1) O documento apresenta exercícios sobre inequações matriciais lineares (LMI) para síntese de realimentação de estados. 2) É mostrada a teoria para projetar LMIs que garantam o posicionamento dos polos em diferentes regiões do plano complexo, como semiplanos esquerdo e direito e faixa. 3) Também é mostrado como projetar uma LMI para posicionar os polos dentro de um setor cônico no semiplano esquerdo, definido por um fator de amortecimento mínimo.

1. EXERCÍCIOS LMI CONTROL TOOLBOX MATLAB
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Controle Multivariável
RESUMO: O presente documento consiste em um 𝕯 ≜ {𝑧 𝜖 ℂ|𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ < 0} (2)
desenvolvimento dos exercícios propostos (Inequações
Matriciais Lineares- LMI) na aula de controle
Sendo 𝑳 = 𝑳′ e M matrizes reais.
multivariavel. Para a solução de LMIs, será usado o
pacote de LMI CONTROL TOOLBOX de Matlab.
Corolário 1: Seja o modelo simplificado com base
PALAVRAS-CHAVE: Traço, Feasp, minCX, ganho em (2) (GAHINET et al., 1995), de modo que:
estabilizante.
𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ (3)
1 EXERCÍCIO 1 As regiões mais utilizadas em projetos de sistemas
de controle com otimizacao LMI são mostradas de acordo
Determine uma condição LMI que possibilite a o Colorario 1 e nas figuras 1 e 2.
síntese de uma realimentação de estados de forma a
garantir o posicionamento dos polos do sistema em malha  Semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1
fechada, nas seguintes regiões:
𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼1 + 𝑧 + 𝑧̅ (4)
1.1 BASE TEÓRICA
Considere o seguinte sistema controlável,
observável, linear e invariante no tempo:
̇
𝒙(𝒕) = 𝑨𝑥(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡)
(1)
𝒛(𝒕) = 𝑪𝑥(𝑡)
Sendo 𝑨 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒏 , 𝑩 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒑 , 𝑪 ∈ 𝓡 𝒎𝒙𝒏 , 𝑥(𝑡) é o Figura 1 - ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1
vetor de estados, 𝒛(𝒕) a saída de interesse e 𝑢(𝑡) a
entrada de controle.
 Semiplano direito, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 :
O objetivo do problema é projetar uma condição LMI
que possibilite a síntese de uma realimentação de 𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼2 − 𝑧 − 𝑧̅ (5)
estados tal que os pólos de malha fechada fiquem em
uma determinada região especifica.
Considerando:
Teorema 1: (Estabilidade de Lyapunov) Dado o
sistema:
𝑥̇ = 𝐴𝑥
Existe uma solução 𝑷 > 0 simétrica de modo que
𝑨′ 𝑷 + 𝑷𝑨 + 𝑵 < 0, onde N > 0 (simétrica) é uma matriz
arbitrária ao ponto de operação [1].
Figura 2 - ℜ{𝜆} ≥ 𝛼2
Definição 1: A Região LMI é uma região convexa
no plano complexo, denotada por 𝒟 simétrica com
respeito ao eixo real (GAHINET et al., 1995), definida por:
1

2.  Setor cônico com vértice na origem e ângulo  semiplano direito, 𝑅𝑒(𝑧) > 𝛼2 , tendo que 𝛼2 ∈
interno de 2𝜃 onde 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é ℜ:
descrito por:
∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 ⟹ 𝟐𝜶 𝟐 𝑷 − (𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ ) < 𝟎 (8)
(𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧 − 𝑧̅)
𝒇 𝕯 (𝒛) = [ ] (6)
(𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧̅ − 𝑧) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅)
Agora considerando uma síntese de realimentação
de estados em (1):
𝑢 = 𝑲𝑥
O sistema em malha fechada fica na forma:
𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲)𝑥 (9)
Agora fazendo substituição em (7), nós podemos
encontrar a LMI que define o posicionamento a esquerda
de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟏 :
−2𝛼1 𝑷 + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (10)
Figura 3 - Sector definido por 𝜃
A equação (10) não é uma LMI, então nós devemos
fazer uma transformação para que seja uma LMI.
Multiplicando (10) a esquerda por 𝒘′ e a direita por 𝒘,
1.2 Faixa: 𝜶 𝟐 ≤ 𝕽{𝝀} ≤ 𝜶 𝟏 , 𝜶 𝟏 > 𝟎, 𝜶 𝟐 > 𝟎
considerando que 𝒘 = 𝑷−𝟏
−2𝑊 ′ 𝜶 𝟏 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
Tendo que:
𝑷𝑊 = 1
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
Reescrevendo:
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′𝐾′𝑊′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝐾𝑊 < 0
Figura4 - faixa 𝛼2 ≤ ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1
Agora fazendo:
Corolario 2: A partir do teorema 1 e o corolário 1.
