O documento descreve dois casos de escoamento de fluidos newtonianos em situações simples. O primeiro caso trata de um filme líquido descendente em um plano inclinado, apresentando as equações para o perfil de velocidade parabólico e espessura do filme. O segundo caso trata do escoamento no interior de tubos horizontais, apresentando a equação de Hagen-Poiseuille para o perfil de velocidade parabólico.

1. TA 534 – FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof. Dr. Antonio José de Almeida Meirelles
Balanço de Quantidade de
Movimento no Escoamento de
Fluidos Newtonianos em
Situações Simples

2. Balanço de Q. M. em Regime Permanente
Taxa de Q. M. que
entra no volume
de controle
Hipóteses normalmente admitidas na solução de problemas deste tipo:
• Na interface sólido-fluido a camada de fluido adjacente à
superfície do sólido adere à sua superfície e se move com a mesma
velocidade dele (hipótese do não-deslizamento);
• Em interfaces líquido-gás o fluxo de quantidade de movimento (e,
portanto, o gradiente de velocidade) na fase líquida é muito próximo
de zero e será assumido como nulo nos cálculos.
Taxa de Q. M. que
sai do volume de
controle
Soma de forças
atuando no vol.
de controle
_
+ = 0

3. 1° Caso: Filme líquido descendente em um plano inclinado

5. Hipóteses Adicionais:
• Escoamento em baixa velocidade Vx(y) e com baixa espessura do
filme (escoamento laminar);
• Propriedades físicas (µ, ρ) constantes.
O volume de controle ∆VOL = L.W.∆y é um paralelepípedo com 6
faces pelas quais pode ocorrer transferência de quantidade de
movimento.

6. Balanço da Quantidade de Movimento
Taxa de Q. M. que entra
pela área (W.∆y) em x = 0
Taxa de Q. M. que sai pela
área (W.∆y) em x = L
Taxa de Q. M. que entra
pela área (L.W) em y = y
Taxa de Q. M. que sai pela
área (L.W) em y = y + ∆y
( )( ) 0
... =
∆ xxx VVyW
( )( ) Lxxx VVyW =
∆ ...
( )( )yyxWL ..
( )( ) yyyxWL ..
+

7. Taxa de Q. M. que sai pela
área (L.∆y) em z = W
Soma das forças atuando
sobre o corpo =
componente da força da
gravidade na direção x
Taxa de Q. M. que entra
pela área (L.∆y) em z = 0 = 0
= 0
Não há escoamento na
direção z e nesta direção
toda a camada de fluido
de espessura ∆y se
movimenta com a mesma
velocidade (portanto não
há atrito).
( ) ( )( )cos..... gyWL ∆

8. ( )
( ) ( ) 0cos
0
=⋅⋅⋅⋅⋅+−
−+⋅⋅−⋅⋅
+
==
βρ∆
∆∆
gyWL.L.W
.L.WVVyW.VVyW.
yyyx
yyxLxxxxxx
Lxxxx VV ==
=0
Escoamento em regime permanente
de fluido incompressível
Dividir por L.W.∆y = ∆Vol
( )cos..g
y
yyxyyyx
=
−
+
ττ

9. ( )cos..lim
0
g
y
yyxyyyx
y
=
−
+
→
Esta é a definição da 1ª derivada de τyx com relação a y
( )cos..g
dy
d yx
=
Equação diferencial para o
fluxo de quantidade de
movimento τyx por atrito
viscoso.

10. ( )= dygd yx cos..
( ) 1.cos.. Cygyx +=
Condição de contorno: na interface gás-líquido não há
transferência de quantidade de movimento (não há atrito
entre o gás e o líquido) → y = 0 τyx = 0
Logo: C1 = 0
( ) ygyx .cos..= Perfil do fluxo de quantidade
de movimento ou da tensão de
cisalhamento.

