O documento discute fluxo bidimensional de água através de solos. Explica que a equação de Laplace descreve esse tipo de fluxo e que sua solução são linhas de fluxo e equipotenciais que formam uma rede de fluxo. A rede de fluxo pode ser usada para calcular vazão, gradientes hidráulicos e poropressão.

1. Fluxo bidimensional
Profa. M.Sc. Maria Valéria Mello Vieira Toniazzo

2. Fluxo Permanente Bidimensional
Por que estudar percolação de água?
 Importante para o dimensionamento de barragens

Obtenção da Rede de Fluxo:
• Gradientes hidráulicos (potencial de piping)
• Poropressão
• Vazão

3. Fluxo Permanente Bidimensional

Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma
direção, como no caso dos permeâmetros diz-se que o
fluxo é unidimensional. Sendo uniforme a areia, a
direção do fluxo e o gradiente são constantes em
qualquer ponto.

Nos fluxos unidirecionais (vertical ou horizontal), para
calcular a vazão de percolação através de um solo
aplica-se diretamente a lei de Darcy:
Q = v ×A = k × i × A

4. Fluxo Permanente Bidimensional

Quando as partículas de água se deslocam segundo
qualquer direção, o fluxo é tridimensional. A migração
de água para um poço é um exemplo de fluxo
tridimensional de interesse para a engenharia.

Quando as partículas de água seguem caminhos
curvos, mas paralelos, o fluxo é bidimensional (caso
da percolação pelas fundações de uma barragem).

7. Fluxo Permanente Bidimensional

Equação de Laplace
 2 ht
 2 ht
 2 ht
1  S
e 
kx 2 2  k y 2 2  kz 2 2 
e  S 
 x
 y
 z 1  e  t
t 

Onde: kx, ky, kz = Coeficiente de permeabilidade nas respectivas
direções;

ht = carga total no ponto considerado;

x,y,z = direção de fluxo;

e = índice de vazios;

S = grau de saturação;

t = tempo.

8. Equação de Laplace

A equação da Laplace é muito conhecida no meio
matemático e conseqüentemente na engenharia. A
solução da equação de Laplace são dois grupos de
curvas ortogonais entre si.

No caso de Fluxo:



Curvas – Linhas de fluxo;
Curvas – Linhas equipotenciais.
O conjunto das linhas de fluxo e equipotenciais é
denominado de rede de fluxo.

9. Rede de Fluxo

A rede de fluxo é a solução gráfica da
equação de Laplace, composta de dois
grupos de curvas perpendiculares entre si,
formando quadrados curvilíneos.

10. Dados extraídos da Rede de Fluxo

Determinação da vazão total em uma região de fluxo.
l.e.
l.e.
l.e.
l.e.
l.e.
l.e. Linhas equipotencias
lf
dQ
lf
Canal de Fluxo
dQ
lf
Q
dQ
lf
dQ
lf
Dh
Dh
Dh
Dh
Dh
Linhas de fluxo
h

11. Dados extraídos da Rede de Fluxo

Q = dQ . Nf

Onde:
 Q = vazão total
 dQ = Vazão em cada um canal de fluxo;
 nf = número de canais de fluxo.

dQ = Q / Nf

h = Dh . Nd

Onde:
 h = Diferença de carga total;
 Dh = diferença de carga entre equipotenciais;
 Nd = número de regiões entre equipotenciais.

12. Dados extraídos da Rede de Fluxo

Pela lei de Darcy a vazão em um canal é

dQ = k (Dh/l)A
l
b
Diferença de carga
entre equipotenciais




dQ = k.(Dh/l)b.l
Substituindo
Q/Nf = k (h / Nd l).b.l
Q = k (h) Nf/Nd
(para l = b temos)

13. Dados extraídos da Rede de Fluxo


Determinação da carga total em um ponto
qualquer.
ht = ht início do fluxo – Dh * número de regiões
entre equipotenciais até o ponto.

14. Rede de fluxo
•
É a trajetória percorrida pela água no interior do maciço de solo.
Linhas de Fluxo = trajetória do fluxo
Equipotenciais = pontos com igual carga total
Linhas de Fluxo Limites = AEC/FG
Linhas Equipotenciais Limites = BA/CD

15. Traçado da rede de fluxo – Método Gráfico
 A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas e a vazão
entre duas linhas de fluxo consecutivas devem ser constantes.
Lei de Darcy no elemento i:
Conceito de rede:
Rede composta por regiões formando “quadrados”: (kv = kh = isotropia)

16. Exemplos de rede de fluxo

17. Exemplos de rede de fluxo

18. Exemplos de rede de fluxo

19. Exemplos de rede de fluxo

20. Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
Linha equipotencial ht cte
90
40
30
0
0
100
k = 0,001 cm/seg

21. Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
(hti  htf)
(90 - 40)
Qk
.A  0,001
.30 x1 
L
100
3
Q  0,015cm / s
/cm de extensão

22. Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
90
Dividir como quero mas
sempre em quadrados.
40
30
0
ht é uma linha
0
90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40
100
k = 0,001 cm/seg

23. Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
Nf
3
3
Qkh
 0,00190 - 40  .  0,015 cm / s
Nd
10
nf = número de canais de fluxo;
 nd = número de regiões entre equipotenciais.

