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Topografia
             Geomática Aplicada à Engenharia Civil


                                              AULA 04
            Medidas Angulares:
               Horizontais:
 Azimutes, Rumos, Deflexão, Ângulo Interno
                Verticais:
                 Zenitais

Laboratório de Cartografia Digital - CTUFES
Medidas Angulares


Ângulos Horizontais                                 Ângulos Verticais




 Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Medidas Angulares


Ângulos Horizontais:                                  Ângulos Verticais:

                                                      -Ângulo Zenital
-Ângulo Interno / Externo
-Azimute                                              -Ângulo de Inclinação da Luneta

-Rumo                                                 -Ângulo Nadiral
-Deflexão




   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
5   A4
                                            PLANIMETRIA
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
 Medidas Angulares:                                   Azimute
6   A4
                                            PLANIMETRIA
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
 Medidas Angulares:                                   Azimute
  Azimutes ⇒ Ângulo contado a partir da ponta Norte do
  meridiano, no sentido horário, variando de 0º a 360º, entre o
  meridiano e o alinhamento. Podem ser: Verdadeiros ou
  Magnéticos , conforme o meridiano adotado como referência.
7   A4
                                            PLANIMETRIA
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
 Medidas Angulares:                                   Azimute Magnético
  Leitura de um Azimute Magnético:

-Obtenção da direção do Meridiano Magnético
(Bússola)
-Zeragem do Equipamento na direção do
Meridiano Magnético
-Liberação do Movimento Horizontal
-Efetuar visada do Alinhamento
-Leitura do Azimute Magnético
8   A4
                                            PLANIMETRIA
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
 Medidas Angulares:                                   Azimute Verdadeiro
  Leitura de um Azimute Verdadeiro:

-Obtenção da direção do Meridiano Verdadeiro
(Estrelas)
-Zeragem do Equipamento na direção do
Meridiano Verdadeiro
-Liberação do Movimento Horizontal
-Efetuar visada do Alinhamento
-Leitura do Azimute Verdadeiro
Azimutes e Contra-Azimutes




                                                   AzAB = AZBA – 180o




Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
11 A4
                                            PLANIMETRIA
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
 Medidas Angulares:                                   Rumo
  Rumo ⇒ é o menor ângulo que o alinhamento faz com o
  meridiano (direção Norte-Sul). Os rumos são contados a
  partir do Norte ou do Sul, no sentido horário ou anti-horário,
  conforme os quadrantes em que se encontram, e variam de 0º
  a 90º.
O
                                 N

      NO                                                NE



9O                                                           E   9O




     SO
                                                        SE

                                  S
                                 O




     Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
13 A4
                                            PLANIMETRIA
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
 Medidas Angulares:                                   Rumo
  Casos Especiais:
Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
15 A4
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
   Azimutes e Rumos:
CONVERSÕES DE AZIMUTES EM RUMOS E VICE-VERSA
               O Rumo no 1º quadrante é igual ao Azimute.




  Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
No 2º quadrante o Rumo é igual a (180º - Az).




Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
No 3º quadrante o Rumo é igual a (Az -180º).




Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
No 4º quadrante o Rumo é igual a (360º-Az).




Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Transformando Azimutes em Rumos




                  1o Quadrante: Rumo = Azimute
                  2o Quadrante: Rumo = 180o – Azimute
                  3o Quadrante: Rumo = Azimute – 180o
                  4o Quadrante: Rumo = 360o - Azimute


Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Deflexão
É o ângulo formado pelo prolongamento do alinhamento
anterior do caminhamento e o novo alinhamento. Podem
ter sentido a direita ou a esquerda, conforme a direção
do novo alinhamento. Varia entre 0º e 180º.




   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Calculo de rumos e azimutes2
23
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
                            A4
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
                                   Transporte de Azimute:




                          Azseg= Azant + DD

                          Azseg= Azant – DE
24 A4
                                               PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
     Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
                                                        Ângulo Interno:
Leitura de um Ângulo Interno:
Ângulo formado entre o alinhamento anterior do caminhamento e o
novo alinhamento, medido internamente ao sentido da
poligonal.Varia entre 0º e 180º.


                                  2       Defl. Direita (DD)

                                                               Âng. Interno (Î)   4

                                                                    Î
                           Âng. Interno (Î)
    1                                 Î                         3




  Para:
25 A4
                                              PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
    Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
                                    Deflexão e Ângulo Interno:

                                   2
                                              Defl. Direita (DD)
                                                                   Âng. Interno (Î)                         4



                           Âng. Interno (Î)                                       Defl. Esquerda (DE)
     1
                                                                    3




                0 ≤ Î ≤ 180 ⇒ Defl = 180 − Î
                    o                                  o                               o
   Para:




               180 ≤ Î ≤ 360 ⇒ Defl = Î − 180
                           o                                o                                           o
26
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
                            A4
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
                                   Transporte de Azimute:




                                                      Î

                                                            Î

  Az12= Az01 - Î => Se Az12 > 180º (-180º)

