Métodos de levantamento de pontos de detalhes em topografia
1. 1
Aula - LevantamentosAula - Levantamentos
Planimétricos - Métodos dePlanimétricos - Métodos de
levantamento de Pontos delevantamento de Pontos de
DetalhesDetalhes
2. 2
MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS:MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS:
- PrincipaisPrincipais: triangulação e método da poligonal para a
planimetria, e nivelamento geométrico para a altimetria.
- SecundáriosSecundários: irradiação, coordenadas retangulares,
decomposição em triângulos, ... para a planimetria, e
nivelamento trigonométrico para a altimetria.
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
3. 3
Para a topografia regulartopografia regular deve-se utilizar métodos
principais como base, e métodos secundários
para os levantamentos dos detalhes.
Os métodos principaismétodos principais permitem avaliar e corrigir
os erros de medição (ajustamento de erros)
através de recursos da geometria (ex: cálculo da
poligonal).
Os métodos secundáriosmétodos secundários não permitem avaliar
os erros (ex:levantamentos de detalhes).
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
4. MÉTODOS SECUNDÁRIOS -MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODO DA
IRRADIAÇÃOIRRADIAÇÃO
4
É utilizado quando se
deseja determinar as
coordenadas de
pontos de detalhes,
a um sistema de
referência, por meio da
medição de uma
distância e de uma
direção (azimute).
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
onde: A = vértice de uma poligonal com coordenadas conhecidas.
B = ponto de detalhe que se deseja determinar suas coordenadas.
5. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
IRRADIAÇÃOIRRADIAÇÃO
5
)(.
)(.
ABABAB
ABABAB
AZsenDXX
AZsenDX
+=
=∆
)cos(.
)cos(.
ABABAB
ABABAB
AZDYY
AZDY
+=
=∆
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
onde: A = vértice da poligonal
B = ponto de detalhe que se deseja
levantar
Levantamento do ponto de
detalhe B:
a) Dados conhecidos, coordenadas
do vértice A da poligonal: XA; YA;
b) Medir no campo o(s) ângulo(s)
horizontal(is) para o cálculo do
azimute do alinhamento “AZAB”;
c) Medir no campo a distância (DAB);
d) Determinar as coordenadas do
ponto de detalhe B (XB; YB):
6. MÉTODOS SECUNDÁRIOS -MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODO DA
ESTAÇÃO LIVREESTAÇÃO LIVRE
6
É utilizado quando é impossível
estacionar o aparelho sobre um
dos pontos de coordenadas
conhecidas (vértices da poligonal
“A” ou “B”), a partir do qual se
pretende determinar as
coordenadas de outro ponto (E).
Neste caso, estaciona o aparelho
no ponto onde se deseja
determinar as coordenadas (E), e
em seguida efetua as visadas para
dois pontos de coordenadas
conhecidas (“A” e “B”).
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
onde:
A e B = vértices de uma poligonal,
com coordenadas conhecidas;
E = ponto de detalhe que se deseja
determinar suas coordenadas.
YB
YA
XA XB
7. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
ESTAÇÃO LIVREESTAÇÃO LIVRE
7
)
.
(
AB
EA
EAAB
D
senD
arcsen
D
sen
D
sen
α
γ
γα
=
=
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
Levantamento do ponto de detalhe E:
a)Dados conhecidos, coordenadas
dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e
B (XB; YB);
b) Estaciona o aparelho em “E” (onde se
deseja determinar as coordenadas) e medir o
ângulo “α”;
c) Medir no campo a distância “DEA” (se o
cálculo das coordenadas de E for pelo
vértice A, ou “DBE” se o cálculo for por B);
d) Calcular o valor do ângulo “γ”:
8. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
ESTAÇÃO LIVREESTAÇÃO LIVRE
8
β
γαβ
+=
+−=
ABAE
o
AZAZ
)(180
)cos(.
)(.
