4
P1 P3
X1
X2
X3
X4
X e Y são medidos com trena ou calculado comTeodolito Taqueométrico.
B) Precisão: Este método não conduz a resultados precisos, devido ao fato
de se utilizar somente de medidas lineares. Entretanto, pela
facilidade de operação e rápida execução, é recomendado o seu
uso em levantamento de detalhes.
2.8 Levantamento dos Detalhes
2.8.1 Definição de Detalhes
Denomina-se detalhes os elementos do terreno que, por sua
importância, característica ou posição relativa, devem compor a planta
topográfica.
Os detalhes podem ser rios, lagos e praias; florestas e lavouras; obras
de engenharia; acidentes naturais, relevos e etc.
Y1 Y2 Y3 Y4
52
2.8.2 Métodos de Levantamento de Detalhes
No geral, todos os métodos de levantamento topográfico estudados
podem ser utilizados na determinação e representação dos detalhes,
contudo, pelas características particulares de cada um, em certas situações
uns são mais indicados que os outros. Há situações em que se faz
necessário o uso de métodos combinados para determinação dos detalhes.
É importante frisar que, na prática, muitas vezes o bom senso do
profissional definirá qual o melhor procedimento a ser adotado.
No escritório calculam-se as coordenadas dos pontos empregando-se
técnicas de desenho, confecciona-se o desenho final de acordo com as
informações contidas no croqui.
Em geral, os detalhes são representados por meio de símbolos; estes
símbolos, denominados de “convenções topográficas”, destinam-se a
reproduzir fielmente a natureza dos objetos a representar.
A convenção topográfica é um recurso utilizado para representar no
desenho detalhes que, se postos na escala do referido desenho seriam
imperceptíveis a vista humana.
A NBR 13133/94 apresenta relação de convenções topográficas.
53
( )
( )ME
d
S
yyyyyy
d
S
b
b
.2
2
2222
2
654321
+=
+++++=
2.9 ÁREAS EXTRAPOLIGONAIS
2.9.1 Cálculo da área Extrapoligonal
A Método analítico
B E
C D
F
A
y1 y2 y3 y4 y5 y6
d d d d d
d= todas as partes devem ser iguais.
A.1 Fórmula dos trapézios ou de BEZOUT
54
( )PIE
d
Ss 42
3
++=





 −
+=
4
'
2.
EE
PdS p
Onde E é o somatório dos y extremos
Onde M é o somatório dos y do meio.
A.2 Fórmula de SIMPSON
Onde E é o somatório dos y extremos;
Onde I é o somatório dos y ímpares;
Onde P é o somatório dos y Pares;
A.3 Fórmula de PONCELET
Onde E é o somatório dos y extremos;
Onde E’ é o somatório dos y adjacentes aos extremos (2° e Penúltimo);
Onde P é o somatório dos y Pares;
EXERCÍCIO
20 20 20 20 20 20
Y=1,8
Y2=3,5
Y3=4,7
Y4=5,5
Y5=5,8
Y6=5,4
Y7=3,8
55
2
( )
( ) 2
5549,24.26,5
2
20
.2
2
mS
ME
d
S
b
b
=+=
+=
( )
( ) 2
2772,5616,57216,5666,6
42
3
mS
PIE
d
S
s
s
=++=
++=
2
5,559
4
9,86,5
8,2820
4
'
2
mS
EE
PdS
p
p
=