Para sistemas no tempo continuo, sendo 𝕯 no semipleno 𝒀 = 𝐾𝑊
esquerdo, de modo que:
A LMI é:
𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0 −2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0
{ (11)
𝑊 = 𝑊′ > 0
Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ),
tem-se que:
Agora fazendo substituição de (9) em (8), nós
 semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1 , tendo podemos encontrar a LMI que define o posicionamento a
que 𝛼1 ∈ ℜ: direita de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟐 :
∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) < 𝛼1 ⟹ −𝟐𝜶 𝟏 𝑷 + 𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ < 𝟎 (7)
2𝜶 𝟐 𝑷 − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (12)
2

3. A equação (12) não é uma LMI, então fazendo 𝝈 =Constante de amortecimento, cuja ubiquação está no
transformação para que seja uma LMI: eixo real.
𝝈 = 𝜉𝑤 𝑛
2𝑊 ′ 𝜶 𝟐 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
𝒘 𝒅 = Frequência de amortecimento, cuja ubiquação está
no eixo imaginário.
Considerando que:
𝒘 𝒅 = 𝑤 𝑛 √1 − 𝜉 2
𝑷𝑊 = 1
𝒘 𝒏 = Frequência natural, é a hipotenusa do triangulo
2𝜶 𝟐 𝑊 − (𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0 retângulo formado por os catetos de amortecimento 𝝈 e
frequência de amortecimento 𝒘 𝒅 .
Reescrevendo: O ângulo de apertura dos polos complexos 𝜃 , está
relacionado com o coeficiente de amortecimento 𝜉.
2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑊 ′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝐾𝑊 < 0 𝜉 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
Onde:
Agora fazendo: 0 ≤ |𝜉| ≤ 1
𝒀 = 𝐾𝑊
Considerando o Corolário1:
A LMI é:
Podemos definir que:
2𝜶 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′− 𝑌′ 𝐵′
− 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0
{ 𝟐 (13) Setor cônico com vértice na origem e ângulo 𝜃, onde
𝑊 = 𝑊′ > 0 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é descrito por (6).
Agora, a partir do Teorema1 e do corolário 2, para
Agora juntando (11) e (13), nós podemos definir
sistemas no tempo contınuo, sendo 𝒟 no semiplano
uma LMI, para garantir o posicionamento dos polos do
esquerdo, de modo que:
sistema em malha fechada, naquela faixa entre 𝜶 𝟏 e 𝜶 𝟐 .
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌 ′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0 𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0
{ 2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝑌 ′ 𝐵′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0 (14)
𝑊 = 𝑊′ > 0
Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ) em (6),
tem-se que:
1.3 Setor no semipleno-esquerdo: fator de
(𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝐴𝑃 − (𝐴𝑃)′)
amortecimento dos pólos maior que um [ ]< 𝟎 (15)
(𝒄𝒐𝒔𝜽)((𝐴𝑃)′ − 𝐴𝑃) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′)
dado 𝝃 (Figura 3)
Primeiro, nós devemos descrever quem é 𝜽: Escrevendo que:
𝑻 𝟏 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴′
𝑻 𝟐 = 𝐴𝑃 − 𝑃𝐴′
𝑻 𝟑 = 𝑃𝐴′ − 𝐴𝑃
Fazendo substituição em (14):
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟐)
[ ]<0
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟑) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏)
Agora considerando uma síntese de realimentação
Figura5 - Polos complexos conjugados de estados:
𝑢 = 𝑲𝑥
3

4. O sistema (1) em malha fechada:
A LMI que define a norma H2 é:
𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲) 𝑥
⏟
̅
𝑨
Agora fazendo substituição em (15), nós podemos 𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷 𝑧𝑢 ′
[ ]<0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌
encontrar a LMI que define o posicionamento dos polos 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼
(𝟐𝟎)
′
no setor descrito pelo ângulo 𝜽: min(𝑡𝑟𝑎𝑐𝑜 𝑊) 𝑾= 𝑾 >0
{
𝑿 𝐵′ 𝑤
{[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊
{ 𝐵𝑤 𝑊
𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ ) 𝑐𝑜𝑠𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ )
[ ]<0
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷) 𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ )
(16)
Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos
Nós podemos olhar que a equação (16) não é uma numa strip) com a LMI (20) (Norma H2), nós podemos
LMI em P e K obter uma minimização da norma sujeito ao
posicionamento dos polos numa strip.