AEAEAE
AEAEAE
AZDYY
AZsenDXX
±=
±=
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
Levantamento do ponto de detalhe E
(ex: canto do prédio):
e) Calcular o valor do ângulo “β” e o
azimute AZAE:
onde, AZAB = azimute do lado AB da
poligonal, que pode ser calculado por:
−
−
=
AB
AB
AB
YY
XX
tgarcAZ .
f) Calcular as coordenadas do ponto de detalhe “E”, pelo vértice da
poligonal “A”:
Formulas Gerais:
X(i+1) = X(i) ± D(i, i+1). sen (Az (i, i+1))
Y(i+1) = Y(i) ± D(i, i+1). cos (Az (i, i+1))
AZEA
9. MÉTODOS SECUNDÁRIOS -MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODO DA
INTERSEÇÃOINTERSEÇÃO
9
É utilizado quando não se pode
determinar a distância direta para
um determinado ponto, onde se
deseja determinar suas
coordenadas. (ex: não se pode
medir DAP ou DBP ) .
Contorna-se este problema,
efetuando uma interseção de
visadas, a partir de dois pontos de
coordenadas conhecidas (ex:
vértices da poligonal “A” e “B”),
medindo-se os ângulos “α” e “β”.
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
XA
YA
XP
YP
dAP
XB
YB
α β
10. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
INTERSEÇÃOINTERSEÇÃO
10
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
Levantamento do ponto de detalhe “P”:
a)Dados conhecidos, coordenadas
dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e
B (XB; YB);
b) Estaciona o aparelho no vértice “A”
e mede o ângulo interno “α” para
calcular o Az(AP):
Az(AP) = Az(AB)(Vante) – α
c) Estaciona o aparelho no vértice “B”
e mede o ângulo interno “β”, para
calcular o Az(BP):
Az(BP) = AZ(BA)(Ré) + β
α β
XA
YB
YA
XB
AZRé(BA)
11. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
INTERSEÇÃOINTERSEÇÃO
11
[ ] [ ]
)().(
,
)().(
)()(
)(.)(.
BPBPBP
APAPAP
APBP
BPBBAPAA
P
AZtgYYXX
ou
AZtgYYXX
AZtgAZtg
AZtgYXAZtgYX
Y
−+=
−+=
−
−−−
=
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
Levantamento do ponto de detalhe “P”
(ex: poste):
c) Determinar as coordenadas do
ponto de detalhe: P (XP; YP):
XP
YP
12. MÉTODOS SECUNDÁRIOS -MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODO DA
BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO
12
É utilizado para determinar as
coordenadas de um ponto de
detalhe, tendo por base as
medições de duas distâncias,
desde de um ponto de coordenadas
desconhecidas (P), até os dois
pontos de coordenadas conhecidas
(ex: vértices da poligonal “A” e
“B”).
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
A
B
P
DAP
DBP
Y(N)
X(E)
α
β
AZAP
AZBP
13. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO
13
BPAB
APBPAB
APAB
BPAPAB
DD
DDD
DD
DDD
..2
cos
..2
cos
222
222
−+
=
−+
=
β
α
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
Levantamento do ponto de detalhe P:
a)Dados conhecidos, coordenadas
dos vértices da poligonal: A (XA; YA)
e B (XB; YB);
b) Medir no campo as distâncias “DAP”
e “DBP”, para calcular os ângulos “α”
e “β”:
Obs: “DAB” é a distância do lado AB da poligonal, que pode ser
calculada pelas suas coordenadas, ou medida em campo.
14. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO
14
β
α
+=
−=
BABP
ABAP
AZAZ
AZAZ
Azimutes :
11
11
:
β
α
−=
+=
BABP
ABAP
AZAZ
AZAZ
Azimutes
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
Levantamento do ponto de detalhe P
(ex: poste):
c) Calcular os azimutes “AzAP” e “AzBP”,
se o ponto levantado for o “P”:
Obs: Se o ponto levantado for o “P1”, os
cálculos dos azimutes são:
AZV(AB)
AZRé(AB)P1
15. MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO
15
)cos(.
)(.
APAPAP
APAPAP
AZDYY
AZsenDXX
+=
+=
)cos(.
)(.
