Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014
Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko
Assunto: Equação reduzida de uma hipérb...
Com a relação :
, Podemos calcular os seus focos.
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coorde...
102
= 82
+ b2
b2
= 100 – 64
b2
= 36
b = 6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos...
a) A medida dos semi-eixos
b) Os focos
c) A excentricidade
V. Trabalho de casa
O professor coloque à disposição dos alunos...
Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC,
2010 Pg 376.
I. Introdução
Revisão sobre a ...
• Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b,
• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c...
Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014
Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko
Assunto: Introdução ao estudo da hipérb...
Se ∆ = δ < 0 ⇔ B - AC < 0 a cónica é uma elipse
II. Desenvolvimento
• Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 ...
O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e
habilidade da matéria e deve pôr à dispos...
• Identificar os parâmetros a, b, c e também a excentricidade e , a partir da sua
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c). Nesse caso, a equação da e...
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  1. 1. Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014 Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko Assunto: Equação reduzida de uma hipérbole Aula nº2 Meio de Ensino: giz, apagador, régua, compasso Métodos: Explicativo, interrogativo, demonstrativo, elaboração conjunta Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de: • Obter a equação reduzida de uma hipérbole centrada à origem partindo da sua definição como lugar geométrica; • Identificar os parâmetros a, b, c e também a excentricidade e , a partir da sua equação reduzida elementos da hipérbole; • Determinar as coordenadas dos focos Referência Bibliográfica : Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983, Pg230 Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC, 2010 Pg 376. I. Introdução Revisão sobre os elementos de uma hipérbole II. Desenvolvimento A equação reduzida de uma hipérbole obtém-se aplicando a definição e o cálculo distância entre dois pontos do mesmo como um lugar geométrico, tem-se: H ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a Desenvolvendo a expressão, obtém-se: ⇒ H ≡ 1 b y a x 2 2 2 2 =− é chamada equação da hipérbole centrada à origem.
  2. 2. Com a relação : , Podemos calcular os seus focos. Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo: Hipérbole com focos sobre o eixo y. Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo: Elementos e propriedades da hipérbole: 2c → é a distância focal. c2 = a2 + b2 → relação fundamental. A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 2a → é a medida do eixo real. 2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8 Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c2 = a2 + b2
  3. 3. 102 = 82 + b2 b2 = 100 – 64 b2 = 36 b = 6 Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: III. Síntese O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e habilidades da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver. Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação: Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c). Da equação da hipérbole obtemos que: a2 = 16 → a = 4 b2 = 9 → b = 3 Utilizando a relação fundamental, teremos: c2 = a2 + b2 c2 = 16 + 9 c2 = 25 c = 5 Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5). IV. Aplicação O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema. Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção. Exemplo 3:Determinar na hipérbole: 1 64 x 100 y 22 =−
  4. 4. a) A medida dos semi-eixos b) Os focos c) A excentricidade V. Trabalho de casa O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor. Exemplo4: Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6. Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014 Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko Assunto: Introdução ao estudo da hipérbole Aula nº1 Meio de Ensino: giz, apagador , régua, compasso Métodos: Explicativo, interrogativo, demonstrativo, elaboração conjunta Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de: • Identificar e representar uma hipérbole a partir uma secção cónica • Definir o conceito de hipérbole • Identificar os elementos da hipérbole Referência Bibliográfica : Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983, Pg230
  5. 5. Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC, 2010 Pg 376. I. Introdução Revisão sobre a equação geral da cónica : f( x, y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 ( 1 ) ou f( x, y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) . Condição necessária para que uma cónica seja uma hipérbole: Se ∆ = δ > 0 ⇔ B - AC > 0 a cónica é uma hipérbole II. Desenvolvimento Uma hipérbole é um lugar geométrico dos pontos P (x, y) de um plano tal que a diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante (2a < 2c), com . = 2c. Eis os elementos da hipérbole: • Focos: são os pontos F1 e F2, • Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, • Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2, • Vértices: são os pontos A1 e A2, • Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a, • Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b, • Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. • Focos: são os pontos F1 e F2, • Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, • Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2, • Vértices: são os pontos A1 e A2, • Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a,
