Matemática Aplicada: Conceitos Básicos

APOSTILA

Matemática Aplicada

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

UTFPR

Lauro César Galvão

ii

Índices
1 SISTEMATIZAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...............................................1-1
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................................................................1-1
1.1.1 Conjunto dos números naturais...................................................................................................1-1
1.1.2 Conjunto dos números inteiros....................................................................................................1-1
1.1.3 Conjunto dos números racionais.................................................................................................1-1
1.1.4 Conjunto dos números irracionais..............................................................................................1-3
1.1.5 Conjunto dos números reais.........................................................................................................1-4
1.2 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.......................................................................................................1-4
1.2.1 Noções primitivas...........................................................................................................................1-4
1.2.2 Igualdade de conjuntos.................................................................................................................1-5
1.2.3 Subconjuntos...................................................................................................................................1-5
1.2.4 União de conjuntos........................................................................................................................1-5
1.2.5 Intersecção de conjuntos...............................................................................................................1-6
1.2.6 Diferença de conjuntos..................................................................................................................1-6
1.3 INTERVALOS ....................................................................................................................................1-7
1.3.1 Operações com intervalos............................................................................................................1-8
2 FUNÇÕES ................................................................................................................................... 2-10
2.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO ........................................................................................2-10
2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO................................................................................................................2-11
2.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO..................................................................................................................2-13
2.4 DOMÍNIO , CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO.......................................................2-13
2.5 FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14
2.6 FUNÇÃO INVERSA ..........................................................................................................................2-16
2.6.1 Determinação da função inversa.............................................................................................. 2-16
3 FUNÇÃO POLINOMIAL ...................................................................................................... 3-18
3.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU .............................................................................................3-18
3.1.1 Função linear............................................................................................................................... 3-18
3.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau....................................................................... 3-18
3.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico................................................................. 3-19
3.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau................................ 3-20
3.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................................. 3-21
3.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU ............................................................................................................3-22
3.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ....................................................................................... 3-23
3.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau.......................................................................................... 3-23
3.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-24
3.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU .............................................................................................3-26
3.3.1 Gráfico de uma função quadrática .......................................................................................... 3-26
3.3.2 Concavidade................................................................................................................................. 3-26
3.3.3 Zeros de uma função quadrática.............................................................................................. 3-27
3.3.4 Vértice da parábola .................................................................................................................... 3-27
3.3.5 Gráfico de uma parábola........................................................................................................... 3-28
3.3.6 Estudo do sinal da função quadrática..................................................................................... 3-28
3.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU ............................................................................................................3-29
3.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ....................................................................................... 3-29
3.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau.......................................................................................... 3-30
3.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-31
4 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 4-34
4.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO .........................................................................................................4-34
4.1.1 Potências com expoente natural............................................................................................... 4-34
4.1.2 Potências com expoente inteiro................................................................................................ 4-34
4.1.3 Potências com expoente racional............................................................................................. 4-34
4.1.4 Potências com expoente real..................................................................................................... 4-34
4.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS...........................................................................................................4-35
4.2.1 Resolução de equações exponenciais...................................................................................... 4-36
4.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios............................................. 4-37
4.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................................4-37

