A mecânica dos fluidos é a parte da física que estuda o efeito de forças em fluidos. Os fluidos em equilíbrio estático são estudados pela hidrostática e os fluidos sujeitos a forças externas não nulas são estudados pela hidrodinâmica.

1. ANÁLISE DIFERENCIAL PARA
ESCOAMENTO DE FLUIDOS
A finalidade principal desta análise é o estabelecimento das leis
que regem o movimento dos fluidos. A condição física do
fluido é totalmente determinada se forem conhecidos os
componentes u, v, e w da velocidade (correspondentes aos
eixos cartesianos x,y, e z), assim como, os valores da densidade
 e pressão P, em qualquer tempo t e todos os pontos ocupados
pelo fluido, ou seja nos campos de escoamentos.

2. •Conceitos
Nas aulas anteriores deduzimos para volumes de controles equação
para o massa, momento e energia;
V.C. é util quando está interessado nas características gerais de um
escoamento, tais como vazão ou forças aplicadas a corpos.
Se conhecermos a velocidade do ar ao longo de
toda S.C., podemos determinar a força de
reação na antena sem menos saber dada da
geometria do objeto (caixa preta)
Na análise diferencial envolve equações em
todos os pontos do campo de escoamento,
originando um domínio de escoamento, onde
essas equações fornecem detalhes de V, ρ, e P
em cada ponto de todo o domínio

3. Tem-se: quatro incógnitas
E quatro equações diferenciais para resolver.
Para um problema exemplificado anteriormente:
Fluido incompressível tridimensional
-Uma equação escalar da
conservação de massa, baseada
na continuidade espacial e
temporal da matéria;
(u,v,w,P,)
Três equações vetoriais gerais
do movimento, na direção dos
eixos ortogonais
Lembrando que as condições de contorno devem ser especificadas em todas as
fronteiras do domínio de escoamento.

4. Balanço de massa sobre um elemento de volume x, y, z, fixo no espaço,
através do qual o fluido está escoando.
: x y z e
lim x y z 0

5. Descreve a taxa de variação temporal da densidade do fluido numa posição
fixa do espaço.
Notação vetorial
div v
fluxo de
massa Em derivadas substantivas e
sistemas isotérmicos:

6. Em coordenadas cartesianas (x, y, z):
Em coordenadas cilíndricas (r, , z):
Em coordenadas esféricas (r, , ):
Para  = cte (fluido
incompressível), tem-se

7. Fluxo do momento na direção j, através de uma superfície perpendicular a direção i.
As forças exercidas pelo fluido na superfície livres são:
1. Associada a pressão, perpendicular a face exposta;
= px (escalar da pressão, associado a vetor x , considerando a área unitária
yz).
2. Associada as forças viscosas e existem quando há gradiente de velocidade no
fluido. Formam um ângulo com a superfície.
= x (força/área) exercida na área yz
 ij = pij +ij , onde i e j podem ser x, y ou z;
ij - delta de Kronecker = 1 se i = j
= 0 se i≠j

9. Direção Fluxo momento Componente do tensor tensão molecular ou,
normal a área atravessa a área tensor fluxo molecular do momento
comp x comp y comp z
x x= px + x xx = p+ xx xy = xy xz = xz
y y= py + y yx = yx yy = p+ yy yz = yz
z z= pz + z zx = zx zy = zy zz = p+ zz
 ij = pij + ij
onde i e j podem ser x, y ou z;
ij - delta de Kronecker = 1 se i = j
= 0 se i ≠j
x
y
z

10. O fluxo convectivo de momento através de um plano de orientação
arbitrária n é (n-v) v = [n. vv]
Fluxos convectivos do momento, através de planos com área
unitária perpendicular aos eixos coordenados

11. • Macroscopicamente tem-se transporte convectivo =  v
(momento/volume) * vx (vazão volumétrica que passa através da área
unitária yz).
Direção Fluxo momento Componente do fluxo convectivo
normal a área atravessa a área
comp x comp y comp z
X  vx v  vx vx  vx vy  vx vz
Y  vy v  vy vx  vy vy  vy vz
Z  vz v  vz vx  vz vy  vz vz

12. • É a soma do transporte molecular do momento com transporte
convectivo do momento, ao efetuar um balanço de momento.
tensor fluxo convectivo
 =  +  v v = p +  +  v v
tensor fluxo combinado tensor fluxo viscoso
tensor fluxo molecular
xx = xx +  vx vx = p + xx +  vx vx
xy = xy +  vx vy = xy +  vx vy , ........

