Estacas sob acções laterais estáticas

Estacas sob acções horizontais estáticas
Fundações de Estruturas
Jaime A. Santos (IST)
Mestrado em Engenharia de Estruturas

Estacas sob acções horizontais
Mecanismos de rotura

Fenda de tracção
na zona posterior
da estaca
Cunha de rotura
na zona frontal
da estaca

Rotação
L L
H H
e
Estacas curtas – rotura por insuficiente resistência do terreno

Fractura Fractura
L L
H H
e
Estacas longas – rotura por flexão da estaca

L L
Hu
P
3B LKp
γ 3B LKp
γ
H
e
Mmáx
Mmáx
B
Método de Broms
Estacas curtas em solos incoerentes (areias)
topo livre topo restringido (rotação nula)
Reacção
do solo DMF

Método de Broms
Estacas curtas em solos incoerentes (areias)
0
40
80
120
160
200
0 4 8 12 16 20
L/B
H
/K
B
u
p
3
γ
topo livre
topo restringido
e/L=0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.5
2.0
3.0
L
e
BL
0.5K
H
3
p
u
+
γ
=
2
p
u BL
1.5K
H γ
=

Método de Broms
Estacas longas em solos incoerentes (areias)
topo livre topo restringido (rotação nula)
L L
e
f f
Mu
Mu
Mu
Hu Hu
Reacção
do solo DMF

Método de Broms
Estacas longas em solos incoerentes (areias)
1
10
100
1000
0.1 1 10 100 1000 10000
topo livre
topo restringido
H
/K
B
u
p
3
γ
M /K B
u p
4
γ
e/B=0
1 2 4 8 16 32






+
= f
3
2
e
H
M u
u
p
u
BK
1.5
H
f
γ
=
3
f
H
M u
u =

Método de Broms
• estacas curtas em solos coesivos
• estacas longas em solos coesivos
Foram também desenvolvidas
equações simples e ábacos para:

M
1/r
p
y
p
y
Modelo meio contínuo versus modelo meio discreto

Modelos meio contínuo/meio discreto
Soluções algébricas para casos particulares simples
• meio discreto (meio de Winkler)
• meio contínuo (soluções de Randolph e do EC7)
Comparação das soluções e aferição da relação k-(Es,νs)

Meio de “Winkler”

Fundação em meio de Winkler
A análise do problema de interacção solo-fundação é feita habitualmente
recorrendo ao conceito do coeficiente de reacção originalmente proposto
por Winkler em 1867. Neste modelo o solo é assimilado por uma série
de molas independentes com comportamento elástico e linear. A rigidez
dessas molas é assim caracterizada por uma constante de
proporcionalidade entre a pressão aplicada (q) e o deslocamento do solo
(y), constante essa designada por coeficiente de reacção k’.
q
y

O k’ é assim definido como sendo a pressão necessária para provocar um
deslocamento unitário e, portanto com as dimensões de [FL-3]. Define-se
ainda, habitualmente, uma outra grandeza designada por módulo de
reacção do solo k que é igual ao produto do coeficiente de reacção k’ pela
dimensão transversal da fundação B. O módulo de reacção tem assim as
dimensões de [FL-2] tal como o módulo de deformabilidade de um solo.
Este modelo pode ser utilizado para a análise de
fundações superficiais ou de estacas sob acções laterais.

O modelo de cálculo consiste em assimilar a fundação a uma peça linear
(viga) apoiada num meio elástico “discreto” constituído por molas
infinitamente próximas, mas sem ligação entre elas.
Se analisar o equilíbrio de um troço elementar da viga tem-se:
V – (V + dV) + p dx – q dx = 0, ou seja,
dV/dx = k y – q ou d2M/dx2 = k y – q
q
p
x
y
N q
p
dx
V V+dV
M M+dM

Admitindo válida a hipótese dos pequenos deslocamentos vem:
M = - EI d2y/dx2
que substituindo na equação de equilíbrio conduz a:
A solução geral desta equação diferencial de 4ª ordem para q=0 é da
forma:
EI d4y/dx4 + k y = q
y = eλx (C1 sin λx + C2 cos λx) + e-λx (C3 sin λx + C4 cos λx)
λ = (k / 4EI)1/4
com