iii
4.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano............................................................ 4-38
4.3.2 Características da função exponencial ................................................................................... 4-39
4.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................4-39
4.4.1 Resolução de inequações exponenciais................................................................................... 4-39
5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................... 5-41
5.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO .........................................................................................................5-41
5.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO.................................................................................................5-41
5.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS..............................................................................................5-42
5.4 COLOGARITMO..............................................................................................................................5-42
5.5 M UDANÇA DE BASE ......................................................................................................................5-43
5.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................................5-44
5.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano............................................................. 5-44
5.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ......................................................................................................5-45
6 TRIGONOMETRIA ................................................................................................................ 6-47
6.1 TRIÂNGULO RETÂNGULO.............................................................................................................6-47
6.2 RELAÇÕES MÉTRICAS NO T RIÂNGULO RETÂNGULO .................................................................6-47
6.3 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .....................................................6-49
6.4 CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES.............................................................................................6-50
6.4.1 Ângulos complementares........................................................................................................... 6-51
6.4.2 Divisão.......................................................................................................................................... 6-51
6.4.3 Aplicando o teorema de Pitágoras........................................................................................... 6-51
6.5 Â NGULOS NOTÁVEIS.....................................................................................................................6-52
6.6 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA OU CICLO TRIGONOMÉTRICO ......................................6-54
6.6.1 Arco de circunferência............................................................................................................... 6-54
6.6.2 Medidas de arcos........................................................................................................................ 6-54
6.6.3 Ciclo trigonométrico................................................................................................................... 6-56
6.6.4 Arcos côngruos............................................................................................................................ 6-57
6.7 SENO E COSSENO DE UM ARCO....................................................................................................6-59
6.7.1 Conseqüências............................................................................................................................. 6-59
6.7.2 Função seno e função cosseno.................................................................................................. 6-59
6.7.3 Gráfico das funções seno e cosseno......................................................................................... 6-60
6.8 TANGENTE DE UM ARCO ..............................................................................................................6-62
6.8.1 Conseqüências............................................................................................................................. 6-62
6.8.2 Função tangente.......................................................................................................................... 6-62
6.8.3 Gráfico da função tangente....................................................................................................... 6-62
6.9 COTANGENTE DE UM ARCO .........................................................................................................6-63
6.9.1 Conseqüências............................................................................................................................. 6-64
6.9.2 Função cotangente...................................................................................................................... 6-64
6.9.3 Gráfico da função cotangente................................................................................................... 6-64
6.10 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO.......................................................................................6-64
6.10.1 Função secante e cossecante..................................................................................................... 6-65
6.10.2 Gráfico da função secante......................................................................................................... 6-65
6.10.3 Gráfico da função cossecante................................................................................................... 6-66
6.11 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...................................................................................................6-67
6.11.1 Usando o teorema de Pitágoras............................................................................................... 6-67
6.11.2 Usando semelhança entre triângulos...................................................................................... 6-68
6.12 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS..............................................................................................6-69
6.12.1 Processo para demonstrar identidades................................................................................... 6-69
7 MATRIZES ................................................................................................................................ 7-72
7.1 CONCEITO DE MATRIZ ..................................................................................................................7-72
7.1.1 Algumas matrizes especiais....................................................................................................... 7-73
7.2 M ATRIZ QUADRADA .....................................................................................................................7-73
7.2.1 Matriz identidade........................................................................................................................ 7-73
7.2.2 Matriz diagonal ........................................................................................................................... 7-74
7.2.3 Matriz oposta ............................................................................................................................... 7-74
7.3 IGUALDADE DE MATRIZES ...........................................................................................................7-74
7.3.1 Matriz transposta ........................................................................................................................ 7-75
7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES........................................................................................................7-75
7.4.1 Adição de matrizes...................................................................................................................... 7-75
7.4.2 Subtração de matrizes................................................................................................................ 7-75

iv
7.4.3 Produto de um número real por uma matriz.......................................................................... 7-76
7.4.4 Produto de matrizes.................................................................................................................... 7-77
7.4.5 Matriz inversa.............................................................................................................................. 7-78
8 DETERMINANTES ................................................................................................................. 8-80
8.1 DETERMINANTE DE 1A ORDEM ....................................................................................................8-80
8.3.1 Regra de Sarrus........................................................................................................................... 8-81
8.4 DETERMINANTE DE ORDEM MAIOR QUE 3.................................................................................8-82
8.4.1 Menor complementar.................................................................................................................. 8-82
8.4.2 Cofator ou complemento algébrico.......................................................................................... 8-82
8.4.3 Conclusões ................................................................................................................................... 8-83
8.4.4 Teorema de Laplace ................................................................................................................... 8-84
8.4.5 Teorema de Binet ........................................................................................................................ 8-86
8.4.6 Determinante da matriz inversa ............................................................................................... 8-86
9 SISTEMAS LINEARES .......................................................................................................... 9-88
9.1 EQUAÇÃO LINEAR .........................................................................................................................9-88
9.1.1 Solução de uma equação linear................................................................................................ 9-88
9.2 SISTEMA LINEAR ...........................................................................................................................9-89
9.2.1 Sistemas lineares equivalentes.................................................................................................. 9-90
9.3 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ..................................................................................9-91
9.4 M ATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR.......................................................................9-91
9.4.1 Forma matricial do sistema linear........................................................................................... 9-91
9.5 REGRA DE CRAMER......................................................................................................................9-92
9.6 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO................................................9-94
10 GEOMETRIA ..........................................................................................................................10-99
10.1 POLÍGONOS ..................................................................................................................................10-99
10.1.1 Polígonos regulares..................................................................................................................10-99
10.1.2 Área do triângulo......................................................................................................................10-99
10.1.3 Área do paralelogramo..........................................................................................................10-103
10.1.4 Área dos paralelogramos notáveis.......................................................................................10-103
10.1.5 Área do trapézio......................................................................................................................10-104
10.1.6 Área e comprimento de um círculo......................................................................................10-106
10.1.7 Área da coroa circular...........................................................................................................10-106
10.1.8 Área do setor circular............................................................................................................10-107
10.1.9 Área do segmento circular....................................................................................................10-107
10.2 GEOMETRIA ESPACIAL............................................................................................................. 10-109
10.2.1 Poliedros...................................................................................................................................10-109
10.2.2 Poliedros regulares.................................................................................................................10-111
10.2.3 Prismas .....................................................................................................................................10-114
10.2.4 Pirâmides..................................................................................................................................10-121
10.2.5 Tronco de pirâmide.................................................................................................................10-123
10.2.6 Cilindros...................................................................................................................................10-128
10.2.7 Cones.........................................................................................................................................10-131
10.2.8 Tronco de cone ........................................................................................................................10-133
10.2.9 Esferas.......................................................................................................................................10-137
11 GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETAS .......................................................11-143
11.1 SEGMENTO DE RETA ................................................................................................................ 11-143
11.2 SEGMENTO ORIENTADO........................................................................................................... 11-143
11.2.1 Eixo............................................................................................................................................11-143
11.3 M EDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO ORIENTADO.......................................................... 11-143
11.3.1 Abscissa de um ponto.............................................................................................................11-144
11.3.2 Ponto médio .............................................................................................................................11-145
11.4 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ......................................................................... 11-145
11.4.1 Distância entre dois pontos...................................................................................................11-147
11.4.2 Área de um triângulo..............................................................................................................11-147
11.4.3 Condição de alinhamento de três pontos............................................................................11-149
11.5 ESTUDO DA RETA ..................................................................................................................... 11-150
11.5.1 Equação geral da reta............................................................................................................11-150