BPBPBP
BPBPBP
AZDYY
AZsenDXX
+=
+=
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes
Levantamento do ponto de detalhe P
(ex: poste):
d) Calcular as coordenadas do ponto de
detalhe “P”, a partir do vértice “A” da
poligonal:
Pode-se, também, calcular as
coordenadas do ponto de detalhe “P”,
a partir do vértice “B” da poligonal:
ΔX = DAP.sen(AZAP)
XP
YP
XA
YA
16. 16
Aula 9 - Avaliação de Áreas de
Figuras Planas
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia de Transportes
17. 17
Um dos objetivos de um levantamentoUm dos objetivos de um levantamento
topográfico é a estimativa da área dotopográfico é a estimativa da área do
terreno com seus limites.terreno com seus limites.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
18. 18
A estimativa da área pode ser dada
através de medições realizadas
diretamente no terreno, ou através de
medições gráficas sobre uma planta
topográfica.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
19. 19
As áreas que realmente interessam em
todos os trabalhos topográficos são as
da projeção horizontal, isto é, as
denominadas base produtiva, visto
que todas as construções apóiam-se
em projeção horizontal.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
20. 20
A área de um terreno é calculada para
todos os fins legais e administrativos,
segundo as projeções horizontais das
linhas que a delimitam.
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21. 21
Um terreno plano e um inclinado podem
ter a mesma área legal e administrativa,
mesmo que as suas áreas reais sejam
distintas.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
22. 22
Em Topografia a estimativa de uma
área de uma porção do terreno pode
ser obtida em função de uma planta
que representa a sua projeção
horizontal, ou então pelo método
numérico, empregando-se os valores
das coordenadas retangulares dos
pontos limítrofes do terreno.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
23. 23
Para se estimar uma área, pode-se
utilizar diversos métodos.
A escolha do método é função de alguns
fatores tais como:
• a precisão desejada;
• a aplicação de medições diretas obtidas
no terreno;
• informações obtidas através de planta
topográficas, etc..
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24. 24
A área total do terreno é função da área
da poligonal básica e das áreas extra-
poligonais.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
25. 25
Avaliação de áreas de figuras planas fazAvaliação de áreas de figuras planas faz
parte deste estudo preliminar e tem comoparte deste estudo preliminar e tem como
objetivo informar ao estudante quais asobjetivo informar ao estudante quais as
áreas aproximadas envolvidas por umáreas aproximadas envolvidas por um
determinado projetodeterminado projeto
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26. 26
Método de Equivalências GráficasMétodo de Equivalências Gráficas
DecomposiçãoDecomposição
TrapéziosTrapézios
GabaritoGabarito
Por FaixasPor Faixas
QuadrículasQuadrículas
Método Mecânico ou EletrônicoMétodo Mecânico ou Eletrônico
Planímetro PolarPlanímetro Polar
Balança de PrecisãoBalança de Precisão
Método AnalíticoMétodo Analítico
GaussGauss
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27. 27
Os principais métodos para determinar a
área interna da poligonal, de uma figura
plana são:
a) Decomposição
b) Equivalências Gráficas
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28. 28
Esse processoEsse processo consiste em decompor a poligonalconsiste em decompor a poligonal
topográfica em figuras geométricas conhecidas:topográfica em figuras geométricas conhecidas:
retângulo, triânguloretângulo, triângulo,, trapéziotrapézio, etc, etc..
S
AG h
1
1
2
=
( . )
S
BF h
2
2
2
=
( . )
S
BF h
3
3
2
=
( . )
S
CD FE
h4 4
2
=
+( )
.4321 SSSSS +++=
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29. 29
( )
2
1
1
hAG
S
⋅
=
( )
2
2
2
hBF
S
⋅
=
( )
2
3
3
hBF
S
⋅
=
( )
44
2
h
FECD
S ⋅
+
=
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30. 30
Método das faixas: divisão do terreno emdivisão do terreno em
faixas de igual largura.faixas de igual largura.
∑=
×=
n
i
ibhS
1
h = largura da faixa;
n = número de faixas
b = comprimento da faixa
Método de Equivalências Gráficas
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31. 31
Quadrículas:
A área da figura éA área da figura é
função da área dafunção da área da
quadrícula base (Squadrícula base (SQQ ) e) e
do número dedo número de
quadrículas constantesquadrículas constantes
no terreno (Qno terreno (Qnn ).).