As constantes C1, C2, C3 e C4 são obtidas tendo em conta as condições
de fronteira do problema.
O parâmetro λ com dimensões de [L-1] caracteriza a rigidez relativa solo-
fundação. O produto de λ pelo comprimento L da fundação define uma
grandeza adimensional que permite classificar a fundação quanto ao seu
comportamento:
De acordo com Vesic:
λL ≤ 0.8 (≈1) – rígida
0.8 (≈1) < λL < 3.0 – semi-flexível
λL ≥3.0 – flexível
Fundações superficiais

A solução geral válida para qualquer valor de λL é bastante trabalhosa
(solução correspondente ao comportamento semi-flexível):
Para as situações de comportamento rígido ou flexível as equações
anteriores transformam-se em equações mais simples.
a b
x
L
N

Factores que afectam o coeficiente de reacção:
a) O comportamento não linear do solo
b) Efeito da profundidade e da dimensão transversal da fundação
c) Forma da fundação
d) Efeito de escala – ensaio de placa vs fundação (terreno
estratificado)
q q
bolbo
de
tensões:
z
%
B
B
Solo 1
Solo 2
Bp

Num meio elástico e
homogéneo caracterizado
pelas constantes elásticas E
e ν, o assentamento da
fundação y induzido pela
carga q é dado por:
y
qB
E
If
= −
( )
1 2
ν
em que If é um factor que
depende dos dados
geométricos do problema.
Assim, k’ = q/y % 1/B ou seja
O coeficiente de reacção é inversamente proporcional à largura B
enquanto que o módulo de reacção (k=k’B) não depende de B.
q
bolbo
de
tensões:
z
%
B
y % B
B

Existem na bibliografia diversas propostas para a obtenção do valor de k’.
Quando se utilizam correlações deduzidas dos ensaios de placa há que ter em
atenção o efeito de escala.
• Ensaio de placa (circular ou quadrangular) com dimensão Bp
Terzaghi (1955):
Fundação com forma circular ou quadrangular (dimensão B)
k’/k’p = Bp/B (em solos argilosos)
k’/k’p= [(B+Bp)/2B]2 (em solos arenosos)
Fundação com forma rectangular (BxL)
k’/k’p = (m+0.5)/1.5m , m = L/B
k’ e k’p – coeficientes de reacção solo-fundação e solo-placa, respectivamente

k
EB
EI
E
f
=
−
0 65
1
4
12
2
.
( ) ν
• Relação k-(E,ν)
Comparando a solução teórica da viga em meio de Winkler com a da viga
em meio elástico contínuo, Vesic (1961) propôs a seguinte correlação:
em que:
k – módulo de reacção
E – módulo de elasticidade do solo
ν – coeficiente de Poisson do solo
(EI)f – módulo de flexão da viga (fundação)
B – largura da viga (fundação)

Valores típicos de k’p em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios
de placa com Bp=0.3m (1 pé) em areias
k’0.3 (MN/m3)
Compacidade
Terreno
6 a 18
Solta
Areia seca ou
húmida
18 a 90
Medianamente
compacta
90 a 300
Compacta
7.5
Solta
Areia submersa
24
Medianamente
compacta
90
Compacta

Valores típicos de k’p em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios
de placa com Bp=0.3m (1 pé) em argilas duras
k’0.3 (MN/m3)
Consistência
Terreno
15 a 30
Dura - qu=100 a 200kPa
Argila
30 a 60
Muito dura - qu=200 a 400 kPa
> 60
Rija – qu > 400 kPa

Para o caso das estacas solicitadas lateralmente o procedimento de
análise com base no modelo de Winkler é em tudo análogo à das
fundações superficiais.
Para o caso de um meio homogéneo, isto é, com módulo de
reacção constante em profundidade, define-se o mesmo parâmetro
λ que caracteriza a rigidez relativa solo-estaca. O produto de λ pelo
comprimento L da estaca define uma grandeza adimensional que
permite classificar a estaca quanto ao seu comportamento:
De acordo com Santos e Gomes Correia (1992):
λL ≤ 1 – rígida ; 1 < λL < 3 – semi-flexível ; λL ≥3 – flexível
Estacas sob acções laterais