13. Soma do transporte molecular do momento com transporte convectivo
do momento,ao efetuar um balanço de momento.
tensor fluxo convectivo
 =  +  v v = p +  +  v v
tensor fluxo combinado tensor fluxo viscoso
tensor fluxo molecular
xx = xx +  vx vx = p + xx +  vx vx
xy = xy +  vx vy = xy +  vx vy , ........
LEI DE CONSERVAÇÃO DA
QUANTIDADE DE
MOVIMENTO:

14. O balanço da q.m. pode ser aplicado quando as linhas de corrente do sistema são
retas (fluxo retilíneo).
Taxa de
entrada de
momento por
transporte
convectivo
Taxa de
saídade
momento por
transporte
convectivo
Taxa de
entrada de
momento por
transporte
molecular
Taxa de
saídade
momento por
transporte
molecular
Forcça da
gravidade
agindo no
sistema
+
- - + = 0
• Identificar componentes não nulas;
•Fazer com que a espessura da casca se aprox. de zero;
•Integrar a eq. Para obter o fluxo de momento;
•Aplicar a lei de Newton da viscosidade para obter equação dif. Da velocidad;e
•Integrar a eq. Para obter o perfil de velocidade.

15. Taxa líquida do momento na direção x:
Força externa (gravitacional) em x:
Balanço do momento sobre o
elemento de volume x, y, z,
fixo no espaço

16. Balanço do momento, em derivadas parciais:
Usando a notação vetorial e tensorial, tem-se a:
LEI DE CONSERVAÇÃO DE
MOMENTO:

17. div (vv)
(prod. tensorial)
grad P (escalar) div  (tensor)
Em derivadas substantivas e sistemas isotérmicos:
Equivale a 2ª lei de Newton: F (somatório) = m. a
Estabelece que m pequeno volume de
controle, que se move com o fluido é
acelerado pelas forças que atuam sobre
ele.

18. Em coordenadas cartesianas (x, y, z):
Equações escritas sem supor que  é simétrico. Simetria: xy = yx;
xz = zx;
yz = zy;

19. Equações escritas sem supor que  é simétrico. Simetria: r z = zr;
r = r;
z = z;
Em coordenadas cilíndricas (r, , z):

20. Equações escritas sem supor que  é simétrico. Simetria:
r  = r; r = r;  = ;
Em coordenadas esféricas (r, , ):

21. Em notação tensorial - vetorial:
Equação generalizada da Lei de Newton da viscosidade:
Onde k é a viscosidade dilatacional.
k = 0 para gases monoatômicos a baixas densidades.
divergente do vetor velocidade
transposta do tensor gradiente de velocidade
tensor gradiente de velocidade tensor unitário
Suposições utilizadas na prática:
Fluidos gasosos gás ideal monoatômico k = 0;
Fluidos líquidos líquidos incompressíveis  . v = 0

22. sendo:
Lei de Newton da Viscosidade
Em coordenadas cartesianas (x, y, z):

23. Em coordenadas cartesianas (x, y, z):
Quando  = cte, (. v) pode ser omitido. Para gases monoatômicos a baixas
densidades, a visc dilatacional k = 0.

24. sendo:
Em coordenadas cilíndricas (r, , z):

25. Em coordenadas cilíndricas (r, , z):
Quando  = cte, (. v) pode ser omitido. Para gases monoatômicos a baixas
densidades, a visc dilatacional k = 0.

26. sendo:
Em coordenadas esféricas (r, , ):

27. Em coordenadas esféricas (r, , ):
Quando  = cte, (. v) pode ser omitido. Para gases monoatômicos a baixas
densidades, a visc dilatacional k = 0.

28. Lei de Newton da
viscosidade
Equações diferenciais do
movimento

29. Substituindo as equações das tensões nas equações diferenciais do
movimento, temos :
Coordenada x
Coordenada y
Coordenada z

30. Para escoamento incompressível e viscosidade constante, as equações são
simplificadas para:

31. Para  e  constantes, inserindo :
tem-se a Equação de Navier-Stokes
Utilizando a pressão modificada: , tem-se:

32. Em coordenadas cartesianas (x, y, z):
Eq. Navier-Stokes

33. Em coordenadas cilíndricas (r, , z):
Eq. Navier-Stokes

34. Em coordenadas esféricas (r, , ):
Eq. Navier-Stokes

35. Quando as forças viscosas são desprezadas: .  = 0
tem-se a equação de Euler para fluidos invíscidos.
Não existe fluidos invíscidos, apenas alguns escoamentos onde as forças
viscosas podem ser desprezadas, como:
- escoamento em torno das asas de aviões;
- escoamento em torno de pilares em rios.
Da equação de Navier-Stokes

36. Quando os termos de aceleração são desprezados: Dv/Dt = 0
tem-se a equação do escoamento lento ou equação de Stokes
O termo pode ser desprezado para escoamentos extremamente lentos.
Esta equação é importante na:
-teoria de lubrificação;
-em estudo de movimento de partículas em suspensão;
-em escoamento através de meios porosos;
-locomoção de micróbios.
Equação do movimento:

37. Equação da continuidade:
Equação do movimento:
Componentes da tensão ;
Equação de estado: p = p();
Equações para as viscosidades:  =  ();
Condições iniciais e de contorno.Obtém a distribuição de pressões, densidades e
velocidades do fluido.