  6. 6. • Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b, • Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. III. Síntese O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e habilidade da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver. Exercício: Cite os elementos de uma hipérbole IV. Aplicação O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema. Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção. Exercício : Define : a) a excentricidade b) a distância focal c) hipérbole V. Trabalho de casa O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor. Exercício : cite os parâmetros que compõem uma hipérbole
  7. 7. Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014 Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko Assunto: Introdução ao estudo da hipérbole Aula nº3 Meio de Ensino: giz, apagador , régua, compasso Métodos: Explicativo, interrogativo, expositivo dialogado, elaboração conjunta Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de: • Identificar e representar uma elipse a partir uma secção cónica • Definir o conceito de elipse • Identificar os elementos da elipse Referência Bibliográfica : Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983, Pg230 Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC, 2010 Pg 376. I. Introdução Revisão sobre a equação geral da cónica : f( x, y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F= 0 ( 1 ) ou f( x, y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) . Condição necessária para que uma cónica seja uma hipérbole:
  8. 8. Se ∆ = δ < 0 ⇔ B - AC < 0 a cónica é uma elipse II. Desenvolvimento • Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2c um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2c. • Dados dois pontos F1 e F2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(P,F1)+d(P,F2)=2a. Eis os elementos principal da hipérbole: • Focos: são os pontos F1 e F2, • Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, • Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2, • Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2, • Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a ( o segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse), • Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 Aḻ 1A2 no seu ponto médio). • Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1. III. Síntese
  9. 9. O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e habilidade da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver. Exercício: Cite os elementos de uma elipse IV. Aplicação O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema. Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção. Exercício : Define : a) a excentricidade b) a distância focal c) a elipse V. Trabalho de casa O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor. Exercício : cite os parâmetros que compõem uma elipse Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014 Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko Assunto: Equação reduzida de uma elipse Aula nº4 Meio de Ensino: giz, apagador, régua, compasso Métodos: Explicativo, interrogativo, demonstrativo, elaboração conjunta Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de: • Obter a equação reduzida de uma elipse no sistema de coordenadas centrada à origem ;
  10. 10. • Identificar os parâmetros a, b, c e também a excentricidade e , a partir da sua equação reduzida elementos da elipse; • Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices ,a partir da equação reduzida. Referência Bibliográfica : Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983, Pg230 Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC, 2010 Pg 376. I. Introdução Revisão sobre os elementos de uma elipse. II. Desenvolvimento A equação reduzida de uma elipse obtém-se aplicando a definição e o cálculo distância entre dois pontos do mesmo como um lugar geométrico, tem-se: E ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a Desenvolvendo a expressão , obtém-se: ⇒ E ≡ 1 b y a x 2 2 2 2 =+ é chamada equação da elipse centrada à origem. Com a relação : a2 = b2 + c2 , podemos calcular os seus focos. Como os focos da elipse estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo: 1 b y a x 2 2 2 2 =+ Hipérbole com focos sobre o eixo y.
  11. 11. Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da elipse será do tipo: 1 b x a y 2 2 2 2 =+ Elementos e propriedades da elipse: 2c → é a distância focal. c2 = a2 - b2 → relação fundamental. A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da elipse. 2a → é a medida do eixo real. 2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8 Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c2 = a2 + b2 102 = 82 + b2 b2 = 100 – 64 b2 = 36 b = 6 Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: III. Síntese O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e habilidades da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.
  12. 12. Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8. Solução: Temos que 2a=12 →a = 6 2b = 8 → b = 4 Assim, IV. Aplicação O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema. Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção. Exemplo 3:Determinar na elipse: 1 64 x 100 y 22 =+ d) A medida dos semi-eixos e) Os focos f) A excentricidade VI. Trabalho de casa O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor. Exemplo4: Determinar a medida dos semi-eixos, os focos e a excentricidade das seguintes elipses: a) 225259 =+ 22 yx b) 1 36 y 100 x 22 =+ Exemplo 5: A equação da elipse de focos F1 = (-2, 0), F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por:
  13. 13. a) 1 2010 22 =+ yx b) 1 59 22 =+ yx c) 1 159 22 =+ yx d) 1 156 22 =+ yx e) 1 254 22 =+ yx

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