1) O documento apresenta exercícios sobre inequações matriciais lineares (LMI) para síntese de realimentação de estados.
2) É mostrada a teoria para projetar LMIs que garantam o posicionamento dos polos em diferentes regiões do plano complexo, como semiplanos esquerdo e direito e faixa.
3) Também é mostrado como projetar uma LMI para posicionar os polos dentro de um setor cônico no semiplano esquerdo, definido por um fator de amortecimento mínimo.
Este documento apresenta dois exercícios sobre sistemas lineares de controle multivariável resolvidos usando a LMI Control Toolbox do Matlab. No primeiro exercício, um ganho estabilizante é calculado usando uma condição LMI. No segundo exercício, o ganho é calculado para minimizar a norma do sistema em malha fechada, também usando LMIs. Os exercícios são resolvidos declarando as variáveis da LMI e especificando seus termos no Matlab.
Este documento apresenta o conceito de linearização de entrada-estado para sistemas não lineares. A técnica envolve encontrar um difeomorfismo que transforma o sistema não linear em um sistema linear nas novas variáveis. Isso elimina a não linearidade e permite o uso de técnicas de controle linear. Exemplos são fornecidos para ilustrar o processo de linearização.
1. O documento discute a Transformada de Laplace, um método para resolver equações diferenciais.
2. A Transformada de Laplace transforma um problema diferencial em um problema algébrico mais simples de se resolver.
3. A Transformada de Laplace é amplamente usada em engenharia para modelar e simular sistemas dinâmicos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
Analisis da estabilidade na forma de LURE’S.pdfManuel Vargas
O documento apresenta o critério do círculo para análise da estabilidade absoluta de sistemas não lineares na forma de Lure. É feita uma análise detalhada de um sistema não linear representado por um pendulo, incluindo sua linearização e definição de um elemento não linear. O critério do círculo é aplicado ao sistema do pendulo para diferentes condições do setor não linear, determinando em quais casos o sistema é absolutamente estável.
1. O documento descreve a equação de Schrödinger, que fornece uma descrição ondulatória da mecânica quântica.
2. É explicado que as equações envolvidas na descrição quântica, assim como a equação de onda, devem envolver derivadas parciais, diferentemente da mecânica newtoniana que envolve derivadas totais.
3. O documento introduz a equação de Lagrange, que fornece uma descrição equivalente à mecânica newtoniana em qualquer sistema de coordenadas
1) O documento discute a transformada de Laplace, que mapeia funções do tempo para funções complexas. A transformada de Laplace é usada para resolver problemas envolvendo equações diferenciais.
2) Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de diferentes funções do tempo, como exponenciais, decaimento exponencial, impulsos de Dirac e funções trigonométricas.
3) Um teorema estabelece condições suficientes para a existência da transformada de Laplace, requerendo que a função seja seccionalmente contínua e de
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
Este documento apresenta dois exercícios sobre sistemas lineares de controle multivariável resolvidos usando a LMI Control Toolbox do Matlab. No primeiro exercício, um ganho estabilizante é calculado usando uma condição LMI. No segundo exercício, o ganho é calculado para minimizar a norma do sistema em malha fechada, também usando LMIs. Os exercícios são resolvidos declarando as variáveis da LMI e especificando seus termos no Matlab.
Este documento apresenta o conceito de linearização de entrada-estado para sistemas não lineares. A técnica envolve encontrar um difeomorfismo que transforma o sistema não linear em um sistema linear nas novas variáveis. Isso elimina a não linearidade e permite o uso de técnicas de controle linear. Exemplos são fornecidos para ilustrar o processo de linearização.
1. O documento discute a Transformada de Laplace, um método para resolver equações diferenciais.
2. A Transformada de Laplace transforma um problema diferencial em um problema algébrico mais simples de se resolver.
3. A Transformada de Laplace é amplamente usada em engenharia para modelar e simular sistemas dinâmicos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
Analisis da estabilidade na forma de LURE’S.pdfManuel Vargas
O documento apresenta o critério do círculo para análise da estabilidade absoluta de sistemas não lineares na forma de Lure. É feita uma análise detalhada de um sistema não linear representado por um pendulo, incluindo sua linearização e definição de um elemento não linear. O critério do círculo é aplicado ao sistema do pendulo para diferentes condições do setor não linear, determinando em quais casos o sistema é absolutamente estável.
1. O documento descreve a equação de Schrödinger, que fornece uma descrição ondulatória da mecânica quântica.
2. É explicado que as equações envolvidas na descrição quântica, assim como a equação de onda, devem envolver derivadas parciais, diferentemente da mecânica newtoniana que envolve derivadas totais.
3. O documento introduz a equação de Lagrange, que fornece uma descrição equivalente à mecânica newtoniana em qualquer sistema de coordenadas
1) O documento discute a transformada de Laplace, que mapeia funções do tempo para funções complexas. A transformada de Laplace é usada para resolver problemas envolvendo equações diferenciais.
2) Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de diferentes funções do tempo, como exponenciais, decaimento exponencial, impulsos de Dirac e funções trigonométricas.
3) Um teorema estabelece condições suficientes para a existência da transformada de Laplace, requerendo que a função seja seccionalmente contínua e de
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
1) O documento discute métodos computacionais para resolver sistemas lineares, incluindo o método de Cramer e o processo de Gram-Schmidt.
2) Explica o método de Cramer para resolver sistemas lineares determinados e compatíveis através do cálculo de determinantes de matrizes associadas.
3) Descreve o processo de Gram-Schmidt para transformar qualquer base em uma base ortogonal através da ortogonalização sucessiva de vetores.