39. z
comprimento: 0 ≤ z ≤ L;
largura; 0 ≤ y ≤ w;
Espessura 0 ≤ x ≤ 
y
x
L, w >> 
Hipóteses: vx = vy = 0;
vz = vz(x); p = p(x).
Portanto:
xz = zx = - dvz /dx

40. Taxa de entrada de momento de direção z através da superfície z=0
Taxa de saída de momento de direção z através da superfície z=L
Taxa de entrada de momento de direção z através da superfície em x
Taxa de saída de momento de direção z através da superficie em x+∆x
Força gravitacional agindo sobre o fluido na direção z
•Como vx e vy são ambas zero, ρ
vxvz e ρ vyvz são zero.
•Vz não depende de y e x, portanto:
•τyz = τzz = 0
•p e ρ vzvz são iguais em z=0 e z=L,
portanto não aparecem na eq final
do B.M. na direção z.

41. + + = 0
Dividindo por LW∆x e tomando o limite de ∆x 0, temos:
+ =
=
+
=
=
=
=
•Como vx e vy são ambas zero, ρvxvz e
ρvyvz são zero.
•Vz não depende de y e z, portanto:
•τyz = τzz = 0
•vz=vz(x), implica que -2u(∂vz/∂z) =0
•p=p(x) e vz=vz(x)e os termos p e ρvzvz
são iguais em z=0 e z=L, portanto não
aparecem na eq final do B.M. na direção
z.
0 0
0 0 0
0 0
0

42. Integrando a eq diferencial
de momento, tem-se:
CC1 para determinação de C1: x = 0, τxz = 0, portanto C1 = 0
Distribuição do fluxo de momento na direção z
Pela eq. de viscosidade de Newton tem-se que :
dx
dv
u z
xz 

 Portanto:
= - Eq. Diferencial da distribuição de velocidade, integrando esta
eq., tem-se:
= - {CC2: x = σ, vz = 0 C2 =

43. Distribuição de velocidade em filmes descentes

44. Uma vez que a distribuição de velocidade é conhecida, diversas grandezas
podem ser calculadas:
Velocidade máxima (vz) : x = o
Velocidade média (<vz>): <vz> = =
(<vz> ) = =
Velocidade média =

45. Vazão mássica (w) = = =
= =
Espessura do filme (σ)
Força por unidade de área (Fz) =
=
Fz =
Fz =
Re < 20
20< Re <1500
Re >1500

46. Observações:
1. Todas as análises feitas anteriormente é valida apenas para o primeiro regime,
ou seja Re =20;
2. Acima de Re>20 as ondulações crescem rapidamente, embora o regime seja
laminar ainda;
3. Para Re = 1500 o escoamento torna-se irregular e caótico, caracterizando regime
turbulento;
4. Portanto, as análises teóricas de sistema s de escoamento é limitada pelas
hipóteses que são feitas ao se definir o problema;
5. É absolutamente necessário realizar experimentos para reconhecer os regimes
de escoamento bem como as instabilidades do sistema a ser analisado;
6. Tendo em vista a dificuldade para realizar analises teoricas dos escoamento, a
pratica de experimentos têm um papel muito importante na área de dinâmica
dos fluidos.

47. Escoamento laminar para baixo;
Influência da pressão e gravidade
densidade constante  ;
Viscosidade ;
Raio R, comprimento L.
Supor L>> R;
Desprezar efeito de borda;
Hipóteses:
vz = vz(r);
vr = v = 0;
p = p(z).
Portanto, as únicas componentes
não nulas são: rz = zr = - dvz /dr

48. Equação da continuidade em coordenadas cilíndricas:
Supondo: vr = v = 0
0 0 0
Equação do movimento (direção r): vr = v = 0 ; vz = vz(r); p = p(z).20
onde,

49. Equação do movimento (direção ): vr = v = 0 ; vz = vz(r); p = p(z).
Sendo,
Equação do movimento (direção z): vr = v = 0 ; vz = vz(r); p = p(z).

50. é só função de z
A única maneira de se ter uma função de r mais uma função de z igual a zero, é cada
termo ser, individualmente, constante:
derivada total

51. Integrando cada termo, individualmente:
CC1:
CC2:
CC3:
CC4:
Válida para regime laminar (Re < 2100) e distante da entrada e saída do tubo.