A precisão da áreaA precisão da área
obtida por este métodoobtida por este método
é tanto maior quantoé tanto maior quanto
menor for a área damenor for a área da
quadrícula.quadrícula. nQ
QsS ⋅=
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Método de Equivalências Gráficas
32. 32
Defini-se como área extra-poligonal como
sendo a área definida entre um trecho reto
(lado da poligonal) e a curva limite da área
levantada.
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Cálculo de Áreas Extra-PoligonaisCálculo de Áreas Extra-Poligonais
Poligonal
básica
Limite do terreno
33. 33
As áreas extra-poligonais podem ser
internas e/ou externas à poligonal básica.
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
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34. 34
Dentre os processos analíticos, os mais
usados são os que sub-dividem as
áreas extra-poligonais em pequenos
trapézios.
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
35. 35
Y1 Y2 Y3 Y4 Yn
X1
X2
X3
X4
Xn
Y
X
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
36. 36
Quando a área extra-poligonal apresenta
grandes mudanças direcionais (grande
sinuosidade), a figura deve ser decomposta
em trapézios desiguais e suas áreas
parciais serem avaliadas pela equação do
trapézio para determinação da área.
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
37. 37
Nos casos em que as áreas extra-poligonais
não apresentarem grandes sinuosidades, é
recomendável a aplicação de equações
baseadas na divisão da figura em trapézios
de intervalos regulares, empregando uma
das três fórmulas clássicas: BEZOUT,
PONCELET e SYMPSON.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
38. 38
h
bb
h
bb
h
bb
h
bb
A nn
t
+
++
+
+
+
+
+
= −
2222
1433221
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
Fórmula dos trapézios ou de Bezout:
a área extrapoligonal deve ser dividida em um
número de trapézios, de mesma altura h
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39. 39
Fórmula dos trapézios ou de Bezout:
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
221(2/ bbhS +=
).2(
2
:minRe
)2...22(
2
1321
ME
h
S
dosu
bbbbb
h
S nn
+=
+++++= −
onde,
E = bases externas
M =bases internas
40. 40
Fórmula de Simpson: a área
extrapoligonal deve ser subdividida em um
número par de trapézios.
h
h h h h
R
P
Q
N
M
F
KA V
( )PIE
h
SS 42
3
++×=
E = soma das medidas das
ordenadas externas;
I = soma das medidas das
ordenadas internas de
ordem ímpar;
P = soma das medidas das
ordenadas internas de
ordem par;
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
41. 41
Fórmula de Poncelet: considera-se um
número par de trapézios com a mesma altura
32
A
1
C
4
B
765
E
D
hhhh
E1 P4P3E’2 E7E’6p5
hh
J
H
M
O
−
+××=
4
'
2
EE
PhSP
P = soma das bases de ordem
par;
E = soma das bases extremas;
E’= soma da segunda base
com a penúltima base;
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
42. 42
Quando as curvas que limitam a superfície forem
simétricas, em relação às perpendiculares ao meio de
suas respectivas cordas, podemos considerá-las como
segmentos parabólicos e avaliar a área compreendida
entre elas e as cordas:
Segmentos ParabólicosSegmentos Parabólicos
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
43. 43
c = cordac = corda
f = flecha tirada perpendicularmente aof = flecha tirada perpendicularmente ao
meio da cordameio da corda
f*cAt
3
2
=
Segmentos ParabólicosSegmentos Parabólicos
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
C´
B
B´
A
A´
C
D´ F´E´
E
D
dddd
y1 y4
y3y2 y6y5
d
F
44. 44
Método é dito mecânico, ou eletrônico,
quando, para a avaliação da área, utilizam-se
aparelhos mecânicos ou eletrônicos.
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
45. 45
Planímetro Polar
É um aparelho que consiste de duas hastes
articuladas, um pólo, um traçador, e um
tambor
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
46. 46
A diferença do aparelho mecânico para
o eletrônico está na parte integrante.