Agora multiplicando a equação (16) pela matriz 𝑊 = 𝑷−𝟏
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷′ 𝑧𝑢
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′ (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 − 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′𝑾 [ ] < 0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌
[
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾 − 𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾)
]<0 (17) 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼
𝑿 𝐵′ 𝑤
{[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊
𝐵𝑤 𝑊 (𝟐𝟏)
Agora a equação (17), resulta: −2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0
2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0
{ 𝑾 = 𝑊′ > 0
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝐾′𝑾′)
[ ]<0 (18)
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑾′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝐾𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′)
Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos
definir as LMIs:
Fazendo 𝒀 = 𝐾𝑊 na equação (18):
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′)
[ ]<0 setlmis([])
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′)
%%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA
DE CADA UMA DAS MATRIZES
W=lmivar(1,[3 1])
Então a LMI que define o posicionamento dos polos Y=lmivar(2,[1 3])
no setor é: X=lmivar(1,[3 1])
% % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY WC'+Y'D ;
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′) CW+DY -I]
[ ]<0
{ 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
′
𝑊= 𝑊 >0 lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
(19) lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW
lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY
lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I
2 EXERCÍCIO 2 % 2 LMI [ X Bw'; Bw W]
lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X
Usando o LMItoolbox, implemente a solução dos lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw
lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% W
seguintes problemas:
% % 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
 Síntese de realimentação de estados para a lmiterm([3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao lmiterm([3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
posicionamento de pólos em uma strip. lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
Seja o seguinte sistema linear na forma: %%%% 4 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([-4 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW
̇
𝑿(𝒕) = 𝑨𝑋(𝑡) + 𝐁U(t) + 𝑩 𝒘 𝑤(𝑡)
% 5 LMI W=W'>0
𝒁(𝒕) = 𝑪 𝒛 𝑋(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒘 𝑊(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒖 𝑈(𝑡) lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
lmis=getlmis;
Onde Z(t) são as saídas de rendimento.
4

5.  Síntese de realimentação de estados para a 3 EXERCÍCIO 3
minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao
posicionamento de pólos em uma strip. Test os problemas do item anterior considerando o
sistema do exemplo 7 do artigo Scherer et al:
Multiobjective Output-Feedback Control, IEEE-TAC 1997.
A LMI que define a norma Hinfinito está definida por:
Considere o seguinte sistema:
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤
[ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 (22) 𝐴 𝑩 𝒘 𝐵
𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝒙̇ 𝟏 ⏞0 10 2 𝒙𝟏 ⏞1 ⏞0
{ 𝑾 = 𝑾′ > 0 [ 𝒙̇ 𝟐 ] = [−1 1 0 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑤 + [1 ] 𝑢
𝒙̇ 𝟑 0 2 −5 𝒙 𝟑 1 0
𝑥1
Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos 𝑦 = [0 1 0] [ 𝑥2 ] + ⏟ 𝑤 2
⏟
numa strip) com a LMI (22) (Norma Hinfinito), nós 𝑪 𝑥3 𝐷𝑤
podemos obter uma minimização da norma sujeito ao
posicionamento dos polos numa strip: E tem saídas de rendimento definidas por:
0 1 0 𝒙𝟏 0 𝑥2
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤 𝒛 = [0 0 1] [ 𝒙 𝟐 ] + [0] 𝑢 = [ 𝑥3 ]
[ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 ⏟0 0 0 𝒙𝟑 ⏟1 𝑢
𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝑪𝒛 𝑫 𝒛𝒖
(23)
−2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0
2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0  Síntese de realimentação de estados para a
{ minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao
𝑾 = 𝑊′ > 0
posicionamento de pólos em uma strip.
Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos definir
as LMIs:
%%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA
MINIMIZACAO DE H2 SUJEITO AO
%%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIP.
setlmis([]) clc
%%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE clear all
CADA UMA DAS MATRIZES A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5];
W=lmivar(1,[3 1]) B=[0;1;0];
Y=lmivar(2,[1 3]) Bw=[1 0 0;0 0 0;1 0 0];
gamma=lmivar(1,[1 1]) Cz=[0 1 0;0 0 1;0 0 0];
u=5 Dzu=[0;0;1];
uu=7
%%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS
% % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY Bw WCz'+Y'Dzu';
Bw' -gamma*I Dw'; u=5;
% CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevo uu=6;
termino Dzu*Y
lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW setlmis([])
lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE
lmiterm([1 2 1 0],Bw') %%% Bw' CADA UMA DAS MATRIZES
lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I W=lmivar(1,[3 1])
lmiterm([1 2 3 0],Dzw') %%% Dzw' Y=lmivar(2,[1 3])
lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Cz X=lmivar(1,[3 1])
lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y
lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I % % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY WC'+Y'D ; CW+DY
-I]
% % 2 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0 lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([2 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([2 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW
lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY
lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I
%%%% 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
lmiterm([-3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW % 2 LMI [ X Bw'; Bw W]
lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X
lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw
lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% W
% 4 LMI W=W'>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 % % 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
lmiterm([3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmis=getlmis; lmiterm([3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
5

6. %%%% 4 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0 %%%%% A norma H2 do sistema em malha fechada é
lmiterm([-4 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW dada por
lmiterm([-4 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW G2=sqrt(trace(Wopt))
% 5 LMI W=W'>0 G2= 0.8425
lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
lmis=getlmis;
c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(3))  Síntese de realimentação de estados para a
options=[10^-5,0,0,0,0] minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)
posicionamento de pólos em uma strip.
Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W)
Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y)
Xopt=dec2mat(lmis,xopt,X); %%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA
MINIMIZACAO DE Hinfinito SUJEITO AO
%%%%GANHO %%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIP
K=Yopt*inv(Wopt)
clc
K=[-4.8824 -12.5450 -0.7992] clear all
A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5];
B=[0;1;0];
%%%%% alocação dos autovalores de (A+BK) Bw=[1;0;1];
Cz=[1 0 0;0 0 0;0 0 0];
AA=A+B*K; Dzw=0;
eig(AA) Dzu=[0;1;0];
𝜆12 − 5.4862 ± 5.1869i %%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS
𝜆3 = -5.5725 u=30;
%%%%% Fazendo simulação do sistema em malha uu=31;
fechada com realimentação de estados
setlmis([])
C=[0 1 0]; %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE
D=0; CADA UMA DAS MATRIZES
T = 0:0.1:1; % simulation time = W=lmivar(1,[3 1])
10 seconds Y=lmivar(2,[1 3])
U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step gamma=lmivar(1,[1 1])
input
[XX,YY]=lsim(A+B*K,B,C,D,U,T); % simulate CON % % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY Bw
REALIMENTACION K WCz'+Y'Dzu'; Bw' -gamma*I Dw';
plot(T,YY) % CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevo
grid termino Dzu*Y
lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([1 2 1 0],Bw') %%% Bw'
lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I
lmiterm([1 2 3 0],Dzw') %%% Dzw'
lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Czw
0.18 lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y
lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I
0.16
% % 2 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
0.14
lmiterm([2 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
0.12 lmiterm([2 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
0.1
%%%% 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
0.08 lmiterm([-3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
0.06 lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW
0.04 % 4 LMI W=W'>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
0.02
lmis=getlmis;
0
c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(1))
-0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 options=[10^-5,0,0,0,0]
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)
Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W)
Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y)
Figura6 - Simulação dos estados do sistema com Gammaopt=dec2mat(lmis,xopt,gamma)
realimentação de estados %%%%GANHO
K=Yopt*inv(Wopt)
K=[ -5.7055 -12.9999 0.0020]
6

7. Seja o seguinte sistema linear na forma:
%%%%% alocação dos autovalores de (A+BK)
AA=A+B*K; 𝑿̇ = 𝑨𝑋 + 𝐁U + 𝑩 𝒘 𝑊
eig(AA)
𝒀 = 𝑪𝑋 + 𝑫 𝒘 𝑊
𝜆12 =−5.5680 ± 5.5450i
(24)
𝜆3 = -5.8639
𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒛𝟐 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰𝟐 𝑊
%%%%% Fazendo simulação do sistema em malha
fechada com realimentação de estados 𝒁∞ = 𝑪 𝒛∞ 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰∞ 𝑊
D=0;
T = 0:0.1:1; % simulation time =
10 seconds Com realimentação dinâmica:
U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step
input
[XX,YY]=lsim(A+B*K,B,Cz,D,U,T); % simulate CON 𝝃̇ = 𝐴 𝑘 𝛏 + 𝐵 𝑘 𝒀
REALIMENTACION K (25)
plot(T,YY)
grid 𝑼 = 𝐶𝑘 𝝃 + 𝐷𝑘 𝑌
Onde:
𝑿 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
0.16 𝑾 = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 ( Sinal de perturbação)
𝒀 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
0.14
𝒁 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
0.12 𝝃 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑼 = 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒
0.1
0.08 O sistema em malha fechada é:
0.06
0.04 𝑋̇ 𝑐𝑙 𝐴 𝑐𝑙 𝑋 𝑐𝑙 𝐵 𝑐𝑙
0.02
⏞𝑿̇ ⏞𝐴 + 𝐁𝐷 𝑘 𝑩𝐶 𝑘 ⏞ ⏞𝑩 𝒘 + 𝐵𝐷 𝑘 𝑫 𝒘
𝑿
[ ̇]= [ ][ ̇] + [ ] 𝑾
𝝃 𝐵𝑘 𝑪 𝐴𝑘 𝝃 𝐵𝑘 𝑫 𝒘
0
-0.02 𝐶 𝑐𝑙2 𝐷 𝑐𝑙2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 𝑿
𝒁 𝟐 = ⏞ 𝒛𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑪
[𝑪 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + ⏞ 𝐳𝐰𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾
[𝐃
𝝃
Figura7 - Simulação dos estados do sistema com
𝐶 𝑐𝑙∞ 𝐷 𝑐𝑙∞
realimentação de estados 𝑿
⏞
𝒁∞ = [𝑪 𝒛∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑪 ⏞
𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + [𝐃 𝐳𝐰∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾
𝝃
%%%%% A norma Hinfinito do sistema em malha
fechada é dada por
Gamma=sqrt(Gammaopt) Equação correspondente ao espaço de estados em
malha fechada:
Gamma= 1.4510
𝑋̇ 𝑐𝑙 = 𝑨 𝒄𝒍 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑩 𝒄𝒍 𝑊
𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒄𝒍𝟐 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍𝟐 𝑊
4 EXERCÍCIO 4
𝒁∞ = 𝑪 𝒄𝒍∞ 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍∞ 𝑊
Determine uma condição LMI que possibilite a
síntese de uma realimentação dinâmica de saída de
forma a garantir:
 ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽
A é estável e ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽 se existe uma matriz 𝑷
simétrica e 𝑸 tal que:
[
𝐴′ 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 ] < 0 (𝟐𝟔)
𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼
𝑷 𝐶 𝑍′
[ ]>0 (𝟐𝟕)
𝐶𝑍 𝑸
Figura8 – Realimentação dinâmica de saída { 𝑇𝑟(𝑸) < 𝛽
7

8. O objetivo do exercício é calcular 𝑨 𝒌 , 𝑩 𝒌 , 𝑪 𝒌 , 𝑫 𝒌 do Onde:
compensador dinâmico (25), de forma garantir que 𝜎(𝑨 𝒄𝒍 )
tenham parte real negativa. ̂ = 𝑌𝐴𝑋 + 𝑌𝐵𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑁𝐵 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑌𝐵𝐶 𝑘 𝑀′ + 𝑁𝐴 𝑘 𝑀
𝑨
Nós vamos definir agora as seguintes matrizes: ̂ = 𝑌𝐵𝐷 𝑘 + 𝑁𝐵 𝑘
𝑩
(36)
𝑋 𝐼 ̂ = 𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝐶 𝑘 𝑀′
𝑪
𝝅𝟏 = [ ] (28)
𝑀′ 0
̂ = 𝐷𝑘
𝑫
𝐼 𝑌
𝝅𝟐 = [ ] (29) Agora fazendo substituição de (33), (34) e (35) em
0 𝑁′
(32), nós podemos definir a primeira LMI que garante a
minimização da norma H2 considerando uma
Agora multiplicando ao lado esquerdo de (26) por realimentação dinâmica de saída:
𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰).