 −
+=





 −
+=
Calcular a área
Obs.: Todas as medidas estão em metro
EXERCÍCIO
1 ) As sapatas de fundação de uma edificação estão dispostas formando um
triângulo. O azimute do alinhamento formado pelas sapatas 1 ( S1 ) e 3 ( S3
) é de 89o
20’ 37” ( AzS1-S3 ); o do alinhamento formado pelas sapatas S1 e
2 ( S2 ) é de 35o
15’ 30” ( AzS1-S2 ) e o do alinhamento formado pelas
sapatas S2 e S3 é de 130o
20’ 40” ( AzS2-S3 ). As coordenadas da sapata S1
são 100m Norte, 100m Este, e, da S3, 100,945m Norte, 182,494m Este.
Com base neste enunciado, responda as seguintes questões:
a ) Quais são as coordenadas da sapata S2?
1
3
56
b ) Qual é a área do triângulo definido pelas sapatas S1, S2 e S3?
c ) Qual é o afastamento entre os eixos Norte-Sul das Sapatas S1 e S2, e
das Sapatas S2 e S3?
d ) Qual é o afastamento entre os eixos Este-Oeste das Sapatas S1 e S2, e
das Sapatas S1 e S3?
57
3 ALTIMETRIA
A altimetria é a parte da topografia que tem por objetivo a
determinação das alturas dos pontos do terreno, definidos pela planimetria,
em relação a uma superfície de referência e cuja finalidade é a
representação do relevo através de curvas de nível. Dependendo da
superfície de referência adotada, temos as cotas e as altitudes.
3.1 COTAS E ALTITUDES
As cotas correspondem a menor distância entre pontos da Superfície
Topográfica, quando representada numa Carta ou Planta Topográfica de
uma região, e uma superfície de referência arbitrária. Por outro lado, as
altitudes correspondem a menor distância entre pontos da Superfície
Topográfia e a superfície de nível médio dos mares, ou do Geóide, tomada
como referência. Chamamos de Afastamento a menor distância em relação
à superfície do Elipsóide de Referência. As cotas negativas ou de
profundidade são denominadas cotas batimétricas.
Normalmente chamamos de Superfície Topográfica à superfície do
relevo continental, e superfície batimétrica ao assoalho submarino.
Entretanto, a Superfície Topográfica compreende a superfície sólida da
Terra, incluindo o relevo continental e o assoalho submarino.
3.2 DIFERENÇA DE NÍVEL
As diferenças existentes entre as cotas ou altitudes dos pontos do
terreno são designadas de diferença de nível ( Figuras 01 e 02 ). Podemos
58
também dizer que a diferença de nível entre dois pontos do terreno
corresponde à distância vertical entre os planos que contém estes pontos.
O levantamento altimétrico de um ponto consiste na determinação da
diferença de nível entre esse ponto e outro de cota ou altitude conhecida e,
por conseguinte, no conhecimento da cota ou altitude daquele ponto.
3.3 REFERÊNCIA DE NÍVEL
Chama-se referência de nível ou simplesmente RN a um ponto de
cota ou altitude conhecida. Estes RN são de extrema importância nos
trabalhos topográficos. São encontrados nos terminais de estradas de ferro.
Além destes pontos, existem outros distribuídos pelo País, levantados pelo
Departamento Nacional da Produção Mineral ( DNPM ) ou pelas empresas
de aeronáutica civil. Normalmente estes RNs são pontos notáveis, onde são
fixados marcos de cimento, locados nas principais cartas do País.
3.4 NIVELAMENTO
O nivelamento consiste no conjunto de operações topográficas
realizadas com o objetivo de determinar as diferenças de nível entre os
59
pontos do terreno. Qualquer trabalho de nivelamento de grande precisão
deve sempre ser iniciado tendo como base uma referência de nível ( RN ).
3.5 TIPOS DE NIVELAMENTO
Em decorrência da natureza e do processo de medidas usadas na
determinação das cotas ou altitudes, os nivelamentos são classificados, na
ordem de precisão crescente, em: barométrico, trigonométrico e
geométrico.
3.5.1 NIVELAMENTO BAROMÉTRICO
Consiste na obtenção da diferença de nível em função da pressão
atmosférica obtida em dois pontos diferentes. Desta forma a altitude de um
ponto é determinada mediante a medida da pressão atmosférica em um
ponto de altitude conhecida e no outro cuja altitude desejamos saber.
O nivelamento barométrico é de grande emprego no apoio altimétrico para
a aerotriangulação tendo como objetivo a confecção de cartas em pequena e
média escala. Na sua faixa de emprego apresenta grandes vantagens em
relação aos outros métodos pelo baixo custo operacional, pois é de
execução rápida, utiliza equipamento portátil e pequeno efetivo das equipes
de trabalho.
Os altímetros utilizados para obtenção das altitudes a partir da
pressão atmosférica, são semelhantes aos barômetros aneróides. Consistem
em uma cápsula metálica com vácuo no seu interior. As variações de
pressão atmosférica produzem deformações na cápsula, provocando
deflexões em um ponteiro que mede a pressão atmosférica, a qual é
60
traduzida em altitudes através de dispositivos mecânicos relacionados a
uma escala de leitura, em metros ou pés ( escala orométrica ).
Figura 03: Esquema de um barômetro aneróide ( Manual TécnicoT34-604 ).
3.5.2 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
O nivelamento trigonométrico é efetuado com a utilização do
teodolito, cujos dados angulares de campo são tratados segundo as relações
trigonométricas em um triângulo. No nivelamento trigonométrico opera-se,
em geral, com visadas inclinadas. Assim, a diferença de nível entre dois
pontos é determinada por cálculo trigonométrico a partir do conhecimento
da distância horizontal entre os dois pontos, e o ângulo vertical fornecido
pelo teodolito.
Na Figura 04 γ1 e γ2 representam ângulos verticais ( zenitais ); AA a
altura do aparelho medida do eixo de rotação do telescópio até o nível do
terreno indicado por um piquete; L1 a leitura de estádia corresponde ao
ângulo γ1; L2 a leitura de estádia correspondente ao ângulo γ2; ∆L a
diferença das leituras L2 e L1; dH a distância horizontal entre os pontos 1 e
2; ∆ a distância vertical do centro de telescópio até a leitura L1 sobre a mira.
Trigonometricamente a diferença de nível entre os pontos 1 (onde está
61
estacionado o teodolito) e 2 (onde coloca-se a mira estadimétrica), ∆H, será
determinada através das seguintes expressões:
∆H = ∆ + AA – L1, onde ∆ = dH.Cotgγ1, o que nos dá a seguinte expressão
para o cálculo do desnível entre os pontos 1 e 2:
∆H = dH.Cotgγ1 + AA – L1
Figura 04: Nivelamento trigonométrico
Observe que neste caso é necessário conhecer a distância horizontal
dH entre os dois pontos cujo desnível queremos determinar. Entretanto, a
partir da mesma figura, podemos obter a expressão que possibilita o cálculo
do desnível ∆H sem necessidade de sabermos a distância entre os dois
pontos, que é a seguinte:
∆ = ∆L.cotgγ1 / cotgγ2 - cotgγ1, que substituindo na expressão de ∆H nos dá
o seguinte resultado:
∆H = ∆L.cotgγ1 / cotgγ2 - cotgγ1 + AA – L1
62
A mesma equação pode ser obtida substituindo o valor de dH, do ítem
2.6.3, na equação anterior que fornece o valor de ∆H em função de dH.
3.5.3 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
O nivelamento geométrico é comumente empregado nos trabalhos de
topografia, como nivelamento de estradas, construções em geral,
loteamentos, etc. É um nivelamento de boa precisão quando
cuidadosamente aplicado.
3.5.3.1 INSTRUMENTAL UTILIZADO
Para execução de um nivelamento geométrico, o instrumental a ser
empregado necessita estabelecer uma linha de visada horizontal e permitir
a medida de distâncias verticais. Tais instrumentos são os níveis e as miras.
A NÍVEIS
São instrumentos óticos especialmente construídos e consistem de
uma luneta conjugada a níveis de boa sensibilidade, de modo a assegurar
que, estando a luneta estacionada sobre um ponto, possamos orientar com
precisão o seu eixo vertical segundo a vertical do lugar e que ela, ao girar
em torno desse eixo, descreva um plano rigorosamente normal a ele
próprio. Os níveis definem físicamente um plano horizontal ou uma linha
horizontal.
Os níveis podem ser classificados, segundo o órgão visor que são
dotados, em: níveis de luneta, níveis de visor de pínulas e níveis sem órgão
visor. Os nivelamentos mais rigorosos são efetuados com os níveis de
63
luneta, sendo esta semelhante à luneta de um teodolito, apresentando
inclusíve os fios estadimétricos. O único movimento possível das lunetas
dos níveis é em torno de um eixo vertical. Ela é montada sobre uma base
dotada de três parafusos calantes, que permitem o nivelamento do
instrumento, quando instalado sobre o tripé.
As leituras, nos níveis, são sempre feitas em relação ao fio médio.
Quando perfeitamente nivelado, o eixo ótico ou eixo de colimação do
aparelho descreve sempre um plano horizontal.
B MIRAS
As miras são réguas de madeira usadas no nivelamento para determinação
de distâncias verticais. Existem vários tipos de miras: miras simples ou de
alvo, miras falantes e miras de nível. As mais utilizadas nos trabalhos de
topografia são as miras falantes, que são réguas de madeira ou alumínio
com extensão de 3, 4 ou 5 metros, porém, em geral, de 4 metros. Elas
possuem extremidades protegidas por uma peça de aço, tendo uma das
faces graduadas. Os fabricantes de instrumentos topográficos apresentam
miras com vários tipos de graduação.
3.5.3.2 PRINCÍPIO DO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Consideremos dois pontos A e B da superfície terrestre ( Figura 04 ).
Seja HH o traço de um plano horizontal qualquer, adotado como referência.
Suponhamos instalado num ponto qualquer entre A e B um nível de luneta,
e nos pontos A e B uma mira posta verticalmente, onde se faz as leituras lA
e lB.
Podemos expressar a diferença de nível, DN, entre A e B por:
64
DN = lA – lB ( 1 )
Podemos ainda escrever que:
CB = CA + DN ( 2 ), ou
CB = CA + ( lA – lB ) ( 3 )
A expressão ( 3 ) nos permite definir que o nivelamento geométrico é
a operação que tem por finalidade determinar a cota de um ponto B da
superfície terrestre, sendo conhecida a cota de um ponto A e as leituras
feitas numa mira instalada em A e B.
Quando não se dispõe de um RN, a cota do ponto A pode ser
arbitrada, já que podemos escolher livremente o plano HH.
Figura 04: Princípio do nivelamento geométrico
3.5.3.3 TIPOS DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
O nivelamento geométrico pode ser simples ou composto:
A. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES
O nivelamento geométrico é simples quando é possível visar de uma
única estação de nível a mira colocada em todos os pontos do terreno a
nivelar.
65
Tomemos como exemplo os pontos A, B e C cujos perfís dos
alinhamentos AB e BC estão representados na Figura 05.
Figura 05: Nivelamento geométrico simples
Instala-se o nível em uma posição qualquer N, com a condição de ser
possível visar a mira M colocada na vertical e sucessivamente nos pontos
A, B e C. A primeira visada, feita no ponto A, início do nivelamento, é
chamada “visada a ré” (VR) e as seguintes “visadas a vante” (VV ), que
podem ser “vante de mudança” ( VV) ou “vante intermediária” (VI ).
Conhecida a cota de A, seja por se tratar de um ponto nivelado
anteriormente ou por arbitramento, chama-se “altura do instrumento” (AI )
a soma da cota deste ponto com a visada a ré feita em A ( VRA ), isto é:
AI = CA + VRA
Conhecida a visada feita em B ( VIB ), a cota do ponto B será
calculada através da expressão:
CB = AI – VIB e, por extensão, conhecida a visada em C ( VVC ), a cota do
ponto C será:
CC = AI - VVC
66
B. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO
O nivelamento geométrico composto consiste em uma série de
nivelamentos simples, articulados cada um com o anterior. Este tipo de
nivelamento é realizado sempre que o relevo for acidentado, isto é,
apresentar desníveis acentuados. Nesta situação a diferença de nível entre
dois pontos poderá ultrapassar a altura da mira, obrigando o deslocamento
do instrumento para um ponto que permita a sua visão. Por outro lado, a
necessidade de deslocar o instrumento também se faz necessária quando as
distâncias ultrapassarem o limite de alcance da luneta, o qual está limitado
a 100 metros. Além desta distância as leituras poderão estar sujeitas a erros
inadmissíveis.
As posições dos pontos a nivelar são determinadas anteriormente por
um levantamento planimétrico, e devem definir com propriedade o perfil
do alinhamento entre eles, isto é, necessitam estar situados nos pontos onde
há mudança de inclinação do terreno.
Para execução de um nivelamento geométrico composto, a escolha
do ponto de localização do nível é feita de modo que:
a ) Haja condição de visar o maior número possível de pontos, respeitando
o limite de 100 metros para a distância de visada;
b ) Que a mira situada no último ponto nivelado do trecho anterior, possa
ser visada.
A Figura 06 mostra o exemplo de uma situação de campo para o
nivelamento entre os pontos A e F.
67
Figura 06: Nivelamento geométrico composto
Com o nível em N1 visa-se a mira em A e B e faz-se as leituras VRA e
VVB, respectivamente, que correspondem às visadas a ré em A e vante em
B. Em seguida instala-se o nível em N2, já que de N1 não será possível visar
a mira em C. Em seguida efetua-se a leitura no último ponto, B, do
nivelamento anterior, o que caracteriza a visada a ré VRB, e sucessivamente
são efetuadas as leituras VIC em C e VVD em D. Repete-se a operação com o
nível instalado em N3 e efetua-se as visadas VRD, VIE, e VVF.
Conhecida ou arbitrada a cota CA do ponto inicial A, calcula-se as
cotas dos demais pontos, através das seguintes operações aritméticas:
AI1 = CA + VRA AI2 = CB + VRB AI3 = CD + VRD
CB = AI1 - VVB CC = AI2 - VIC CE = AI3 - VIE
CD = AI2 - VVD CF = AI3 - VVF
O pontos “B” e “D” são pontos importantes no nivelamento
geométrico composto porque é mediante estes que se articulam os trechos
nivelados. Assim, estes pontos, receberão duas visadas, sendo a primeira
para determinação da sua cota e denominada de “visada vante de mudança”
68
uma vez que a partir dela o aparelho muda de estação, e a segunda para
determinação da nova altura do instrumento, sendo denominada de “visada
a ré”.
3.5.4 ERRO DE NIVELAMENTO
O nivelamento pode ser aberto ou fechado. É dito aberto quando não
há retorno ao ponto inicial, ou quando não termina em um ponto de cota ou
altitude conhecida. É fechado quando retorna ao ponto de partida, ou
quando termina em um ponto de cota ou altitude conhecida.
Nos nivelamentos abertos a verificação do erro cometido é feita retornando
ao ponto de partida após a determinação da cota ou altitude do último
ponto, fazendo-se o nivelamento em sentido contrário. Esta operação é
denominada de Contranivelamento.
3.5.5 PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
As grandezas medidas no nivelamento geométrico são registradas em
uma planilha denominada “planilha de nivelamento geométrico”,
constituída das seguintes colunas: pontos nivelados ( estacas ), visadas a ré,
altura do instrumento, visadas a vante ( intermediária e de mudança ),
distâncias, cotas ou altitudes e observações, conforme planilha a seguir:
69
PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Estaca Visada
a ré
Altura do
Instrumento
VisadaVante
intermediária
VisadaVante
de Mudança
Distância
entre estaca
Cotas ou
Altitudes
Observações
01 82,402m RN
1,230m 83,632m 35,50m
02 0,802m 25,00m 82,830m
03 2,542m 81,090m
1,980m 83,070m 30,00m
04 3,540m 35,00m 79,530m
05 2,150m 20,00m 80,920m
06 0,750m 82,320m
Observa-se que na planilha de exemplo o instrumento ocupou duas
posições: a primeira quando fez a visada a ré na estaca 01 de 1,230m para
determinar a altura do instrumento de 83,632m; a segunda quando fez a
visada a ré na estaca 03 de 1,980m para determinar a altura do instrumento
de 83,070m, após ter efetuado a visada vante de mudança também na
estaca 3. Por conseguinte, verifica-se que uma estaca de mudança recebe
duas visadas, sendo uma para determinar a sua cota ( visada vante de
mudança ) e a outra para determinar a nova altura do instrumento ( visada a
ré ). Assim, a denominação visada a ré caracteriza aquela visada que
sempre é feita para um ponto de cota conhecida com a finalidade de
determinar a nova altura.
70
3.5.6 VERIFICAÇÃO DO CÁLCULO DA PLANILHA
Considerando apenas as estacas de articulação entre os diversos
trechos de nivelamento simples, já que é através destes pontos que o
cálculo das cotas se propaga, temos de acordo com a Figura:
AI1 = CA + VRA VVB = VMB
CB = AI1 - VVB VVD = VMD
AI2 = CB + VRB VVF = VMF
CD = AI2 - VVD
AI3 = CD + VRD
CF = AI3 - VVF
Somando membro a membro, temos:
CF = CA + VRA – VMB + VRB - VMD + VRD - VMF
CF = CA + ΣVR - ΣVVM, ou, CF – CA = ΣVR - ΣVVM, onde:
CF = cota final
CA = cota inicial
ΣVR = soma das visadas a ré
ΣVVM = soma das visadas vante de mudança, ou seja:
A diferença entre as cotas extremas de um nivelamento é igual a soma das
visadas a ré menos a soma das visadas vante de mudança.
Para os nivelamentos fechados, temos:
CF = CA ⇒ CF – CA = ΣVR - ΣVVM ⇒ ΣVR - ΣVVM = 0
Entretanto, na prática isto não ocorre e quando fechamos o
nivelamento verifica-se que:
71
ΣVR - ΣVVM = εa, isto é, a soma das visadas a ré subtraída da soma das
visadas vante de mudança é diferente de zero, o que indica o erro absoluto
cometido, correspondente ao somatório dos erros cometidos nas leituras
feitas na mira. O erro relativo, εr, será:
εr =
a
p
ε
2
1
onde 2p é o perímetro da poligonal ou a extensão do trecho
nivelado quando se tratar do nivelamento de um alinhamento.
O erro será admissível se estiver dentro dos limites de tolerância
estabelecidos, sendo distribuído para as cotas dos diversos pontos
nivelados. É comum considerar os seguintes limites:
a ) Para nivelamentos de alta precisão: εr ≤ 1,5mm/Km
b ) Para nivelamentos de precisão: εr ≤ 3mm/Km
c ) Para nivelamentos de 2a
ordem: εr ≤ 10mm/Km
d ) Para nivelamentos de 3a
ordem: εr ≤ 30mm/Km
A precisão de um nivelamento depende da precisão do nível utilizado
e da extensão da poligonal ou do trecho nivelado. Assim, temos para o erro
admissível em um nivelamento a seguinte expressão:
εad = e u , onde:
e = precisão do nível em milímetro;
u = perímetro da poligonal ou do trecho nivelado
εad = erro admissível
Exemplo:
e = 2,5mm/Km
u = 2,0Km
εad = e u = 2,5mm 2 = 3,5mm
O erro de nivelamento deverá ser distribuído em partes iguais nos
pontos de estacionamento do nível.
72
AIn
ad
n
.
ε
=∆ , onde:
∆n = parcelas a serem distribuídas
εad = erro admissível
n.AI = número de pontos de estacionamento do nível.
Tomemos como exemplo a planilha abaixo referente a um
nivelamento fechado, tendo como ponto de partida a estaca 01 e término na
mesma estaca:
PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Estaca Visada
à ré
Alturado
instrumento
Visada Vante
intermediária
Visada Vante de
mudança
Distância
entre estacas
Cotas ou
altitudes
Observações
01 50,000m RN
1,650m 51,650m 10,00m
02 2,500m 10,00m 49,150m
03 1,400m 50,250m
1,200m 51,450m 15,00m
04 1,500m 20,00m 49,950m
05 1,650m 49,800m
0,780m 50,580m 25,00m
06 1,200m 30,00m 49,380m
07 1,350m 15,00m 49,230m
01 0,568m 50,012m
Pela condição do nivelamento fechado, devemos ter:
CF = CI, isto é, a cota final (CF) deve ser igual a cota inicial (CI).
Entretanto, observa-se que a diferença CF-CI = 50,012m-50,000m =
12mm, ou seja, houve um erro de 12 milímetros no nivelamento.
Admitindo-se que se trata de um erro admissível, a parcelas a serem
distribuídas serão:
73
AIn
ad
n
.
ε
=∆ =
3
12mm
= 4mm
Estes 4mm serão distribuídos acumulativamente nos pontos de
estacionamento do aparelho, ou uniformemente nas visadas à ré. O
primeiro será subtraído de 4mm, pois o erro foi para maior; o segundo de
8mm e o terceiro de 12mm, ficando a tabela corrigida com os seguintes
valores para as cotas e alturas do instrumento:
PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO CORRIGIDA
Estaca Visada
à ré
Alturado
instrumento
Visada Vante
intermediária
Visada Vante de
mudança
Distância
entre estacas
Cotas ou
altitudes
Observações
01 50,000m RN
1,646m 51,646m 10,00m
02 2,500m 10,00m 49,146m
03 1,400m 50,246m
1,196m 51,442m 15,00m
04 1,500m 20,00m 49,942m
05 1,650m 49,792m
0,776m 50,568m 25,00m
06 1,200m 30,00m 49,368m
07 1,350m 15,00m 49,218m
01 0,568m 50,000m
Observa-se que na primeira altura do instrumento foram retirados
4mm, na segunda 8mm e na terceira 12mm, resultando a cota da estaca 01,
no final, igual à cota inicial (RN).
3.6 CURVAS DE NÍVEL
As curvas de nível, também conhecidas como curvas horizontais ou
hipsométricas, foram utilizadas pela primeira vez em 1730 pelo engenheiro
74
Cruquius no traçado das curvas dos leitos dos rios ( Espartel, 1978 ). São as
linhas que ligam os pontos, na superfície topográfica, que possuem a
mesma cota ou altitude. A sua construção é feita segundo intervalos que
definem a diferença de cota ou altitude entre duas curvas consecutivas.
Estes intervalos dependem da escala da planta e da declividade do terreno.
Assim, por exemplo, um terreno com declividade de 40%, apresenta uma
queda de nível de 1 metro em cada 2,50 metros de distância horizontal. Se
formos representar esta declividade em curvas de nível equidistantes de 1
metro em uma escala de 1:8.000, o afastamento entre elas será:
md
D
d
E 0003125,0
000.8
50,2
000.8
1
==⇒== seja, o afastamento será de
praticamente 0,3mm, ficando as referidas curvas quase que remontadas.
Para plantas em escala maiores que 1:1.000, estes intervalos podem
ser menor que 1 metro; nas escalas até 1:1.000, 1 metro, e 2 metros até
1:2.000. As curvas de nível resultam da projeção ortogonal das interseções
de planos horizontais equidistantes, paralelos entre si e a um plano
horizontal de referência, que é o Plano-Topográfico de projeção
( Figura 07 ). Este plano de projeção se confunde com a superfície de nível
médio do mar ( Geóide ) num trecho relativamente limitado da superfície
da Terra. As curvas de nível projetadas sobre o Plano-Topográfico,
conservam sua forma e suas dimensões nesse plano. A Figura 08 mostra
uma planta topográfica planialtimétrica com a redução de suas dimensões
de acordo com a escala adotada para o desenho.
75
Figura 07: Relevo e sua representação em curva de nível
Figura 08: Planta Topográfica planialtimétrica em uma escala E
3.6.1 TRAÇADO DAS CURVAS DE NÍVEL
Para traçarmos as curvas de nível há necessidade de locarmos um
número suficiente de pontos sobre a superfície topográfica para, em
76
seguida, mediante nivelamento, determinarmos as suas cotas ou altitudes.
A locação dos pontos a serem nivelados pode ser feita de três formas:
a ) Estabelecimento de uma malha quadriculada;
b ) Determinação taqueométrica por irradiação;
c ) Perfis transversais.
O estabelecimento de uma malha quadriculada resulta em um
trabalho de boa precisão, porém é muito demorado e dispendioso não sendo
conveniente a sua aplicação em áreas muito grandes. É recomendada a sua
utilização em trabalhos de terraplanagem, uma vez que envolve grandes
somas de dinheiro, o que justifica a sua aplicação.
O método consiste em piquetear o terreno segundo uma malha
quadrada e, em seguida, efetuar o nivelamento geométrico dos piquetes.
A determinação taqueométrica das cotas é feita por irradiação a partir dos
vértices da poligonal de apoio, escolhendo-se pontos aleatoriamente, porém
representativos das variações do relevo. Para isto concorre a experiência do
topógrafo. A determinação taqueométrica por irradiação é muito utilizada
para áreas extensas como as utilizadas para implantação de loteamentos.
O método dos perfis transversais é utilizado para terrenos de pequena
largura e muito compridos, o que facilita o traçado de perfis transversais
equidistantes ou não. Estas características o recomendam para o
nivelamento de obras civis lineares como rodovias, ferrovias, adutoras,
linhas de transmissão e oleodutos. Em rodovias, as seções transversais são
niveladas taqueométricamente distando cada uma da outra, 20 metros.
Efetuado o nivelamento e locados os pontos em planta, procede-se à
operação seguinte que é a interpolação. A interpolação consiste em estimar
77
valores de cotas ou altitudes de pontos situados entre outros cujas cotas ou
altitudes foram determinadas no campo.
Para que não se faça interpolações desnecessárias e errôneas, as
seguintes observações devem ser feitas:
a ) Proximidade imediata dos pontos de interpolação;
b ) As direções de interpolação não devem se cruzar;
c ) As direções de interpolação não devem passar próximas a pontos de
cota conhecida.
3.6.2 INTERPOLAÇÃO
A interpolação pode ser feita graficamente ou analiticamente. No
método gráfico, a rotina do processo é a seguinte:
a ) Os pontos do terreno locados panimetricamente e cujas cotas foram
determinadas pelos métodos já descritos, são lançados no desenho. Na
parte “a” da Figura 09 vemos os quatros pontos de cotas 101,5, 102,8,
108,4 e 103,5. Estas cotas em geral resultam fracionárias;
b ) No passo seguinte ligam-se os pontos de cotas mais baixas ao ponto
mais próximo de cota mais elevada, 108,4, conforme mostrado na parte “b”
da Figura 09 e, em seguida, determina-se em cada um dos segmentos de
reta os pontos de cota inteira por interpolação entre as cotas extremas;
c ) Por fim, ligam-se por linhas traçadas manualmente os pontos de cotas
inteiras iguais, as quais constituem as curvas de nível conforme mostrado
na parte “c”da Figura 09.
78
Figura 09: Traçado das curvas de nível ( Mesquita, 1969 ).
3.6.3 DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE COTA INTEIRA
A graduação de uma reta cujos pontos extremos são de cota
conhecida, é feita adotando-se o seguinte procedimento:
Na Figura 10 temos os pontos A e B cujas cotas são 102,6 e 108,2m
respectivamente. Traça-se um segmento de reta auxiliar AM indefinido
formando um ângulo aproximado de 45o
com o segmento AB. Em seguida
procede-se à graduação da reta auxiliar segundo a escala do desenho,
obtendo-se os pontos 103, 104, 105, 106, 107, 108 e o ponto B’ 108,2 sobre
o segmento auxiliar. Na etapa seguinte ligam-se os pontos de mesma cota (
B’e B ), traçando-se o segmento B’B. Paralelamente ao segmento B’B,
79
traçam-se segmentos de reta que interceptarão o segmento AB que une os
dois pontos de cota conhecida ( 102,6 e 108,2 ). Com este procedimento
determinam-se sobre AB os pontos de cotas 103, 104, 105, 106, 107 e
108.O processo baseia-se no Teorema de Thales de divisão de um
segmento em partes proporcionais.
Figura 10: Graduação de um segmento de reta a partir de um auxiliar
( Mesquita, 1969 ).
Outro método de interpolação gráfica também pode ser utilizado.
Na Figura 11 os pontos A e C são de cotas conhecidas. Traçam-se
por A e C duas paralelas não necessariamente perpendiculares ao segmento
de reta AC. Marcam-se as distâncias 0,4 e 0,7, que na escala do desenho
correspondem às distâncias necessárias para se chegar de 15,6 a 16 e de
16,7 a 16. Determinam-se, assim, os pontos F e M que unidos pelo
80
segmento de reta FM intercepta o segmento AC no ponto N que possui a
cota 16 procurada entre A e C.
Figura 11: Interpolação gráfica e analítica
A interpolação analítica é feita por semelhança de triângulos. Na
Figura 11 os triângulos FAN e MCN são semelhantes. Portanto:
mxxxxx
x
x
x
x
FA
CM
27,7
1,1
8
84,07,04,087,0
20
4,0
7,020
==⇒=+⇒−=⇒
−
=⇒
−
=
Como x é igual à distância AN do ponto A até o ponto N no segmento de
reta AC, marca-se então, na escala do desenho, a distância de 7,27m
localizando-se o ponto N.
81
EXERCÍCIOS
1 ) Completar a planilha de nivelamento geométrico abaixo com os valores que faltam,
fazer a prova de cálculo e o esquema do procedimento de campo adotado.
Estaca Visada a ré Altura do
instrumento
Visada Vante
Intermediária
Visada Vante
de Mudança
Cota
RN-20 52,423
52,562
2 50,140
3 3,520
0,402
4 47,919
5
1,100
6 1,960 44,768
7 2,713
44,535
8 41,313
9 40,715
10
2,350
11 3,720 42,113
12 3,583
2 ) Admitindo a distância de 20 metros entre as estacas, desenhar o perfil topográfico
correspondente ao trecho nivelado.
3 ) O esquema abaixo é de um nivelamento geométrico realizado na encosta de uma
elevação. A linha pontilhada representa, em planta, os obstáculos da encosta que
obrigaram o deslocamento sucessivo do aparelho. Os algarismos romanos indicam as
posições ocupadas pelo aparelho, e os arábicos até 14 as estacas de nivelamento. As
cotas dos pontos e alturas do instrumento fornecidas, estão ao lado do número
correspondente. Os números ao longo das setas indicam as leituras de mira. Pede-se:
organizar a planilha de cálculo, calcular o erro de nivelamento e fazer a distribuição
deste erro em cada uma das estacas.
82
4 ) Baseando-se no esquema de procedimento de campo abaixo, adotado
para nivelamento do perfil da estaca 01 para a estaca 08, montar a planilha
de nivelamento correspondente com todos os valores dados, calculados e
fazer a prova de cálculo.
5 ) Admitindo a distância de 30 metros entre as estacas 1-2, 3-4, 5-6 e 20
metros entre as demais estacas, desenhar o perfil topográfico
correspondente.
6 ) O levantamento topográfico de um terreno apresentou os seguintes
resultados:
a ) do vértice 1 para o vértice 2, Az1,2 = 204o
12’30”; dH1,2 = 44,395m
b ) do vértice 2 para o vértice 3, Az2,3 = 277o
57’30”; dH2,3 = 41,728m
c ) do vértice 3 para o vértice 4, Az3,4 = 20o
54’30”; dH3,4 = 36,012m
d ) do vértice 4 para o vértice 1, a distância determinada foi de 46,575
metros.
Com base nestes resultados, determinar o azimute do vértice 4 para o
vértice 1, Az4,1.
7) Em um determinado levantamento topográfico, a altura do aparelho na
estaca 1 era de 1,56 metros, e os ângulos zenitais e respectivas leituras de
mira posicionada na estaca 2 foram:
γ1 = 91o
55’40”; l1 = 2,100m
γ2 = 91o
01’30”; l2 = 2,800m
Admitindo como sendo 52,250m a cota da estaca 1, qual é a cota da estaca
2 e qual o comprimento do lado 1-2?
83
3.7 ELABORAÇÃO DE UM PERFIL TOPOGRÁFICO A PARTIR
DA PLANTA TOPOGRÁFICA COM CURVAS DE NÍVEL.
Na Figura 12 temos as curvas de nível representativas do relevo de
uma determinada área, equidistantes de 1m. Interessa-nos elaborar o perfil
topográfico definido pelo segmento A-B. A extremidade A deste segmento
intercepta a curva de nível de cota 91m no ponto “a” e a extremidade B a
curva de nível de cota 97m no ponto “g”. No prolongamento de A para B
são interceptadas as curvas de nível 92, 93, 94, 95 e 96m, nos pontos “b”,
“c”, “d”, “e” e “f” respectivamente. O procedimento para elaboração do
perfil topográfico é o seguinte:
a ) Traçamos, na porção superior ou inferior como mostrado na Figura 12,
o segmento A’- B’ paralelo a A-B;
b ) Em seguida traçamos paralelas a A’- B’, tantas quantas forem as
diferentes curvas de nível interceptadas pelo segmento A-B. Estas paralelas
deverão estar afastadas de uma distância correspondente à equidistância das
curvas de nível da planta. No nosso exemplo ela é de 1 metro. Por outro
lado, elas também deverão ser cotadas de baixo para cima em ordem
crescente, recebendo a primeira linha a menor cota e, a última, a maior cota
compreendida pelo perfil em questão. No nosso exemplo estas cotas são a
91 e a 97;
c ) No passo seguinte, projetam-se os pontos “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “f “e
“g” sobre o segmento paralelo a A’- B’ de cota correspondente. Assim
obtemos os pontos a’, b’, c’, d’, e’, f’e g’. A união destes pontos fornece o
perfil topográfico definido pelo segmento A-B.
No desenho de um perfil topográfico temos duas escalas a serem
consideradas: a escala horizontal, Eh , e a escala vertical, Ev. Quando
elaboramos o perfil na própria planta, como no exemplo, a escala
horizontal será a da planta. No nosso exemplo da Figura 12 a escala da
planta é 1:200. Nesta escala está representado o segmento A-B e todas as
suas paralelas. Com relação à escala vertical, ela poderá ser alterada, caso
seja interesse realçar as irregularidades do relevo, o que pode ser feita
aumentando-se a escala, resultando em um maior afastamento das paralelas
a A’- B’. Na Figura 12 a escala vertical adotada também foi de 1:200.
84
Figura 12: Elaboração de um perfil topográfico
3.8 DETERMINAÇÃO DA COTA DE UM PONTO SITUADO
ENTRE CURVAS DE NÍVEL
Na figura 13 temos o ponto “d”situado entre as curvas de nível de
cotas 92 e 93 metros. Interessa-nos saber qual é a cota do ponto “d”. O
procedimento é o descrito a seguir:
a ) Traçamos o segmento a-a’contendo o ponto “d”e perpendicular às duas
curvas de nível. Quando não for possível este perpendicularismo
simultâneo, procura-se fazê-lo o mais próximo permitido;
b ) No passo seguinte medimos o comprimento dos segmentos a-a’e a-d,
estabelecendo a seguinte proporção:
da
aa
−
− '
=
cd
aa
−
− "'
No nosso exemplo os valores são os seguintes:
a-a’= 1cm;
a-d = 0,4cm;
a’- a”= 1 metro que é a equidistância entre as curvas de nível;
85
d-c é a incógnita que corresponde ao desnível do ponto “d”em relação ao
ponto “a” conforme mostra o perfil na porção inferior da Figura 13.
Fazendo as substituições na proporção estabelecida, encontramos o
valor 0,4 metro, que resulta então na cota de 92,4 metros para o ponto “d”,
isto é, 92 + 0,4 = 92,4.
Figura 13: Determinação da cota de um ponto situado entre curvas de nível
3.9 ELABORAÇÃO DE UM PERFIL TOPOGRÁFICO A PARTIR
DE PONTOS NIVELADOS.
Tomemos as cotas das estacas niveladas da planilha de nivelamento
geométrico da página 69. A partir desta planilha traçamos o perfil da Figura
14. O procedimento adotado foi o descrito a seguir:
a ) Adotamos um sistema de eixos cartesianos, onde no eixo “x”, conhecido
como eixo das abcissas, lançamos as distâncias entre estacas. De acordo
86
com a planilha tomada como exemplo, temos as estacas 01, 02, 03, 04, 05 e
06. Para simplificar, alteramos as distâncias entre estacas para 10 metros.
Esta distância deverá ser lançada de acordo com a escala horizontal
escolhida. No nosso exemplo da Figura 14 a escala adotada foi 1:500, onde
cada centímetro no desenho representa cinco metros de distância real entre
estacas;
b ) No eixo “y”, conhecido como eixo das ordenadas, lançamos as cotas ou
altitudes das estacas constantes da planilha tomada como exemplo. Estas
cotas ou altitudes também deverão ser lançadas de acordo com a escala
vertical adotada. No exemplo a escala adotada foi 1:50, onde cada
centímetro no desenho representa 0,50 metros de desnível;
c ) No passo seguinte traçamos paralelas ao eixo das cotas passando pelas
diversas estacas (linhas verticais). Em seguida traçamos paralelas ao eixo
das estacas (linhas horizontais) cruzando o eixo das cotas nos pontos onde
elas foram assinaladas. O cruzamento das linhas verticais das estacas com
as linhas horizontais correspondestes às suas cotas, determinam a sua
posição na superfície topográfica. A união destes pontos fornece o perfil
topográfico desejado.
87
Figura 14: Elaboração de perfil topográfico a partir de pontos nivelados
3.10 DETERMINAÇÃO DA DECLIVIDADE ENTRE DOIS
PONTOS
A declividade, em porcentagem, entre dois pontos é determinada
calculando-se a tangente do ângulo que o segmento de reta que une estes
dois pontos forma com a horizontal. Por exemplo, na Figura 14 a
declividade entre as estacas 4 e 6 é calculada achando-se a tangente que o
segmento de reta, que une as duas estacas em questão, forma com a
horizontal e, em seguida, multiplica-se por 100. Desta maneira temos:
Declividade E4-E6 =
20
79,2
x 100% = 13,95%
88
Quando temos o ângulo de inclinação da rampa e pretendemos saber
qual é a sua declividade em porcentagem, basta multiplicar a tangente do
ângulo de inclinação por 100. Se o ângulo de inclinação do segmento que
une dois pontos da superfície topográfica é de 20o
30’40”, então sua
declividade será:
Declividade = tg 20o
30’40” x 100 = 37,41%
A determinação da declividade entre dois pontos é importante no
traçado dos arruamentos dos projetos de loteamentos, pois a Lei no
1208 de
25/03/1975 – Código de Obras, estabelece em seu Art. 272, Inciso V: “as
declividades máximas das vias urbanas serão de 10% e as mínimas de
0,5%. Poder-se-ão admitir declividades até 15% mediante cabal
demonstração de impossibilidade prática de atendimento”. Ainda com
relação à mesma Lei, em seu Art. 275, fica determinado que: “Nos
loteamentos não se admitirão lotes para fins habitacionais ou reservados
para equipamentos comunitários em terrenos de declividade superior a 30%
salvo quando nas faixas ribeirinhas e nas áreas oficialmente declaradas
estâncias hidrominerais”.
89
4 NOÇÕES DE TERRAPLANAGEM
Terraplanagem ou terraplenagem compreende o conjunto de
operações de escavação, transporte, deposição e compactação de terras
necessárias para realização de uma obra. Dependendo dos volumes de corte
e aterro envolvidos, e do tipo de equipamento utilizado temos:
terraplanagem manual, terraplanagem mecanizada e terraplanagem
compensada:
a) Terraplanagem manual: quando utiliza equipamentos manuais e
rudimentares como pá, picareta, enxada e veículos de tração animal
para o transporte do material envolvido;
b) Terraplanagem mecanizada: quando emprega máquinas e veículos
especializados como bowldozers, scrapers, motoniveladora, pá
carregadeira, caminões fora-de-estrada, rôlo pé-de-carneiro, rôlo liso de
aço, rôlo vibratório, rôlo pneumático etc...
c) Terraplanagem compensada: quando há equivalência entre os volumes
escavados e aterrados, resultando em um mínimo de material para bota-
fora ou empréstimo.
No processo de escavação e aterro de uma obra de terraplanagem,
surgem os TALUDES ARTIFICIAIS, que são as superfícies inclinadas
próximas a obras civís lineares, mineração, etc. Distinguem-se dos taludes
naturais que são as superfícies inclinadas do relevo.
Nos projetos de terraplanagem estes taludes artificiais são especificados
através da inclinação a ser adotada, a qual deverá ser compatível com a
resistência mecânica do material envolvido. Ela é expressa através da
relação entre o desnível de dois pontos situados sobre a superfície do
talude, e a distância horizontal entre eles. Assim, temos taludes 2:1, 1:1,
3:1, 1:2, 1:3 etc (Figura 15).
90
Figura 15: Exemplos de taludes de corte e aterro.
Os pontos P e T são as interseções da superfície de corte ou aterro
com a superfície topográfica. Definem o pé e o topo do talude. A união de
todos os pontos do topo resulta na linha de “off-set”, que servirá de
orientação para o operador de máquinas ao iniciar o corte. Os taludes de
aterro, em geral, são mais abatidos e portanto o numerador é sempre menor
que o denominador na fórmula de especificação (letra c da Figura 15).
O ângulo “α” ( inclinação do talude ) pode ser calculado através do
arctgα. Assim, por exemplo, o ângulo do talude exemplificado na letra “a”
da Figura 15 será:
Arctgα =
1
2
= 63o
26’05”
Taludes com ângulo de inclinação muito acentuado são escavados
em rochas ( Figura 16 ). Assim, por exemplo, temos taludes 4:1, 5:1 etc..,
cujos ângulos de inclinação correspondem a 75o
57’49” e 78o
41’24”
respectivamente. Quando escavados em solo ou rocha alterada, são mais
abatidos, isto é, o seu ângulo de inclinação é menor, resultando em taludes
1:1, 1:0,7, 1:2. A Figura 17 mostra um talude escavado em solo no Km 06
da BR-174
91
Figura 16: Taludes escavados em rocha em uma mina de calcário
Foto: Bento, 1993.
Figura 17: Talude escavado em solo no Km 06 da BR-174
Foto: Bento, 1998.
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica
Topografia básica