v
11.5.2 Retas particulares...................................................................................................................11-151
11.5.3 Posições relativas entre duas retas......................................................................................11-153
11.5.4 Coeficiente angular ou declividade de uma reta...............................................................11-154
11.5.5 Equação reduzida da reta......................................................................................................11-156
11.5.6 Equação da reta, dados um ponto e a direção...................................................................11-157
11.5.7 Paralelismo entre retas..........................................................................................................11-157
12 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA..................................................12-158
12.1 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................ 12-158
12.1.1 Equação reduzida da circunferência...................................................................................12-158
12.1.2 Equação geral da circunferência.........................................................................................12-159

vi

Índices de Figuras
[FIG. 1]: RETA REAL R .................................................................................................................................1-4
[FIG. 2]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A E B ..........................................................................................1-5
[FIG. 3]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (SUBCONJUNTOS)...................................................1-6
[FIG. 4]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇA). ...............1-7
[FIG. 5]: GRÁFICO DO INTERVALO ]−2,3]....................................................................................................1-7
[FIG. 6]: REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR DIAGRAMA......................................................................2-10
[FIG. 7]: REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR SISTEMA CART ESIANO...................................................2-11
[FIG. 8]: FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14
[FIG. 9]: CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA. ......................................................................3-26
[FIG. 10]: VÉRTICE DE PARÁBOLAS (∆>0 PARA AS DUAS). .......................................................................3-27
[FIG. 11]: GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a >1)................................................5-44
[FIG. 12]: GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0< a <1). ..........................................5-45
[FIG. 13]: ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO.................................................................................6-47
[FIG. 14]: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.....................................................6-49
[FIG. 15]: TRIÂNGULO A B C QUE DEFINE AS RAZÕES.........................................................................6-49
[FIG. 16]: TRIÂNGULO A B C , CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES. ....................................................6-51
[FIG. 17]: A RCO DE CIRCUNFERÊNCIA.........................................................................................................6-54
[FIG. 18]: CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO r . ....................................................................................................6-55
[FIG. 19]: QUADRANTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO..............................................................................6-56
[FIG. 20]: M EDIA DE ARCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO........................................................................6-56
[FIG. 21]: A RCO α PARA O CONCEITO DE SENO E COSSENO......................................................................6-59
[FIG. 22]: GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.........................................................................................................6-60
[FIG. 23]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO..................................................................................................6-61
[FIG. 24]: A RCO α PARA O CONCEITO DE TANGENTE. ...............................................................................6-62
[FIG. 25]: GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE...............................................................................................6-63
[FIG. 26]: A RCO α PARA O CONCEITO DE COTANGENTE............................................................................6-63
[FIG. 27]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE..........................................................................................6-64
[FIG. 28]: A RCO α PARA O CONCEITO DE SECANTE E COSSECANTE.........................................................6-65
[FIG. 29]: GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE..................................................................................................6-65
[FIG. 30]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE...........................................................................................6-66
[FIG. 31]: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO....................................................................................6-67
[FIG. 32]: FUNÇÕES ADAPTADAS NO CICLO................................................................................................6-67
[FIG. 33]: TRIÂNGULOS SEMELHANTES.......................................................................................................6-67
[FIG. 34]: TABELA DE NOTAS........................................................................................................................7-72
[FIG. 35]: DIAGONAIS DE UMA MATRIZ.......................................................................................................7-73
[FIG. 36]: DETERMINANTE PELA REGRA DE SARRUS.................................................................................8-81
[FIG. 37]: POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCAVO . ........................................................................10-99
[FIG. 38]: HEXÁGONO REGULAR: 6 LADOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES. ................10-99
[FIG. 39]: Á REA 1 DO TRI ÂNGULO ........................................................................................................... 10-100
[FIG. 40]: Á REA 2 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-100
[FIG. 41]: Á REA 3 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-101
[FIG. 42]: RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A INSCRITA.................................................................................... 10-102
[FIG. 43]: RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A CIRCUNSCRITA.......................................................................... 10-102
[FIG. 44]: Á REA DO PARALELOGRAMO................................................................................................... 10-103
[FIG. 45]: RETÂNGULO.............................................................................................................................. 10-103
[FIG. 46]: LOSANGO . ................................................................................................................................. 10-103
[FIG. 47]: QUADRADO............................................................................................................................... 10-104
[FIG. 48]: TRAPÉZIO .................................................................................................................................. 10-104
[FIG. 49]: CÍRCULO.................................................................................................................................... 10-106
[FIG. 50]: COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-106
[FIG. 51]: SETOR CIRCULAR..................................................................................................................... 10-107
[FIG. 52]: SEGMENTO CIRCULAR............................................................................................................. 10-107
[FIG. 53]: Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO ......................................... 10-108
[FIG. 54]: Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE CONTÉM O CENTRO.................................................. 10-108
[FIG. 55]: POLIEDRO.................................................................................................................................. 10-109
[FIG. 56]: POLIEDROS CONVEXOS............................................................................................................ 10-109
[FIG. 57]: POLIEDRO NÃO-CONVEXO...................................................................................................... 10-109
[FIG. 58]: TEOREMA DE EULER................................................................................................................ 10-110