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵
̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′
̂ 𝑨 ̂
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
′ ̂ ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 ] < 0 (37)
𝝅′𝟏 0 𝐴 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 [ 𝑨 + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝑩 𝑩
[ ][ ][ ]<0 ̂
𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂
(𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝐼
0 𝐼 𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼
𝝅′ 𝑨′𝑷 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
[ 𝟏 ][ ]<0
𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼
Agora multiplicando ao lado esquerdo de (27) por
′ ′ ′ 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰).
𝝅 𝟏 𝑨′𝑷𝝅 𝟏 + 𝝅 𝟏 𝑷𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟏 𝑷𝐵 𝑤
[ ]<0 (30)
𝐵 𝑤 ′𝑷𝝅 𝟏 −𝐼
𝝅′𝟏 0 𝑷 𝐶 𝑍′ 𝝅 𝟏 0
[ ][ ][ ]>0
0 𝐼 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼
Agora considerando:
𝝅′𝟏 𝑷 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′ 𝝅 𝟏 0
[ ][ ]>0
𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐′ 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼
(31)
𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝑷𝝅 𝟏 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′
[ ]>0 (38)
𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸
Fazendo substituição em (30) Fazendo substituição de (31) em (38)
𝝅′ 𝑨′𝝅 𝟐 + 𝝅 𝟐 ′𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′
[ 𝟏 ]<0 (32) [ ]>0 (39)
𝐵 𝑤 ′𝝅 𝟐 −𝐼 𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸
Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (39):
Considerando:
𝑋 𝐼
𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (40)
𝐴 = 𝑨 𝒄𝒍 𝐼 𝑌
𝐶 𝑍 𝝅 𝟏 = [𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍 ̂𝑪 𝐶 𝑍 +𝐷 𝑍 ̂ 𝐶]
𝑫 (41)
Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (32):
Onde ̂ 𝒆 ̂ são definidas por (36).
𝑪 𝑫
̂ ̂ Agora fazendo substituição de (40) e (41) em (39),
𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (33) nós podemos definir a segunda LMI que garante a
̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶
𝑩
minimização da norma H2 considerando uma
𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨 realimentação dinâmica de saída:
𝝅′𝟏 𝑨′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (34)
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
̂ 𝑋 𝐼 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′
𝑪
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 = [ ] (35) [ 𝐼 𝑌 𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 ̂ 𝐶)′ ] > 0 (42)
𝑫
𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤
𝑩
𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂𝑪 𝐶𝑍 + 𝐷𝑍̂ 𝐶
𝑫 𝑄
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , 𝑸 e ̂ .
𝑪 𝑫
8

9. Agora, fazendo união da LMI (37) e (42), nos
encontramos a condição LMI que possibilita a síntese de 𝝅′𝟏 𝐴′ 𝝅 𝟐 + 𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 𝝅′𝟐 𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝐶 𝑧 ′
uma realimentação dinâmica de saída que garante a [ 𝐵 𝑤 ′𝝅 𝟐 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′ ] < 0 (46)
minimização da norma H2. 𝐶𝑧 𝝅 𝟏 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵
̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′
̂ 𝑨 ̂
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
[ ̂ + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′
𝑨 ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 ] < 0
𝑩 Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (46):
̂
𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂
(𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝐼
𝑋 𝐼 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′
𝑪 (43)
̂ ̂
[ 𝐼 𝑌 ̂ 𝐶)′ ] > 0
𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 𝑫 𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ]
̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶
𝑩
𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂ 𝐶 𝑍 + 𝐷 𝑍 ̂ 𝐶
𝑪 𝑫 𝑄
{ 𝑇𝑟( 𝑸) < 𝛽 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨
𝝅′𝟏 𝑨′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂]
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
̂
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
Agora, resolvendo (43) com LMI Toolbox de Matlab, 𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 = [ ]
̂ 𝐷𝑤
𝑌𝐵 𝑤 + 𝑩
nós podemos encontrar as matrizes do controlador
dinâmico (25). Elas são definidas por: 𝐶 𝑍 𝝅 𝟏 = [𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍 ̂𝑪 𝐶 𝑍 +𝐷 𝑍 ̂ 𝐶]
𝑫
𝑫𝒌 = ̂
𝑫
Onde ̂ , ̂ , ̂ 𝑒 ̂ são definidas em (36).