Comportamento flexível e rígido das estacas
As soluções podem ser equacionadas sob a forma adimensional em
função de três parâmetros:
λ – parâmetro de rigidez relativa solo-estaca
L – comprimento da estaca
K – módulo de reacção (meio homogéneo)
Estas soluções simplificam-se para os casos de comportamento flexível
e rígido:
• flexível (λL → ∝) λ , k
• semi-flexível λ , k, L
• rígido (λL → 0) k , L

Soluções analíticas (existentes):
Meio com rigidez constante em profundidade – k constante
Meio cuja rigidez aumenta linearmente em profundidade – k=nh x
Força horizontal no topo da estaca
Momento no topo da estaca
Topo livre
Topo com rotação impedida

Indicam-se, a título de exemplo, as soluções em termos dos
deslocamentos laterais para um meio com r. Para as situações de
comportamento flexível ou rígido as equações tornam-se mais simples:
Estaca semi-flexível 1< λL <3:
Estaca rígida λL ≤ 1:
y '
2Vo λ
k
senhλL cosλx coshλx)
& senλL coshλx cosλx)
senh 2
λL & sen 2
λL
y '
2Vo λ
k
(e&λx
cosλx)
y '
2Vo
Lk
(2&3
x
L
)
Vo
Estaca flexível λL ≥ 3:

Comportamento flexível e rígido
Meio com k constante
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6
Mm á x
λ
Vo
yo k
λ
Vo
y
o
k
λ
V
o
M
m
á
x
λ
V
o
λL
estaca
flexível
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
4
8
12
16
0 1 2 3 4 5 6
Mm á x
V L
o
yo k L
Vo
λL
M
m
á
x
V
L
o
y
o
k
L
V
o
estaca
rígida
Estaca semi-flexível 1< λL <3:
Estaca rígida λL ≤ 1:
Estaca flexível λL ≥ 3:
o
máx
V
M λ
λ
o
o
V
k
y
L
V
M
o
máx
o
o
V
L
k
y

Limites propostos com base
nos esforços máximos e nos deslocamentos
λ = (k / 4EI)1/4
η = (nh / EI)1/5
ηL ≤ 1,5
λL ≤ 1
Rígida
1,5 ≤ ηL ≤ 4
1 ≤ λL ≤ 3
Semi-flexível
ηL ≥ 4
λL ≥ 3
Flexível
k = nhx
k = cte
Meio
Comportamento
da estaca

Comportamento flexível
L
lc
Vo
Mo
Deformada
x
Exemplo:
k=20000kPa (solo)
E=29GPa (estaca)
φ=1.0m
para ser flexível:
L ≥ 12.3m (≈3/λ)

Estacas flexíveis – Influência dos parâmetros
Meio com k constante
Estaca sujeita à força Vo
68
1
2
1
24
4
2
1
1
2
2
2
1
1
02
01
,
k
k
k
k
k
k
y
y
=
=
=
λ
λ
=
19
1
2
1
1
4
1
2
2
1
2
1
,
M
M
máx
máx
=
=
λ
λ
=
λ
λ
=
0
y
máx
M
Vo
2
1
2
1
k
k =

11000
18000
Compacta
4500
6800
Média
1300
2300
Solta
Submersa
Seca ou húmida
Compacidade
da areia
nh (kN/m3)
Areias:
módulo de reacção k=nh x (em que x = profundidade)
Proposta de Terzaghi (1955)

Argilas normalmente consolidadas
módulo de reacção k=nh x (em que x = profundidade)
Argila mole (NC)
nh = 160 a 3450 kN/m3 , Reese e Matlock (1956)
nh = 270 a 540 kN/m3 , Davisson e Prakash (1963)
Argila orgânica (NC)
nh = 110 a 270 kN/m3 , Peck e Davisson (1962)
nh = 110 a 810 kN/m3 , Davisson (1970)
Argilas sobreconsolidadas
módulo de reacção k constante em profundidade
k = 67cu , Davisson (1970)

Influência do comportamento não linear

Influência do comportamento não linear
Caso de estudo – Fundações da Ponte de Alcácer do Sal
Comportamento não linear devido à:
L Plastificação do solo (próximo do topo da estaca)
L Fendilhação (estacas de betão)
Descrição do modelo:
1) Solo
L Discreto
L Elástico perfeitamente plástico
pu
y[L]
k
1
p[FL ]
-1

k=nh x
nh em função da
compacidade relativa
(Reese et al.)
Areias
pu = Nc cu B
Eu/Cu=200 a 400
(Poulos e Davis)
Eu, νu → k
Argilas
pu
k
Solo
Parâmetros do solo:
N min 3
c B
9
C
u
= + +