O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo transformações lineares, dependência e independência linear. Uma transformação linear preserva adição e multiplicação escalar. Dependência linear ocorre quando vetores podem ser expressos como combinações lineares de outros vetores, enquanto independência linear significa que apenas a combinação trivial é possível. Estes conceitos são aplicados em diversas áreas como engenharia e ciências.
O documento discute algoritmos computacionais para resolver sistemas lineares utilizando decomposições de matrizes. Apresenta a decomposição A=LU comparando-a com a eliminação de Gauss e discute a implementação da decomposição LU em Java, notando que seu custo de processamento é da ordem de N3, assim como a eliminação de Gauss.
Este documento apresenta os conceitos básicos da transformada de Laplace. A transformada de Laplace transforma funções do domínio do tempo em funções do domínio da frequência. Ela possui propriedades de linearidade e é útil para resolver problemas de valor inicial lineares. A existência da transformada de Laplace depende da continuidade e ordem de crescimento da função original.
1) O documento apresenta as técnicas de derivação de funções elementares como constante, potência, múltiplo constante, soma e diferença.
2) São definidas as derivadas de funções como xn, c, cx e f(x) + g(x) e apresentados exemplos de cálculo.
3) São identificados os pontos onde a curva y = x4 – 6x2 + 4 tem tangentes horizontais.
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
O documento apresenta uma introdução aos processos estocásticos e cadeias de Markov, abordando conceitos como matrizes estocásticas, o matemático Andrei Markov, métodos para modelagem de cadeias de Markov, classes de estados e aplicações destes processos em diversas áreas.
1) O documento discute funções polinomiais do 1o grau, definindo-as como f(x) = ax + b e apresentando casos especiais como funções lineares, identidade e constantes.
2) Apresenta dois exercícios resolvidos, um determinando o valor de a para f(x) = ax + 2 passar por determinado ponto e outro resolvendo um sistema de equações para encontrar a função.
3) Discutem gráficos de funções do 1o grau, mostrando que são retas e como construí-los a partir de pontos ou igual
O documento discute cadeias de Markov, definindo-as como processos estocásticos de estado discreto onde novos estados dependem apenas do estado atual. Aplicações incluem modelagem de problemas meteorológicos e agrícolas usando matrizes de transição e o algoritmo PageRank para classificação de páginas da web.
O documento descreve um tanque CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor) com duas entradas de fluxo com diferentes concentrações. O objetivo é manter a concentração na saída igual a um valor de referência, controlando o fluxo de entrada F2. As equações de balanço de massa são apresentadas e o problema é formulado como um problema de controle ótimo usando regulador quadrático linear para determinar a lei de controle ótima.
Desenvolvimento análise de sistemas linearesMaique Mateus
1. O documento apresenta um estudo sobre o comportamento de um sistema de pêndulo de torção, definindo suas componentes e modelo matemático.
2. O exercício proposto para análise envolve um pêndulo de torção com momento de inércia J, atrito B e elastância K, cujo comportamento é modelado por uma equação diferencial.
3. A memória de cálculo apresenta os passos para se obter a função de transferência do sistema e representá-lo no espaço de estados, analisando também características como frequ
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
1) O documento discute métodos computacionais para resolver sistemas lineares, incluindo o método de Cramer e o processo de Gram-Schmidt.
2) Explica o método de Cramer para resolver sistemas lineares determinados e compatíveis através do cálculo de determinantes de matrizes associadas.
3) Descreve o processo de Gram-Schmidt para transformar qualquer base em uma base ortogonal através da ortogonalização sucessiva de vetores.
O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo transformações lineares, dependência e independência linear. Uma transformação linear preserva adição e multiplicação escalar. Dependência linear ocorre quando vetores podem ser expressos como combinações lineares de outros vetores, enquanto independência linear significa que apenas a combinação trivial é possível. Estes conceitos são aplicados em diversas áreas como engenharia e ciências.
O documento discute algoritmos computacionais para resolver sistemas lineares utilizando decomposições de matrizes. Apresenta a decomposição A=LU comparando-a com a eliminação de Gauss e discute a implementação da decomposição LU em Java, notando que seu custo de processamento é da ordem de N3, assim como a eliminação de Gauss.
Este documento apresenta os conceitos básicos da transformada de Laplace. A transformada de Laplace transforma funções do domínio do tempo em funções do domínio da frequência. Ela possui propriedades de linearidade e é útil para resolver problemas de valor inicial lineares. A existência da transformada de Laplace depende da continuidade e ordem de crescimento da função original.
1) O documento apresenta as técnicas de derivação de funções elementares como constante, potência, múltiplo constante, soma e diferença.
2) São definidas as derivadas de funções como xn, c, cx e f(x) + g(x) e apresentados exemplos de cálculo.
3) São identificados os pontos onde a curva y = x4 – 6x2 + 4 tem tangentes horizontais.
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
O documento apresenta uma introdução aos processos estocásticos e cadeias de Markov, abordando conceitos como matrizes estocásticas, o matemático Andrei Markov, métodos para modelagem de cadeias de Markov, classes de estados e aplicações destes processos em diversas áreas.
1) O documento discute funções polinomiais do 1o grau, definindo-as como f(x) = ax + b e apresentando casos especiais como funções lineares, identidade e constantes.
2) Apresenta dois exercícios resolvidos, um determinando o valor de a para f(x) = ax + 2 passar por determinado ponto e outro resolvendo um sistema de equações para encontrar a função.
3) Discutem gráficos de funções do 1o grau, mostrando que são retas e como construí-los a partir de pontos ou igual
O documento discute cadeias de Markov, definindo-as como processos estocásticos de estado discreto onde novos estados dependem apenas do estado atual. Aplicações incluem modelagem de problemas meteorológicos e agrícolas usando matrizes de transição e o algoritmo PageRank para classificação de páginas da web.