12. O fluido é Newtoniano →
dy
dVx
yx −=
Combinando as duas equações:
( ) y
dy
dVx .g.cos βρ
−=
( )−= ydydVx
.g.cos βρ

13. ( )
2
2
2.
.g.cos
CyVx +−=
βρ
Condição de contorno: na interface sólido-líquido o líquido
adere à superfície do sólido → y = δ Vx = 0
Logo:
( ) 2
2
2.
.g.cos
δ
βρ
=C E tem-se:
( ) −=
22
1
2.
.cos.g.
δ
βδρ y
Vx
Perfil de
velocidade
parabólico

14. Alguns resultados que podem ser obtidos a partir da equação
anterior:
1) Velocidade máxima ocorre para y = 0
( )
2.
.cos.g. 2
,
βδρ
=máxxV
2) Velocidade média Vx ao longo de toda a seção transversal do filme
(área W.∆y):
= W
W
x
x
dzdy
dzdyV
V
0 0
0 0
δ
δ
Soma de todo o volume de líquido
que atravessa a área (W.δ) por
unidade de tempo.
Área de seção transversal por onde o
líquido escoa = W.δ

15. ( )
3.
.cos.g. 2
βδρ
=xV Velocidade média
3) Vazão volumétrica:
( )
µ
βδρδ
.3
cos....
V
3
0 0
Wg
dzdyV
W
x ==
•
Note que:
( ) médiaevelocidad.seçãodeÁrea.. ==
•
xVWV δ

16. 4) Espessura do filme:
( )βρ
µ
δ
cos..
..3
g
Vx
=
Escoamentos em filmes de interesse industrial:
•Evaporadores de película (ou filme) descendente → o fluido a ser
concentrado por evaporação escoa descendentemente em um filme de
espessura fina formado sobre a superfície interna de tubos verticais. Se
δ <<< R, pode-se desprezar o efeito de curvatura da geometria
cilíndrica.
Neste caso as equações anteriores são válidas
com cos(β) = 1, pois os tubos são verticais.

17. Para paredes verticais (p. ex. evaporadores de filme descendente):
Escoamento laminar sem ondulações → Re < 4 a 25;
Escoamento laminar com ondulações → 4 a 25 < Re < 1000 a 2000;
Escoamento turbulento → Re > 1000 a 2000.
Onde Re = número de Reynolds do escoamento.
W
VW
V
V
x
x
x
ρδ
ρδ
µµ
ρδ
...
..
4...4
Re
==Γ
Γ
==
Vazão mássica por unidade de
largura da parede (perímetro da
parede cilíndrica).
No caso de um filme descendente em um tubo (δ <<< R), tem-se W
= 2.π.R

18. [ ]
[ ] aladimension
.
.Re
.
==
=
sm
kg
sm
kg
sm
kg
Γ

19. 2° Caso: Escoamento no interior de tubos horizontais
Hipóteses:
• Escoamento em baixa velocidade em um tubo de pequeno diâmetro
(escoamento laminar);
• Regime permanente (características do escoamento são
independentes do tempo);
• Fluido Newtoniano (fluido que segue a lei de Newton da
viscosidade);
• Fluido é um meio contínuo;
• Propriedades físicas constantes (µ e ρ são constantes, fluido é
incompressível);
• Não há deslizamento na interface fluido-sólido (superfície da parede
sólida) → hipótese do não-deslizamento;
• Efeitos de entrada e saída da tubulação horizontal, os quais
perturbam o escoamento laminar, devem ser desprezados.

20. Selecionamos um volume de controle tipo capa cilíndrica (há simetria
cilíndrica, logo usa-se coordenadas cilíndricas), com espessura ∆r e
comprimento L, e realizamos o balanço de quantidade de movimento na
direção axial x (direção do escoamento).
Taxa de Q.M. que entra
junto com o escoamento na
superfície anular em x=0
( )( ) 0
.....2 =xxx VVrr ρ∆π
Taxa de Q.M. que sai junto
com o escoamento na
superfície anular em x=L
( )( ) Lxxx VVrr =
.....2 ρ∆π