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
𝑪 𝒌 = ( ̂ − 𝐷 𝑘 𝐶𝑋)(𝑀′)−𝟏
𝑪
(44)
̂ Agora fazendo substituição em (46), nós podemos
𝑩 𝒌 = 𝑁 −1 (𝑩 − 𝒀𝑩𝐷 𝑘 )
definir a LMI que garante a minimização da norma 𝑯∞
̂
𝑨 𝒌 = 𝑁 −1 (𝑨 − (𝑌𝐴𝑋 + 𝑌𝐵𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑁𝐵 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑌𝐵𝐶 𝑘 𝑀′ ))(𝑀′)−𝟏 considerando uma realimentação dinâmica de saída:
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵
̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′
̂ 𝑨 ̂
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′
𝑪
 ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖∞ ≤ 𝜸 ̂ + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′
𝑨 ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤
𝑩 𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 ̂ 𝐶)′
𝑫
< 𝟎
̂
𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂
(𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝜸𝐼 D′ + (𝐷 𝑧 ̂ 𝐷 𝑤 )′
zw 𝑫
[ 𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂𝑪 𝐶𝑍 + 𝐷𝑍̂ 𝐶
𝑫 Dzw + 𝐷 𝑧 ̂ 𝐷 𝑤
𝑫 −𝜸𝐼 ]
A é estável e ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖∞ ≤ 𝜸 se e só se existe uma
matriz 𝑷 simétrica tal que: É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
Agora, resolvendo com LMI Toolbox de Matlab, nós
𝐴′ 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝐶 𝑧′ podemos encontrar as matrizes do controlador dinâmico
[ 𝐵 𝑤 ′𝑃 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′] < 0 (25), que estão definidas em (44).
{ (45)
𝐶𝑧 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼
𝑷>0 5 EXERCÍCIO 5
O objetivo é calcular 𝑨 𝒌 , 𝑩 𝒌 , 𝑪 𝒌 , 𝑫 𝒌 do compensador
dinâmico (25), de forma garantir que 𝜎(𝑨 𝒄𝒍 ) tenham parte Com base nas condições do item anterior resolva e
real negativa e minimize a norma 𝑯∞ . confira os resultados apresentados no exemplo 7 do
artigo Scherer et al: Multiobjective Output-Feedback
Multiplicando ao lado esquerdo de (45) por Control, IEEE-TAC 1997.
𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰, 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰, 𝑰).
′ Considere o seguinte sistema:
𝝅′𝟏 0 0 𝐴 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝐶 𝑧′ 𝝅𝟏 0 0
[0 𝐼 0] [ 𝐵 𝑤 ′𝑃 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′] [ 0 𝐼 0] < 0
𝐴 𝑩 𝒘 𝐵
0 0 𝐼 𝐶𝑧 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 0 0 𝐼
𝒙̇ 𝟏 ⏞0 10 2 𝒙𝟏 ⏞1 ⏞0
[ 𝒙̇ 𝟐 ] = [−1 1 0 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑤 + [1 ] 𝑢
𝒙̇ 𝟑 0 2 −5 𝒙 𝟑 1 0
𝝅′𝟏 𝐴′ 𝑷 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝐶 𝑧 ′ 𝝅 𝟏 0 0 𝑥1
[ 𝐵 𝑤 ′𝑃 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′ ] [ 0 𝐼 0] < 0 𝑦 = [0 1 0] [ 𝑥2 ] + ⏟ 𝑤
⏟ 2
𝐶𝑧 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 0 0 𝐼 𝑪 𝑥3 𝐷𝑤
E tem saídas de rendimento definidas por:
𝝅′𝟏 𝐴′ 𝑷𝝅 𝟏 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴𝝅 𝟏 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝐶 𝑧 ′
[ 𝐵 𝑤 ′𝑃𝝅 𝟏 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′ ] < 0 0 1 0 𝒙𝟏 0
𝐶𝑧 𝝅 𝟏 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 𝒛 = [0 0 1 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑢
⏟ 0
0 0 𝒙𝟑 ⏟0
𝑪𝒛 𝑫 𝒛𝒖
Agora considerando (31).