vii
[FIG. 59]: TETRAEDRO REGULAR............................................................................................................. 10-112
[FIG. 60]: HEXAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112
[FIG. 61]: OCTAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112
[FIG. 62]: DODECAEDRO REGULAR......................................................................................................... 10-113
[FIG. 63]: ICOSAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-113
[FIG. 64]: PRISMAS. ................................................................................................................................... 10-114
[FIG. 65]: PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO.......................................................................................... 10-115
[FIG. 66]: PRISMA RETO PENTAGONAL E PLANIFICAÇÃO ..................................................................... 10-115
[FIG. 67]: VOLUME DE UM PRISMA.......................................................................................................... 10-119
[FIG. 68]: PIRÂMIDE .................................................................................................................................. 10-121
[FIG. 69]: PIRÂMIDE REGULAR................................................................................................................. 10-121
[FIG. 70]: PIRÂMIDE REGULAR QUADRANGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO............................................ 10-122
[FIG. 71]: VOLUME DA PIRÂMIDE............................................................................................................ 10-123
[FIG. 72]: SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE .......................................................................... 10-123
[FIG. 73]: TRONCO DE PIRÂMIDE............................................................................................................. 10-124
[FIG. 74]: VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE ....................................................................................... 10-124
[FIG. 75]: CILINDROS. ............................................................................................................................... 10-128
[FIG. 76]: CILINDRO CIRCULAR RETO (DE REVOLUÇÃO)...................................................................... 10-128
[FIG. 77]: CILINDRO EQÜILÁTERO........................................................................................................... 10-129
[FIG. 78]: CILINDRO RETO E PLANIFICAÇÃO .......................................................................................... 10-129
[FIG. 79]: VOLUME DO CILINDRO............................................................................................................ 10-130
[FIG. 80]: CONE.......................................................................................................................................... 10-131
[FIG. 81]: CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-131
[FIG. 82]: CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-132
[FIG. 83]: CONE REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO.................................................................................. 10-132
[FIG. 84]: VOLUME DO CONE . .................................................................................................................. 10-133
[FIG. 85]: SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE .................................................................................... 10-133
[FIG. 86]: TRONCO DE CONE ..................................................................................................................... 10-134
[FIG. 87]: PLANIFICAÇÃO DO TRONCO DE CONE.................................................................................... 10-134
[FIG. 88]: VOLUME DO TRONCO DE CONE.............................................................................................. 10-135
[FIG. 89]: ESFERA E SUPERFÍCIE ESFÉRICA. ........................................................................................... 10-137
[FIG. 90]: PLANO TANGENTE A UMA ESFERA......................................................................................... 10-137
[FIG. 91]: SECÇÃO ESFÉRICA.................................................................................................................... 10-138
[FIG. 92]: COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-138
[FIG. 93]: SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRICA............................................................................. 10-139
[FIG. 94]: CUNHA ESFÉRICA..................................................................................................................... 10-141
[FIG. 95]: SEGMENTO DE RETA................................................................................................................ 11-143
[FIG. 96]: M EDIDA DE UM SEGMENTO DE RETA..................................................................................... 11-143
[FIG. 97]: EIXO OU RETA ORIENTADA..................................................................................................... 11-143
[FIG. 98]: M EDIDA DO SEGMENTO ORIENTADO..................................................................................... 11-144
[FIG. 99]: PONTO MÉDIO........................................................................................................................... 11-145
[FIG. 100]: SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. ........................................................................ 11-146
[FIG. 101]: DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS............................................................................................ 11-147
[FIG. 102]: Á REA DE UM TRIÂNGULO........................................................................................................ 11-148
[FIG. 103]: EQUAÇÃO GERAL DA RETA..................................................................................................... 11-150
[FIG. 104]: RETA PARALELA AO EIXO y . ................................................................................................ 11-151
[FIG. 105]: RETA PARALELA AO EIXO x .................................................................................................. 11-152
[FIG. 106]: RETA QUE PASSA PELA ORIGEM (0,0).................................................................................... 11-152
[FIG. 107]: EQUAÇÃO SEGMENTARIA........................................................................................................ 11-152
[FIG. 108]: POSIÇÕES ENTRE DUAS RETAS................................................................................................ 11-153
[FIG. 109]: TANGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ................................................. 11-154
[FIG. 110]: COEFICIENTE ANGULAR.......................................................................................................... 11-155
[FIG. 111]: OBTENÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR................................................................................ 11-155
[FIG. 112]: EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA............................................................................................... 11-156
[FIG. 113]: RETAS PARALELAS................................................................................................................... 11-157
[FIG. 114]: CIRCUNFERÊNCIA . ................................................................................................................... 12-158
[FIG. 115]: EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA............................................................................................ 12-158

Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-1

1 Sistematização dos conjuntos numéricos
1.1 Conjuntos numéricos
O conceito de números é um dos mais fundamentais e primitivos na Matemática.

1.1.1 Conjunto dos números naturais
N ={0, 1, 2, 3, …};
N ∗ ={1, 2, 3, …}.

1.1.2 Conjunto dos números inteiros
É a ampliação dos números naturais para que a subtração faça sentido.
Z ={…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …};
Z ∗ ={…, −3, −2, −1, 1, 2, 3, …};
Z + ={0, 1, 2, 3, …}, (inteiros não negativos);
Z − ={…, −3, −2, −1, 0}, Inteiros não positivos).

1.1.3 Conjunto dos números racionais
É qualquer fração envolvendo números inteiros.
p
Q ={ x / x = , p ∈ Z e q ∈ Z ∗}
q
Todo número racional pode ser representado na forma decimal e podemos ter dois
casos:
• (a) A representação decimal finita:
3
Exercício 1
4
3
Resolução: = ........................................
4
3
Exercício 2
5
3
Resolução: = ........................................
5
• (b) A representação decimal infinita periódica:
1
Exercício 3
3
1
Resolução: = ........................................
3

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro

47
Exercício 4
90
47
Resolução: = ........................................
90
p
Para se obter representações decimais de um número racional , basta dividir p por
q
q . As representações da forma (b) são chamadas dízimas periódicas.
p
Reciprocamente, podemos representar um número decimal racional na forma .
q
p
Seja x um número racional. Nos exercícios seguintes, determine x na forma .
q
Exercício 5 x =1,25
Resolução:

x = ........................................
Exercício 6 x =0,666…
Resolução:

x = ........................................
Resolução:

x = ........................................
Resolução:



x = ........................................

Resolução:

x = ........................................
Resolução:

x = ........................................
Exercício 11 x =0, 3515151…
Resolução:

x = ........................................

1.1.4 Conjunto dos números irracionais
I ={ x / x é um número decimal ilimitado não periódico}
• Nos exercícios abaixo, alguns exemplos de números irracionais:
Exercício 12 2
Resolução: 2 = ........................................
Exercício 13 π
Resolução: π= ........................................



Exercício 14 e
Resolução: e = ........................................

1.1.5 Conjunto dos números reais
R =Q∪I
Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e os pontos de
uma reta.

- 3 3 e π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
[Fig. 1]: Reta real R.
Exercício 15 Mostre que 2 ∉Q.
Resolução:

1.2 Operações com conjuntos
1.2.1 Noções primitivas
Conjunto, elemento, pertinência entre elementos e conjunto.
Exercício 16 Considerando-se os conjuntos A ={ a , b , c }, B ={ m , n } e C =∅ ( C é o
conjunto vazio), verifique a pertinência ou não dos elementos abaixo aos conjuntos.
Resolução:

• a ........... A;

• n ........... A;

• h ........... C;
• m ........... B;

• c ........... C;
• b ........... B;

• c ........... A.


1.2.2 Igualdade de conjuntos
Definição 1 Dois conjuntos A e B são considerados iguais se, e somente se, todo elemento
de A pertencer a B e vice-versa.
A = B ⇔ ∀ x , ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ).
Exercício 17 Considerando-se os conjuntos A ={ a , b , c }, B ={ m , n }, C =∅,
D ={ b , c , a }, E ={} e F ={ n , m , n }, verifique a igualdade ou não dos conjuntos abaixo.
• D ........... A ;

• B ........... F;

• D ........... A ;

• A ........... F ;

• C ........... E.