O documento descreve um tanque CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor) com duas entradas de fluxo com diferentes concentrações. O objetivo é manter a concentração na saída igual a um valor de referência, controlando o fluxo de entrada F2. As equações de balanço de massa são apresentadas e o problema é formulado como um problema de controle ótimo usando regulador quadrático linear para determinar a lei de controle ótima.
Desenvolvimento análise de sistemas linearesMaique Mateus
1. O documento apresenta um estudo sobre o comportamento de um sistema de pêndulo de torção, definindo suas componentes e modelo matemático.
2. O exercício proposto para análise envolve um pêndulo de torção com momento de inércia J, atrito B e elastância K, cujo comportamento é modelado por uma equação diferencial.
3. A memória de cálculo apresenta os passos para se obter a função de transferência do sistema e representá-lo no espaço de estados, analisando também características como frequ
O documento apresenta uma aula sobre controle de sistemas no MATLAB. A agenda inclui revisão de conceitos como polos e zeros, expansão em frações parciais, mapa de polos e zeros, diagrama de Bode e importação de dados CSV. Exemplos e exercícios são fornecidos para demonstrar cada tópico.
1) O documento descreve o processo de análise de estabilidade de três sistemas de controle realimentado negativamente usando transformada de Laplace, equação de erro em regime permanente e critério de Routh-Hurwitz.
2) Para o primeiro sistema, a constante de realimentação K deve ser menor que 2583 para garantir a estabilidade. Para os outros sistemas, K deve ser menor que 1621,9 e qualquer valor positivo levará à instabilidade.
3) O documento apresenta os cálculos e resultados para determinar os valores críticos de K que mantêm
Aula 6 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTurma1NC
O documento discute funções e equações exponenciais e logarítmicas. Ele define equações e funções exponenciais e logarítmicas, explica como plotar seus gráficos, e fornece exemplos de como resolver equações e inequações de cada tipo.
Este documento fornece informações sobre funções logarítmica. Discute definições, propriedades, representações gráficas e aplicações de logaritmos e funções logarítmicas.
Este documento apresenta como resolver graficamente um sistema de equações do primeiro grau através da representação das equações como retas em um plano cartesiano e encontrar o ponto de interseção das retas, que corresponde à solução do sistema. Exemplos ilustram como construir as retas, encontrar o ponto de interseção e verificar a solução algebricamente.
Exercícios resolvidos e propostos matemáticaMaths Tutoring
Este documento aborda vários tópicos de análise matemática, incluindo:
1) A definição de função convexa e o fato de que o epígrafo de uma função é convexo se e só se a função for convexa;
2) Uma sucessão cuja derivada da função tende a zero quando x tende ao infinito;
3) Um contraexemplo mostrando que a derivada de uma função não necessariamente tende a zero quando x tende ao infinito.
PTC2413 (2008)- Controle I - Trabalho da Disciplina de Graduação em Eng. Eletronica na Escola Politecnica da Universidade de São Paulo: Modelagem de Sistema de Controle de Suspensão Dinamica Automotiva , aplicada em um Onibus.
O documento discute sistemas de controle e fornece exemplos de diferentes tipos de sistemas, incluindo mecânicos, elétricos, fluídicos e térmicos. Apresenta conceitos-chave como modelo matemático, sistema linear, função de transferência e transformada de Laplace. Fornece exemplos de resolução de exercícios envolvendo sistemas mecânicos e elétricos.
Este capítulo apresenta exemplos resolvidos no MATLAB de um sistema mecânico. Os exemplos ilustram conceitos de controle e observabilidade através da análise do sistema mecânico, como controlabilidade, observabilidade, realização e estabilizabilidade.
O documento descreve um medidor de pressão modelado como um sistema LTI. A entrada de pressão verdadeira x1(t) é determinada como sendo igual a 2u(t) + 4e-3tu(t), ou seja, uma função degrau unitário somada a uma função exponencial decrescente.
O documento discute funções logarítmicas, apresentando: 1) Sua definição e domínio/contradomínio; 2) Como construir seus gráficos cartesianos para bases maiores ou menores que 1; 3) Exemplos de equações e inequações logarítmicas e como resolvê-las.
O documento discute funções logarítmicas, apresentando: 1) Sua definição e domínio/contradomínio; 2) Como construir seus gráficos cartesianos para bases maiores ou menores que 1; 3) Exemplos de equações e inequações logarítmicas e como resolvê-las.
Este documento apresenta um resumo de redes neurais para inferência estatística. Ele introduz conceitos básicos de redes neurais, o software Matlab e a toolbox Netlab. O documento descreve como gerar dados de treinamento fictícios, definir a arquitetura de uma rede neural multicamada e treiná-la usando os algoritmos de otimização do Matlab.
O documento apresenta um resumo sobre funções exponenciais e logarítmicas, incluindo suas definições, propriedades e como resolver equações e inequações envolvendo essas funções. É feita uma revisão sobre potenciação e radiciais, em seguida é introduzida a função exponencial com seus gráficos e a função logarítmica com suas propriedades e aplicações para resolver equações e inequações logarítmicas.
FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL DENTRO...JÚLIO PEIXOTO
Resolução analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual dos dois métodos utilizados.
Stabilizing control via feedback linearization and high observerManuel Vargas
Este documento resume conceitos de linearização por realimentação e aplica estas técnicas ao controle de um gerador síncrono conectado a uma barra infinita. Primeiramente, apresenta os conceitos de linearização por entrada-estado e controle por realimentação de estados. Em seguida, modela matematicamente o gerador síncrono e aplica as técnicas de linearização e projeto de controle LQR e observador de alto ganho para o sistema. Por fim, simula o sistema no Simulink para validar o projeto de controle.