γ x x
05
.
;
p 3 tg
u
2
= +
′





 ′
45
2
º
φ
γ x B
(Broms)
(Matlock)

Descrição do modelo:
2) Estaca
L Elemento de barra sujeito a flexão (simples ou composta)
L Comportamento não linear
Expressão de Branson:
I I M M
ef
I
cr
= <
( )
I I I I
M
M
M M M
ef
II I II cr
cr ced
= + −





 < <
( ) ( )

Interacção solo-estaca – equação diferencial de equilíbrio:
∂
∂
∂
∂
x
EI
y
x
k y
ef
2
2
2 0





 + =
x
.
prof
da
função
é
I
)
M
(
f
I ef
ef ⇒
=
0
2 2
2
2
2
3
3
4
4
=
+








∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
E
y
k
x
y
x
I
x
y
x
I
x
y
I
ef
ef
ef

Critério de convergência
Em cada iteração i verificar em todos os
pontos nodais e nos elementos se:
u
p
p≤
( ) ( )
( ) 01
0
1
1
.
I
I
I
i
ef
i
ef
i
ef
≤
−
−
−
1)
2)
Branson
de
ressão
exp
da
através
)
M
(
f
Ief =

Fundações da Ponte
de Alcácer do Sal
Ensaio 1
estaca 1
B=1.00m
B=1.20m B=1.20m
6.40m
6.40m
2.00m
2.00m 2.00m
2.00m
2.00m
5.00m
3.00m
B=1.00m
estaca 4 estaca 5
estacas 2 e 3
Ensaio 2
2 ensaios
estáticos
de carga
horizontal
Caso de estudo

Terreno de fundação
Ensaio 1
Lodos
Argilas
Turfas, cascalhos
e areias
Lodos
Areias
Bed-rock
14.0
17.0
0.0
3.0
5.0
27.0
31.0
40.0
0.0
3.5
7.0
Lodos Lodos
Areias
Areias
Bed-rock
Ensaio 2
Vale fóssil:
aluviões sobre
substrato Miocénico

Não linear
Elástico perfeitamente plástico
Modelo 2
Elástico e linear
Elástico e linear
Modelo 1
Estaca
Solo
Modelos
Modelos numéricos utilizados

0
200
400
600
Força
horizontal
(kN)
0 10 20 30 40 50 60
Deslocamento horizontal (mm)
Ensaio Modelo 1 Modelo 2
Diagrama força-deslocamento na estaca 1

0
200
400
600
Força
horizontal
(kN)
0 500 1000 1500
Momento flector máximo (kNm)
Ensaio Modelo 1 Modelo 2
Mcr=267 kNm
Diagrama força-momento máximo na estaca 1

Caso de estudo – Fundações da Ponte de Alcácer do Sal
1) Para estimar esforços máximos:
o modelo elástico e linear é aceitável
2) Para estimar deslocamentos:
é necessário recorrer a modelos não lineares
A confrontação dos modelos numéricos com os
resultados dos ensaios de carga permite concluir o
seguinte:

Efeito de grupo

Efeito de grupo
O efeito de interacção estaca-solo-estaca num grupo de estacas é
vulgarmente designado por efeito de grupo. Estando as estacas
inseridas num meio contínuo, elas interactuam entre si através do
meio envolvente, pelo que o deslocamento de uma determinada estaca
contribui para o deslocamento das restantes.
Assim, a rigidez transversal do conjunto maciço-solo-estacas é inferior
ao somatório das rigidezes considerando as estacas a funcionar
isoladamente. Este efeito de grupo pode ser simulado de forma
artificial considerando uma redução do módulo de reacção k.