  Az23= Az12 - Î => Se Az12 < 180º (+180º)
Conceitos Gerais
                         Transportando Azimutes
                                                         Az + (180º- Î)

                              AZ                         Ou
                                                         Az - Î
                                              180º - Î
   AZ
                              Î




Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Conceitos Gerais
             Transportando Azimutes: Exemplo
                                                   Az + (180º - Î) = 70o +60o = 130°

                          70°
                                                   Ou
                                                   Az - Î = 70° - 120° = -50° (+180°) = 130°
                                           180º - 120º = 60°
70°
                         120°




Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
Conceitos Gerais
      Cálculos de Coordenadas
          N Topográficas




                           Latitude
              R
                  DH        Cos R = Lat
W
                       E            DH

                           Lat = DH . Cos R
          S
Conceitos Gerais
      Cálculos de Coordenadas
          N Topográficas


                             Sen R = Long
              R                      DH
                  DH
W
                       E   Longitude



                           Long = DH . Sen R
          S
31 A4
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
              Ângulo Zenital e Ang. Incl. Da Luneta:



                                                      α: Ângulo vertical
32 A4
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
              Ângulo Zenital e Ang. Incl. Da Luneta:

                               α: Ângulo
                               vertical




0 < Z < 90o Ascendente α = 90o - Z
270o < Z < 360o Ascendente α = Z – 270o

90o < Z < 180o Descendente α = Z - 90o
180o < Z < 270o Descendente α = 270o - Z
33 A4
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
              Ângulo Zenital e Ang. Incl. Da Luneta:

                               α: Ângulo
                               vertical




0 < Z < 90o Ascendente α = 90o - Z
270o < Z < 360o Ascendente α = Z – 270o

90o < Z < 180o Descendente α = Z - 90o
180o < Z < 270o Descendente α = 270o - Z
ÂNGULOS VERTICAIS
35 A4
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
                                                Exercícios:
         N
                                     B


                                                          F
                                                                  E
    A



                                              C
                                                              D


   Dados os Pontos, objetos de um levantamento topográfico.
36 A4
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
  N    B             Exercícios:
            F       E A partir dos Dados existentes
A
                        Determine os Demais Dados!

            C                  D

                Alinh                        Azim      Rumo       Ang.Int.
                A–B                               ?      ?
                B–C                      123O 57´        ?        101O 33´
                C–D                               ?      ?           ?
                D–E                               ?   5O 41´ NE   100O 13´
                E–F                               ?      ?        57O 27´
37 A4
                                            PLANIMETRIA
                         Medidas Angulares:
   Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
___________________________________________________________
  N    B             Exercícios:
            F       E A partir dos Dados existentes
A
                        Determine os Demais Dados!

            C                  D

           Alinh                          Azim         Rumo        Ang. Int.
           A–B                          45O 30´       45O 30´NE
           B–C                        123O 57´        56O 03´ SE   101O 33´
           C–D                        285O 54´        85O 28´ NE    18O 03´
           D–E                           5O 41´       5O 41´ NE    100O 13´
           E–F                        128O 14´         51O 46´      57O 27´

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Calculo de rumos e azimutes2