O documento discute os conceitos de controlabilidade e observabilidade em sistemas dinâmicos lineares. Apresenta testes para verificar se um sistema é controlável e observável analisando as matrizes A e B para controlabilidade e as matrizes A e C para observabilidade. Explica que a perda de controlabilidade e/ou observabilidade ocorre quando há cancelamento de pólos e zeros, e que isso pode ser verificado analisando as funções de transferência. Fornece exemplos ilustrativos.
Exercício 1 - Sistemas Discretos / Resposta em frequênciaAlessandro Beda
O documento descreve um sistema linear e invariante no tempo (LTI) com duas entradas h1[n] e h2[n]. A resposta ao impulso total h[n] é calculada como a soma de h1[n] e h2[n] multiplicada por h2[n]. O sistema é estável para valores de α e β onde |α|<1.
Exercício 1 - Sistemas Discretos / Resposta em frequência
Exercicios LMIs 2
1. EXERCÍCIOS LMI CONTROL TOOLBOX MATLAB
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Controle Multivariável
RESUMO: O presente documento consiste em um 𝕯 ≜ {𝑧 𝜖 ℂ|𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ < 0} (2)
desenvolvimento dos exercícios propostos (Inequações
Matriciais Lineares- LMI) na aula de controle
Sendo 𝑳 = 𝑳′ e M matrizes reais.
multivariavel. Para a solução de LMIs, será usado o
pacote de LMI CONTROL TOOLBOX de Matlab.
Corolário 1: Seja o modelo simplificado com base
PALAVRAS-CHAVE: Traço, Feasp, minCX, ganho em (2) (GAHINET et al., 1995), de modo que:
estabilizante.
𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ (3)
1 EXERCÍCIO 1 As regiões mais utilizadas em projetos de sistemas
de controle com otimizacao LMI são mostradas de acordo
Determine uma condição LMI que possibilite a o Colorario 1 e nas figuras 1 e 2.
síntese de uma realimentação de estados de forma a
garantir o posicionamento dos polos do sistema em malha Semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1
fechada, nas seguintes regiões:
𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼1 + 𝑧 + 𝑧̅ (4)
1.1 BASE TEÓRICA
Considere o seguinte sistema controlável,
observável, linear e invariante no tempo:
̇
𝒙(𝒕) = 𝑨𝑥(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡)
(1)
𝒛(𝒕) = 𝑪𝑥(𝑡)
Sendo 𝑨 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒏 , 𝑩 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒑 , 𝑪 ∈ 𝓡 𝒎𝒙𝒏 , 𝑥(𝑡) é o Figura 1 - ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1
vetor de estados, 𝒛(𝒕) a saída de interesse e 𝑢(𝑡) a
entrada de controle.
Semiplano direito, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 :
O objetivo do problema é projetar uma condição LMI
que possibilite a síntese de uma realimentação de 𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼2 − 𝑧 − 𝑧̅ (5)
estados tal que os pólos de malha fechada fiquem em
uma determinada região especifica.
Considerando:
Teorema 1: (Estabilidade de Lyapunov) Dado o
sistema:
𝑥̇ = 𝐴𝑥
Existe uma solução 𝑷 > 0 simétrica de modo que
𝑨′ 𝑷 + 𝑷𝑨 + 𝑵 < 0, onde N > 0 (simétrica) é uma matriz
arbitrária ao ponto de operação [1].
Figura 2 - ℜ{𝜆} ≥ 𝛼2
Definição 1: A Região LMI é uma região convexa
no plano complexo, denotada por 𝒟 simétrica com
respeito ao eixo real (GAHINET et al., 1995), definida por:
1
2. Setor cônico com vértice na origem e ângulo semiplano direito, 𝑅𝑒(𝑧) > 𝛼2 , tendo que 𝛼2 ∈
interno de 2𝜃 onde 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é ℜ:
descrito por:
∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 ⟹ 𝟐𝜶 𝟐 𝑷 − (𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ ) < 𝟎 (8)
(𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧 − 𝑧̅)
𝒇 𝕯 (𝒛) = [ ] (6)
(𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧̅ − 𝑧) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅)
Agora considerando uma síntese de realimentação
de estados em (1):
𝑢 = 𝑲𝑥
O sistema em malha fechada fica na forma:
𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲)𝑥 (9)
Agora fazendo substituição em (7), nós podemos
encontrar a LMI que define o posicionamento a esquerda
de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟏 :
−2𝛼1 𝑷 + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (10)
Figura 3 - Sector definido por 𝜃
A equação (10) não é uma LMI, então nós devemos
fazer uma transformação para que seja uma LMI.
Multiplicando (10) a esquerda por 𝒘′ e a direita por 𝒘,
1.2 Faixa: 𝜶 𝟐 ≤ 𝕽{𝝀} ≤ 𝜶 𝟏 , 𝜶 𝟏 > 𝟎, 𝜶 𝟐 > 𝟎
considerando que 𝒘 = 𝑷−𝟏
−2𝑊 ′ 𝜶 𝟏 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
Tendo que:
𝑷𝑊 = 1
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
Reescrevendo:
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′𝐾′𝑊′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝐾𝑊 < 0
Figura4 - faixa 𝛼2 ≤ ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1
Agora fazendo:
Corolario 2: A partir do teorema 1 e o corolário 1.