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Topografia unidade 2 planimetria
Topografia unidade 2 planimetriaTopografia unidade 2 planimetria
Topografia unidade 2 planimetria
vanilsonsertao01
 
Relatório final de topografia
Relatório final de topografiaRelatório final de topografia
Relatório final de topografia
Nuno Almeida
 
Altimetria perfis e_curvas_de_nivel
Altimetria perfis e_curvas_de_nivelAltimetria perfis e_curvas_de_nivel
Altimetria perfis e_curvas_de_nivel
Professor Renato Mascarenhas
 
Topografia basica
Topografia basicaTopografia basica
Topografia basica
Thalles Barbosa
 
Topografia aula01
Topografia aula01Topografia aula01
Topografia aula01
Cleide Soares
 
Topografia para arquitetos
Topografia para arquitetosTopografia para arquitetos
Topografia para arquitetos
Urban Acabamentos
 
Nbr 7181 1984 - solo - análise granulométrica
Nbr 7181   1984 - solo - análise granulométricaNbr 7181   1984 - solo - análise granulométrica
Nbr 7181 1984 - solo - análise granulométrica
Chrystian Santos
 
Calculo de rumos e azimutes2
Calculo de rumos e azimutes2Calculo de rumos e azimutes2
Calculo de rumos e azimutes2
botelho_19
 
10 Propriedades Físicas do Solo-aula
10 Propriedades Físicas do Solo-aula10 Propriedades Físicas do Solo-aula
10 Propriedades Físicas do Solo-aula
Romulo Vinicius Tio Rominho
 
Aula Hidrologia - Método Racional
Aula Hidrologia - Método RacionalAula Hidrologia - Método Racional
Aula Hidrologia - Método Racional
Lucas Sant'ana
 
Nbr 13133
Nbr 13133Nbr 13133
Nbr 13133
Hudson777
 
Unidade 3 Projeto de terraplenagem
Unidade 3   Projeto de terraplenagemUnidade 3   Projeto de terraplenagem
Unidade 3 Projeto de terraplenagem
Alexandre Esmeraldo
 
Relatório de levantamento topográfico planimétrico
Relatório de levantamento topográfico planimétricoRelatório de levantamento topográfico planimétrico
Relatório de levantamento topográfico planimétrico
luancaio_aguas
 
terraplanagem
terraplanagemterraplanagem
terraplanagem
As Máquinas Pesadas
 
Aula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 c
Aula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 cAula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 c
Aula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 c
Lucas Barbosa
 
Nbr 15220 - Desempenho térmico de edificações
Nbr 15220 - Desempenho térmico de edificaçõesNbr 15220 - Desempenho térmico de edificações
Nbr 15220 - Desempenho térmico de edificações
Patricia Lopes
 
agregados
agregados agregados
agregados
Paulo Cabral
 
3.2 índices físicos
3.2 índices físicos3.2 índices físicos
3.2 índices físicos
Cibélly Grassmann
 
Glauco exercicios resolvidos (1)
Glauco exercicios resolvidos (1)Glauco exercicios resolvidos (1)
Glauco exercicios resolvidos (1)
Amália Ribeiro
 
Classificação granulométrica do solo
Classificação granulométrica do soloClassificação granulométrica do solo
Classificação granulométrica do solo
Mariani Cancellier
 

Mais procurados (20)

Topografia unidade 2 planimetria
Topografia unidade 2 planimetriaTopografia unidade 2 planimetria
Topografia unidade 2 planimetria
 
Relatório final de topografia
Relatório final de topografiaRelatório final de topografia
Relatório final de topografia
 
Altimetria perfis e_curvas_de_nivel
Altimetria perfis e_curvas_de_nivelAltimetria perfis e_curvas_de_nivel
Altimetria perfis e_curvas_de_nivel
 
Topografia basica
Topografia basicaTopografia basica
Topografia basica
 
Topografia aula01
Topografia aula01Topografia aula01
Topografia aula01
 
Topografia para arquitetos
Topografia para arquitetosTopografia para arquitetos
Topografia para arquitetos
 
Nbr 7181 1984 - solo - análise granulométrica
Nbr 7181   1984 - solo - análise granulométricaNbr 7181   1984 - solo - análise granulométrica
Nbr 7181 1984 - solo - análise granulométrica
 
Calculo de rumos e azimutes2
Calculo de rumos e azimutes2Calculo de rumos e azimutes2
Calculo de rumos e azimutes2
 
10 Propriedades Físicas do Solo-aula
10 Propriedades Físicas do Solo-aula10 Propriedades Físicas do Solo-aula
10 Propriedades Físicas do Solo-aula
 
Aula Hidrologia - Método Racional
Aula Hidrologia - Método RacionalAula Hidrologia - Método Racional
Aula Hidrologia - Método Racional
 
Nbr 13133
Nbr 13133Nbr 13133
Nbr 13133
 
Unidade 3 Projeto de terraplenagem
Unidade 3   Projeto de terraplenagemUnidade 3   Projeto de terraplenagem
Unidade 3 Projeto de terraplenagem
 
Relatório de levantamento topográfico planimétrico
Relatório de levantamento topográfico planimétricoRelatório de levantamento topográfico planimétrico
Relatório de levantamento topográfico planimétrico
 
terraplanagem
terraplanagemterraplanagem
terraplanagem
 
Aula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 c
Aula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 cAula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 c
Aula 7 [projeções ortogonais des té capitulo 2 c
 
Nbr 15220 - Desempenho térmico de edificações
Nbr 15220 - Desempenho térmico de edificaçõesNbr 15220 - Desempenho térmico de edificações
Nbr 15220 - Desempenho térmico de edificações
 
agregados
agregados agregados
agregados
 
3.2 índices físicos
3.2 índices físicos3.2 índices físicos
3.2 índices físicos
 
Glauco exercicios resolvidos (1)
Glauco exercicios resolvidos (1)Glauco exercicios resolvidos (1)
Glauco exercicios resolvidos (1)
 
Classificação granulométrica do solo
Classificação granulométrica do soloClassificação granulométrica do solo
Classificação granulométrica do solo
 

Destaque

Apostila de topografia
Apostila de topografiaApostila de topografia
Apostila de topografia
Ariosto Nascimento
 
Topografia - Apostila pratica [1]
Topografia - Apostila pratica [1]Topografia - Apostila pratica [1]
Topografia - Apostila pratica [1]
Carlos Elson Cunha
 
Apost topografia
Apost topografiaApost topografia
Apostila2 Topografia
Apostila2 TopografiaApostila2 Topografia
Apostila2 Topografia
Roberta Moraes Martins
 
Introdução geral à topografia
Introdução geral à topografiaIntrodução geral à topografia
Introdução geral à topografia
Pessoal
 
Aula de Topografia
Aula de TopografiaAula de Topografia
Aula de Topografia
Gilson Lima
 
Aula 1 e 2 topografia
Aula 1 e 2   topografiaAula 1 e 2   topografia
Aula 1 e 2 topografia
LorenaAlencarRodrigues
 
Apostila Desenho Técnico,Cartografia e Topografia
Apostila Desenho Técnico,Cartografia e TopografiaApostila Desenho Técnico,Cartografia e Topografia
Apostila Desenho Técnico,Cartografia e Topografia
Professor Renato Mascarenhas
 
Apostila topografia fasb 2010
Apostila topografia fasb 2010Apostila topografia fasb 2010
Apostila topografia fasb 2010
FACULDADE SÃO FRANCISCO DE BARREIRAS - FASB
 
Desenho topográfico(2)
Desenho topográfico(2)Desenho topográfico(2)
Desenho topográfico(2)
Roseane de Jesus
 
Curso topografia basica jun13_rocha
Curso topografia basica jun13_rochaCurso topografia basica jun13_rocha
Curso topografia basica jun13_rocha
Alexandre Rocha
 
Caderno de exercícios resolvidos
Caderno de exercícios resolvidosCaderno de exercícios resolvidos
Caderno de exercícios resolvidos
Simone Flores
 
Apostila topografia nova
Apostila topografia novaApostila topografia nova
Apostila topografia nova
Professor Renato Mascarenhas
 
Topografia apostila-2010-1
Topografia apostila-2010-1Topografia apostila-2010-1
Topografia apostila-2010-1
afonso zobeto
 
Aula 8 métodos de levantamento de detalhes - avaliações de áreas(2)
Aula 8    métodos de levantamento de detalhes  - avaliações de áreas(2)Aula 8    métodos de levantamento de detalhes  - avaliações de áreas(2)
Aula 8 métodos de levantamento de detalhes - avaliações de áreas(2)
Felipe Serpa
 
Apostila de topografia ii boa
Apostila de topografia ii boaApostila de topografia ii boa
Apostila de topografia ii boa
Gislan Rocha
 
Apostila topografia com exercicios sobre declinacao magnetica
Apostila topografia com exercicios sobre declinacao magneticaApostila topografia com exercicios sobre declinacao magnetica
Apostila topografia com exercicios sobre declinacao magnetica
Paula Aguiar Ufba Doc Zoo
 
Manual do Arquiteto Descalço_Parte1
Manual do Arquiteto Descalço_Parte1Manual do Arquiteto Descalço_Parte1
Manual do Arquiteto Descalço_Parte1
Urban Acabamentos
 
Curvas de nível
Curvas de nívelCurvas de nível
Curvas de nível
fernando-tn
 
Unidades de Medidas e Angulares
Unidades de Medidas e AngularesUnidades de Medidas e Angulares
Unidades de Medidas e Angulares
Eduardo Andreoli
 

Destaque (20)

Apostila de topografia
Apostila de topografiaApostila de topografia
Apostila de topografia
 
Topografia - Apostila pratica [1]
Topografia - Apostila pratica [1]Topografia - Apostila pratica [1]
Topografia - Apostila pratica [1]
 
Apost topografia
Apost topografiaApost topografia
Apost topografia
 
Apostila2 Topografia
Apostila2 TopografiaApostila2 Topografia
Apostila2 Topografia
 
Introdução geral à topografia
Introdução geral à topografiaIntrodução geral à topografia
Introdução geral à topografia
 
Aula de Topografia
Aula de TopografiaAula de Topografia
Aula de Topografia
 
Aula 1 e 2 topografia
Aula 1 e 2   topografiaAula 1 e 2   topografia
Aula 1 e 2 topografia
 
Apostila Desenho Técnico,Cartografia e Topografia
Apostila Desenho Técnico,Cartografia e TopografiaApostila Desenho Técnico,Cartografia e Topografia
Apostila Desenho Técnico,Cartografia e Topografia
 
Apostila topografia fasb 2010
Apostila topografia fasb 2010Apostila topografia fasb 2010
Apostila topografia fasb 2010
 
Desenho topográfico(2)
Desenho topográfico(2)Desenho topográfico(2)
Desenho topográfico(2)
 
Curso topografia basica jun13_rocha
Curso topografia basica jun13_rochaCurso topografia basica jun13_rocha
Curso topografia basica jun13_rocha
 
Caderno de exercícios resolvidos
Caderno de exercícios resolvidosCaderno de exercícios resolvidos
Caderno de exercícios resolvidos
 
Apostila topografia nova
Apostila topografia novaApostila topografia nova
Apostila topografia nova
 
Topografia apostila-2010-1
Topografia apostila-2010-1Topografia apostila-2010-1
Topografia apostila-2010-1
 
Aula 8 métodos de levantamento de detalhes - avaliações de áreas(2)
Aula 8    métodos de levantamento de detalhes  - avaliações de áreas(2)Aula 8    métodos de levantamento de detalhes  - avaliações de áreas(2)
Aula 8 métodos de levantamento de detalhes - avaliações de áreas(2)
 
Apostila de topografia ii boa
Apostila de topografia ii boaApostila de topografia ii boa
Apostila de topografia ii boa
 
Apostila topografia com exercicios sobre declinacao magnetica
Apostila topografia com exercicios sobre declinacao magneticaApostila topografia com exercicios sobre declinacao magnetica
Apostila topografia com exercicios sobre declinacao magnetica
 
Manual do Arquiteto Descalço_Parte1
Manual do Arquiteto Descalço_Parte1Manual do Arquiteto Descalço_Parte1
Manual do Arquiteto Descalço_Parte1
 
Curvas de nível
Curvas de nívelCurvas de nível
Curvas de nível
 
Unidades de Medidas e Angulares
Unidades de Medidas e AngularesUnidades de Medidas e Angulares
Unidades de Medidas e Angulares
 

Semelhante a Topografia básica

LIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdf
LIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdfLIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdf
LIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdf
TAYANEMOURA4
 
Estatistica descritiva ii
Estatistica descritiva iiEstatistica descritiva ii
Estatistica descritiva ii
simuladocontabil
 
086 patricia bastos-kammradt
086 patricia bastos-kammradt086 patricia bastos-kammradt
086 patricia bastos-kammradt
Leidiane De Aguiar Cruz
 
Dt 6-especificação de motores de alta tensão
Dt 6-especificação de motores de alta tensãoDt 6-especificação de motores de alta tensão
Dt 6-especificação de motores de alta tensão
Cleuber Martins
 
Aços
AçosAços
Aços
Cleber1965
 
Topografia
TopografiaTopografia
Topografia
manusteen
 
Quantica aplicadascript
Quantica aplicadascriptQuantica aplicadascript
Quantica aplicadascript
Carlos Henrique Henrique
 
Apostilha8
Apostilha8Apostilha8
Apostilha8
Rauliane Rabelo
 
Projeto de instalaces eltricas
Projeto de instalaces eltricasProjeto de instalaces eltricas
Projeto de instalaces eltricas
Cristiano Dias
 
Sumário
SumárioSumário
Sumário
marcosbellacruz
 
Exercicios de estatistica resolvido.5
Exercicios de estatistica resolvido.5Exercicios de estatistica resolvido.5
Exercicios de estatistica resolvido.5
Antonio Mankumbani Chora
 
Estudo requalifvalorizbarrinhaesmoriz
Estudo requalifvalorizbarrinhaesmorizEstudo requalifvalorizbarrinhaesmoriz
Estudo requalifvalorizbarrinhaesmoriz
Cidade de Esmoriz
 
Manual ft 8900-r
Manual ft 8900-rManual ft 8900-r
Manual ft 8900-r
ruiv
 
Apostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analiticaApostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analitica
Andrei Bastos
 
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...
Silvio Gomes
 
gaalt0.pdf
gaalt0.pdfgaalt0.pdf
gaalt0.pdf
deboravitoria14
 
Matemática iv
Matemática ivMatemática iv
Matemática iv
Miguel Jorge Neto Mjoe
 
Direito civil_O
Direito civil_ODireito civil_O
Direito civil_O
JuniorMarinho7
 
Apostila rm2
Apostila rm2Apostila rm2
Apostila rm2
Nubia Bergamini
 
Apostila completa eletricidade
Apostila completa eletricidadeApostila completa eletricidade
Apostila completa eletricidade
Herbert Castro de Oliveira
 

Semelhante a Topografia básica (20)

LIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdf
LIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdfLIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdf
LIVRO_INTRODUÇÃO AO R.pdf
 
Estatistica descritiva ii
Estatistica descritiva iiEstatistica descritiva ii
Estatistica descritiva ii
 
086 patricia bastos-kammradt
086 patricia bastos-kammradt086 patricia bastos-kammradt
086 patricia bastos-kammradt
 
Dt 6-especificação de motores de alta tensão
Dt 6-especificação de motores de alta tensãoDt 6-especificação de motores de alta tensão
Dt 6-especificação de motores de alta tensão
 
Aços
AçosAços
Aços
 
Topografia
TopografiaTopografia
Topografia
 
Quantica aplicadascript
Quantica aplicadascriptQuantica aplicadascript
Quantica aplicadascript
 
Apostilha8
Apostilha8Apostilha8
Apostilha8
 
Projeto de instalaces eltricas
Projeto de instalaces eltricasProjeto de instalaces eltricas
Projeto de instalaces eltricas
 
Sumário
SumárioSumário
Sumário
 
Exercicios de estatistica resolvido.5
Exercicios de estatistica resolvido.5Exercicios de estatistica resolvido.5
Exercicios de estatistica resolvido.5
 
Estudo requalifvalorizbarrinhaesmoriz
Estudo requalifvalorizbarrinhaesmorizEstudo requalifvalorizbarrinhaesmoriz
Estudo requalifvalorizbarrinhaesmoriz
 
Manual ft 8900-r
Manual ft 8900-rManual ft 8900-r
Manual ft 8900-r
 
Apostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analiticaApostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analitica
 
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...
 
gaalt0.pdf
gaalt0.pdfgaalt0.pdf
gaalt0.pdf
 
Matemática iv
Matemática ivMatemática iv
Matemática iv
 
Direito civil_O
Direito civil_ODireito civil_O
Direito civil_O
 
Apostila rm2
Apostila rm2Apostila rm2
Apostila rm2
 
Apostila completa eletricidade
Apostila completa eletricidadeApostila completa eletricidade
Apostila completa eletricidade
 

Mais de Bowman Guimaraes

Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Bowman Guimaraes
 
1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
Bowman Guimaraes
 
1 ciclo rankine (1)
1  ciclo rankine (1)1  ciclo rankine (1)
1 ciclo rankine (1)
Bowman Guimaraes
 
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêaLivro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Bowman Guimaraes
 
1 ciclo rankine
1  ciclo rankine1  ciclo rankine
1 ciclo rankine
Bowman Guimaraes
 
Livro de topográfia
Livro de topográfiaLivro de topográfia
Livro de topográfia
Bowman Guimaraes
 
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêaLivro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
Bowman Guimaraes
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5
Bowman Guimaraes
 
Materiais de construção básico
Materiais de construção básicoMateriais de construção básico
Materiais de construção básico
Bowman Guimaraes
 
Livro de topográfia
Livro de topográfiaLivro de topográfia
Livro de topográfia
Bowman Guimaraes
 
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Bowman Guimaraes
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Bowman Guimaraes
 
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Bowman Guimaraes
 
Tecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil iTecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil i
Bowman Guimaraes
 
1 ciclo rankine
1  ciclo rankine1  ciclo rankine
1 ciclo rankine
Bowman Guimaraes
 

Mais de Bowman Guimaraes (20)

Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
 
1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos1. elementos básicos dos fluidos
1. elementos básicos dos fluidos
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
 
1 ciclo rankine (1)
1  ciclo rankine (1)1  ciclo rankine (1)
1 ciclo rankine (1)
 
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêaLivro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
 
1 ciclo rankine
1  ciclo rankine1  ciclo rankine
1 ciclo rankine
 
Livro de topográfia
Livro de topográfiaLivro de topográfia
Livro de topográfia
 
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêaLivro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
Livro+topografia+aplicada+à+engenharia+civil+ +iran+carlos+stalliviere+corrêa
 
Economia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civilEconomia aplicada a eng. civil
Economia aplicada a eng. civil
 
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5
Www.uff.br gma informacoes disciplinas_calc 03 -a- 2012-2_lista 5
 
Materiais de construção básico
Materiais de construção básicoMateriais de construção básico
Materiais de construção básico
 
Livro de topográfia
Livro de topográfiaLivro de topográfia
Livro de topográfia
 
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008
 
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilEconomia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civil
 
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
Pessoal.utfpr.edu.br heidemann arquivos_apostilade_precalculodiferencialeinte...
 
Tecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil iTecnicas de construção civil i
Tecnicas de construção civil i
 
1 ciclo rankine
1  ciclo rankine1  ciclo rankine
1 ciclo rankine
 

Topografia básica

  • 1. TOPOGRAFIA BÁSICA PARA ENGENHEIROS E ARQUITETOS Antonio Henriques Bento Rosane Maciel Vargas Manaus Agosto/1999
  • 2. SUMÁRIO 1 HISTÓRICO ........................................................................................... 1 2 TOPOGRAFIA ....................................................................................... 3 2.1 Levantamento topográfico ................................................................. 4 A. Expedito ....................................................................................... 4 B. Comum ......................................................................................... 5 C. Precisão ........................................................................................ 5 2.2 Divisões da Topografia ..................................................................... 6 A. Topometria ................................................................................... 6 A1. Planimetria ........................................................................... 6 A2. Altimetria ............................................................................. 6 B. Topologia ..................................................................................... 6 2.3 Partes de um trabalho de Topografia ................................................ 6 2.3.1 Parte Matemática ..................................................................... 6 2.3.2 Parte Interpretativa .................................................................. 6 2.3.3 Parte Artística .......................................................................... 6 2.4 Unidades de Medida ......................................................................... 8 2.4.1 Medida de distância ................................................................. 8 2.4.2 Medida de superfície ................................................................ 9 2.4.3 Medida de volume .................................................................. 10 2.4.4 Medida de massa .................................................................... 10 2.4.5 Medida de ângulo ................................................................... 11 A. Sistema Centesimal de divisão de áreas .......................... 11 B. Sistema sexagesimal de divisão de arcos ......................... 11 C. Radiano ............................................................................ 11 D. Milésimo .......................................................................... 12 2.5 Medição de ângulos ......................................................................... 13
  • 3. 2.5.1 Ângulos Azimutais ................................................................. 14 A. Rumos .............................................................................. 15 B. Azimutes .......................................................................... 16 B1. Contrazimute ou azimute à ré ................................... 17 B2. Relações existentes entre azimute e contrazimute .... 17 2.5.2 Ângulos goniométricos .......................................................... 20 A. Ângulo de flexão .............................................................. 21 B. Ângulo de deflexão .......................................................... 21 C. Sentido dos ângulos goniométricos ................................. 22 2.5.3 Ângulos azimutais x ângulos goniométricos ......................... 22 2.5.4 Cálculo de rumos e azimutes a partir de ângulos goniométricos ................................................................................................ 23 2.5.4.1 Fórmula geral dos azimutes ...................................... 26 A. Fórmula geral para ângulos de flexão .................. 26 B. Fórmula geral para ângulos de deflexão .............. 28 2.5.5 Limites do azimute ................................................................. 28 2.6 Medidas de distância ....................................................................... 31 2.6.1 Processos de medida direta .................................................... 31 A. Processos de baixa precisão ............................................... 31 B. Processos de média precisão .............................................. 32 C. Processos de alta precisão .................................................. 32 2.6.2 Técnica de Medida com Trena ............................................... 33 2.6.3 Técnica de Medidas Indiretas ................................................. 34 2.7 Métodos de Levantamento Topográfico ......................................... 35 2.7.1 Método do Caminhamento Perimétrico ou Método da Poligonal.............................................................................. 35 2.7.2 Método da Irradiação ............................................................. 37 2.7.3 Cálculo da Poligonal .............................................................. 38
  • 4. A. Poligonal Aberta .............................................................. 38 A.1 Cálculo das Coordenadas dos Pontos ...................... 39 A.2 Regras para a Correção de Ângulos Internos .......... 41 B. Poligonal Fechada ............................................................ 41 B.1 Cálculo do Erro Linear Relativo ( Er ) ..................... 42 B.2 Cálculo dos Fatores de Correção .............................. 43 B.3 Cálculo da Área de Poligonais Fechadas através das Coordenadas de seus vértices .................................. 45 B.3.1 Fórmula de Gauss ............................................ 45 2.7.4 Método da Interseção ............................................................. 46 2.7.5 Método das Coordenadas Retangulares ................................. 50 A. Aplicação .......................................................................... 50 B. Precisão ............................................................................ 51 2.8 Levantamento dos Detalhes ............................................................ 51 2.8.1 Definição dos Detalhes ........................................................... 51 2.8.2 Método de Levantamento de Detalhes ................................... 52 2.9 Áreas Extra Poligonais .................................................................... 53 2.9.1 Cálculo da Área Extra Poligonal ............................................ 53 A. Método Analítico .............................................................. 53 A.1 Fórmula dos Trapézios ou de Bezout ....................... 53 A.2 Fórmula de Simpson ................................................ 54 A.3 Fórmula de Poncelet ................................................. 54 3 ALTIMETRIA ..................................................................................... 57 3.1 Cotas e Altitudes ............................................................................. 57 3.2 Diferença de Nível .......................................................................... 57 3.3 Referência de Nível ......................................................................... 58 3.4 Nivelamento .................................................................................... 58 3.5 Tipos de Nivelamento ..................................................................... 59
  • 5. 3.5.1 Nivelamento Barométrico ...................................................... 59 3.5.2 Nivelamento Trigonométrico ................................................. 60 3.5.3 Nivelamento Geométrico ....................................................... 62 3.5.3.1 Material Utilizado ..................................................... 62 A. Níveis ................................................................... 62 B. Miras .................................................................... 63 3.5.3.2 Princípio do Levantamento Geométrico ................... 63 3.5.3.3 Tipos de Nivelamento Geométrico ........................... 64 A. Nivelamento Geométrico Simples .................... 64 B. Nivelamento Geométrico Composto ................ 66 3.5.4 Erro de Nivelamento ............................................................. 68 3.5.5 Planilha de Nivelamento ....................................................... 68 3.5.6 Verificação do Cálculo da Planilha ....................................... 70 3.6 Curvas de nível ............................................................................. 73 3.6.1 Traçado das Curvas de Nível ............................................... 75 3.6.2 Interpolação ......................................................................... 77 3.6.3 Determinação dos Pontos de Cota Inteira ........................... 78 3.7 Elaboração de um Perfil Topográfico a partir da Planta Topográfica com Curvas de Nível .................................................................... 83 3.8 Determinação da Cota de um Ponto situado entre Curvas de Nível ........................................................................................................ 84 3.9 Elaboração de um Perfil Topográfico a partir de pontos Nivelados ....................................................................................................... 86 3.10 Determinação da Declividade entre dois Pontos ........................ 87 4 NOÇÕES DE TERRAPLANAGEM ...................................................89 4.1 Cálculo de Volumes ........................................................................ 92 4.1.1 Método de Perfis Paralelos Equidistantes .............................. 92 4.1.2 Método das Curvas de Nível .................................................. 94
  • 6. 4.2 Traçado da Linha de OFF-SET de um talude .................................. 96 5 NOÇÕES DE GEODÉSIA................................................................. 100 5.1 Transporte de Coordenadas ........................................................... 102 5.1.1 Classificação das Triangulações ........................................... 103 5.1.2 Triangulação Geodésica ....................................................... 105 5.1.3 Determinação do Excesso Esférico ...................................... 106 5.2 Trilateração .................................................................................... 108 5.3 Convergência Meridiana ............................................................... 109 6 EXEMPLO DE UM LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO.......... 113 7 MEMORIAL DESCRITIVO............................................................. 114 7.1 Modelo I de Memorial Descritivo ................................................. 114 7.2 Modelo II de Memorial Descritivo ................................................ 115 7.3 Modelo III de Memorial Descritivo .............................................. 116 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA...................................................... 118
  • 7. 1 1 HISTÓRICO Os instrumentos e processos utilizados para cadastramento de propriedades rurais nos foram passados pelos egípcios, gregos e árabes. Plantas, cartas militares e geográficas, organizadas nos primórdios da Topografia, são mencionadas por Laussedat em sua obra “História da Topografia”( Espartel, 1978 ). Segundo Espartel ( op.cit. ), o desenvolvimento da Matemática e da Física nos últimos séculos, possibilitaram a passagem da topografia do empirismo às bases de uma autêntica ciência. O primeiro trabalho topográfico realizado com técnica e estilo próprio, foi a Carta da França compilada pelo cartógrafo italiano Cassini e publicada no início do século XIX pela Academia Francesa. O progresso dos métodos desenvolvidos pela Topografia teve contribuição eficiente do engenheiro suiço Henrique Wild, do geodesista italiano Ignazio Porro, de Carl Zeiss e outros, cujos estudos resultaram na introdução dos aperfeiçoamentos da mecânica de precisão nos instrumentos topográficos. Ademais, os apefeiçoamentos na parte ótica dos instrumentos, por Kepler, Porro, Zeiss e Wild; os avanços nas técnicas de medida direta das distâncias, por Porro, Bessel e Jäderin; melhorias na precisão da leitura de ângulos, devidas a Vernier, Nonius, Zeiss e Wild; os progressos nos levantamentos topográficos devidos a Pothénot, Snellius, Hansen e na avaliação mecânica das áreas devidas aos aparelhos Amsler, Coradi e outros, deram à Topografia o valor que ela tem como ciência e como técnica no levantamento topométrico preciso do terreno e na representação gráfica equivalente, servindo como apoio de qualquer trabalho de Engenharia e Agrimensura ( Espartel, op. cit.). Assim, o projeto de qualquer obra de Engenharia, Arquitetura ou Agronomia, tem como subsídio o prévio levantamento topográfico do lugar onde será implantada.
  • 8. 2 A importância da Topografia fica evidente na boa administração das terras públicas ou particulares, bem como no estudo, projeto e planejamento das diversas atividades antrópicas, que exigem o conhecimento do terreno, e este pode ser representado numa planta topográfica com suas formas e dimensões, por meio de convenções pré- estabelecidas sempre tendo em vista a escala da planta.
  • 9. 3 2 TOPOGRAFIA Etimologicamente o significado da palavra TOPOGRAFIA é “descrição do lugar”. Segundo Mesquita ( 1969 ), a topografia pode ser considerada um capítulo de uma área de conhecimento mais geral, a GEODÉSIA, cujo objetivo é o estudo da forma e dimensões da Terra. A Geodésia se ocupa dos processos de medida e especificação para o levantamento da superfície de um Estado ou de um País, projetada sobre uma superfície de referência que é a de um Elipsóide de Revolução. Este Elipsóide, girando em torno de seu eixo menor, é a forma geometricamente definida por dois parâmetros, mais próxima da figura da Terra ( Figura 01a ). As dimensões adotadas para o Elipsóide Internacional de Referência são: a = 6.378.388m ( semi-eixo maior ); b = 6.356.911,946m ( semi-eixo menor ) 3 2 ba + = 6.371.229m ( raio médio ); oachatament a ba f == − = 297 1 O Geóide é a figura ideal caracterizada pela superfície de nível médio dos mares prolongada através dos continentes. Esta superfície prolongada, devido à Lei de Newton, da atração das massas, tende a elevar- se em relação ao Elipsóide à medida que se aproxima e penetra nos continentes, e a aprofundar-se à medida que se afasta dos continentes e penetra nas bacias oceânicas.
  • 10. 4 Topografia: até 50 Km de diâmetro Figura 01a: Superfícies do Elipsóide, do Geóide e Topográfica (Mesquita, 1969 ) Em Topografia, o Geóide se confunde com o Elipsóide de Referência, o qual se confunde com uma esfera osculadora regional cuja superfície, numa extensão limitada, funde-se com a de um plano tangente que é o Plano Topográfico. A topografia é uma ciência aplicada de âmbito restrito, que se baseia nos princípios da Geometria e da Trigonometria Plana. 2.1Levantamento Topográfico Conjunto de operações de campo e escritório, necessários para a representação de contornos de áreas e posição de pontos existentes na superfície terrestre. O levantamento topográfico pode ser: A – Expedito: é um trabalho de reconhecimento da área, utilizando-se aparelhos e instrumentos que conduzem à resultados de pouca precisão. O levantamento expedito de um lote, por exemplo, consiste em efetuarmos a medida de todos os seus lados com uma trena e balizas para não perdermos o alinhamento no caso de mais de uma trenada para medida dos lados ou das diagonais. Em seguida, medimos uma de suas diagonais. Com este
  • 11. 5 procedimento obtemos as medidas dos lados de dois triângulos, o que facilita a reprodução em escala, uma vez que um triângulo fica perfeitamente identificado com o conhecimento das dimensões de seus três lados ( Figura 01b). Figura 01b: Levantamento expedito de um lote No exemplo da Figura 01b, o lote ABCD teve os lados AB, BC, CD, DA e a diagonal AC, medidos com uma trena. Com este procedimento o quadrilátero ABCD fica dividido nos triângulos CDA e ABC. Com o auxílio de um compasso, desenhamos os dois triângulos com o seguinte procedimento: a) Traçamos, na escala escolhida, o lado DC; b) Com a ponta seca em D e abertura DA, traçamos um arco de circunferência; c) Agora com a ponta seca em C e abertura CA, traçamos outro arco de circunferência que no cruzamento com o arco anterior determinará o vértice A. Até aquí já temos o triângulo CDA; d) Com a ponta seca em C e abertura CB traça-se novamente um arco de circunferência; e) Por fim, com a ponta seca em A e abertura AB, traçamos o arco de circunferência que cruzará com o do ítem d determinando o vértice B. A união de A com B e C com B, resultará no lote que foi medido. B – Comum: é o mais utilizado nos trabalhos topográficos utilizando aparelhos e instrumentos que conduzem a resultados de média precisão, porém, suficiente para a grande maioria dos trabalhos de engenharia. C – Precisão: é utilizado em alguns trabalhos especiais e, ainda, quando tivermos com grandes áreas para levantamento.
  • 12. 6 NBR 13133/94 Execução dos Levantamentos Topográficos 2.2 Divisões da Topografia A - Topometria B - Topologia A - Topometria: compreende o conjunto de operações necessárias a obtenção de elementos indispensáveis a representação gráfica do terreno. A.1 Planimetria: é a parte da topometria que estuda todas as projeções dos contornos e pontos medidos que são representados em um plano horizontal, sem considerar o relevo do terreno. A.2 Altimetria: é a parte da topometria que trata do relevo da superfície terrestre, onde são medidas as alturas dos pontos definidos pela planimetria em relação à um plano de referência de nível. RN B - Topologia: é a parte que se dedica ao estudo das formas do terreno e das leis que regem seu modelado. 2.3 Partes de um Trabalho de Topografia A ) Parte Matemática: Topometria com as medições de distâncias e ângulos nos planos horizontal e vertical; B ) Parte Interpretativa: Topologia com a descrição e interpretação das diversas formas de relevo; C ) Parte Artística: Desenho topográfico com a representação de todos os detalhes do terreno, mediante convenções. Tais detalhes são: divisas, áreas florestadas, rios, estradas, povoações etc. O desenho de qualquer porção da superfície terreste, que normalmente representamos em um papel, é sempre feito mediante a utilização de um fator de redução que denominamos de ESCALA. A ESCALA nada mais é que uma razão entre dimensão gráfica e dimensão real, que analiticamente representamos por: D d E = , onde: E = Escala; d = dimensão gráfica; D = Dimensão real. A topometria se divide em duas partes: A.1 Planimetria, e A.2 Altimetria
  • 13. 7 A razão D d é usualmente utilizada nos cálculos para resolução de problemas que envolvem escalas. Quando as dimensões gráficas e reais são referentes a superfície ( área ) ou volume, a mesma expressão é utilizada na resolução de problemas, porém elevada ao quadrado ou ao cubo respectivamente, como por exemplo: ( ) A a E = 2 ou ( ) V v E = 3 , onde : a = área gráfica, A = área real, v = volume nas dimensões do desenho, V= volume nas dimensões reais. Comumente representamos uma escala na forma de uma fração que tem para numerador a unidade e para denominador o número que representa quantas vezes a dimensão real, D, foi reduzida para poder ser representada num papel de dimensão padronizada ( A2, A3, A4 etc...). Todavia, também é frequente representar a escala na forma de divisão, onde o primeiro número, a unidade, é separada do número redutor por dois pontos, por exemplo: 250 1 =E ou E = 1:250, o que significa que cada centímetro no papel representa 250 centímetros de dimensão real. Se este um centímetro no papel for a extensão de uma parede, significa que a parede verdadeira, terá 250 centímetros de dimensão real, ou 2,50 metros. Ao se procurar determinar uma escala a partir do conhecimento das duas dimensões, d e D, é importante que ambas sejam escritas na mesma unidade de medida, ou seja: se d for escrito em centímetro, D também deverá sê-lo; se d, for escrito em milímetro, da mesma forma será D. Isto porque a Escala é um número adimensional, isto é, não tem unidade. As escalas também são representadas nas formas gráficas: simples e de transversais. A Figura 01c mostra uma escala gráfica simples, através da qual podemos determinar imediatamente o comprimento real de um segmento AB qualquer de uma planta mediante o seguinte procedimento: com um compasso de ponta seca determina-se a abertura AB que comparada na escala gráfica nos fornece diretamente o comprimento real. Na Figura 01c este comprimento é de aproximadamente 13,4km.
  • 14. 8 Figura 01c: Escala gráfica simples ( Mesquita, 1969 ). A Figura 01d mostra uma escala gráfica de transversais. Nesta uma distância AB qualquer em uma planta, comparada da mesma forma como a anterior, com utilização de um compasso de ponta seca, será um tanto mais precisa do que na escala gráfica simples. Na Figura 01d o segmento AB corresponde a 13,46km. As escalas gráficas são muito utilizadas em plantas, uma vez que fornecem a distância real de imediato. Figura 01d: Escala gráfica de transversais ( Mesquita, 1969 ) 2.4 UNIDADES DE MEDIDA 2.4.1 Medidas de Distância Para medidas de distância a unidade padrão é o metro, com seus múltiplos e sub – múltiplos que são: múltiplos: km ( kilômetro ), hm ( hectômetro ), dam ( decâmetro ); sub-múltiplos: mm ( milímetro ), cm ( centímetro ), dm ( decímetro ). km ←hm ←dam ←m →dm →cm →mm
  • 15. 9 Ao fazermos a conversão de uma unidade para a outra que está situada à sua direita, multiplicamos por dez cada vez que deslocamos até chegar a unidade desejada, por exemplo: para fazermos a conversão de 25,2 hm para cm, deveremos multiplicar por dez quatro vezes até chegarmos em cm, o que resulta em 252.000cm ou 25,2 x 104 cm. Quanto se tratar de fazermos a conversão para uma unidade situada à esquerda, o processo é semelhante, porém, ao invés de multiplicarmos, dividimos por dez, por exemplo: para fazermos a conversão de 25,2cm para hm, deveremos dividir por dez quatro vezes até chegarmos em hm, o que resulta em 0,00252hm ou 25,2 x 10-4 hm. 2.4.2 Medida de superfície ( área ) Para medida de superfícies a unidade padrão é o metro quadrado com seus múltiplos e sub-múltiplos que são: km2 ←hm2 ←dam2 ←m2 →dm2 →cm2 →mm2 Para conversão das unidades de superfície, o processo utilizado é similar ao empregado para as unidades lineares, com a diferença que multiplicamos e dividimos por 100, por exemplo: para fazermos a conversão de 100cm2 em m2 , portanto para uma unidade da esquerda, deveremos dividir por 100 duas vezes, isto é, por 10.000, o que resulta em 0,01m2 ou 100 x 10-4 m2 . No caso de convertermos 10hm2 em cm2 , portanto para uma unidade situada à direita, multiplicaremos por 100 cinco vezes, isto é, por 100.000.000, o que resulta em 1.000.000.000cm2 , ou 10 x 108 cm2 . Outras unidades de medida de superfície são utilizadas em Topografia, como o alqueire paulista, alqueire goiano e o hectare, as quais possuem a seguinte equivalência: 1 alqueire goiano = 48.400m2 = 220m x 220m; 1 alqueire paulista = 24.200m2 = 110m x 220m; 1 hectare = ha = 10.000m2 = 100m x 100m. O hectare ainda possui seus sub-múltiplos que são o are = 100m2 e o centiare = 1m2 .