1.2.3 Subconjuntos
Definição 2 Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elemento
de A também pertence a B .
Consideremos os conjuntos A e B , representados também por diagrama:
A ={1,3,7}
B ={1,2,3,5,6,7,8}

B
A 6
1
8
2 3

7
5

[Fig. 2]: Diagrama dos conjuntos A e B.
Note que qualquer elemento de A também pertence a B . Nesse caso, dizemos que A
é subconjunto de B .
Indica-se: A ⊂ B ; lê-se: A está contido em B .
Podemos dizer também que B contém A . Indica-se: B ⊃ A ; lê-se: B contém A .
OBS. 1: Se A ⊂ B e B ⊂ A , então A = B .
OBS. 2: Os símbolos ⊂, ⊃ e ⊄ são utilizados para relacionar conjuntos.
OBS. 3: Para todo conjunto A , tem-se A ⊂ A .
OBS. 4: Para todo conjunto A , tem-se ∅⊂ A , onde ∅ representa o conjunto vazio.

1.2.4 União de conjuntos

Definição 3 A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que pertencem a A ou a B .
Designamos a união de A e B por: A ∪ B ; lê-se: A união B .
A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }.

1.2.5 Intersecção de conjuntos
Definição 4 A intersecção de dois conjuntos, A e B , é o conjunto formado pelos
elementos que são comuns a A e a B , isto é, pelos elementos que pertencem a A e também
pertencem a B .
Designamos a intersecção de A e B por: A ∩ B ; lê-se: A inter B .
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }.

1.2.6 Diferença de conjuntos
Definição 5 A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que
pertencem a A , mas que não pertencem a B .
Designamos a diferença de A e B por: A − B ; lê-se: A menos B .
A − B = { x / x ∈ A e x ∉ B }.
Exercício 18 No diagrama seguinte, A , B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou
F a cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa:
B
A C

[Fig. 3]: Diagrama dos conjuntos A , B e C (subconjuntos).
Resolução:

• a) A ⊂ B ( ........... )

• b) C ⊂ B ( ........... )

• c) B ⊂ A ( ........... )

• d) A ⊂ C ( ........... )

• e) B ⊄ A ( ........... )

• f) A ⊄ C ( ........... )

• g) B ⊃ A ( ........... )
Exercício 19 Considere o seguinte diagrama:



7 B
A 9
1
2
3 6
4
8
5
C
[Fig. 4]: Diagrama dos conjuntos A , B e C (união / intersecção / diferença).
Resolução:

• a) A ∪ B = { ...................................................................................... }

• b) A ∪ C = { ...................................................................................... }

• c) B ∪ C = { ...................................................................................... }

• d) A ∪ B ∪ C = { ...................................................................................... }

• e) A ∩ B = { ...................................................................................... }

• f) A ∩ C = { ...................................................................................... }

• g) B ∩ C = { ...................................................................................... }

• h) A ∩ B ∩ C = { ...................................................................................... }

• i) A − B = { ...................................................................................... }

• j) A − C = { ...................................................................................... }

• k) B − C = { ...................................................................................... }

• l) ( A − B )− C = { ...................................................................................... }

1.3 Intervalos
O conjunto dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e dos
números irracionais são subconjuntos dos números reais R .
Existem, ainda, outros subconjuntos de R que são determinados por desigualdades.
Esses subconjuntos são chamados de intervalos.
Conjunto dos números reais maiores que −2 e menores ou iguais a 3:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
[Fig. 5]: Gráfico do intervalo ]−2,3].

Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre os extremos −2 e 3,
incluso.
A bola vazia indica que o extremo −2 não pertence ao intervalo e a bola indica
que o extremo 3 pertence ao intervalo. Este é um intervalo semi-aberto à esquerda.


Representação: { x ∈ R / −2< x ≤3} ou ]−2,3].
OBS. 5: Sendo a um número real, pode-se considerar intervalos como o que segue:
-2
{ x ∈ R / −2< x <+∞} ou ]−2,+∞[ ⇒

1.3.1 Operações com intervalos
Serão consideradas operações do tipo: união (∪), intersecção (∩) e subtração (−).
Exercício 20 Se A ={ x ∈ R / 2< x <5} e B ={ x ∈ R / 3≤ x <8}, determine A ∩ B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A
B
A∩B
A ∩ B = ...................................................................................... .

Exercício 21 Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤0} e B ={ x ∈ R / 2≤ x <3}, determine A ∩ B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A
B
A∩B
A ∩ B = ...................................................................................... .

Exercício 22 Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤3} e B ={ x ∈ R / 1< x ≤4}, determine A ∪ B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A
B
A∪B
A ∪ B = ...................................................................................... .

Exercício 23 Se A ={ x ∈ R / −3< x ≤4} e B ={ x ∈ R / 1< x <7}, determine A − B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A
B
A−B
A − B = ...................................................................................... .