Para sistemas no tempo continuo, sendo 𝕯 no semipleno 𝒀 = 𝐾𝑊
esquerdo, de modo que:
A LMI é:
𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0 −2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0
{ (11)
𝑊 = 𝑊′ > 0
Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ),
tem-se que:
Agora fazendo substituição de (9) em (8), nós
semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1 , tendo podemos encontrar a LMI que define o posicionamento a
que 𝛼1 ∈ ℜ: direita de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟐 :
∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) < 𝛼1 ⟹ −𝟐𝜶 𝟏 𝑷 + 𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ < 𝟎 (7)
2𝜶 𝟐 𝑷 − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (12)
2
3. A equação (12) não é uma LMI, então fazendo 𝝈 =Constante de amortecimento, cuja ubiquação está no
transformação para que seja uma LMI: eixo real.
𝝈 = 𝜉𝑤 𝑛
2𝑊 ′ 𝜶 𝟐 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
𝒘 𝒅 = Frequência de amortecimento, cuja ubiquação está
no eixo imaginário.
Considerando que:
𝒘 𝒅 = 𝑤 𝑛 √1 − 𝜉 2
𝑷𝑊 = 1
𝒘 𝒏 = Frequência natural, é a hipotenusa do triangulo
2𝜶 𝟐 𝑊 − (𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0 retângulo formado por os catetos de amortecimento 𝝈 e
frequência de amortecimento 𝒘 𝒅 .
Reescrevendo: O ângulo de apertura dos polos complexos 𝜃 , está
relacionado com o coeficiente de amortecimento 𝜉.
2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑊 ′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝐾𝑊 < 0 𝜉 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
Onde:
Agora fazendo: 0 ≤ |𝜉| ≤ 1
𝒀 = 𝐾𝑊
Considerando o Corolário1:
A LMI é:
Podemos definir que:
2𝜶 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′− 𝑌′ 𝐵′
− 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0
{ 𝟐 (13) Setor cônico com vértice na origem e ângulo 𝜃, onde
𝑊 = 𝑊′ > 0 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é descrito por (6).
Agora, a partir do Teorema1 e do corolário 2, para
Agora juntando (11) e (13), nós podemos definir
sistemas no tempo contınuo, sendo 𝒟 no semiplano
uma LMI, para garantir o posicionamento dos polos do
esquerdo, de modo que:
sistema em malha fechada, naquela faixa entre 𝜶 𝟏 e 𝜶 𝟐 .
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌 ′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0 𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0
{ 2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝑌 ′ 𝐵′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0 (14)
𝑊 = 𝑊′ > 0
Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ) em (6),
tem-se que:
1.3 Setor no semipleno-esquerdo: fator de
(𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝐴𝑃 − (𝐴𝑃)′)
amortecimento dos pólos maior que um [ ]< 𝟎 (15)
(𝒄𝒐𝒔𝜽)((𝐴𝑃)′ − 𝐴𝑃) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′)
dado 𝝃 (Figura 3)
Primeiro, nós devemos descrever quem é 𝜽: Escrevendo que:
𝑻 𝟏 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴′
𝑻 𝟐 = 𝐴𝑃 − 𝑃𝐴′
𝑻 𝟑 = 𝑃𝐴′ − 𝐴𝑃
Fazendo substituição em (14):
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟐)
[ ]<0
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟑) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏)
Agora considerando uma síntese de realimentação
Figura5 - Polos complexos conjugados de estados:
𝑢 = 𝑲𝑥
3
4. O sistema (1) em malha fechada:
A LMI que define a norma H2 é:
𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲) 𝑥
⏟
̅
𝑨
Agora fazendo substituição em (15), nós podemos 𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷 𝑧𝑢 ′
[ ]<0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌
encontrar a LMI que define o posicionamento dos polos 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼
(𝟐𝟎)
′
no setor descrito pelo ângulo 𝜽: min(𝑡𝑟𝑎𝑐𝑜 𝑊) 𝑾= 𝑾 >0
{
𝑿 𝐵′ 𝑤
{[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊
{ 𝐵𝑤 𝑊
𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ ) 𝑐𝑜𝑠𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ )
[ ]<0
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷) 𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ )
(16)
Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos
Nós podemos olhar que a equação (16) não é uma numa strip) com a LMI (20) (Norma H2), nós podemos
LMI em P e K obter uma minimização da norma sujeito ao
posicionamento dos polos numa strip.
Agora multiplicando a equação (16) pela matriz 𝑊 = 𝑷−𝟏
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷′ 𝑧𝑢
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′ (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 − 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′𝑾 [ ] < 0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌
[
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾 − 𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾)
]<0 (17) 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼
𝑿 𝐵′ 𝑤
{[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊
𝐵𝑤 𝑊 (𝟐𝟏)
Agora a equação (17), resulta: −2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0
2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0
{ 𝑾 = 𝑊′ > 0
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝐾′𝑾′)
[ ]<0 (18)
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑾′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝐾𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′)
Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos
definir as LMIs:
Fazendo 𝒀 = 𝐾𝑊 na equação (18):
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′)
[ ]<0 setlmis([])
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′)
%%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA
DE CADA UMA DAS MATRIZES
W=lmivar(1,[3 1])
Então a LMI que define o posicionamento dos polos Y=lmivar(2,[1 3])
no setor é: X=lmivar(1,[3 1])
% % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY WC'+Y'D ;
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′) CW+DY -I]
[ ]<0
{ 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
′
𝑊= 𝑊 >0 lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
(19) lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW
lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY
lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I
2 EXERCÍCIO 2 % 2 LMI [ X Bw'; Bw W]
lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X
Usando o LMItoolbox, implemente a solução dos lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw
lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% W
seguintes problemas:
% % 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
Síntese de realimentação de estados para a lmiterm([3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao lmiterm([3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
posicionamento de pólos em uma strip. lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
Seja o seguinte sistema linear na forma: %%%% 4 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([-4 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW
̇
𝑿(𝒕) = 𝑨𝑋(𝑡) + 𝐁U(t) + 𝑩 𝒘 𝑤(𝑡)
% 5 LMI W=W'>0
𝒁(𝒕) = 𝑪 𝒛 𝑋(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒘 𝑊(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒖 𝑈(𝑡) lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
lmis=getlmis;
Onde Z(t) são as saídas de rendimento.