  • 16. 10 2.4.3 Medida de volumes Para medida de volumes a unidade padrão é o metro cúbico com seus múltiplos sub-múltiplos que são: km3 ←hm3 ←dam3 ←m3 →dm3 →cm3 →mm3 Para conversão de uma unidade de volume em outra, usa-se o mesmo processo utilizado para as unidades lineares e de superfície, diferindo na multiplicação e divisão que neste caso será por 1.000 cada vez que nos deslocamos para chegarmos na unidade desejada. 2.4.4 Medida de massa A unidade padrão para medida de massa é o grama com seus múltiplos e sub-múltiplos que são: kg ←hg ←dag ←g →dg →cg →mg Para conversão de uma unidade de massa, o procedimento é o mesmo empregado nas unidades lineares, isto é, ao passarmos para uma unidade à direita multiplicamos por 10, e dividimos por 10 quando se tratar de passar para uma unidade da esquerda, tantas vezes quantas forem necessárias para atingirmos a unidade desejada. Finalizando, observa-se que a conversão de uma unidade resume-se a um processo de multiplicação e divisão por potências de dez. É importante observar, também, que tanto os múltiplos quanto os sub- múltiplos de unidades de medidas são precedidos de um prefixo indicativo de potência de dez. Os prefixos normalmente utilizados e as respectivas potências de dez que indicam são os seguintes: Prefixos indicativos de expoentes negativos de base 10 Deci = 10-1 Centi = 10-2 Mili = 10-3 Micro = 10-6 Nano = 10-9 Pico = 10-12 Femto = 10-15 Atto = 10-18 Prefixos indicativos de expoentes positivos de base 10 Deca = 10 Hecto = 102
  • 17. 11 Kilo = 103 Mega = 106 Giga = 109 Tera = 1012 Peta = 1015 Exa = 1018 2.4.5 Medidas de Ângulos A. Sistema Centesimal de divisão de áreas B Sistema Sexagesimal de divisão de arcos C Radiano: unidade de medida de ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio. Assim podemos escrever: A circunferência se divide em 400 parte iguais chamadas de Grade, que por sua vez se divide em 100 partes iguais (minuto), que por sua vez se divide em 100 partes iguais (Segundos). A circunferência se divide em 360 partes iguais chamado de Grau, que por sua vez se divide em 60 partes (minutos) e por sua vez se divide em 60 partes (segundos). 10 = 60’ 1’ = 60”
  • 18. 12 R S =θ , onde S = comprimento do arco de circunferência subentendido pelo ângulo central; R = raio da circunferência. Para θ = 1 radiano, temos: S = R. Uma circunferência completa tem 2πrad. D Milésimo: Por curiosidade, é uma unidade de medida de ângulo que foi muito usada nos equipamentos de pontaria de peças de artilharia antigas. Corresponde à milésima parte do radiano e, portanto, uma circunferência completa tem 6.400 milésimos. Desta forma, temos a seguinte equivalência entre as unidades: 360o = 400 grd = 2πrad = 6.400 milésimos, ou dividindo tudo por 2: 180o = 200 grd = πrad = 3.200 milésimos, o que permite a conversão de unidades. EXERCÍCIOS 1 ) Qual a largura, em planta na escala 1:200, do leito carroçável de 10 metros de largura de uma estrada? 2 ) Em uma planta na escala 1:250, dois pontos A e B, estão afastados de 40cm. Qual a distância real entres eles? 3 ) Um prédio possui um volume de 4.000 m3 . Qual o volume deste mesmo prédio, em cm3 , ao ser reduzido na escala de 1:200? 4 ) Em uma planta na escala de 1:500, um terreno apresenta 4cm de frente por 8cm de fundo. Qual a área do terreno em ha? 5 ) Dois pontos, A e B, em uma planta cuja escala desejamos saber, estão afastados de 40cm. A distância real entre eles é de 4 km. Qual a escala da planta?
  • 19. 13 6 ) A testada de um lote é de 20m. A dimensão gráfica é de 2cm. Qual a escala da planta e qual a dimensão gráfica em uma planta na escala 1:2.000? 7) O milésimo é uma unidade de medida de ângulo empregada em cálculos militares. Corresponde a abertura angular resultante da paralaxe de 1 metro a 1.000 metros de distância. Uma circunferência completa tem 6.400 milésimos. Tomando como base estas informações, qual a distância de um observador em relação a uma tôrre de 40 metros de altura, vista sob um ângulo de 8 milésimos? 8 ) Um lote com as dimensões de 20 metros de frente por 40 metros de fundo, deverá ser representado em uma planta na escala 1:2.000. Quais as dimensões deste lote na planta, em centímetros? 9 ) Os Marcos quilométricos 240 e 242 de uma rodovia, distam 20 cm em uma planta. Em uma outra planta, na mesma escala, a distância real entre duas casas é de 6km. Qual a distância gráfica entre elas? 10 ) Qual a área real de um terreno de 10cm x 30cm representado em uma planta na escala 1:2.500? 2.5 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Em topografia, considera-se somente a medida dos ângulos contidos em dois planos: horizontal, nas operações de planimetria, e o vertical nas operações de altimetria. Os ângulos contidos no plano horizontal, por isso chamados de horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que serve de origem
  • 20. 14 para a sua medida, classificam-se em AZIMUTAIS e GONIOMÉTRICOS. 2.5.1 ÂNGULOS AZIMUTAIS São ângulos que possuem como origem a direção da linha Norte - Sul. Estes ângulos são denominados de : RUMOS E AZIMUTES. A linha Norte-Sul é o meridiano local, isto é, aquela que une o polo Norte com o polo Sul terreste. Neste caso temos os azimutes e rumos verdadeiros ou geográficos. Quando esta linha Norte-Sul é aquela que une os polos Norte e Sul magnéticos, temos os azimutes e rumos magnéticos que podem ser obtidos com uma bússola. É importante salientar que as linhas Norte-Sul verdadeira e magnética, dependendo da nossa posição na superfície terreste, formam um ângulo entre si denominado de declinação magnética. A declinação magnética, portanto, é o ângulo formado entre os alinhamentos Norte-Sul verdadeiro e Norte-Sul magnético medido a partir da extremidade do Norte verdadeiro no sentido da extremidade do Norte magnético. Ela pode ser positiva ( declinação para LESTE ) ou negativa ( para OESTE ), isto é, quando o Norte magnético estiver a leste do verdadeiro ou a oeste respectivamente ( Figura 01d ). Figura 01e: Declinação magnética negativa (a) e positiva (b).
  • 21. 15 Por outro lado, a declinação magnética varia anualmente. Assim, nos trabalhos de topografia em que há necessidade de converter rumos e azimutes magnéticos em verdadeiros ou geográficos, é necessário que saibamos qual a sua variação anual na região objeto do levantamento. Esta operação de atualização da declinação é chamada de “reaviventação”. A reaviventação pode ser feita através da seguinte expressão: δa t = δp + δan . ∆t, onde: δat = declinação atual; δp = declinação passada; δan = variação anual; ∆t = intervalo de tempo. Assim, por exemplo, se a declinação em uma determinada região era de 10o 25’para oeste, no ano de 1969, com variação anual de 10’, a sua declinação em 1999 ( δat ) será: δat = δp + δan.∆t δat = 10o 25’+10’x 30 = 15o 25’ para oeste ou (–)10o 25’. A RUMOS Rumo é o menor ângulo formado entre o alinhamento e a linha Norte - Sul, medido a partir do Norte ou do Sul e variando de 0º à 90º . É representado por R. Para que este ângulo fique determinado é necessário indicar o quadrante no qual o alinhamento se encontra. Quando a linha Norte-Sul é a verdadeira ou geográfica, temos os rumos verdadeiros ou geográficos; quando é a magnética, temos os rumos magnéticos.
  • 22. 16 N 2 N 2 R1,2 3 1 N R2,3 IV (NW) I (NE) W E III (SW) II (SE) S EXEMPLOS N B N C 20º 35º A RA,B=20º (NE) D RC,D=35º (SE) B AZIMUTES Azimutes são os ângulos formados entre o alinhamento e a linha Norte - Sul, medido a partir do Norte em sentido horário e variando de 0º à 360º e é representado por Az. Quando a linha Norte-Sul é a verdadeira ou geográfica, temos os azimutes verdadeiros ou geográficos; quando é a magnética, temos os azimutes magnéticos. Quadrantes topográficos:
  • 23. 17 N N d N a Az a,b e Az c,d Az e,f c b f B.1 CONTRA – AZIMUTE ou AZIMUTE À RÉ Contra – Azimute é o azimute em sentido contrário ao alinhamento. N 1 N 2 B.2 Relações Existentes entre Azimute e Contra – Azimute N 1º Quadrante (NE) N 2 1 Az 1,2 CAz1,2 = Az 2,1 CAz = Az 1,2+180º
  • 24. 18 2º Quadrante (SE) 3 4 3º Quadrante (SW) N 5 N 6 4º Quadrante ( NW ) N N 8 7 Quando o azimute de um for menor que 180º o CAz será Az+180º. Quando o Azimute for maior que 180º o CAz será o Az – 180º. CAz = Az 5,6-180º CAz = Az 3,4+180º CAz = Az 7,8-180º
  • 25. 19 EXERCÍCIOS 1 ) Transformar em Rumos (R) os Seguintes Azimutes (AZ) a-)Az1,2 = 45º10’20’’ R: R1,2 = 45º10’20’’ 1º Quadrante (NE) b-)Az2,3 = 90º R: R2,3 = 90º (E) c-)Az3,4 = 360º R: R3,4 = 0º d-)Az4,5 = 225º40’ R: R4,5 = 225º40’ – 180º = 45º40’ 3º Quadrante (SW) e-)Az5,6 = 270º R: R5,6 = 90º (W) f-) Az6,7 = 305º30’20’’ R: R6,7 = 54º29’40’’ 4º Quadrante (NW) 2 ) Calcular os Contra – Azimutes (CAz) dos azimutes dados abaixo: a-) Az1,2 = 40º20’10’’ R: CAz = Az + 180º = 40º20’10’’+180º = 220º20’10’’ b-) Az2,3 = 360º R: CAz = Az – 180º = 360º – 180º = 180º c-) Az3,4 = 181º10’20’’ R: CAz = Az – 180º = 181º10’20’’ – 180º = 1º10’20’’ d-) Az4,5 = 0º R: CAz = Az + 180º = 0º + 180º = 180º 3 ) A leitura de um azimute efetuada com um teodolito graduado em radianos, foi de 5 rad. Qual seria a leitura em graus, minutos e segundos? 4 ) O leito carroçável de uma rodovia tem a largura de 7.000mm. Qual a sua largura em km, hm, dam e metro? 5 ) O ângulo de uma rampa é de 30o 50’45”. Qual o ângulo desta rampa em grados?
  • 26. 20 6 ) O perfil de um lote apresenta uma declividade em que a sua altura varia de 1metro a cada metro de caminhamento na horizontal. Qual o seu ângulo de rampa ( ângulo formado com a horizontal )?. 7 ) A quantos Gigametros corresponde o Nanometro? 8 ) Uma circunferência completa tem 6400 milésimos ( unidade de medida de ângulo usada para fins militares ). Com base nesta informação, qual o ângulo em milésimos correspondente a 250 grd? 9 ) Para implantação de uma obra foi efetuada uma escavação de 1.000 cm de largura, 40.000 mm de comprimento e 0,025 hm de profundidade. Qual o volume de material retirado, em metros cúbicos? 10 ) Um recipiente possui um volume de 2,5 hl. Qual o peso deste volume, em hg, tratando-se de água a 4o C? 11) Em uma planta na escala 1:2.500, a largura de um terreno é de 0,00002km. Se o comprimento real do terreno for de 100.000mm, qual é a área real do terreno em hectares? 12 ) Na locação de um ponto, distante 2km de uma estaca, foi cometido um erro angular de 1”. Qual o deslocamento ocorrido na locação do ponto e qual o erro relativo cometido nesta operação? 2.5.2 ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS Definição: são ângulos que possuem como origem um alinhamento qualquer. Classificam-se em : ângulo de flexão ou ângulo entre alinhamentos e ângulo de deflexão...
  • 27. 21 A. FLEXÃO É o ângulo formado entre dois alinhamentos consecutivos e variável de 0º à 360º. Exemplo: 1 3 2 B. DEFLEXÃO É o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento à ré e o alinhamento à vante variando de 0º à 180º. Exemplo: 1 3 2 3 1 2 α2 α’2 d2 d2
  • 28. 22 C. SENTIDO DOS ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS Os ângulos goniométricos poderão ser à direita ou à esquerda do alinhamento. Por convenção, o ângulo será à direita ou positivo (+) quando medido no sentido horário do alinhamento à ré para o à vante e, será à esquerda ou (-) quando medido em sentido anti - horário do alinhamento à ré para o à vante. 2.5.3 ÂNGULOS AZIMUTAIS X ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS Poligonal Topográfica é uma seqüência de alinhamentos, podendo ser aberta, fechada ou apoiada. Exemplos 1 3 2 4 1 2 1 2 6 5 4 3 4 3 Aberta Fechada Apoiada
  • 29. 23 2.5.4 CÁLCULO DE RUMOS E AZIMUTES A PARTIR DE ÂNGULOS GONIOMÉTRICOS 1 3 2 4 1 3 2 4 Az2,3=Az1,2 – ββββ ββββ = 180º – αααα2Az23 = Az23 =Az12 – (180º – αααα2) Az23 = Az12 – 180º + αααα Az12 α2 d3 Az12 α2 Az23=? Az12 180º β
  • 30. 24 EXERCÍCIO Calcular os Az e R das linhas que formam a poligonal a seguir: B E F A C D G B A C RBC = RB,A-40°15’05’’ RBC = 20°15’05’’ (SE) AzAB= 180° - RAB = 180° −= 180° −= 180° −= 180° − 60°30’10’’ = 119°29’50’’ AzBC= 180° - RBC = 159°44’55’’ 40°15’05’’ 152°40’20’’ 272°05’07’’ 210°25’03’’ 85°10’20’’ R A,B=60°30’10’’ Az 40°15’05’’ RAB=60°30’10’’(SE) RBA=60°30’10’’(NW) 119°29’50’’ RB,C
  • 31. 25 B D A C AzCD= AzBC - ββββ ( ββββ = 180° – 152°40’20’’ = 27°19’40’’ = ββββ =27°19’40’’) AzCD= 180° - β = 159β = 159β = 159β = 159°44’55’’ −−−− 27°19’40’’ = 132°25’15’’ RCD = 180° - AzCD = 47°34’45’’ (SE) E F D C AzDE = AzCD – ββββ (ββββ = 210°25’03’’ – 180° = 30°25’03’’ = ββββ) AzDE = AzCD – ββββ = 132°25’15’’ – 30°25’03’’ = 102°00’12’’ RDE = 180° - AzDE = 77°59’48’’ (SE) AzCD 180º 152°40’20’’ AzBC = 159°44’55’ β RCD RCD 210°25’03’’ β 180° AzDE RDE
  • 32. 26 E F AzEF = ββββ + AzDE (ββββ = 272°05’07’’ – 180° = 92°05’07’’ = ββββ) AzEF = AzDE + ββββ = 102°00’12’’ + 92°05’07’’ = 194°05’19’’ REF = AzEF – 180° = 14°05’19’’(SW) 2.5.4.1 FÓRMULA GERAL DOS AZIMUTES A. Fórmula Geral para Ângulos de Flexão 1 3 2 4 Az2,3 = Az1,2 – ββββ ββββ = 180° – αααα2 Az2,3 = Az1,2 + αααα2 – 180° Az1,2 α2 Az1,2 Az2,3 α3 Az2,3 Az3,4 272°05’07’’ AzEF β REF RED
  • 33. 27 Az3,4 = Az2,3 + ββββ’ ββββ’ = 180° - αααα3 Az3,4 = Az2,3 – αααα3 + 180° Azn = Azn-1 + ααααn + 180° QUANTO AOS SINAIS Do ângulo de flexão α Será positivo α quando este ângulo for à direita Será negativo α quando este ângulo for à esquerda Do ângulo de 180° Será positivo 180° quando o azimute anterior + αn for menor que 180° Será negativo 180° quando o azimute anterior + αn for maior que 180° Azimute da linha em questão Azimute da linha anterior Ângulo de flexão no vértice inicial da linha em questão
  • 34. 28 B. Fórmula Geral para Ângulos de Deflexão 1 3 2 4 Az2,3 = Az1,2 – d2 Azn = Azn-1 + dn Az3,4 = Az2,3 + d3 2.5.5 Limites do Azimute Como o azimute é um ângulo que varia de 0° à 360°, então quando ocorrer valor para o azimute maior que 360°, este valor deverá ser subtraído de 360° e, quando ocorrer valor menor que 0° então, o valor deverá ser acrescido em 360°. d2 d3 Az1,2 Az1,2 Az2,3 Az2,3 Az3,4
  • 35. 29 EXERCÍCIO Calcule os azimutes das linhas poligonais abaixo. 1 3 2 0 5 4 6 Az0,1 = 73°50’30’’ Az1,2 = 73°50’30’’ – 75°45’12’’ = 358°05’18’’ Az2,3 = 358°05’18’’ – 140°53’08’’ – 180° = 37°12’10’’ Az3,4 = 37°12’10’’ – 280°42’18’’ + 180° = – 61°30’ + 360° = 296°29’52’’ Az4,5 = 296°29’52’’ + 89°20’35’’ – 180° = 205°50’27’’ Az5,6 = 205°50’27’’ + 31°15’03’’ = 237°05’30’’ Az6,0 = 237°05’30’’ + 102°15’ – 180° = 159º20’30’’ 75°45’12’’ 280°42’18’’ 94°30 140°53’08’’ 89°20’35’’ 31°15’03’’ 102°15’
  • 36. 30 Linhas Az CAz R 0 – 1 73°50’30’’ Az+180°=253°50’30’’ 73°50’30’’ (NE) 1 – 2 358°05’18’’ Az-180°=178°05’18’’ 360°-Az=1°54’42’’(NW) 2 – 3 37°12’10’’ Az+180°=217°12’10’’ 37°12’10’’(NE) 3 – 4 296°29’52’’ Az-180°=116°12’10’’ 360°-Az=63°30’08’’(NW) 4 – 5 205°50’27’’ Az-180°=25°50’27’’ Az-180°=25°50’27’’(SW) 5 – 6 237°05’30’’ Az-180°=57°05’30’’ Az-180°=57°05’30’’(SW) 6 – 0 159°20’30’’ Az+180°=339°20’30’’ 180°-Az=20°39’30’’(SE) EXERCÍCIOS 1 ) Em maio de 1958 foi efetuado um levantamento topográfico de uma propriedade pelo método do caminhamento perimétrico, no sentido horário, numa região cuja declinação magnética era de +9o 15’ com variação anual de +5’. O azimute magnético à ré lido do vértice 2 para o vértice 1 ( Azm 2,1 ) foi de 194o 02’ 33’’ ; o ângulo de flexão (-) no vértice 2 foi de 113o 29’10”; o ângulo de deflexão (+) no vértice 3 foi de 119o 06’10”; o azimute magnético à ré do vértice 1 para o vértice 4 foi de 94o 30’30”. Com relação ao levantamento efetuado, pede-se: 1 ) Calcular todos os azimutes vante verdadeiros: Azv1,2, Azv 2,3, Azv 3,4, Azv 4,1 . ( 2,0 ) 2 ) Calcular todos os ângulos de flexão (-). ( 2,0 ) 3 ) Calcular todos os contra-azimutes verdadeiros. ( 1,5 ) 4 ) Calcular todos os rumos vante e ré verdadeiros. ( 1,5 ) 5 ) Calcular a soma dos ângulos internos da poligonal. ( 1,5 ) 6 ) Fazer um esboço da poligonal levantada. ( 1,5 )
  • 37. 31 2.6 Medidas de Distância A determinação da extensão de um alinhamento pode ser feita por medida direta, quando o instrumento de medida é aplicado no terreno ao longo do alinhamento, por medida indireta, se em função da medida de outras grandezas com ela relacionada matematicamente, ou por medida eletrônica, realizada com instrumentos que utilizam raios infravermelhos ou a laser permitindo a determinação das distâncias com rapidez e precisão (Distanciômetro). 2.6.1. Medida Direta – Processos Nos processos para medida direta de distâncias, o instrumento aplicado ao longo do alinhamento a medir denomina-se diastímetro. De acordo com a natureza do diastímetro e grau de precisão desejado para a medida, os processos de medida direta classificam-se em: A)- Processos de Baixa Precisão B)- Processos de Média Precisão C)- Processo de Alta Precisão A Processo de Baixa Precisão São os processo que conduzem a resultados com baixo grau de precisão. São empregados nos trabalhos de reconhecimento, levantamentos rápidos onde não se exige grande precisão (levantamentos expeditos). Os diastímetros utilizados são: Passo humano, passômetro, velocímetro, etc.
  • 38. 32 B Processos de Média Precisão Nesta categoria se processam as medidas executadas nos trabalhos normais de topografia. Além do instrumento de medida, vamos empregar alguns instrumentos auxiliares; tais como: Piquetes ou estacas, servem para sinalizar a origem e o fim dos alinhamentos, os vértices das poligonais, a origem e o fim das curvas, etc. Estacas testemunhas, servem para identificação rápida do piquete e devem ser cravadas a 0,5 metros do piquete. Balizas, servem para o operador do teodolito realizar a rápida visualização do piquete; serve para fixar o plano vertical que contém um alinhamento. O diastímetro utilizado para medida direta do alinhamento com média precisão é a “trena”, podendo ainda ser utilizada a “fita de aço”. C Processos de Alta Precisão São utilizados na medição das bases geodésicas ( lados dos triângulos geodésicos ) . Empregam-se os distanciômetros eletrônicos baseados na propagação de micro-ondas ou de ondas luminosas. Entre os que emitem micro-ondas temos os telurômetros, cujo alcance chega a 160km com precisão de 5cm ±3:1.000.000. Na classe dos que emitem ondas luminosas temos o Geodímetro com alcance de 60km e precisão de 6mm±1:1.000.000, e o Geodolito com alcance de 32km nas medições diurnas e 80km nas medições noturnas ( T34-400 ).
  • 39. 33 2.6.2 Técnica de Medida com Trena Para que a distância entre dois pontos seja medida com precisão, a trena dispor-se-á horizontalmente e estará contida no plano vertical que contém o alinhamento. Ao operador e seus auxiliares compete cuidar da horizontalidade da trena e da verticalidade da baliza no momento da medida. O plano vertical poderá ser materializado com o emprego de balizas e um instrumento óptico (teodolito) através da operação denominada balizamento. Suponhamos que se deseje medir o cumprimento “L”, com uma trena a partir do ponto “A” até o ponto “B” fixado no terreno. Um auxiliar deverá por uma baliza no ponto “A”, mantendo o zero da trena junto ao eixo da baliza disposta verticalmente; outro auxiliar deverá ir desenrolando a trena até a de marca “L metros”. Os auxiliares dos pontos A e B se colocam atrás das respectivas balizas, quando o operador do teodolito orientará os auxiliares para que fiquem na mesma direção, ou seja, no mesmo plano vertical que contém o alinhamento AB e, ainda orientará para que a trena fique disposta na horizontal. Então, neste momento, farão a medida do alinhamento.
  • 40. 34 2.6.3 Técnica de Medidas Indiretas
  • 41. 35 EXEMPLO 2.7 MÉTODO DE LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 2.7.1. Método do caminhamento perimétrico ou método da poligonal Consiste na ligação dos pontos 2 a 2, da poligonal a ser levantada, através da medição de ângulos e distâncias em cada vértice da poligonal. Vantagens: Pode ser usado em qualquer área, desde que os pontos sejam acessíveis. Desvantagens: Método demorado e trabalhoso. Proporciona grande acúmulo de erros.
  • 42. 36 Em áreas extensas combinam-se o método com o GPS GPS – Global Positioning System: Sistema de Posicionamento Global Segundo Barros (1995 ) o Sistema de Posicionamento Global foi idealizado pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos. Consiste em uma constelação de 21 satélites em grandes altitudes. Este conjunto de satélites substitui as estrelas até então usadas pelo homem para navegação. O seu custo foi por volta de US$ 10 bilhões. O princípio básico do Sistema consiste em utilizar satélites como pontos de referência para triangular nossa posição em algum lugar da Terra, isto é, a nossa posição é conhecida através da medição da distância de onde nos encontramos sobre a superfície da Terra, até um grupo de satélites no espaço. Assim, por exemplo, se sabemos que estamos a uma distância de 18.000km de um satélite A, temos uma posição específica dentro do Universo que é no interior de uma esfera com raio conhecido e com centro no satélite A ( Figura 01f). Conhecendo a nossa distância em relação a um outro satélite B, por exemplo de 20.000km, a nossa posição fica melhor definida. Portanto, o único lugar do Universo onde podemos estar a 18.000km do satélite A e 20.000km do satélite B é no círculo formado pela interseção das duas esferas ( Figura 01g). Figura 01f: Um satélite Figura 01g: Dois Satélites
  • 43. 37 Obtendo-se uma medida de distância a um terceiro satélite, 15.000km por exemplo, podemos determinar realmente a nossa posição, uma vez que o lugar geométrico que a define são apenas dois pontos: a interseção do círculo formado pelos satélites A e B com a esfera do satélite C ( Figura 01h). Figura 01h: Três Satélites 2.7.2 Método da Irradiação 3 2 4 1 5 Consiste em se fazer visadas de um ponto chamado sede da irradiação, para os demais pontos da poligonal, ou pontos de detalhes, medindo-se os ângulos e as distâncias formadas entre a sede da irradiação e os pontos Sede da Irradiação Azimutes Norte Magnético Distâncias
  • 44. 38 visados. Este método poderá ser utilizado para levantamento de áreas e para levantamento dos pontos de detalhes. Vantagens: Método rápido e de fácil execução Desvantagens: Não possibilita a verificação dos erros cometidos É um método restrito, utilizado somente em áreas que permitam a visualização de todos os seus vértices a partir de um ponto (sede da irradiação), e ainda, que não seja extrapolado o alcance máximo da luneta no momento das visadas. 2.7.3 CÁLCULO DA POLIGONAL A Poligonal Aberta 3 1 4 2 Poligonal aberta é aquela que não retorna ao ponto de partida, não possibilitando a verificação de erros, cometidos no campo. Az1,2 α2 α3 L1,2 L2,3 L3,4
  • 45. 39 A.1 CÁLCULO DAS COORDENADAS DOS PONTOS y N y3 y2 x x2 x3 X2 e Y2 serão coordenadas arbitradas ou conhecidas FÓRMULA NO EIXO X FÓRMULA NO EIXO Y Az2,3L2,3 L2,3 x Az2,3 23 23 23 L xL SenAZ = L2,3X = L2,3SenAz2,3 X3 = X2 + L2,3X L2,3Y = L2,3 CosAz2,3 Y3 = Y2 + L2,3Y
  • 46. 40 EXERCÍCIOS Calcular as coordenadas dos vértices da poligonal a seguir Lado Comprimento do lado Azimute Projeção natural dos lados Vértice Coordenadas LX LY X Y 1 – 2 57,60 100°50’ 56,573 -10,826 1 500,0 500,0 2 – 3 42,35 43°20’ 29,062 30,804 2 556,573 489,174 3 – 4 59,43 124°45 48,830 -33,874 3 585,635 519,978 4 634,465 486,104 Az1,2 = 100°50’ α2 = 237°30’ α3=98°35’ L1,2 = 57,60 L2,3 = 42,35 L3,4 = 59,43 Comprimento do lado vezes SenAz Comprimento do lado vezes CosAz LxXnXn ±−= 1 LyYnYn ±−= 1
  • 47. 41 A.2 Regras para correção dos ângulos internos 1.Todo Polígono fechado Se o erro de campo for menor que o erro admissível, então distribuir. Se o erro de campo for maior que o erro admissível, retornar para o campo e medir novamente. B Poligonal Fechada Erro Linear = Ef Detrminação do Erro linear de fechamento 2 1 5 3 4 Ec = erro de campo ÂI = Ângulos Internos Ead = erro admissível pa = precissão angular do aparelho npaead = n = número de vértices da poligonal 0 180).2(.. −=∑ nIntÂng 0 180).2()( −−∑= ncampoÂIEc Ef Efx Efy 22 yExEE fff +=
  • 48. 42 Determinação da projeção Efx e Efy Teorema de Thales A soma algébrica das projeções dos lados de um polígono qualquer sobre uma reta orientada é sempre nula, quando a extremidade do último lado coincide com a origem do primeiro. B A C D Então temos: quando Σx≠0 temos Efx e, Σy≠0 temos Efy. B.1 Cálculo do erro linear relativo = Er , 1 M Er = sendo fE p M 2 = Onde 2p é o perímetro da poligonal Ef é o erro linear de fechamento São aceitos os seguintes limites de tolerância do erro linear de fechamento: Terreno Plano 1:2000 Terreno Ondulado 1:1000 Terreno Acidentado 1:500 0 0 0 0 =∑ =∑ =+++ =+++ y x yyyy xxxx DACDBCAB DACDBCAB