  • 1. Topografia Geomática Aplicada à Engenharia Civil AULA 04 Medidas Angulares: Horizontais: Azimutes, Rumos, Deflexão, Ângulo Interno Verticais: Zenitais Laboratório de Cartografia Digital - CTUFES
  • 2. Medidas Angulares Ângulos Horizontais Ângulos Verticais Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 3. Medidas Angulares Ângulos Horizontais: Ângulos Verticais: -Ângulo Zenital -Ângulo Interno / Externo -Azimute -Ângulo de Inclinação da Luneta -Rumo -Ângulo Nadiral -Deflexão Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 4. Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 5. 5 A4 PLANIMETRIA Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Medidas Angulares: Azimute
  • 6. 6 A4 PLANIMETRIA Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Medidas Angulares: Azimute Azimutes ⇒ Ângulo contado a partir da ponta Norte do meridiano, no sentido horário, variando de 0º a 360º, entre o meridiano e o alinhamento. Podem ser: Verdadeiros ou Magnéticos , conforme o meridiano adotado como referência.
  • 7. 7 A4 PLANIMETRIA Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Medidas Angulares: Azimute Magnético Leitura de um Azimute Magnético: -Obtenção da direção do Meridiano Magnético (Bússola) -Zeragem do Equipamento na direção do Meridiano Magnético -Liberação do Movimento Horizontal -Efetuar visada do Alinhamento -Leitura do Azimute Magnético
  • 8. 8 A4 PLANIMETRIA Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Medidas Angulares: Azimute Verdadeiro Leitura de um Azimute Verdadeiro: -Obtenção da direção do Meridiano Verdadeiro (Estrelas) -Zeragem do Equipamento na direção do Meridiano Verdadeiro -Liberação do Movimento Horizontal -Efetuar visada do Alinhamento -Leitura do Azimute Verdadeiro
  • 9. Azimutes e Contra-Azimutes AzAB = AZBA – 180o Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 10. Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 11. 11 A4 PLANIMETRIA Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Medidas Angulares: Rumo Rumo ⇒ é o menor ângulo que o alinhamento faz com o meridiano (direção Norte-Sul). Os rumos são contados a partir do Norte ou do Sul, no sentido horário ou anti-horário, conforme os quadrantes em que se encontram, e variam de 0º a 90º.
  • 12. O N NO NE 9O E 9O SO SE S O Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 13. 13 A4 PLANIMETRIA Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Medidas Angulares: Rumo Casos Especiais:
  • 14. Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 15. 15 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Azimutes e Rumos:
  • 16. CONVERSÕES DE AZIMUTES EM RUMOS E VICE-VERSA O Rumo no 1º quadrante é igual ao Azimute. Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 17. No 2º quadrante o Rumo é igual a (180º - Az). Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 18. No 3º quadrante o Rumo é igual a (Az -180º). Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 19. No 4º quadrante o Rumo é igual a (360º-Az). Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 20. Transformando Azimutes em Rumos 1o Quadrante: Rumo = Azimute 2o Quadrante: Rumo = 180o – Azimute 3o Quadrante: Rumo = Azimute – 180o 4o Quadrante: Rumo = 360o - Azimute Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 21. Deflexão É o ângulo formado pelo prolongamento do alinhamento anterior do caminhamento e o novo alinhamento. Podem ter sentido a direita ou a esquerda, conforme a direção do novo alinhamento. Varia entre 0º e 180º. Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 23. 23 PLANIMETRIA Medidas Angulares: A4 Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Transporte de Azimute: Azseg= Azant + DD Azseg= Azant – DE
  • 24. 24 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Ângulo Interno: Leitura de um Ângulo Interno: Ângulo formado entre o alinhamento anterior do caminhamento e o novo alinhamento, medido internamente ao sentido da poligonal.Varia entre 0º e 180º. 2 Defl. Direita (DD) Âng. Interno (Î) 4 Î Âng. Interno (Î) 1 Î 3 Para:
  • 25. 25 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Deflexão e Ângulo Interno: 2 Defl. Direita (DD) Âng. Interno (Î) 4 Âng. Interno (Î) Defl. Esquerda (DE) 1 3 0 ≤ Î ≤ 180 ⇒ Defl = 180 − Î o o o Para: 180 ≤ Î ≤ 360 ⇒ Defl = Î − 180 o o o
  • 26. 26 PLANIMETRIA Medidas Angulares: A4 Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Transporte de Azimute: Î Î Az12= Az01 - Î => Se Az12 > 180º (-180º) Az23= Az12 - Î => Se Az12 < 180º (+180º)
  • 27. Conceitos Gerais Transportando Azimutes Az + (180º- Î) AZ Ou Az - Î 180º - Î AZ Î Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 28. Conceitos Gerais Transportando Azimutes: Exemplo Az + (180º - Î) = 70o +60o = 130° 70° Ou Az - Î = 70° - 120° = -50° (+180°) = 130° 180º - 120º = 60° 70° 120° Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES
  • 29. Conceitos Gerais Cálculos de Coordenadas N Topográficas Latitude R DH Cos R = Lat W E DH Lat = DH . Cos R S
  • 30. Conceitos Gerais Cálculos de Coordenadas N Topográficas Sen R = Long R DH DH W E Longitude Long = DH . Sen R S
  • 31. 31 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Ângulo Zenital e Ang. Incl. Da Luneta: α: Ângulo vertical
  • 32. 32 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Ângulo Zenital e Ang. Incl. Da Luneta: α: Ângulo vertical 0 < Z < 90o Ascendente α = 90o - Z 270o < Z < 360o Ascendente α = Z – 270o 90o < Z < 180o Descendente α = Z - 90o 180o < Z < 270o Descendente α = 270o - Z
  • 33. 33 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Ângulo Zenital e Ang. Incl. Da Luneta: α: Ângulo vertical 0 < Z < 90o Ascendente α = 90o - Z 270o < Z < 360o Ascendente α = Z – 270o 90o < Z < 180o Descendente α = Z - 90o 180o < Z < 270o Descendente α = 270o - Z
  • 35. 35 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ Exercícios: N B F E A C D Dados os Pontos, objetos de um levantamento topográfico.
  • 36. 36 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ N B Exercícios: F E A partir dos Dados existentes A Determine os Demais Dados! C D Alinh Azim Rumo Ang.Int. A–B ? ? B–C 123O 57´ ? 101O 33´ C–D ? ? ? D–E ? 5O 41´ NE 100O 13´ E–F ? ? 57O 27´
  • 37. 37 A4 PLANIMETRIA Medidas Angulares: Laboratório de Topografia e Cartografia - CTUFES ___________________________________________________________ N B Exercícios: F E A partir dos Dados existentes A Determine os Demais Dados! C D Alinh Azim Rumo Ang. Int. A–B 45O 30´ 45O 30´NE B–C 123O 57´ 56O 03´ SE 101O 33´ C–D 285O 54´ 85O 28´ NE 18O 03´ D–E 5O 41´ 5O 41´ NE 100O 13´ E–F 128O 14´ 51O 46´ 57O 27´