4
5. Síntese de realimentação de estados para a 3 EXERCÍCIO 3
minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao
posicionamento de pólos em uma strip. Test os problemas do item anterior considerando o
sistema do exemplo 7 do artigo Scherer et al:
Multiobjective Output-Feedback Control, IEEE-TAC 1997.
A LMI que define a norma Hinfinito está definida por:
Considere o seguinte sistema:
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤
[ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 (22) 𝐴 𝑩 𝒘 𝐵
𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝒙̇ 𝟏 ⏞0 10 2 𝒙𝟏 ⏞1 ⏞0
{ 𝑾 = 𝑾′ > 0 [ 𝒙̇ 𝟐 ] = [−1 1 0 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑤 + [1 ] 𝑢
𝒙̇ 𝟑 0 2 −5 𝒙 𝟑 1 0
𝑥1
Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos 𝑦 = [0 1 0] [ 𝑥2 ] + ⏟ 𝑤 2
⏟
numa strip) com a LMI (22) (Norma Hinfinito), nós 𝑪 𝑥3 𝐷𝑤
podemos obter uma minimização da norma sujeito ao
posicionamento dos polos numa strip: E tem saídas de rendimento definidas por:
0 1 0 𝒙𝟏 0 𝑥2
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤 𝒛 = [0 0 1] [ 𝒙 𝟐 ] + [0] 𝑢 = [ 𝑥3 ]
[ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 ⏟0 0 0 𝒙𝟑 ⏟1 𝑢
𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝑪𝒛 𝑫 𝒛𝒖
(23)
−2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0
2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0 Síntese de realimentação de estados para a
{ minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao
𝑾 = 𝑊′ > 0
posicionamento de pólos em uma strip.
Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos definir
as LMIs:
%%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA
MINIMIZACAO DE H2 SUJEITO AO
%%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIP.
setlmis([]) clc
%%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE clear all
CADA UMA DAS MATRIZES A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5];
W=lmivar(1,[3 1]) B=[0;1;0];
Y=lmivar(2,[1 3]) Bw=[1 0 0;0 0 0;1 0 0];
gamma=lmivar(1,[1 1]) Cz=[0 1 0;0 0 1;0 0 0];
u=5 Dzu=[0;0;1];
uu=7
%%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS
% % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY Bw WCz'+Y'Dzu';
Bw' -gamma*I Dw'; u=5;
% CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevo uu=6;
termino Dzu*Y
lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW setlmis([])
lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE
lmiterm([1 2 1 0],Bw') %%% Bw' CADA UMA DAS MATRIZES
lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I W=lmivar(1,[3 1])
lmiterm([1 2 3 0],Dzw') %%% Dzw' Y=lmivar(2,[1 3])
lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Cz X=lmivar(1,[3 1])
lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y
lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I % % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY WC'+Y'D ; CW+DY
-I]
% % 2 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0 lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([2 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([2 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW
lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY
lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I
%%%% 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
lmiterm([-3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW % 2 LMI [ X Bw'; Bw W]
lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X
lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw
lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% W
% 4 LMI W=W'>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 % % 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
lmiterm([3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmis=getlmis; lmiterm([3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
5
6. %%%% 4 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0 %%%%% A norma H2 do sistema em malha fechada é
lmiterm([-4 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW dada por
lmiterm([-4 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW G2=sqrt(trace(Wopt))
% 5 LMI W=W'>0 G2= 0.8425
lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
lmis=getlmis;
c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(3)) Síntese de realimentação de estados para a
options=[10^-5,0,0,0,0] minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)
posicionamento de pólos em uma strip.
Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W)
Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y)
Xopt=dec2mat(lmis,xopt,X); %%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA
MINIMIZACAO DE Hinfinito SUJEITO AO
%%%%GANHO %%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIP
K=Yopt*inv(Wopt)
clc
K=[-4.8824 -12.5450 -0.7992] clear all
A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5];
B=[0;1;0];
%%%%% alocação dos autovalores de (A+BK) Bw=[1;0;1];
Cz=[1 0 0;0 0 0;0 0 0];
AA=A+B*K; Dzw=0;
eig(AA) Dzu=[0;1;0];
𝜆12 − 5.4862 ± 5.1869i %%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS
𝜆3 = -5.5725 u=30;
%%%%% Fazendo simulação do sistema em malha uu=31;
fechada com realimentação de estados
setlmis([])
C=[0 1 0]; %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE
D=0; CADA UMA DAS MATRIZES
T = 0:0.1:1; % simulation time = W=lmivar(1,[3 1])
10 seconds Y=lmivar(2,[1 3])
U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step gamma=lmivar(1,[1 1])
input
[XX,YY]=lsim(A+B*K,B,C,D,U,T); % simulate CON % % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY Bw
REALIMENTACION K WCz'+Y'Dzu'; Bw' -gamma*I Dw';
plot(T,YY) % CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevo
grid termino Dzu*Y
lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([1 2 1 0],Bw') %%% Bw'
lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I
lmiterm([1 2 3 0],Dzw') %%% Dzw'
lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Czw
0.18 lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y
lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I
0.16
% % 2 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
0.14
lmiterm([2 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
0.12 lmiterm([2 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
0.1
%%%% 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
0.08 lmiterm([-3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
0.06 lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW
0.04 % 4 LMI W=W'>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
0.02
lmis=getlmis;
0
c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(1))
-0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 options=[10^-5,0,0,0,0]
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)
Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W)
Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y)
Figura6 - Simulação dos estados do sistema com Gammaopt=dec2mat(lmis,xopt,gamma)
realimentação de estados %%%%GANHO
K=Yopt*inv(Wopt)
K=[ -5.7055 -12.9999 0.0020]
6
7. Seja o seguinte sistema linear na forma:
%%%%% alocação dos autovalores de (A+BK)
AA=A+B*K; 𝑿̇ = 𝑨𝑋 + 𝐁U + 𝑩 𝒘 𝑊
eig(AA)
𝒀 = 𝑪𝑋 + 𝑫 𝒘 𝑊
𝜆12 =−5.5680 ± 5.5450i
(24)
𝜆3 = -5.8639
𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒛𝟐 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰𝟐 𝑊
%%%%% Fazendo simulação do sistema em malha
fechada com realimentação de estados 𝒁∞ = 𝑪 𝒛∞ 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰∞ 𝑊
D=0;
T = 0:0.1:1; % simulation time =
10 seconds Com realimentação dinâmica:
U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step
input
[XX,YY]=lsim(A+B*K,B,Cz,D,U,T); % simulate CON 𝝃̇ = 𝐴 𝑘 𝛏 + 𝐵 𝑘 𝒀
REALIMENTACION K (25)
plot(T,YY)
grid 𝑼 = 𝐶𝑘 𝝃 + 𝐷𝑘 𝑌
Onde:
𝑿 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
0.16 𝑾 = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 ( Sinal de perturbação)
𝒀 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
0.14
𝒁 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
0.12 𝝃 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑼 = 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒
0.1
0.08 O sistema em malha fechada é:
0.06
0.04 𝑋̇ 𝑐𝑙 𝐴 𝑐𝑙 𝑋 𝑐𝑙 𝐵 𝑐𝑙
0.02
⏞𝑿̇ ⏞𝐴 + 𝐁𝐷 𝑘 𝑩𝐶 𝑘 ⏞ ⏞𝑩 𝒘 + 𝐵𝐷 𝑘 𝑫 𝒘
𝑿
[ ̇]= [ ][ ̇] + [ ] 𝑾
𝝃 𝐵𝑘 𝑪 𝐴𝑘 𝝃 𝐵𝑘 𝑫 𝒘
0
-0.02 𝐶 𝑐𝑙2 𝐷 𝑐𝑙2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 𝑿
𝒁 𝟐 = ⏞ 𝒛𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑪
[𝑪 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + ⏞ 𝐳𝐰𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾
[𝐃
𝝃
Figura7 - Simulação dos estados do sistema com
𝐶 𝑐𝑙∞ 𝐷 𝑐𝑙∞
realimentação de estados 𝑿
⏞
𝒁∞ = [𝑪 𝒛∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑪 ⏞
𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + [𝐃 𝐳𝐰∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾
𝝃
%%%%% A norma Hinfinito do sistema em malha
fechada é dada por
Gamma=sqrt(Gammaopt) Equação correspondente ao espaço de estados em
malha fechada:
Gamma= 1.4510
𝑋̇ 𝑐𝑙 = 𝑨 𝒄𝒍 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑩 𝒄𝒍 𝑊
𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒄𝒍𝟐 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍𝟐 𝑊
4 EXERCÍCIO 4
𝒁∞ = 𝑪 𝒄𝒍∞ 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍∞ 𝑊
Determine uma condição LMI que possibilite a
síntese de uma realimentação dinâmica de saída de
forma a garantir:
‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽
A é estável e ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽 se existe uma matriz 𝑷
simétrica e 𝑸 tal que:
[
𝐴′ 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 ] < 0 (𝟐𝟔)
𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼
𝑷 𝐶 𝑍′
[ ]>0 (𝟐𝟕)
𝐶𝑍 𝑸
Figura8 – Realimentação dinâmica de saída { 𝑇𝑟(𝑸) < 𝛽
7
8. O objetivo do exercício é calcular 𝑨 𝒌 , 𝑩 𝒌 , 𝑪 𝒌 , 𝑫 𝒌 do Onde:
compensador dinâmico (25), de forma garantir que 𝜎(𝑨 𝒄𝒍 )
tenham parte real negativa. ̂ = 𝑌𝐴𝑋 + 𝑌𝐵𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑁𝐵 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑌𝐵𝐶 𝑘 𝑀′ + 𝑁𝐴 𝑘 𝑀
𝑨
Nós vamos definir agora as seguintes matrizes: ̂ = 𝑌𝐵𝐷 𝑘 + 𝑁𝐵 𝑘
𝑩
(36)
𝑋 𝐼 ̂ = 𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝐶 𝑘 𝑀′
𝑪
𝝅𝟏 = [ ] (28)
𝑀′ 0
̂ = 𝐷𝑘
𝑫
𝐼 𝑌
𝝅𝟐 = [ ] (29) Agora fazendo substituição de (33), (34) e (35) em
0 𝑁′
(32), nós podemos definir a primeira LMI que garante a
minimização da norma H2 considerando uma
Agora multiplicando ao lado esquerdo de (26) por realimentação dinâmica de saída:
𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰).
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵
̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′
̂ 𝑨 ̂
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
′ ̂ ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 ] < 0 (37)
𝝅′𝟏 0 𝐴 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 [ 𝑨 + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝑩 𝑩
[ ][ ][ ]<0 ̂
𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂
(𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝐼
0 𝐼 𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼
𝝅′ 𝑨′𝑷 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
[ 𝟏 ][ ]<0
𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼
Agora multiplicando ao lado esquerdo de (27) por
′ ′ ′ 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰).