  • 49. 43 B.2 Cálculos dos Fatores de Correção Onde l = lado a ser corrigido. EXERCÍCIO Calcular as coordenadas da poligonal dada a seguir: 0 3 1 2 pa=6’’ X1=1.000,00m Y1=2.000,00 107°44’10’ 72°43’30’’ 88°41’40’’ 90°50’32’’ l p xE C l p xE C f y f x . 2 . 2 = =
  • 51. 45 B.3 CÁLCULO DA ÁREA DE POLIGONAIS FECHADAS ATRAVÉS DAS COORDENADAS DOS SEUS VÉRTICES 0 N0 N1 1 2 N2 E0 E2 E1 B.3.1 Fórmula de Gauss S – área da poligonal
  • 52. 46 AB Além dos métodos já estudados (Irradiação e Caminhamento Perimétrico), outros métodos também são importantes e aplicados, muitas vezes, em casos particulares de levantamento. 2.7.4 Método da Interseção É bastante utilizado quando o ponto a determinar é inacessível. Ex: um ponto situado dentro de um rio. Consiste na determinação da posição de um ponto pela interseção das visadas feitas das extremidades de um alinhamento, denominado BASE, para este ponto. M A B AzA,B AzA,M AzB,A AzB,M αA αM αB Do campo: AB ; AzA,M, AzA,B, AzB,M, AzB,A
  • 53. 47 Da Lei dos Senos: Calcula-se αA, αB e αM: Coordenadas do Ponto M a partir do ponto A XM = XA + AM . Sen AzA,M YM = YA + AM . Cos AzA,M Coordenadas do Ponto M a partir do ponto B XM = XB + BM . Sen AzB,M YM = YB + BM . Cos AzB,M )(1800 ,, ,, BAM AzAzB AzAzA abmb maba ααα α α +−= −= −= m b Sen Sen AB AM α α = m b Sen Sen ABAM α α .= m a Sen Sen AB BM α α = m a Sen Sen ABBM α α .=
  • 54. 48 EXERCÍCIOS 1 ) Calcular as coordenadas do ponto M levantado por interseção a partir da base AB definida por RA,B = 72°30’ (NE); AB = 418,40; XA = 500m; YA = 700m. Tendo sido medidos RA,M = 42°20’ (NE) e RB,M = 50°45’(NW). Resolução: RA,B = 72°30’ (NE) XA = 500m AB = 418,40m YA = 700m Foram medidos no campo: RA,M = 42°20’ (NE) RB,M = 50°45’(NW) M A B αA = (RA,B) 72°30’ – (RA,M ) 42°20’ = 30°10’ αB = 180° - [(RB,M) 50°45’+(RA,B) 72°30’] = αB = 56°45’ αΜ = 180° – (αA) 30°10’ + (αB) 93°05’ = αM = 93°05’ Coordenadas do Ponto M XM = XA + AM .Sen AzA,M ⇒ 500+350,40939.Sen 42°20 = 735,98064 YM = YA + AM .Cos AzA,M ⇒ 700 + 350,40939.Cos 42°20 = 959,0364 RA,B = 72°30’ RA,M = 42°20’ 50°45’(NW) RB,A = 72°30’ αA = 30°10’ αM = 93°05’ αB = 56°45 m b Sen Sen ABAM α α .= 40939,350 '0593 '4556 .40,418 0 0 == Sen Sen AM
  • 55. 49 2 ) As coordenadas do vértice no. 2 de uma poligonal são: W = 20m; N = 40m, em relação a um referencial no vértice no. 1. Qual o azimute 1-2 ( Az1-2 )? 3 ) O perímetro de um terreno é uma circunferência de raio igual a 50 metros. Qual o comprimento de uma parte deste perímetro subentendida por um ângulo de 0,5 radianos? 4 ) Qual a área, em alqueires paulista, de uma poligonal cujo levantamento topográfico resultou nas seguintes coordenadas para os vértices? Vértice 1 ( 202 Este; 300 Norte ); Vértice 2 ( 250 Este; 315 Norte ); Vértice 3 ( 240 Este; 290 Norte ); Vértice 4 ( 210 Este; 250 Norte ). 5 ) A declinação magnética de uma determinada região, objeto de um levantamento topográfico, é de –10o 25’ em 31/07/1980. A variação anual desta declinação é de –5’. Qual será o azimute verdadeiro ou geográfico referente ao azimute magnético de 20o 30’ lido em 30/06/1997? 6 ) Utilizando-se o alinhamento C-D coincidente com o meridiano local, e C distante de D 300 metros, estacionou-se o teodolito em C obtendo-se os azimutes Azca e Azcb de 240o e 120o respectivamente. Em seguida, com o teodolito estacionado em D, obteve-se os azimutes Azda e Azdb de 290o e 25o respectivamente. Com base no procedimento de campo acima descrito, responda as seguintes questões: A ) Qual é a distância A-B? B ) Qual é a distância A-D? C ) Qual é a distância D-B? 7 ) Com um teodolito estacionado em uma estaca 1, foi determinado o azimute 1-3 ( Az1-3 ) de 70o , sendo o ponto 3 inacessível. Ainda com o teodolito estacionado na estaca 1, foi lido o azimute 1-2 ( Az1-2 ) de 120o e determinada a distância 1-2 de 254,50 metros. Em seguida o teodolito foi estacionado na estaca 2 e lido o azimute 2-3 ( Az2-3 ) de 10º . A altitude da estaca 1 é de 702,50m e a altura do aparelho, quando estacionado na estaca 1 era de 1,60m e em 2 de 1,62m. Os ângulos verticais 1-2 e 2-3 lidos foram de 30o 30’50” e 28o 30’00” respectivamente. Com base no procedimento de campo descrito acima, responda as seguintes perguntas: A ) Qual é a distância horizontal 1-3?
  • 56. 50 B ) Qual é a distância horizontal 2-3? C ) Qual é a altitude da estaca 2? D ) Qual é a altitude do ponto inacessível 3? E ) Faça um esboço da operação descrita. 8 ) Qual a área real de um terreno cujas dimensões representadas em uma planta planimétrica, escala 1:2.500, são: 10cm de frente e 30cm de fundo. 9 ) Qual a área, em alqueires paulista, de uma poligonal cujo levantamento topográfico resultou nas seguintes coordenadas finais para os vértices? Vértice 1 ( 202 Este; 300 Norte ); Vértice 2 ( 250 Este; 315 Norte ); Vértice 3 ( 240 Este; 290 Norte ); Vértice 4 ( 210 Este; 250 Norte ). 10) Os vértices 1 e 2 de uma poligonal apresentam as seguintes coordenadas: Vértice 1: 500m Este; 500m Norte; Vértice 2: 480m Este; 540m Norte. Com base nestes dados, qual é o R1,2, o Az1,2, o R2,1,Az2,1 e a distância 1-2? 2.7.5 Método das Coordenadas Retangulares A) Aplicação: Pela facilidade e rapidez das operações, este método é especialmente indicado para levantamento de detalhes que apresentam configuração curvilínea (Rios, divisas de propriedades). Neste método, a posição do ponto topográfico de interesse é definida pela medição de suas coordenadas retangulares (X,Y). Um dos lados da poligonal de apoio servirá como eixo de referência para medição das abcissas e ordenadas.
  • 57. 51 Definindo o eixo de referência, sobre ele serão marcadas as abcissas (X) dos pontos de interesse; perpendicularmente, anotam-se as ordenadas (Y). P2 P4 P1 P3 X1 X2 X3 X4 X e Y são medidos com trena ou calculado comTeodolito Taqueométrico. B) Precisão: Este método não conduz a resultados precisos, devido ao fato de se utilizar somente de medidas lineares. Entretanto, pela facilidade de operação e rápida execução, é recomendado o seu uso em levantamento de detalhes. 2.8 Levantamento dos Detalhes 2.8.1 Definição de Detalhes Denomina-se detalhes os elementos do terreno que, por sua importância, característica ou posição relativa, devem compor a planta topográfica. Os detalhes podem ser rios, lagos e praias; florestas e lavouras; obras de engenharia; acidentes naturais, relevos e etc. Y1 Y2 Y3 Y4
  • 58. 52 2.8.2 Métodos de Levantamento de Detalhes No geral, todos os métodos de levantamento topográfico estudados podem ser utilizados na determinação e representação dos detalhes, contudo, pelas características particulares de cada um, em certas situações uns são mais indicados que os outros. Há situações em que se faz necessário o uso de métodos combinados para determinação dos detalhes. É importante frisar que, na prática, muitas vezes o bom senso do profissional definirá qual o melhor procedimento a ser adotado. No escritório calculam-se as coordenadas dos pontos empregando-se técnicas de desenho, confecciona-se o desenho final de acordo com as informações contidas no croqui. Em geral, os detalhes são representados por meio de símbolos; estes símbolos, denominados de “convenções topográficas”, destinam-se a reproduzir fielmente a natureza dos objetos a representar. A convenção topográfica é um recurso utilizado para representar no desenho detalhes que, se postos na escala do referido desenho seriam imperceptíveis a vista humana. A NBR 13133/94 apresenta relação de convenções topográficas.
  • 59. 53 ( ) ( )ME d S yyyyyy d S b b .2 2 2222 2 654321 += +++++= 2.9 ÁREAS EXTRAPOLIGONAIS 2.9.1 Cálculo da área Extrapoligonal A Método analítico B E C D F A y1 y2 y3 y4 y5 y6 d d d d d d= todas as partes devem ser iguais. A.1 Fórmula dos trapézios ou de BEZOUT
  • 60. 54 ( )PIE d Ss 42 3 ++=       − += 4 ' 2. EE PdS p Onde E é o somatório dos y extremos Onde M é o somatório dos y do meio. A.2 Fórmula de SIMPSON Onde E é o somatório dos y extremos; Onde I é o somatório dos y ímpares; Onde P é o somatório dos y Pares; A.3 Fórmula de PONCELET Onde E é o somatório dos y extremos; Onde E’ é o somatório dos y adjacentes aos extremos (2° e Penúltimo); Onde P é o somatório dos y Pares; EXERCÍCIO 20 20 20 20 20 20 Y=1,8 Y2=3,5 Y3=4,7 Y4=5,5 Y5=5,8 Y6=5,4 Y7=3,8
  • 61. 55 2 ( ) ( ) 2 5549,24.26,5 2 20 .2 2 mS ME d S b b =+= += ( ) ( ) 2 2772,5616,57216,5666,6 42 3 mS PIE d S s s =++= ++= 2 5,559 4 9,86,5 8,2820 4 ' 2 mS EE PdS p p =      − +=       − += Calcular a área Obs.: Todas as medidas estão em metro EXERCÍCIO 1 ) As sapatas de fundação de uma edificação estão dispostas formando um triângulo. O azimute do alinhamento formado pelas sapatas 1 ( S1 ) e 3 ( S3 ) é de 89o 20’ 37” ( AzS1-S3 ); o do alinhamento formado pelas sapatas S1 e 2 ( S2 ) é de 35o 15’ 30” ( AzS1-S2 ) e o do alinhamento formado pelas sapatas S2 e S3 é de 130o 20’ 40” ( AzS2-S3 ). As coordenadas da sapata S1 são 100m Norte, 100m Este, e, da S3, 100,945m Norte, 182,494m Este. Com base neste enunciado, responda as seguintes questões: a ) Quais são as coordenadas da sapata S2? 1 3
  • 62. 56 b ) Qual é a área do triângulo definido pelas sapatas S1, S2 e S3? c ) Qual é o afastamento entre os eixos Norte-Sul das Sapatas S1 e S2, e das Sapatas S2 e S3? d ) Qual é o afastamento entre os eixos Este-Oeste das Sapatas S1 e S2, e das Sapatas S1 e S3?
  • 63. 57 3 ALTIMETRIA A altimetria é a parte da topografia que tem por objetivo a determinação das alturas dos pontos do terreno, definidos pela planimetria, em relação a uma superfície de referência e cuja finalidade é a representação do relevo através de curvas de nível. Dependendo da superfície de referência adotada, temos as cotas e as altitudes. 3.1 COTAS E ALTITUDES As cotas correspondem a menor distância entre pontos da Superfície Topográfica, quando representada numa Carta ou Planta Topográfica de uma região, e uma superfície de referência arbitrária. Por outro lado, as altitudes correspondem a menor distância entre pontos da Superfície Topográfia e a superfície de nível médio dos mares, ou do Geóide, tomada como referência. Chamamos de Afastamento a menor distância em relação à superfície do Elipsóide de Referência. As cotas negativas ou de profundidade são denominadas cotas batimétricas. Normalmente chamamos de Superfície Topográfica à superfície do relevo continental, e superfície batimétrica ao assoalho submarino. Entretanto, a Superfície Topográfica compreende a superfície sólida da Terra, incluindo o relevo continental e o assoalho submarino. 3.2 DIFERENÇA DE NÍVEL As diferenças existentes entre as cotas ou altitudes dos pontos do terreno são designadas de diferença de nível ( Figuras 01 e 02 ). Podemos
  • 64. 58 também dizer que a diferença de nível entre dois pontos do terreno corresponde à distância vertical entre os planos que contém estes pontos. O levantamento altimétrico de um ponto consiste na determinação da diferença de nível entre esse ponto e outro de cota ou altitude conhecida e, por conseguinte, no conhecimento da cota ou altitude daquele ponto. 3.3 REFERÊNCIA DE NÍVEL Chama-se referência de nível ou simplesmente RN a um ponto de cota ou altitude conhecida. Estes RN são de extrema importância nos trabalhos topográficos. São encontrados nos terminais de estradas de ferro. Além destes pontos, existem outros distribuídos pelo País, levantados pelo Departamento Nacional da Produção Mineral ( DNPM ) ou pelas empresas de aeronáutica civil. Normalmente estes RNs são pontos notáveis, onde são fixados marcos de cimento, locados nas principais cartas do País. 3.4 NIVELAMENTO O nivelamento consiste no conjunto de operações topográficas realizadas com o objetivo de determinar as diferenças de nível entre os
  • 65. 59 pontos do terreno. Qualquer trabalho de nivelamento de grande precisão deve sempre ser iniciado tendo como base uma referência de nível ( RN ). 3.5 TIPOS DE NIVELAMENTO Em decorrência da natureza e do processo de medidas usadas na determinação das cotas ou altitudes, os nivelamentos são classificados, na ordem de precisão crescente, em: barométrico, trigonométrico e geométrico. 3.5.1 NIVELAMENTO BAROMÉTRICO Consiste na obtenção da diferença de nível em função da pressão atmosférica obtida em dois pontos diferentes. Desta forma a altitude de um ponto é determinada mediante a medida da pressão atmosférica em um ponto de altitude conhecida e no outro cuja altitude desejamos saber. O nivelamento barométrico é de grande emprego no apoio altimétrico para a aerotriangulação tendo como objetivo a confecção de cartas em pequena e média escala. Na sua faixa de emprego apresenta grandes vantagens em relação aos outros métodos pelo baixo custo operacional, pois é de execução rápida, utiliza equipamento portátil e pequeno efetivo das equipes de trabalho. Os altímetros utilizados para obtenção das altitudes a partir da pressão atmosférica, são semelhantes aos barômetros aneróides. Consistem em uma cápsula metálica com vácuo no seu interior. As variações de pressão atmosférica produzem deformações na cápsula, provocando deflexões em um ponteiro que mede a pressão atmosférica, a qual é
  • 66. 60 traduzida em altitudes através de dispositivos mecânicos relacionados a uma escala de leitura, em metros ou pés ( escala orométrica ). Figura 03: Esquema de um barômetro aneróide ( Manual TécnicoT34-604 ). 3.5.2 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO O nivelamento trigonométrico é efetuado com a utilização do teodolito, cujos dados angulares de campo são tratados segundo as relações trigonométricas em um triângulo. No nivelamento trigonométrico opera-se, em geral, com visadas inclinadas. Assim, a diferença de nível entre dois pontos é determinada por cálculo trigonométrico a partir do conhecimento da distância horizontal entre os dois pontos, e o ângulo vertical fornecido pelo teodolito. Na Figura 04 γ1 e γ2 representam ângulos verticais ( zenitais ); AA a altura do aparelho medida do eixo de rotação do telescópio até o nível do terreno indicado por um piquete; L1 a leitura de estádia corresponde ao ângulo γ1; L2 a leitura de estádia correspondente ao ângulo γ2; ∆L a diferença das leituras L2 e L1; dH a distância horizontal entre os pontos 1 e 2; ∆ a distância vertical do centro de telescópio até a leitura L1 sobre a mira. Trigonometricamente a diferença de nível entre os pontos 1 (onde está
  • 67. 61 estacionado o teodolito) e 2 (onde coloca-se a mira estadimétrica), ∆H, será determinada através das seguintes expressões: ∆H = ∆ + AA – L1, onde ∆ = dH.Cotgγ1, o que nos dá a seguinte expressão para o cálculo do desnível entre os pontos 1 e 2: ∆H = dH.Cotgγ1 + AA – L1 Figura 04: Nivelamento trigonométrico Observe que neste caso é necessário conhecer a distância horizontal dH entre os dois pontos cujo desnível queremos determinar. Entretanto, a partir da mesma figura, podemos obter a expressão que possibilita o cálculo do desnível ∆H sem necessidade de sabermos a distância entre os dois pontos, que é a seguinte: ∆ = ∆L.cotgγ1 / cotgγ2 - cotgγ1, que substituindo na expressão de ∆H nos dá o seguinte resultado: ∆H = ∆L.cotgγ1 / cotgγ2 - cotgγ1 + AA – L1
  • 68. 62 A mesma equação pode ser obtida substituindo o valor de dH, do ítem 2.6.3, na equação anterior que fornece o valor de ∆H em função de dH. 3.5.3 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO O nivelamento geométrico é comumente empregado nos trabalhos de topografia, como nivelamento de estradas, construções em geral, loteamentos, etc. É um nivelamento de boa precisão quando cuidadosamente aplicado. 3.5.3.1 INSTRUMENTAL UTILIZADO Para execução de um nivelamento geométrico, o instrumental a ser empregado necessita estabelecer uma linha de visada horizontal e permitir a medida de distâncias verticais. Tais instrumentos são os níveis e as miras. A NÍVEIS São instrumentos óticos especialmente construídos e consistem de uma luneta conjugada a níveis de boa sensibilidade, de modo a assegurar que, estando a luneta estacionada sobre um ponto, possamos orientar com precisão o seu eixo vertical segundo a vertical do lugar e que ela, ao girar em torno desse eixo, descreva um plano rigorosamente normal a ele próprio. Os níveis definem físicamente um plano horizontal ou uma linha horizontal. Os níveis podem ser classificados, segundo o órgão visor que são dotados, em: níveis de luneta, níveis de visor de pínulas e níveis sem órgão visor. Os nivelamentos mais rigorosos são efetuados com os níveis de
  • 69. 63 luneta, sendo esta semelhante à luneta de um teodolito, apresentando inclusíve os fios estadimétricos. O único movimento possível das lunetas dos níveis é em torno de um eixo vertical. Ela é montada sobre uma base dotada de três parafusos calantes, que permitem o nivelamento do instrumento, quando instalado sobre o tripé. As leituras, nos níveis, são sempre feitas em relação ao fio médio. Quando perfeitamente nivelado, o eixo ótico ou eixo de colimação do aparelho descreve sempre um plano horizontal. B MIRAS As miras são réguas de madeira usadas no nivelamento para determinação de distâncias verticais. Existem vários tipos de miras: miras simples ou de alvo, miras falantes e miras de nível. As mais utilizadas nos trabalhos de topografia são as miras falantes, que são réguas de madeira ou alumínio com extensão de 3, 4 ou 5 metros, porém, em geral, de 4 metros. Elas possuem extremidades protegidas por uma peça de aço, tendo uma das faces graduadas. Os fabricantes de instrumentos topográficos apresentam miras com vários tipos de graduação. 3.5.3.2 PRINCÍPIO DO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO Consideremos dois pontos A e B da superfície terrestre ( Figura 04 ). Seja HH o traço de um plano horizontal qualquer, adotado como referência. Suponhamos instalado num ponto qualquer entre A e B um nível de luneta, e nos pontos A e B uma mira posta verticalmente, onde se faz as leituras lA e lB. Podemos expressar a diferença de nível, DN, entre A e B por:
  • 70. 64 DN = lA – lB ( 1 ) Podemos ainda escrever que: CB = CA + DN ( 2 ), ou CB = CA + ( lA – lB ) ( 3 ) A expressão ( 3 ) nos permite definir que o nivelamento geométrico é a operação que tem por finalidade determinar a cota de um ponto B da superfície terrestre, sendo conhecida a cota de um ponto A e as leituras feitas numa mira instalada em A e B. Quando não se dispõe de um RN, a cota do ponto A pode ser arbitrada, já que podemos escolher livremente o plano HH. Figura 04: Princípio do nivelamento geométrico 3.5.3.3 TIPOS DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO O nivelamento geométrico pode ser simples ou composto: A. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES O nivelamento geométrico é simples quando é possível visar de uma única estação de nível a mira colocada em todos os pontos do terreno a nivelar.
  • 71. 65 Tomemos como exemplo os pontos A, B e C cujos perfís dos alinhamentos AB e BC estão representados na Figura 05. Figura 05: Nivelamento geométrico simples Instala-se o nível em uma posição qualquer N, com a condição de ser possível visar a mira M colocada na vertical e sucessivamente nos pontos A, B e C. A primeira visada, feita no ponto A, início do nivelamento, é chamada “visada a ré” (VR) e as seguintes “visadas a vante” (VV ), que podem ser “vante de mudança” ( VV) ou “vante intermediária” (VI ). Conhecida a cota de A, seja por se tratar de um ponto nivelado anteriormente ou por arbitramento, chama-se “altura do instrumento” (AI ) a soma da cota deste ponto com a visada a ré feita em A ( VRA ), isto é: AI = CA + VRA Conhecida a visada feita em B ( VIB ), a cota do ponto B será calculada através da expressão: CB = AI – VIB e, por extensão, conhecida a visada em C ( VVC ), a cota do ponto C será: CC = AI - VVC
  • 72. 66 B. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO O nivelamento geométrico composto consiste em uma série de nivelamentos simples, articulados cada um com o anterior. Este tipo de nivelamento é realizado sempre que o relevo for acidentado, isto é, apresentar desníveis acentuados. Nesta situação a diferença de nível entre dois pontos poderá ultrapassar a altura da mira, obrigando o deslocamento do instrumento para um ponto que permita a sua visão. Por outro lado, a necessidade de deslocar o instrumento também se faz necessária quando as distâncias ultrapassarem o limite de alcance da luneta, o qual está limitado a 100 metros. Além desta distância as leituras poderão estar sujeitas a erros inadmissíveis. As posições dos pontos a nivelar são determinadas anteriormente por um levantamento planimétrico, e devem definir com propriedade o perfil do alinhamento entre eles, isto é, necessitam estar situados nos pontos onde há mudança de inclinação do terreno. Para execução de um nivelamento geométrico composto, a escolha do ponto de localização do nível é feita de modo que: a ) Haja condição de visar o maior número possível de pontos, respeitando o limite de 100 metros para a distância de visada; b ) Que a mira situada no último ponto nivelado do trecho anterior, possa ser visada. A Figura 06 mostra o exemplo de uma situação de campo para o nivelamento entre os pontos A e F.
  • 73. 67 Figura 06: Nivelamento geométrico composto Com o nível em N1 visa-se a mira em A e B e faz-se as leituras VRA e VVB, respectivamente, que correspondem às visadas a ré em A e vante em B. Em seguida instala-se o nível em N2, já que de N1 não será possível visar a mira em C. Em seguida efetua-se a leitura no último ponto, B, do nivelamento anterior, o que caracteriza a visada a ré VRB, e sucessivamente são efetuadas as leituras VIC em C e VVD em D. Repete-se a operação com o nível instalado em N3 e efetua-se as visadas VRD, VIE, e VVF. Conhecida ou arbitrada a cota CA do ponto inicial A, calcula-se as cotas dos demais pontos, através das seguintes operações aritméticas: AI1 = CA + VRA AI2 = CB + VRB AI3 = CD + VRD CB = AI1 - VVB CC = AI2 - VIC CE = AI3 - VIE CD = AI2 - VVD CF = AI3 - VVF O pontos “B” e “D” são pontos importantes no nivelamento geométrico composto porque é mediante estes que se articulam os trechos nivelados. Assim, estes pontos, receberão duas visadas, sendo a primeira para determinação da sua cota e denominada de “visada vante de mudança”
  • 74. 68 uma vez que a partir dela o aparelho muda de estação, e a segunda para determinação da nova altura do instrumento, sendo denominada de “visada a ré”. 3.5.4 ERRO DE NIVELAMENTO O nivelamento pode ser aberto ou fechado. É dito aberto quando não há retorno ao ponto inicial, ou quando não termina em um ponto de cota ou altitude conhecida. É fechado quando retorna ao ponto de partida, ou quando termina em um ponto de cota ou altitude conhecida. Nos nivelamentos abertos a verificação do erro cometido é feita retornando ao ponto de partida após a determinação da cota ou altitude do último ponto, fazendo-se o nivelamento em sentido contrário. Esta operação é denominada de Contranivelamento. 3.5.5 PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO As grandezas medidas no nivelamento geométrico são registradas em uma planilha denominada “planilha de nivelamento geométrico”, constituída das seguintes colunas: pontos nivelados ( estacas ), visadas a ré, altura do instrumento, visadas a vante ( intermediária e de mudança ), distâncias, cotas ou altitudes e observações, conforme planilha a seguir:
  • 75. 69 PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO Estaca Visada a ré Altura do Instrumento VisadaVante intermediária VisadaVante de Mudança Distância entre estaca Cotas ou Altitudes Observações 01 82,402m RN 1,230m 83,632m 35,50m 02 0,802m 25,00m 82,830m 03 2,542m 81,090m 1,980m 83,070m 30,00m 04 3,540m 35,00m 79,530m 05 2,150m 20,00m 80,920m 06 0,750m 82,320m Observa-se que na planilha de exemplo o instrumento ocupou duas posições: a primeira quando fez a visada a ré na estaca 01 de 1,230m para determinar a altura do instrumento de 83,632m; a segunda quando fez a visada a ré na estaca 03 de 1,980m para determinar a altura do instrumento de 83,070m, após ter efetuado a visada vante de mudança também na estaca 3. Por conseguinte, verifica-se que uma estaca de mudança recebe duas visadas, sendo uma para determinar a sua cota ( visada vante de mudança ) e a outra para determinar a nova altura do instrumento ( visada a ré ). Assim, a denominação visada a ré caracteriza aquela visada que sempre é feita para um ponto de cota conhecida com a finalidade de determinar a nova altura.
  • 76. 70 3.5.6 VERIFICAÇÃO DO CÁLCULO DA PLANILHA Considerando apenas as estacas de articulação entre os diversos trechos de nivelamento simples, já que é através destes pontos que o cálculo das cotas se propaga, temos de acordo com a Figura: AI1 = CA + VRA VVB = VMB CB = AI1 - VVB VVD = VMD AI2 = CB + VRB VVF = VMF CD = AI2 - VVD AI3 = CD + VRD CF = AI3 - VVF Somando membro a membro, temos: CF = CA + VRA – VMB + VRB - VMD + VRD - VMF CF = CA + ΣVR - ΣVVM, ou, CF – CA = ΣVR - ΣVVM, onde: CF = cota final CA = cota inicial ΣVR = soma das visadas a ré ΣVVM = soma das visadas vante de mudança, ou seja: A diferença entre as cotas extremas de um nivelamento é igual a soma das visadas a ré menos a soma das visadas vante de mudança. Para os nivelamentos fechados, temos: CF = CA ⇒ CF – CA = ΣVR - ΣVVM ⇒ ΣVR - ΣVVM = 0 Entretanto, na prática isto não ocorre e quando fechamos o nivelamento verifica-se que:
  • 77. 71 ΣVR - ΣVVM = εa, isto é, a soma das visadas a ré subtraída da soma das visadas vante de mudança é diferente de zero, o que indica o erro absoluto cometido, correspondente ao somatório dos erros cometidos nas leituras feitas na mira. O erro relativo, εr, será: εr = a p ε 2 1 onde 2p é o perímetro da poligonal ou a extensão do trecho nivelado quando se tratar do nivelamento de um alinhamento. O erro será admissível se estiver dentro dos limites de tolerância estabelecidos, sendo distribuído para as cotas dos diversos pontos nivelados. É comum considerar os seguintes limites: a ) Para nivelamentos de alta precisão: εr ≤ 1,5mm/Km b ) Para nivelamentos de precisão: εr ≤ 3mm/Km c ) Para nivelamentos de 2a ordem: εr ≤ 10mm/Km d ) Para nivelamentos de 3a ordem: εr ≤ 30mm/Km A precisão de um nivelamento depende da precisão do nível utilizado e da extensão da poligonal ou do trecho nivelado. Assim, temos para o erro admissível em um nivelamento a seguinte expressão: εad = e u , onde: e = precisão do nível em milímetro; u = perímetro da poligonal ou do trecho nivelado εad = erro admissível Exemplo: e = 2,5mm/Km u = 2,0Km εad = e u = 2,5mm 2 = 3,5mm O erro de nivelamento deverá ser distribuído em partes iguais nos pontos de estacionamento do nível.
  • 78. 72 AIn ad n . ε =∆ , onde: ∆n = parcelas a serem distribuídas εad = erro admissível n.AI = número de pontos de estacionamento do nível. Tomemos como exemplo a planilha abaixo referente a um nivelamento fechado, tendo como ponto de partida a estaca 01 e término na mesma estaca: PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO Estaca Visada à ré Alturado instrumento Visada Vante intermediária Visada Vante de mudança Distância entre estacas Cotas ou altitudes Observações 01 50,000m RN 1,650m 51,650m 10,00m 02 2,500m 10,00m 49,150m 03 1,400m 50,250m 1,200m 51,450m 15,00m 04 1,500m 20,00m 49,950m 05 1,650m 49,800m 0,780m 50,580m 25,00m 06 1,200m 30,00m 49,380m 07 1,350m 15,00m 49,230m 01 0,568m 50,012m Pela condição do nivelamento fechado, devemos ter: CF = CI, isto é, a cota final (CF) deve ser igual a cota inicial (CI). Entretanto, observa-se que a diferença CF-CI = 50,012m-50,000m = 12mm, ou seja, houve um erro de 12 milímetros no nivelamento. Admitindo-se que se trata de um erro admissível, a parcelas a serem distribuídas serão:
  • 79. 73 AIn ad n . ε =∆ = 3 12mm = 4mm Estes 4mm serão distribuídos acumulativamente nos pontos de estacionamento do aparelho, ou uniformemente nas visadas à ré. O primeiro será subtraído de 4mm, pois o erro foi para maior; o segundo de 8mm e o terceiro de 12mm, ficando a tabela corrigida com os seguintes valores para as cotas e alturas do instrumento: PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO CORRIGIDA Estaca Visada à ré Alturado instrumento Visada Vante intermediária Visada Vante de mudança Distância entre estacas Cotas ou altitudes Observações 01 50,000m RN 1,646m 51,646m 10,00m 02 2,500m 10,00m 49,146m 03 1,400m 50,246m 1,196m 51,442m 15,00m 04 1,500m 20,00m 49,942m 05 1,650m 49,792m 0,776m 50,568m 25,00m 06 1,200m 30,00m 49,368m 07 1,350m 15,00m 49,218m 01 0,568m 50,000m Observa-se que na primeira altura do instrumento foram retirados 4mm, na segunda 8mm e na terceira 12mm, resultando a cota da estaca 01, no final, igual à cota inicial (RN). 3.6 CURVAS DE NÍVEL As curvas de nível, também conhecidas como curvas horizontais ou hipsométricas, foram utilizadas pela primeira vez em 1730 pelo engenheiro
  • 80. 74 Cruquius no traçado das curvas dos leitos dos rios ( Espartel, 1978 ). São as linhas que ligam os pontos, na superfície topográfica, que possuem a mesma cota ou altitude. A sua construção é feita segundo intervalos que definem a diferença de cota ou altitude entre duas curvas consecutivas. Estes intervalos dependem da escala da planta e da declividade do terreno. Assim, por exemplo, um terreno com declividade de 40%, apresenta uma queda de nível de 1 metro em cada 2,50 metros de distância horizontal. Se formos representar esta declividade em curvas de nível equidistantes de 1 metro em uma escala de 1:8.000, o afastamento entre elas será: md D d E 0003125,0 000.8 50,2 000.8 1 ==⇒== seja, o afastamento será de praticamente 0,3mm, ficando as referidas curvas quase que remontadas. Para plantas em escala maiores que 1:1.000, estes intervalos podem ser menor que 1 metro; nas escalas até 1:1.000, 1 metro, e 2 metros até 1:2.000. As curvas de nível resultam da projeção ortogonal das interseções de planos horizontais equidistantes, paralelos entre si e a um plano horizontal de referência, que é o Plano-Topográfico de projeção ( Figura 07 ). Este plano de projeção se confunde com a superfície de nível médio do mar ( Geóide ) num trecho relativamente limitado da superfície da Terra. As curvas de nível projetadas sobre o Plano-Topográfico, conservam sua forma e suas dimensões nesse plano. A Figura 08 mostra uma planta topográfica planialtimétrica com a redução de suas dimensões de acordo com a escala adotada para o desenho.
  • 81. 75 Figura 07: Relevo e sua representação em curva de nível Figura 08: Planta Topográfica planialtimétrica em uma escala E 3.6.1 TRAÇADO DAS CURVAS DE NÍVEL Para traçarmos as curvas de nível há necessidade de locarmos um número suficiente de pontos sobre a superfície topográfica para, em
  • 82. 76 seguida, mediante nivelamento, determinarmos as suas cotas ou altitudes. A locação dos pontos a serem nivelados pode ser feita de três formas: a ) Estabelecimento de uma malha quadriculada; b ) Determinação taqueométrica por irradiação; c ) Perfis transversais. O estabelecimento de uma malha quadriculada resulta em um trabalho de boa precisão, porém é muito demorado e dispendioso não sendo conveniente a sua aplicação em áreas muito grandes. É recomendada a sua utilização em trabalhos de terraplanagem, uma vez que envolve grandes somas de dinheiro, o que justifica a sua aplicação. O método consiste em piquetear o terreno segundo uma malha quadrada e, em seguida, efetuar o nivelamento geométrico dos piquetes. A determinação taqueométrica das cotas é feita por irradiação a partir dos vértices da poligonal de apoio, escolhendo-se pontos aleatoriamente, porém representativos das variações do relevo. Para isto concorre a experiência do topógrafo. A determinação taqueométrica por irradiação é muito utilizada para áreas extensas como as utilizadas para implantação de loteamentos. O método dos perfis transversais é utilizado para terrenos de pequena largura e muito compridos, o que facilita o traçado de perfis transversais equidistantes ou não. Estas características o recomendam para o nivelamento de obras civis lineares como rodovias, ferrovias, adutoras, linhas de transmissão e oleodutos. Em rodovias, as seções transversais são niveladas taqueométricamente distando cada uma da outra, 20 metros. Efetuado o nivelamento e locados os pontos em planta, procede-se à operação seguinte que é a interpolação. A interpolação consiste em estimar
  • 83. 77 valores de cotas ou altitudes de pontos situados entre outros cujas cotas ou altitudes foram determinadas no campo. Para que não se faça interpolações desnecessárias e errôneas, as seguintes observações devem ser feitas: a ) Proximidade imediata dos pontos de interpolação; b ) As direções de interpolação não devem se cruzar; c ) As direções de interpolação não devem passar próximas a pontos de cota conhecida. 3.6.2 INTERPOLAÇÃO A interpolação pode ser feita graficamente ou analiticamente. No método gráfico, a rotina do processo é a seguinte: a ) Os pontos do terreno locados panimetricamente e cujas cotas foram determinadas pelos métodos já descritos, são lançados no desenho. Na parte “a” da Figura 09 vemos os quatros pontos de cotas 101,5, 102,8, 108,4 e 103,5. Estas cotas em geral resultam fracionárias; b ) No passo seguinte ligam-se os pontos de cotas mais baixas ao ponto mais próximo de cota mais elevada, 108,4, conforme mostrado na parte “b” da Figura 09 e, em seguida, determina-se em cada um dos segmentos de reta os pontos de cota inteira por interpolação entre as cotas extremas; c ) Por fim, ligam-se por linhas traçadas manualmente os pontos de cotas inteiras iguais, as quais constituem as curvas de nível conforme mostrado na parte “c”da Figura 09.
  • 84. 78 Figura 09: Traçado das curvas de nível ( Mesquita, 1969 ). 3.6.3 DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE COTA INTEIRA A graduação de uma reta cujos pontos extremos são de cota conhecida, é feita adotando-se o seguinte procedimento: Na Figura 10 temos os pontos A e B cujas cotas são 102,6 e 108,2m respectivamente. Traça-se um segmento de reta auxiliar AM indefinido formando um ângulo aproximado de 45o com o segmento AB. Em seguida procede-se à graduação da reta auxiliar segundo a escala do desenho, obtendo-se os pontos 103, 104, 105, 106, 107, 108 e o ponto B’ 108,2 sobre o segmento auxiliar. Na etapa seguinte ligam-se os pontos de mesma cota ( B’e B ), traçando-se o segmento B’B. Paralelamente ao segmento B’B,
  • 85. 79 traçam-se segmentos de reta que interceptarão o segmento AB que une os dois pontos de cota conhecida ( 102,6 e 108,2 ). Com este procedimento determinam-se sobre AB os pontos de cotas 103, 104, 105, 106, 107 e 108.O processo baseia-se no Teorema de Thales de divisão de um segmento em partes proporcionais. Figura 10: Graduação de um segmento de reta a partir de um auxiliar ( Mesquita, 1969 ). Outro método de interpolação gráfica também pode ser utilizado. Na Figura 11 os pontos A e C são de cotas conhecidas. Traçam-se por A e C duas paralelas não necessariamente perpendiculares ao segmento de reta AC. Marcam-se as distâncias 0,4 e 0,7, que na escala do desenho correspondem às distâncias necessárias para se chegar de 15,6 a 16 e de 16,7 a 16. Determinam-se, assim, os pontos F e M que unidos pelo
  • 86. 80 segmento de reta FM intercepta o segmento AC no ponto N que possui a cota 16 procurada entre A e C. Figura 11: Interpolação gráfica e analítica A interpolação analítica é feita por semelhança de triângulos. Na Figura 11 os triângulos FAN e MCN são semelhantes. Portanto: mxxxxx x x x x FA CM 27,7 1,1 8 84,07,04,087,0 20 4,0 7,020 ==⇒=+⇒−=⇒ − =⇒ − = Como x é igual à distância AN do ponto A até o ponto N no segmento de reta AC, marca-se então, na escala do desenho, a distância de 7,27m localizando-se o ponto N.
  • 87. 81 EXERCÍCIOS 1 ) Completar a planilha de nivelamento geométrico abaixo com os valores que faltam, fazer a prova de cálculo e o esquema do procedimento de campo adotado. Estaca Visada a ré Altura do instrumento Visada Vante Intermediária Visada Vante de Mudança Cota RN-20 52,423 52,562 2 50,140 3 3,520 0,402 4 47,919 5 1,100 6 1,960 44,768 7 2,713 44,535 8 41,313 9 40,715 10 2,350 11 3,720 42,113 12 3,583 2 ) Admitindo a distância de 20 metros entre as estacas, desenhar o perfil topográfico correspondente ao trecho nivelado. 3 ) O esquema abaixo é de um nivelamento geométrico realizado na encosta de uma elevação. A linha pontilhada representa, em planta, os obstáculos da encosta que obrigaram o deslocamento sucessivo do aparelho. Os algarismos romanos indicam as posições ocupadas pelo aparelho, e os arábicos até 14 as estacas de nivelamento. As cotas dos pontos e alturas do instrumento fornecidas, estão ao lado do número correspondente. Os números ao longo das setas indicam as leituras de mira. Pede-se: organizar a planilha de cálculo, calcular o erro de nivelamento e fazer a distribuição deste erro em cada uma das estacas.
  • 88. 82 4 ) Baseando-se no esquema de procedimento de campo abaixo, adotado para nivelamento do perfil da estaca 01 para a estaca 08, montar a planilha de nivelamento correspondente com todos os valores dados, calculados e fazer a prova de cálculo. 5 ) Admitindo a distância de 30 metros entre as estacas 1-2, 3-4, 5-6 e 20 metros entre as demais estacas, desenhar o perfil topográfico correspondente. 6 ) O levantamento topográfico de um terreno apresentou os seguintes resultados: a ) do vértice 1 para o vértice 2, Az1,2 = 204o 12’30”; dH1,2 = 44,395m b ) do vértice 2 para o vértice 3, Az2,3 = 277o 57’30”; dH2,3 = 41,728m c ) do vértice 3 para o vértice 4, Az3,4 = 20o 54’30”; dH3,4 = 36,012m d ) do vértice 4 para o vértice 1, a distância determinada foi de 46,575 metros. Com base nestes resultados, determinar o azimute do vértice 4 para o vértice 1, Az4,1. 7) Em um determinado levantamento topográfico, a altura do aparelho na estaca 1 era de 1,56 metros, e os ângulos zenitais e respectivas leituras de mira posicionada na estaca 2 foram: γ1 = 91o 55’40”; l1 = 2,100m γ2 = 91o 01’30”; l2 = 2,800m Admitindo como sendo 52,250m a cota da estaca 1, qual é a cota da estaca 2 e qual o comprimento do lado 1-2?
  • 89. 83 3.7 ELABORAÇÃO DE UM PERFIL TOPOGRÁFICO A PARTIR DA PLANTA TOPOGRÁFICA COM CURVAS DE NÍVEL. Na Figura 12 temos as curvas de nível representativas do relevo de uma determinada área, equidistantes de 1m. Interessa-nos elaborar o perfil topográfico definido pelo segmento A-B. A extremidade A deste segmento intercepta a curva de nível de cota 91m no ponto “a” e a extremidade B a curva de nível de cota 97m no ponto “g”. No prolongamento de A para B são interceptadas as curvas de nível 92, 93, 94, 95 e 96m, nos pontos “b”, “c”, “d”, “e” e “f” respectivamente. O procedimento para elaboração do perfil topográfico é o seguinte: a ) Traçamos, na porção superior ou inferior como mostrado na Figura 12, o segmento A’- B’ paralelo a A-B; b ) Em seguida traçamos paralelas a A’- B’, tantas quantas forem as diferentes curvas de nível interceptadas pelo segmento A-B. Estas paralelas deverão estar afastadas de uma distância correspondente à equidistância das curvas de nível da planta. No nosso exemplo ela é de 1 metro. Por outro lado, elas também deverão ser cotadas de baixo para cima em ordem crescente, recebendo a primeira linha a menor cota e, a última, a maior cota compreendida pelo perfil em questão. No nosso exemplo estas cotas são a 91 e a 97; c ) No passo seguinte, projetam-se os pontos “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “f “e “g” sobre o segmento paralelo a A’- B’ de cota correspondente. Assim obtemos os pontos a’, b’, c’, d’, e’, f’e g’. A união destes pontos fornece o perfil topográfico definido pelo segmento A-B. No desenho de um perfil topográfico temos duas escalas a serem consideradas: a escala horizontal, Eh , e a escala vertical, Ev. Quando elaboramos o perfil na própria planta, como no exemplo, a escala horizontal será a da planta. No nosso exemplo da Figura 12 a escala da planta é 1:200. Nesta escala está representado o segmento A-B e todas as suas paralelas. Com relação à escala vertical, ela poderá ser alterada, caso seja interesse realçar as irregularidades do relevo, o que pode ser feita aumentando-se a escala, resultando em um maior afastamento das paralelas a A’- B’. Na Figura 12 a escala vertical adotada também foi de 1:200.
  • 90. 84 Figura 12: Elaboração de um perfil topográfico 3.8 DETERMINAÇÃO DA COTA DE UM PONTO SITUADO ENTRE CURVAS DE NÍVEL Na figura 13 temos o ponto “d”situado entre as curvas de nível de cotas 92 e 93 metros. Interessa-nos saber qual é a cota do ponto “d”. O procedimento é o descrito a seguir: a ) Traçamos o segmento a-a’contendo o ponto “d”e perpendicular às duas curvas de nível. Quando não for possível este perpendicularismo simultâneo, procura-se fazê-lo o mais próximo permitido; b ) No passo seguinte medimos o comprimento dos segmentos a-a’e a-d, estabelecendo a seguinte proporção: da aa − − ' = cd aa − − "' No nosso exemplo os valores são os seguintes: a-a’= 1cm; a-d = 0,4cm; a’- a”= 1 metro que é a equidistância entre as curvas de nível;
  • 91. 85 d-c é a incógnita que corresponde ao desnível do ponto “d”em relação ao ponto “a” conforme mostra o perfil na porção inferior da Figura 13. Fazendo as substituições na proporção estabelecida, encontramos o valor 0,4 metro, que resulta então na cota de 92,4 metros para o ponto “d”, isto é, 92 + 0,4 = 92,4. Figura 13: Determinação da cota de um ponto situado entre curvas de nível 3.9 ELABORAÇÃO DE UM PERFIL TOPOGRÁFICO A PARTIR DE PONTOS NIVELADOS. Tomemos as cotas das estacas niveladas da planilha de nivelamento geométrico da página 69. A partir desta planilha traçamos o perfil da Figura 14. O procedimento adotado foi o descrito a seguir: a ) Adotamos um sistema de eixos cartesianos, onde no eixo “x”, conhecido como eixo das abcissas, lançamos as distâncias entre estacas. De acordo
  • 92. 86 com a planilha tomada como exemplo, temos as estacas 01, 02, 03, 04, 05 e 06. Para simplificar, alteramos as distâncias entre estacas para 10 metros. Esta distância deverá ser lançada de acordo com a escala horizontal escolhida. No nosso exemplo da Figura 14 a escala adotada foi 1:500, onde cada centímetro no desenho representa cinco metros de distância real entre estacas; b ) No eixo “y”, conhecido como eixo das ordenadas, lançamos as cotas ou altitudes das estacas constantes da planilha tomada como exemplo. Estas cotas ou altitudes também deverão ser lançadas de acordo com a escala vertical adotada. No exemplo a escala adotada foi 1:50, onde cada centímetro no desenho representa 0,50 metros de desnível; c ) No passo seguinte traçamos paralelas ao eixo das cotas passando pelas diversas estacas (linhas verticais). Em seguida traçamos paralelas ao eixo das estacas (linhas horizontais) cruzando o eixo das cotas nos pontos onde elas foram assinaladas. O cruzamento das linhas verticais das estacas com as linhas horizontais correspondestes às suas cotas, determinam a sua posição na superfície topográfica. A união destes pontos fornece o perfil topográfico desejado.
  • 93. 87 Figura 14: Elaboração de perfil topográfico a partir de pontos nivelados 3.10 DETERMINAÇÃO DA DECLIVIDADE ENTRE DOIS PONTOS A declividade, em porcentagem, entre dois pontos é determinada calculando-se a tangente do ângulo que o segmento de reta que une estes dois pontos forma com a horizontal. Por exemplo, na Figura 14 a declividade entre as estacas 4 e 6 é calculada achando-se a tangente que o segmento de reta, que une as duas estacas em questão, forma com a horizontal e, em seguida, multiplica-se por 100. Desta maneira temos: Declividade E4-E6 = 20 79,2 x 100% = 13,95%
  • 94. 88 Quando temos o ângulo de inclinação da rampa e pretendemos saber qual é a sua declividade em porcentagem, basta multiplicar a tangente do ângulo de inclinação por 100. Se o ângulo de inclinação do segmento que une dois pontos da superfície topográfica é de 20o 30’40”, então sua declividade será: Declividade = tg 20o 30’40” x 100 = 37,41% A determinação da declividade entre dois pontos é importante no traçado dos arruamentos dos projetos de loteamentos, pois a Lei no 1208 de 25/03/1975 – Código de Obras, estabelece em seu Art. 272, Inciso V: “as declividades máximas das vias urbanas serão de 10% e as mínimas de 0,5%. Poder-se-ão admitir declividades até 15% mediante cabal demonstração de impossibilidade prática de atendimento”. Ainda com relação à mesma Lei, em seu Art. 275, fica determinado que: “Nos loteamentos não se admitirão lotes para fins habitacionais ou reservados para equipamentos comunitários em terrenos de declividade superior a 30% salvo quando nas faixas ribeirinhas e nas áreas oficialmente declaradas estâncias hidrominerais”.
  • 95. 89 4 NOÇÕES DE TERRAPLANAGEM Terraplanagem ou terraplenagem compreende o conjunto de operações de escavação, transporte, deposição e compactação de terras necessárias para realização de uma obra. Dependendo dos volumes de corte e aterro envolvidos, e do tipo de equipamento utilizado temos: terraplanagem manual, terraplanagem mecanizada e terraplanagem compensada: a) Terraplanagem manual: quando utiliza equipamentos manuais e rudimentares como pá, picareta, enxada e veículos de tração animal para o transporte do material envolvido; b) Terraplanagem mecanizada: quando emprega máquinas e veículos especializados como bowldozers, scrapers, motoniveladora, pá carregadeira, caminões fora-de-estrada, rôlo pé-de-carneiro, rôlo liso de aço, rôlo vibratório, rôlo pneumático etc... c) Terraplanagem compensada: quando há equivalência entre os volumes escavados e aterrados, resultando em um mínimo de material para bota- fora ou empréstimo. No processo de escavação e aterro de uma obra de terraplanagem, surgem os TALUDES ARTIFICIAIS, que são as superfícies inclinadas próximas a obras civís lineares, mineração, etc. Distinguem-se dos taludes naturais que são as superfícies inclinadas do relevo. Nos projetos de terraplanagem estes taludes artificiais são especificados através da inclinação a ser adotada, a qual deverá ser compatível com a resistência mecânica do material envolvido. Ela é expressa através da relação entre o desnível de dois pontos situados sobre a superfície do talude, e a distância horizontal entre eles. Assim, temos taludes 2:1, 1:1, 3:1, 1:2, 1:3 etc (Figura 15).
  • 96. 90 Figura 15: Exemplos de taludes de corte e aterro. Os pontos P e T são as interseções da superfície de corte ou aterro com a superfície topográfica. Definem o pé e o topo do talude. A união de todos os pontos do topo resulta na linha de “off-set”, que servirá de orientação para o operador de máquinas ao iniciar o corte. Os taludes de aterro, em geral, são mais abatidos e portanto o numerador é sempre menor que o denominador na fórmula de especificação (letra c da Figura 15). O ângulo “α” ( inclinação do talude ) pode ser calculado através do arctgα. Assim, por exemplo, o ângulo do talude exemplificado na letra “a” da Figura 15 será: Arctgα = 1 2 = 63o 26’05” Taludes com ângulo de inclinação muito acentuado são escavados em rochas ( Figura 16 ). Assim, por exemplo, temos taludes 4:1, 5:1 etc.., cujos ângulos de inclinação correspondem a 75o 57’49” e 78o 41’24” respectivamente. Quando escavados em solo ou rocha alterada, são mais abatidos, isto é, o seu ângulo de inclinação é menor, resultando em taludes 1:1, 1:0,7, 1:2. A Figura 17 mostra um talude escavado em solo no Km 06 da BR-174
  • 97. 91 Figura 16: Taludes escavados em rocha em uma mina de calcário Foto: Bento, 1993. Figura 17: Talude escavado em solo no Km 06 da BR-174 Foto: Bento, 1998.