O aparelho mecânico, há necessidade
de ler o número de voltas que o
traçador deu ao percorrer o perímetro
de uma determinada figura e, em
função da escala da planta, calcular a
área através de relação matemática
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
47. 47
O aparelho eletrônico, por sua vez,
permite a entrada da escala da planta
(através de digitação) e a escolha da
unidade a ser trabalhada;
Ao terminar de percorrer a figura, este
exibe, automaticamente, o valor da
área num visor de LCD (cristal líquido)
Método Mecânico ou Eletrônico
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
48. 48
Planímetro digital utilizado para aPlanímetro digital utilizado para a
determinação da área de uma figuradeterminação da área de uma figura
qualquer (Brandalize, 1999)qualquer (Brandalize, 1999)
Método Mecânico ou Eletrônico
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
49. 49
Processo:
Utilizado sempre em superfície plana;
O pólo deve ser fixado dentro, ou fora, da
figura a medir, dependendo do seu
tamanho;
As hastes devem ser dispostas de maneira
a formar ângulo reto entre si, assim, é
possível verificar se o traçador contornará
a figura facilmente;
Escolhe-se um ponto de partida para as
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
50. 50
O aparelho deve ser zerado neste ponto;
Percorre-se o contorno da figura com o
traçador, no sentido horário, voltando ao
ponto de partida;
Faz-se a leitura do tambor (aparelho
mecânico), ou a leitura no visor (aparelho
eletrônico);
Para a avaliação final da área, toma-se
sempre a média de (no mínimo) três
leituras com o planímetro;
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
51. 51
A estimativa da área gerada pelo conjunto de pontos
definidores dos limites de um terreno, pode ser obtida
a partir das coordenadas retangulares destes pontos.
Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos
YA
XB
YB
YD
YC
XD XAXC
Cálculos de Áreas - Processos Analíticos
A
D
C
B
52. 52
Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos
Cálculos de Áreas - Processos Analíticos
1)Método das Duplas Distâncias Meridianas
(DDM)
2) Método das Coordenadas Totais
3) Métodos de HERON
53. 53
• Distância Meridiana (dm) é a distância que vai
do meio de um alinhamento ao eixo meridiano,
ou das ordenadas.
• Dupla Distância
Meridiana (ddm) é o
distância do meio do
lado (base menor +
base maior)/2).
Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos
Método das Duplas Distâncias Meridianas (ddm)Método das Duplas Distâncias Meridianas (ddm)
Cálculos de Áreas - Processos Analíticos
56. 56
Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos
Método das Duplas Distâncias Meridianas (DDM)
Regra Prática:
dm1-2 = dm0-1+ ∆X0-1/2 + ∆X1-2/2 (2)
Multiplicando os membros da equação (2) por “2”, fica:
2.dm1-2 = 2.dm0-1+ ∆X0-1 + ∆X1-2 (3)
Fazendo, 2.dm1-2 = d dm1-2 (dupla distância meridiana),
a equação (3), fica:
ddm1-2 = ddm0-1+ ∆X0-1 + ∆X1-2 (4)
Exemplificando o lado 1-2 da poligonal:
3
1
2
0
57. Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos
Método das Duplas Distâncias Meridianas (DDM)
Regra Prática:
2.A = (ddm0-1.∆Y0-1 + ddm1-2.∆Y1-2) - (ddm2-3.∆Y2-3 + ddm3-0.∆Y3-0) (5)
0
1
2
3
-∆Y2-3
-∆Y3-0
+∆Y0-1
+∆Y1-2
(A) = (dm2-3.∆Y2-3 + dm3-0.∆Y3-0) – (dm0-1.∆Y0-1 + dm1-2.∆Y1-2) (1)
Empregando na equação (1) da dupla distância meridiana
(ddm), iremos obter o dobro da área A:
Tendo então,
2.dm1-2 = d dm1-2 (dupla distância meridiana),
58. Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos
Método das Duplas Distâncias Meridianas (DDM)
Regra Prática:
0
1
2
3
-∆Y2-3
-∆Y3-0
+∆Y0-1
+∆Y1-2
Chamando os produtos:
∑PN = +(ddm0-1 ∆Y0-1 + ddm1-2 ∆Y1-2)