𝝅 𝟏 𝑨′𝑷𝝅 𝟏 + 𝝅 𝟏 𝑷𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟏 𝑷𝐵 𝑤
[ ]<0 (30)
𝐵 𝑤 ′𝑷𝝅 𝟏 −𝐼
𝝅′𝟏 0 𝑷 𝐶 𝑍′ 𝝅 𝟏 0
[ ][ ][ ]>0
0 𝐼 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼
Agora considerando:
𝝅′𝟏 𝑷 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′ 𝝅 𝟏 0
[ ][ ]>0
𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐′ 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼
(31)
𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝑷𝝅 𝟏 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′
[ ]>0 (38)
𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸
Fazendo substituição em (30) Fazendo substituição de (31) em (38)
𝝅′ 𝑨′𝝅 𝟐 + 𝝅 𝟐 ′𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′
[ 𝟏 ]<0 (32) [ ]>0 (39)
𝐵 𝑤 ′𝝅 𝟐 −𝐼 𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸
Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (39):
Considerando:
𝑋 𝐼
𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (40)
𝐴 = 𝑨 𝒄𝒍 𝐼 𝑌
𝐶 𝑍 𝝅 𝟏 = [𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍 ̂𝑪 𝐶 𝑍 +𝐷 𝑍 ̂ 𝐶]
𝑫 (41)
Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (32):
Onde ̂ 𝒆 ̂ são definidas por (36).
𝑪 𝑫
̂ ̂ Agora fazendo substituição de (40) e (41) em (39),
𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (33) nós podemos definir a segunda LMI que garante a
̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶
𝑩
minimização da norma H2 considerando uma
𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨 realimentação dinâmica de saída:
𝝅′𝟏 𝑨′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (34)
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
̂ 𝑋 𝐼 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′
𝑪
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 = [ ] (35) [ 𝐼 𝑌 𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 ̂ 𝐶)′ ] > 0 (42)
𝑫
𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤
𝑩
𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂𝑪 𝐶𝑍 + 𝐷𝑍̂ 𝐶
𝑫 𝑄
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , 𝑸 e ̂ .
𝑪 𝑫
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11. 0 1 0 0 0 0 𝑸 − 𝑺𝑹−𝟏 𝑺′ > 0
𝑪 𝒄𝒍 = [ ]
0 0 1 0 0 0
Obtém-se:
0
𝑫 𝒄𝒍 = [ ]
0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷
[ ]>0 (52)
𝑷𝐴 𝑑 𝑷
6 EXERCÍCIO 6
Agora considerando as seguintes matrizes:
Determine uma condição LMI que permita a síntese 𝑋 𝐼
de uma realimentação dinâmica de saída estabilizante 𝝅𝟏 = [ ] (53)
𝑀′ 0
para o caso discreto no tempo.
𝐼 𝑌
𝝅𝟐 = [ ] (54)
Considere o sistema discreto dado por: 0 𝑁′
Agora pré e pós multiplicando todos os elementos
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] = 𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (47) por 𝝅𝟏′ e 𝝅𝟏, obtém-se que:
O sistema (47) é assintoticamente estável se ∃𝑃 = 𝜋′1 0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0
𝑃 ′ > 0 tal que: [ ][ ][
0 𝜋1
]>0
0 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝑷
𝑃 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 0 (48)
𝜋′1 𝑷 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0
[ ][ ]>0
𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋′1 𝑷 0 𝜋1
Nós podemos observar que (48) não é uma LMI.
𝜋′1 𝑷𝜋1 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷𝜋1
[ ]>0 (55)
Então seja: 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝑷𝜋1
𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) = 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (49) Agora considerando:
O teorema de Lyapunov discreto é definido por: 𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐 ′
Se: 𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐
Então (55) fica:
𝚫𝑽(𝒙 𝒄𝒍 [𝒌]) = 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]) − 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) < 0 (50)
𝜋′1 𝜋2 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝜋2
[ ]>0 (56)
𝜋′2 𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝜋2
Então o sistema é A.E. Agora reescrevendo (50) a
partir de (49).
Agora fazendo substituição de (53) e (54) em (56):
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
𝑋 𝐼
𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (57)
𝐼 𝑌
Agora a partir de (47): ̂ ̂
𝝅′𝟐 𝐴 𝑑 𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (58)
̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶
𝑩
((𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘])′𝑷(𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨
𝝅′𝟏 𝐴 𝑑 ′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (59)
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′(𝐴 𝑑 ′𝑷𝐴 𝑑 − 𝑷)𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
Onde ̂ , ̂ , ̂ 𝑒 ̂ são definidas em (36).
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
Se:
𝑷 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 𝟎 (51)
Agora fazendo substituição de (57), (58) e (59) em
Então 𝚫𝑽(𝒙) < 0 (56), nós podemos definir a LMI que permite a síntese de
uma realimentação dinâmica de saída estabilizante para
Agora aplicando complemento de Schur em (51), o caso discreto no tempo.
o qual está definido da seguinte maneira:
𝑋 𝐼 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨
𝑸 𝑺 𝐼 𝑌 ̂
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ ̂
𝑌 + 𝐶′𝑩
[ ]>0 >0
𝑺′ 𝑹 ̂ ̂
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 𝑋 𝐼
[ ̂𝑨 𝑌𝐴 + 𝑩̂𝐶 𝐼 𝑌 ]
Considerando:
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
𝑹>0
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12. 7 REFERÊNCIAS
[1] LMI CONTROL TOOLBOX, For use with MATLAB
[2] Controle robusto, professor Alexandre Trofino
[3] Linear Quadratic Control, Peter Dorato and Chaouki Abdallah
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