9

10.  Miminizar ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 considerando que a norma
‖𝑇 𝑤𝑧 ‖∞ ≤ 𝟐𝟑. 𝟔
%%Implementação de realimentação dinâmica de lmiterm([5 3 4 -D_c],Dw',Dz'); % Dw'D_c'Dz'
saída para norma H2 tendo que a norma de lmiterm([5 3 4 0],Dzw'); % Dzw'
Hinf<=23.6 lmiterm([5 4 4 0],-gamma); % -(gama)*I
clear all lmis=getlmis;
clc
%% Definindo matrizes A, B, C e D c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(3),eye(3),eye(3,1),eye(
A = [0 10 2; -1 1 0; 0 2 -5]; 1,3),eye(1),eye(2))
B = [0;1;0]; options=[1e-2,100,1e4,0,0]
C = [0 1 0]; %Matriz C de desempenho [copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)
Bw = [1 0 1]'; %Com relação a perturbação
D = 0; Q_Optimo = dec2mat(lmis,xopt,Q);
Dw = 2; X_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,X)
Cz = [0 1 0; 0 0 1]; Y_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,Y)
z = [0; 0]; A_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,A_c);
Dzw = [0]; B_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,B_c);
C_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,C_c);
setlmis([]); D_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,D_c);
%% Declaracao das variaveis
X = lmivar(1, [3 1]); %% Determinando das matrizes do controlador
Y = lmivar(1, [3 1]); dinamico
A_c = lmivar(1, [3 1]);
B_c = lmivar(2, [3 1]); N = eye(3);
C_c = lmivar(2, [1 3]); M = eye(3)-X_Otimo*Y_Otimo;
D_c = lmivar(1,[1 1]); Dk=D_c_Otimo;
Q=lmivar(1,[2 1]); Ck=(C_c_Otimo-Dk*C*X_Otimo)*inv(M');
I = 1; Bk=inv(N)*(B_c_Otimo-Y_Otimo*B*Dk);
Ak=inv(N)*(A_c_Otimo-N*Bk*C*X_Otimo-
%% 1 LMI Y_Otimo*B*Ck*M'-
lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s')% A*X+X*A' Y_Otimo*(A+B*Dk*C)*X_Otimo)*inv(M');
lmiterm([1 1 1 C_c],B,1,'s');% B*C_c+C_c*B'
lmiterm([1 2 1 A_c],1,1); % A_c %%%%Sistema em malha fechada com controlador
lmiterm([1 2 1 0], A'); % A' dinamico
lmiterm([1 2 1 -D_c], C', B'); % (B*D_c*C)' A_ = [A+B*Dk*C B*Ck; Bk*C Ak];
lmiterm([1 2 2 Y],1,A,'s');% Y*A+A'*Y B_ = [Bw+B*Dk*Dw; Bk*Dw];
lmiterm([1 2 2 B_c],1,C,'s');% B_c*C+C'*B_c C_ = [Cz+Dz*Dk*C Dz*Ck];
lmiterm([1 3 1 0], Bw'); % Bw' D_ = [Dzw+Dz*Dk*Dw];
lmiterm([1 3 1 -D_c], Dw', B');% (B*D_c*Dw)' sys=ss(A_,B_,C_,D_)
lmiterm([1 3 2 -Y],Bw', 1);% (Y*Bw)'
lmiterm([1 3 2 -B_c],Dw', 1);% (B_c*Dw)' a=norm(sys,2) % função para determinar valor da
lmiterm([1 3 3 0],-I); % -I norma H2 para um sistema
%% 2 LMI a= 3.1144 %%% Valor da norma H2 minimizada
lmiterm([-2 1 1 X],1,1);% X
lmiterm([-2 2 1 0],I); % I
lmiterm([-2 2 2 Y],1,1);% Y
lmiterm([-2 3 1 X],Cz,1); % Cz*X
lmiterm([-2 3 1 C_c],Dz,1);% Dz*C_c O sistema em malha fechada é:
lmiterm([-2 3 2 0],Cz); % Cz
lmiterm([-2 3 2 D_c],Dz,C);% Dz*D_c*C
lmiterm([-2 3 3 Q],1,1); % Q
𝑋̇ 𝑐𝑙 𝐴 𝑐𝑙 𝑋 𝑐𝑙 𝐵 𝑐𝑙
%% 3 LMI ⏞𝑿̇ ⏞𝐴 + 𝐁𝐷 𝑘 𝑩𝐶 𝑘 ⏞ ⏞𝑩 𝒘 + 𝐵𝐷 𝑘 𝑫 𝒘
𝑿
lmiterm([-3 1 1 X],1,1); % X>0 positiva definida [ ̇]= [ ][ ̇] + [ ] 𝑾
𝝃 𝐵𝑘 𝑪 𝐴𝑘 𝝃 𝐵𝑘 𝑫 𝒘
%% 4 LMI
lmiterm([-4 1 1 Y],1,1); % Y>0 positiva definida 𝐶 𝑐𝑙2 𝐷 𝑐𝑙2
𝑿
%% 5 LMI 𝒁 𝟐 = ⏞ 𝒛𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑪
[𝑪 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + ⏞ 𝐳𝐰𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾
[𝐃
𝝃
lmiterm([5 1 1 X],A,1,'s'); % AX+XA' Onde:
lmiterm([5 1 1 C_c],B,1,'s'); % B*C_c+C_c'B'
lmiterm([5 1 2 -A_c],1,1); % A_c'
lmiterm([5 1 2 0],A); % A 0 10 2 0 0 0
lmiterm([5 1 2 D_c],B,C); % B*D_c*C −1 −12.81 0 1.013𝑒 + 09 6.639𝑒 + 07 5.019𝑒 + 07
lmiterm([5 1 3 D_c],B,Dw); % B*D_c*Dw 0 2 −5 0 0 0
𝑨 𝒄𝒍 =
lmiterm([5 1 3 0],Bw); % Bw 0 131.1 0 −8.13𝑒 + 09 −5.33𝑒 + 08 −4.029𝑒 + 08
lmiterm([5 1 4 X],1,Cz'); % XCz' 0 666.8 0 −4.137𝑒 + 10 −2.712𝑒 + 09 −2.05𝑒 + 09
[ 0 −3527 0 2.186𝑒 + 11 1.433𝑒 + 10 1.083𝑒 + 10 ]
lmiterm([5 1 4 -C_c],1,Dz'); % C_c'Dz'
lmiterm([5 2 2 Y],1,A,'s'); % YA+A'Y
lmiterm([5 2 2 B_c],1,C,'s'); % B_c*C+C'B1' 1