∑PS = - (ddm2-3.∆Y2-3 + ddm3-0.∆Y3-0)
A equação (5) fica:
2.A = ∑PN - ∑PS
ou seja,
A = (∑PN - ∑PS) / 2
59. 59
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Método Analítico – Coordenadas Totais
Sendo conhecido as coordenadas totais
dos vértices da poligonal
60. A área do polígono “123” pode ser estimada por:
trapeziotrapeziotrapezio
YYYYYYA 211332 123132 −+=
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1
2
3
Y2
X1
Y3
Y1
X3X2
61. 61
Desenvolvendo:
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1
2
3
Y2
X1
Y3
Y1
X3X2
)(
2
)(
2
)(
2
12
21
13
13
32
32
YY
XX
YY
XX
YY
XX
A −
+
−−
+
+−
+
=
62. 62
Efetuando os produtos, fica:
+−+
−−+−
+−+−
=
12221121
11311333
33233222
2
1
YXYXYXYX
YXYXYXYX
YXYXYXYX
A
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)(
2
)(
2
)(
2
12
21
13
13
32
32
YY
XX
YY
XX
YY
XX
A −
+
−−
+
+−
+
=
Sendo:
63. 63
Simplificando e agrupando os termos positivos
de um lado e os negativos de outro:
++−
++
=
)(
)(
2
1
211332
123123
YXYXYX
YXYXYX
A
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Simplificando, fica:
+++++−
+++++
=
)(
)(
2
1
222111133332
121131332322
YXYXYXYXYXYX
YXYXYXYXYXYX
A
64. 64
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• os termos dos produtos positivos (X3Y2; X1Y3;
X2Y1) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’ é
anterior a ordem do ‘X’;
• os termos dos produtos negativos (X2Y3; X3Y1;
X1Y2) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’
seguinte a ordem do ‘X’.
Tendo
,
++−
++
=
)(
)(
2
1
211332
123123
YXYXYX
YXYXYX
A
65. 65
A área do polígono pode ser estimada pela
semi-soma dos produtos cruzados das
coordenadas totais.
A convenção de sinais, normalmente,
usada é:
Positiva nos produtos descendentes
Negativa nos produtos ascendentes
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Regra Mneumônica (Coord. Totais)
66. 66
A resolução por esta regra nada mais é
que a expressão desenvolvida por Gauss,
na forma matricial.
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Regra Mneumônica (Coord. Totais)
67. 67
Aplicando a regra mneumônica, têm-se:
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Produtos Negativos (ascendentes)
Produtos Positivos (descendentes)
1
1
3
3
2
2
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
A área será a soma total dos produtos, dividida por 2
68. 68
Vértice Coordenadas totais
X Y
A XA YA
B XB YB
C XC YC
D XD YD
E XE YE
F XF YF
A XA YA
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Positiva nos produtos descendentes
Negativa nos produtos ascendentes
Regra Mneumônica (Coord. Totais)
69. PONTO X (m) Y (m) Xn.Y(n-1) ( - ) Xn.Y(n+1) ( + )
1 137.69 206.88 -53203.3296
2 257.17 261.88 -116832.524 +36058.2572
3 446.13 225.5 -73086.805 +57991.835
4 324.11 165.42 -38756.2518 +73798.8246
5 234.29 54.57 -7513.7433 +17686.6827
1 137.69 206.88 +48469.9152
Σ -289392.65 +234005.51
AREA
(-289392.65 + 234005.51) / 2 =
27693.57 m2
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Positiva nos produtos descendentes
Negativa nos produtos ascendentes
70. 70
A expressão deduzida por HERON,
deve ser somente aplicada para áreas
triangulares.
A área total do polígono dar-se-á pela
somatória das áreas triangulares
avaliadas.
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Método do semi-pérímetro
71. 71
Este método é geralmente aplicado
quando o levantamento é realizado
por trena, onde o próprio trabalho de
campo fornece a formação de
triângulos, cujos lados podem ser
medidos “in loco”.
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Método do semi-pérímetro
72. 72
A
B
C
a
b
c
2
cba
p
++
=
( )( )( )cpbpappA −−−=
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Método do semi-pérímetro
Sendo,
Fica,