21. Taxa de Q.M. que entra via
atrito viscoso através da
superfície cilíndrica em r
( ) rrrxLr =
τπ ....2
Taxa de Q.M. que sai via
atrito viscoso através da
superfície cilíndrica em r+∆r
( ) rrrrxLr ∆
τπ +=
....2
Força devido à pressão na
superfície anular em x=0
Força devido à pressão na
superfície anular em x=L
( )( ) 0
...2 =x
Prr ∆π
( )( ) Lx
Prr =
− ∆π ...2
Força exercida pelo fluido situado em x
< 0 sobre o fluido situado em x ≥ 0
Força exercida pelo fluido situado em x = L
sobre o fluido situado em x < L, por isso o
sinal negativo

22. 0
sistemanoatuando
forçasdasSoma
saique
M.Q.deTaxa
entraque
M.Q.deTaxa
=+−
0PP ox
== LLx
PP ==
( ) ( )
( ) 0....2
....2....2
.....2.....2
0
2
0
2
=−+
+−+
+−
+==
==
L
rrrrxrrrx
Lxxxx
PPrr
LrLr
VrrVrr
∆π
τπτπ
ρ∆πρ∆π
∆
Escoamento em regime permanente de um fluido incompressível
( ) ( ) 22
0
rrr
Lxx
rrr
xx rVrV
∆∆ +=
=
+=
= =

23. Estamos comparando a velocidade do fluido em diferentes posições
na direção do eixo (x = 0 e x = L), mas na mesma posição em
direção ao raio (r = r + ∆r/2). Dividindo a equação por 2.π.L.∆r:
( ) ( )
r
L
PP
r
rr Lrrxrrrx
.
.. 0 −
=
−+
∆
ττ ∆
( ) ( )
r
L
PP
r
rr Lrrxrrrx
r
.
..
lim 0
0
−
=
−+
→ ∆
ττ ∆
∆
( ) r
L
PP
r
dr
d L
rx .. 0 −
=τ

24. ( ) −
= r
L
PP
r
dr
d L
rx .. 0
τ
1
2
0
2
.. C
r
L
PP
r L
rx +
−
=τ
r
C
r
L
PP L
rx
10
.
.2
+
−
=τ
Condição de contorno: em r = 0 (centro do tubo), tem um valor
finito. Neste caso, C1 = 0, pois para qualquer valor de C1 0,
0
1
=rr
C assumiria um valor infinito.
rxτ

25. r
L
PP L
rx .
.2
0 −
=τ Perfil da tensão de cisalhamento

26. Se o fluido é Newtoniano:
dr
dVx
yx −=
r
L
PP
dr
dV Lx
.
.2
0 −
=− µ
−
−= drr
L
PP
dV L
x ..
..2
0
µ
2
20
.
..4
Cr
L
PP
V L
x +
−
−=
µ

27. Condição de contorno: r = R → Vx = 0 (hipótese do não-deslizamento).
Logo: 20
2 .
..4
R
L
PP
C L−
=
µ
( ) −
−
=
22
0
1
..4
.
R
r
L
RPP
V L
x
µ
Perfil de velocidade
para escoamento
laminar em tubo → É
PARABÓLICO.

28. Vx,mín ocorre para r = R → Vx,mín = 0
Vx,máx ocorre para r = 0 →
( )
L
RPP L
..4
.
V
2
0
máxx,
µ
−
=
Velocidade média:
= π
π
θ
θ
2
0 0
2
0 0
..
...
R
R
x
x
ddrr
ddrrV
V
( )
L
RPP
V L
x
..8
. 2
0
µ
−
= máxxx VV ,
2
1
=

29. Vazão volumétrica:
=
• π
θ
2
0 0
...
R
x ddrrVV
( )
L
RPP
V L
..8
.. 4
0
µ
π −
=
•
Lei de Hagen-Poiseuille
Observe que:
escoamentodomédiaVelocidade.escoamentodoseçãodaÁrea=
•
V
( ) ( )
L
RPP
L
RPPR
V LL
..8
..
..8
... 4
0
2
0
2
µ
π
µ
π −
=
−
=
•
Mesmo
resultado