Exercício 24 Dados A =[2,7], B =[−1,5] e E =[3,9[, calcule:
a) A − B ; b) B − A ; c) A − E ; d) E − B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A
B
E
A−B
B−A
A−E
E−B
a) A − B = ........................................... ;

b) B − A = ........................................... ;

c) A − E = ........................................... ;

d) E − B = ........................................... .
Exercício 25 Dados A =[−1,6[, B =]−4,2] e E =]−2,4[, calcule:
a) ( B ∪ E )− A ; b) E −( A ∩ B ).
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A
B
E
B∪ E
(B ∪ E) − A
A∩ B
E − (A ∩ B)
a) ( B ∪ E )− A = ........................................... ;

b) E −( A ∩ B )= ........................................... .


Matemática Aplicada Funções 2-10

2 Funções
2.1 Conceito matemático de função
Definição 6 Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável
independente.
Definição 7 Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da
variável dependente.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são
conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática
utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre
dois conjuntos.
Definição 8 Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se
produto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados
nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .
(Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.
Definição 9 Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B
a qualquer subconjunto de A × B .
(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .
Exercício 26 Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em
B , tal que y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r .
Resolução:
Como x ∈ A :
x =0 ⇒ ...................................................................................... ;
x =1 ⇒ ...................................................................................... ;
x =2 ⇒ ...................................................................................... ;
x =3 ⇒ ...................................................................................... .
Então, { ...................................................................................... ...................................................................................... }.
A r 0 B
0 2
1 4
2 6
3 8
10
[Fig. 6]: Representação da relação por diagrama.


y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 x
1 2 3
[Fig. 7]: Representação da relação por sistema cartesiano.

OBS. 6: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado
pelos pares ( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma
lei de associação (no caso, y =2 x ).

2.2 Definição de função
Definição 10 Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa
relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está
associado um e apenas um elemento y do conjunto B .
Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B .
Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação.
Exercício 27 Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A
em B expressa pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B .
Resolução:

A 0 B
5
0 10
5 15
15 20
25
x =0 ⇒ ...................................................................................... ;
x =5 ⇒ ...................................................................................... ;
x =15 ⇒ ...................................................................................... .
• Todos os elementos de A ................................................................................
...... B.

• A cada elemento de A ................................................................................
...... ............................................. B.

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 ............................................. .

Exercício 28 Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em
B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .


Resolução:

A B
-2 0
0 2
2 5
5 10
20
x =0 ⇒ ...... ;
................................................................................
x =2 ⇒ ...... ;
................................................................................
x =5 ⇒ ...... .
................................................................................

Neste caso, a relação de A em B ...... ............................................. .
................................................................................

Exercício 29 Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y = x 2 , com x ∈ A e y ∈ B .
Resolução:

A B
-3 1
-1 3
1 6
3 9

x =−3 ⇒ ...................................................................................... ;
x =−1 ⇒ ...................................................................................... ;
x =1 ⇒ ...................................................................................... ;
x =3 ⇒ ...................................................................................... .

................................................................................

Exercício 30 Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y 4 = x , com x ∈ A e y ∈ B .
Resolução:

A B
-2
16
2

81 3

x =16 ⇒ ................................................................................ ...... ;
...... ................................................................................
x =81 ⇒ ................................................................................ ...... .
...... ................................................................................



................................................................................

2.3 Notação de função
Quando temos uma função de A em B , podemos representá- la da seguinte forma:
f : A → B (lê-se: função de A em B )
x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B )
A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h ,
etc.
Numa função g : R → R , dada pela fórmula y = x 2 −8, podemos também escrever
g ( x )= x 2 −8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.

2.4 Domínio, contradomínio e imagem de uma
função
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio
da função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para
definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse
valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de
y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos
por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da
mesma.
f : A→ B
x a y = f (x)
D = A , CD = B , Im ={ y ∈ CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Exercício 31 Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o
conjunto imagem da função f : A → B definida por f ( x )= x +2.
Resolução:


A -1 B
-3 0
-1 1
0 2
2 3
4
Im ={ ...................................................................................... }
Exercício 32 Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R , calcular
a e b , sabendo que f (1)=4 e f (−1)=−2.
Resolução:

a = .............. e b = .............. ⇒ f ( x )= ............................................. .

2.5 Função composta
Tome as funções f : A → B , definida por f ( x )=2 x , e g : B → C , definida por
g ( x )= x 2 . Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .
f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x .

g : B → C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 .
Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A → C , que faz a composição
entre as funções f e g :
A B C
g
f
y z
x

h
[Fig. 8]: Função composta

h : A → C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 = ( 2 x ) 2 =4 x 2 .

Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 x 2 , é denominada função composta de
g e f .


De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈ C é determinado de modo único
pelo elemento x ∈ A , escrevemos:
z = g ( y )= g ( f ( x ))
Notação:
A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )
(Eq.3) ( g o f )( x )= g ( f ( x ))
Exercício 33 Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e
g ( x )=2 x −3. Determine:
2

• a) f ( g ( x )).
Resolução:

f ( g ( x ))= ............................................. .
• b) g ( f ( x )).
Resolução:

• g ( f ( x ))= ............................................. .
c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )).
Resolução:

x = ............................................. .
Exercício 34 Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).
Resolução:

g ( x )= ............................................. .