0.25 k
3D
D é o diâmetro da estaca
4D
6D
8D
Espaçamento na
direcção da carga
0.40 k
0.70 k
1.00 k
kgrupo
Redução artificial da rigidez do solo
para ter em conta o efeito de grupo
Canadian Foundation Engineering Manual

Efeito de interacção
num grupo de estacas

Modelo do meio contínuo - análises 3-D

Efeito de interacção num grupo de estacas
Análise elástica 3-D (M.E.F.)
Concentração de
tensões na
proximidade das
estacas periféricas
(efeito de “sombra”
na estaca central)

Estaca isolada flexível em meio elástico contínuo
Randolph(1981) desenvolveu soluções algébricas simples (yo, Mmáx)
em função dos parâmetros Gc, ρc e Ep:
Gc – módulo de distorção representativo do terreno; considera-se o valor
médio de G* ao longo do comprimento crítico (“activo”) Lc
ρc – grau de homogeneidade
G*=G (1+3/4ν) Lc=B(Ep/Gc)2/7
ρc=G*(x=Lc/4)/G*(x=Lc/2)
Ep – módulo de elasticidade da estaca
x - profundidade














+






ρ
=
−
− 2
c
1
c
c
c
7
/
1
c
p
o
2
L
M
3
.
0
2
L
H
27
.
0
G
)
G
/
(E
y
Deslocamento do topo da estaca:

Obs:
Estaca flexível com L ≥ Lc
Meio homogéneo – G*=cte ; ρc=1
Meio cuja rigidez cresce linearmente em prof. – G*/x=cte ; ρc=0.5
L
Lc
Vo
Mo
Deformada
Lc/4
Lc/2
G*
x
y
x
Estaca isolada flexível em meio elástico contínuo

αij = factor de influência entre a estaca i e a estaca j
(Nota: αii = 1)
m = número de estacas
Hj = carga aplicada na estaca j
Kt = rigidez transversal da estaca isolada
Grupo de Estacas
Coeficiente/Factor de influência α
∑
=
α
=
m
1
j
j
ij
t
i H
K
1
y

Método simplificado – Hipóteses de cálculo:
L Maciço de encabeçamento rígido
L Igualdade de deslocamentos ao nível da cabeça das estacas
L Equilíbrio de forças horizontais





=
∀
=
∑
=
m
1
j
aplicada
j
j
i,
j
i
F
H
,
y
y
∑
=
ρ
α
=
m
1
j
j
ij
F,
t
i H
K
1
y
Efeito de interacção maciço-solo-estacas

)
cos
(1
0.6
)
cos
(1
s
r
G
E
0.6ρ 2
2
o
1/7
c
p
c
F ψ
+
ζ
=
ψ
+








=
αρ
1
F
F )
4
(
1
valor
o
se
toma
5
.
0
Se −
ρ
ρ α
−
−
>
α
Factores (coeficientes) de influência

Valores típicos de 1/ζ
1/ζ
Tipo de solo
4
G
E
:
ila
arg
1/7
c
p
≈








1
c =
ρ 5
.
0
c =
ρ
3
G
E
:
areia
1/7
c
p
≈








L Ep = 29GPa, s/ro=6 (3 diâmetros)
L Valores correntes de G e de ν para areias e argilas
5
.
1 0
.
3
0
.
2 0
.
4

Tipologias analisadas
1x2 e 1x3 estacas
(força segundo o alinhamento das estacas)
2x2, 3x3, 4x4, 5x5 estacas
(em malha quadrada)

Variação de β em função de 1/ζ

Variação de Hmáx/Hméd em função de 1/ζ

Redução “artificial” do módulo k

Redução “artificial” do módulo nh

Aumento dos esforços nas estacas mais solicitadas

L O estudo do comportamento de grupos de estacas
sob acções horizontais requer análises 3-D
(habitualmente através do M.E.F). Estas análises
exigem potentes recursos informáticos, o que
inviabiliza a sua utilização a nível de projecto para
a grande maioria das situações práticas.
L O efeito de interacção pode ser analisado, de uma
forma mais expedita, recorrendo ao conceito dos
factores de influência (Ex:solução de Randolph
para estacas flexíveis em meio elástico contínuo).
Efeito de grupo

Efeito de grupo
A aplicação dos factores de influência para analisar o
efeito de interacção num grupo de estacas permite
concluir o seguinte:
L A interacção entre estacas conduz a uma redução
da rigidez do conjunto maciço-solo-estacas, e este
efeito é mais notório quando o número de estacas é
superior a 4.
L A concentração de carga nas estacas periféricas
pode ser significativa num grupo numeroso de
estacas (aspecto importante no dimensionamento).

Estacas sob acções laterais estáticas

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Estacas sob acções laterais estáticas

Semelhante a Estacas sob acções laterais estáticas (20)

Último

Último (6)

Estacas sob acções laterais estáticas