30. • Comentários sobre as hipóteses adotadas:
Escoamento laminar: no interior de tubos o número de Reynolds é
definido como
µ
ρ DVx..
Re =
ρ = densidade do fluido
Vx = velocidade média do escoamento
D = diâmetro interno do tubo
µ = viscosidade do fluido
[ ] 3
m
kg=ρ
[ ] s
mVx =
[ ] mD =
[ ] ( )sm
kg
.
=µ

31. [ ]
( )
alAdimension
.
..
Re
3
==
sm
kg
m
s
m
m
kg
[ ]
ViscosasForças
InérciadeForças
Re =
Escoamento com velocidade
constante
Atrito entre camadas com
diferentes velocidades
Re < 2.100 → Escoamento laminar
2.100 < Re < 10.000 → Transição
Re > 10.000 → Escoamento turbulento

32. • Propriedades físicas constantes: é função da
temperatura e da composição; logo, no caso de fluido
a temperatura constante e concentração uniforme é
constante. é função da temperatura, pressão e
composição; no caso de líquidos homogêneos e com
pouca variação de temperatura constante é sempre
uma boa hipótese (fluidos incompressíveis); no caso
de gases ou vapores é necessário que a pressão seja
baixa e varie pouco (fluidos compressíveis).

33. • Desprezar os efeitos de entrada e saída: os resultados se
aplicam após um comprimento de entrada Le =
0,035.D.Re, o qual garante o perfil parabólico
perfeitamente desenvolvido.
• Fluido é um meio contínuo: isto só não é válido para
gases ou vapores muito diluídos (pressões muito baixas
= vácuo muito elevado) e/ou em capilares muito
estreitos → neste caso o caminho livre médio molecular
pode ser da ordem de grandeza do diâmetro do tubo.
• Não há deslizamento na parede: excelente hipótese
sempre que as condições do item anterior (fluido é um
meio contínuo) forem satisfeitas.

34. Exercício sobre Quantidade de Movimento →
Cálculo da Viscosidade de glicerina que escoa num tubo.
Glicerina → composto orgânico normalmente obtido
como sub-produto dos processos de fabricação de óleos e
sabões .
Devido a sua formula molecular C3H8O3, possui alta
densidade.

35. Problema: glicerina a 26,5 ºC escoa no interior de um tubo horizontal
de 1 pé de comprimento e 0,1 polegada de diâmetro interno. Se a
queda de pressão neste trecho é 40 psi e a vazão é 0,00398 pé3/min,
determine a viscosidade da glicerina em cP. Dado: ρ26,5 ºC = 1,261
g/cm3.
Solução:
LV
RP
L
RP
V
..8
..
..8
.. 44
•
•
==
∆π
µ
µ
∆π
( )
( ) pé
pol
s
pé
pol
pé
pol
lbf
cm
dyn
pol
lbf
1.1.00398,0.8
1.05,0.10.8947,6.40.
60
min
min
4
12
4
3
2
2
2
=
π
µ

36. cP
P
scm
g
s
cm
dyn
492
92,4
.
92,4.92,4 2
=
===
µ
µ
Este tubo funciona como um viscosímetro capilar.
É necessário checar se o escoamento é mesmo LAMINAR:
( )( ) ( )( )
( )( )scm
g
pol
cm
cm
g
spé
pol
pol
cmpé
pol
D
VDV
.
min
3
min
92,4.54,2.1,0
261,1.
60
1.12.54,2.00398,0
.
4
Re
..
..4..
Re
3
3
π
µπ
ρ
µ
ρ
=
==
•
Re = 2,41 Re < 2.100 Escoamento Laminar.

37. Checar se os efeitos de entrada e saída perturbam o escoamento:
Efeito de entrada → Le = 0,035.D.Re (Bird)
Le = 0,05.D.Re (Sissom)
Le ≈ (7-10).10-4 pés = (0,02-0,03) cm → efeitos de entrada
desprezíveis.
L do tubo = 1 pé = 30,48 cm
Le = comprimento necessário para o desenvolvimento completo do
perfil de velocidade