2.6 Função inversa
Definição 11 Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas
condições abaixo:
• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do
contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.
• 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
−1
Definição 12 Diz-se que uma função f possui inversa f se for bijetora.

2.6.1 Determinação da função inversa
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua
inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida
“isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
−1
Exercício 35 Obter a lei da função inversa f da função f dada por y = x +2.
Resolução:

Logo:
−1
f ( x )= ............................................. e f ( x )= .............................................
−1
Exercício 36 Construir os gráficos das funções f e f do exercício anterior, num mesmo
sistema de coordenadas.
Resolução:

f (x) −1
x x f (x)

Note que os gráficos das funções f e f −1 são
simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes
do 1o e 3 o quadrantes.

y
4
3
2
1

-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2


x+5
Exercício 37 Determinar a função inversa g − 1 da função g ( x )= , cujo domínio é
2x −3
 3
D= R −  .
 2
Resolução:

Logo, g − 1 : ............................................. → ............................................. dada por y = ............................................. é a
função inversa procurada.


Matemática Aplicada Função Polinomial 3-18

3 Função Polinomial
Definição 13 Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é
aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.

3.1 Função polinomial do 1o grau
A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um
polinômio de grau 1.
Representação da função polinomial do 1o grau:
f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variável independente.
Exercício 38 Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e
 1
f (−2)=10. Escreva a função f e calcule f  −  .
 2
Resolução:

 1
A função é f ( x )= ............................................. e f  −  = ............ .
 2

3.1.1 Função linear
Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b . No caso de b =0, temos
f ( x )= a x , e ela recebe o nome especial de função linear.
OBS. 7: Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dá
o nome de função identidade.

3.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do
domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens.


Exercício 39 Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1.
Resolução:

y Par
x
ordenado
−2 ( , )
−1 ( , )
0 ( , )
1 ( , )
2 ( , )
3 ( , )
y
5
4
3
2
1

-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-3
-4
-5

Definição 14 O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela
origem do sistema cartesiano.
Definição 15 O gráfico da função polinomial do 1o grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixo
das ordenadas no ponto (0, b ).

3.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b .
Exercício 40 Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
y
5
4
3
2
1

-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-3
-4
-5

Resolução: Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:



Logo:
A função é f ( x )= ............................................. .
Exercício 41 Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
y
5
4
3
2
1

-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-3
-4
-5

Resolução: Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:

Logo:
A função é f ( x )= ............................................. .

3.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função
polinomial do 1o grau
Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )= a x + b .
Podemos determinar que:
• i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;
• ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0.
Exercício 42 Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:
i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1
Resolução:


y y
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1

-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5

i) Aumentando os valores atribuídos a x , ii) Aumentando os valores atribuídos a x ,
aumentam também os valores diminuem os valores correspondentes da
correspondentes da imagem f ( x ). imagem g ( x ).

3.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau
Definição 16 Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x
temos f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0.

3.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1 o grau
Definição 17 Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )= a x + b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f ( x )=0.
Definição 18 Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b ,
a ≠0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .
Exercício 43 Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar
os valores reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0.
Resolução:
y
5
4
3
2
1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
-5

Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0.
O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ x =−2.
Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2.
A solução do problema é:


• a) f ( x )=0 ⇒ {.................................................................................... };
• b) f ( x )>0 ⇒ {.................................................................................... };
• c) f ( x )<0 ⇒ {.................................................................................... }.

3.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau
Exercício 44 Preencher o quadro abaixo:
Resolução:

f ( x )= a x + b , a ≠0
Zero da função: a x + b =0 ⇒ x =
..............................................

a >0 a <0

b x b x
a a

f(x) <0 f(x ) >0 f(x) >0 f(x ) <0
b x b x
a a

f ( x )= 0 ⇒ x f ( x )= 0 ⇒ x
.............................................. ..............................................

f ( x )> 0 ⇒ x f ( x )> 0 ⇒ x
.............................................. ..............................................

f ( x )< 0 ⇒ x f ( x )< 0 ⇒ x
.............................................. ..............................................

3.2 Inequações do 1 o grau
Definição 19 Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
• a x + b ≥0;
• a x + b >0;
• a x + b ≤0;
• a x + b <0.
com a , b ∈ R e a ≠0.
Exercício 45 Verificar se 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.
Resolução:



Logo,.................................................................................................................................................................................................

3.2.1 Resolução de inequações do 1o grau
Definição 20 Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exercício 46 Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1). Represente a
solução na reta real.
Resolução:

S={.................................................................................... }
x
x −1 4(1 − x ) x 2 − x
Exercício 47 Resolver a inequação seguinte: + > + . Represente a
3 2 4 6
solução na reta real.
Resolução:

S={.................................................................................... }

x

3.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau
Definição 21 O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.


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