lmiterm([5 2 3 Y],1,Bw); % Y*Bw
lmiterm([5 2 3 B_c],1,Dw); % B_c*Dw −27.62
lmiterm([5 2 4 -D_c],C',Dz'); % C'*D_c'*Dz' 1
lmiterm([5 2 4 0],Cz'); % Cz' 𝑩 𝒄𝒍 =
262.3
lmiterm([5 3 3 0],-gamma); % -(gama)*I
1334
[ −7053]
10

11. 0 1 0 0 0 0 𝑸 − 𝑺𝑹−𝟏 𝑺′ > 0
𝑪 𝒄𝒍 = [ ]
0 0 1 0 0 0
Obtém-se:
0
𝑫 𝒄𝒍 = [ ]
0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷
[ ]>0 (52)
𝑷𝐴 𝑑 𝑷
6 EXERCÍCIO 6
Agora considerando as seguintes matrizes:
Determine uma condição LMI que permita a síntese 𝑋 𝐼
de uma realimentação dinâmica de saída estabilizante 𝝅𝟏 = [ ] (53)
𝑀′ 0
para o caso discreto no tempo.
𝐼 𝑌
𝝅𝟐 = [ ] (54)
Considere o sistema discreto dado por: 0 𝑁′
Agora pré e pós multiplicando todos os elementos
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] = 𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (47) por 𝝅𝟏′ e 𝝅𝟏, obtém-se que:
O sistema (47) é assintoticamente estável se ∃𝑃 = 𝜋′1 0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0
𝑃 ′ > 0 tal que: [ ][ ][
0 𝜋1
]>0
0 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝑷
𝑃 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 0 (48)
𝜋′1 𝑷 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0
[ ][ ]>0
𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋′1 𝑷 0 𝜋1
Nós podemos observar que (48) não é uma LMI.
𝜋′1 𝑷𝜋1 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷𝜋1
[ ]>0 (55)
Então seja: 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝑷𝜋1
𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) = 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (49) Agora considerando:
O teorema de Lyapunov discreto é definido por: 𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐 ′
Se: 𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐
Então (55) fica:
𝚫𝑽(𝒙 𝒄𝒍 [𝒌]) = 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]) − 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) < 0 (50)
𝜋′1 𝜋2 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝜋2
[ ]>0 (56)
𝜋′2 𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝜋2
Então o sistema é A.E. Agora reescrevendo (50) a
partir de (49).
Agora fazendo substituição de (53) e (54) em (56):
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
𝑋 𝐼
𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (57)
𝐼 𝑌
Agora a partir de (47): ̂ ̂
𝝅′𝟐 𝐴 𝑑 𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (58)
̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶
𝑩
((𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘])′𝑷(𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨
𝝅′𝟏 𝐴 𝑑 ′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (59)
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′(𝐴 𝑑 ′𝑷𝐴 𝑑 − 𝑷)𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
Onde ̂ , ̂ , ̂ 𝑒 ̂ são definidas em (36).
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
Se:
𝑷 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 𝟎 (51)
Agora fazendo substituição de (57), (58) e (59) em
Então 𝚫𝑽(𝒙) < 0 (56), nós podemos definir a LMI que permite a síntese de
uma realimentação dinâmica de saída estabilizante para
Agora aplicando complemento de Schur em (51), o caso discreto no tempo.
o qual está definido da seguinte maneira:
𝑋 𝐼 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨
𝑸 𝑺 𝐼 𝑌 ̂
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ ̂
𝑌 + 𝐶′𝑩
[ ]>0 >0
𝑺′ 𝑹 ̂ ̂
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 𝑋 𝐼
[ ̂𝑨 𝑌𝐴 + 𝑩̂𝐶 𝐼 𝑌 ]
Considerando:
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
𝑹>0
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12. 7 REFERÊNCIAS
[1] LMI CONTROL TOOLBOX, For use with MATLAB
[2] Controle robusto, professor Alexandre Trofino
[3] Linear Quadratic Control, Peter Dorato and Chaouki Abdallah
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