Valida as duas equações!!!

24. Exemplo: Qual a seção
mais indicada
Linhas equipotenciais com
mesma carga
4 canais de fluxo e 12
regiões equipotenciais
Linhas de fluxo (da água)

25. Exemplo:
Rede de fluxo na fundação da barragem de concreto

Vazão é determinada
pela fórmula:
Qkh
Nf
ND

26. Exemplo: Qual a seção
mais indicada

No exemplo considerado, existem 4 canais de fluxo e 12
faixas de perda de potencial. Para um k =10-4 m/s, por
exemplo, Q = 10-4 x 6 x 4/12 = 2 x 10-4 m3/s (cerca de
0,72m3/hora) por metro de comprimento de barragem.

27. 
GRADIENTES:
a diferença de carga total que provoca percolação, dividida pelo
número de faixas de perda de potencial, indica a perda de carga de
uma equipotencial para a seguinte.
No exemplo considerado, a perda de carga entre equipotenciais
consecutivas é de 6/12 = 0,5 m, Esta perda de carga dividida entre as
equipotenciais é o gradiente.

28. Para o sistema de fluxo abaixo calcular a vazão que passa pela fundação.
ht = 12,7m
3,70m
ht = 10,0m
1,0m
9,00m
Qkh
Nf
ND
K=1x10-4 m/s
 4   1,35x10  4m3 / s
4
 10 .12,7  10 . 
8

29. Determinar qual a vazão através da fundação por unidade de comprimento
longitudinal da barragem.
Qual o valor do gradiente hidráulico no quadrado X.
Qual o valor da poropressão nos pontos A, B e C.
Sabe-se que o coeficiente de permeabilidade do solo da fundação é igual a
10-3 cm/s.

31. A seção transversal de uma barragem está mostrada na Figura 67. Determinar a
vazão sob a barragem e plotar a distribuição da subpressão na base da mesma. O
coeficiente de permeabilidade do solo da fundação é 2,5x10-5m/s.

33. Condições de Contorno
Essas condições estão diretamente ligadas à geometria do problema.
A determinação das fronteiras dos problemas de fluxo é fator preponderante
para a definição da rede de fluxo.
Os problemas de fluxo podem ser classificados (em relação às fronteiras) em
problemas de fluxo confinado e problemas de fluxo não-confinado.

34. Condições de Contorno
Fluxo confinado
Neste caso, as fronteiras estão bem definidas.
Sabe-se que o fluxo se dará na região ABCDEFG, estando assim as condições
de contorno pré-fixadas.

35. Condições de Contorno
Fluxo confinado
Neste caso, uma parte das fronteiras necessita ser pré-determinada de modo a
se resolver o problema.
A linha BCD não é conhecida a priori, devendo assim ser determinada antes da
resolução do problema.

36. Condições de Contorno
Uma vez definidos os 2 tipos de problema (fluxo confinado
e fluxo não-confinado), tem-se 4 tipos de condições de
contorno geralmente encontrados:
superfície impermeável
superfície em contato com o líquido
superfície livre de fluxo
linha freática

37. Superfície impermeável
Assim, as linhas equipotenciais são perpendiculares à superfície impermeável.
As superfícies normalmente encontradas são aquelas que delimitam os
contatos solo-rocha, solo-concreto e solo-metal, além dos contatos entre solos
com coeficientes de permeabilidade bastante distintos.

38. Superfície em contato com o líquido
As linhas ABC e DEF definem superfícies em contato com o líquido.
Se para qualquer ponto a carga total é a mesma, então ABC é uma
equipotencial. O mesmo se aplica para a superfície DEF.
Logo, as superfícies em contato com o líquido constituem equipotenciais.

39. Superfície livre de fluxo
CD define uma superfície livre de fluxo.
Dessa forma, a carga total varia linearmente com a altura, portanto CD não é
uma equipotencial.
Como as linhas de fluxo encontram CD, então CD também não é uma linha de
fluxo.

40. Linha freática
A linha freática é a fronteira superior da região por onde se processa o fluxo.
É a linha de fluxo superior do meio, ao longo da qual a carga piezométrica é
nula (só existe carga de elevação).