Capitulo xi camada l

Capítulo XI – Teoria da Camada Limite
1. Rotação de um fluido em um ponto
w
Uma partícula, movendo-se em um campo de escoamento tridimensional, geralmente,
pode girar em torno dos três eixos de coordenadas.
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
A rotaçãorotação, , de uma partícula é definida pela velocidadevelocidade angularangular médiamédia de duas
linhas mutuamente perpendiculares, que se cortam no centro da partícula.
pode girar em torno dos três eixos de coordenadas.
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI
1
o
b
a
∆x
∆y
y
x
tempo t tempo t +∆ t
o
α
b
a
β
η
∆ξ
∆
∆∆
∆ x

w = wx ex + wy ey + wz ez
onde: wx é a rotação em torno do eixo x
wy é a rotação em torno do eixo y
wz é a rotação em torno do eixo z
(1)
Expressão matemática da rotação
nos fluidos
Componentes da velocidade no campo de escoamento:
vx (x,y) e vy(x,y)
movimento de um elemento
fluido no plano xy
2

Rotação do elemento de fluido em tal campo de escoamento:
(rotação em sentido anti-horário positivo)
b
∆y
y
y
y
v
v x
x ∆
∂
∂
+
x
x
v
v
y
y ∆
∂
∂
+
α
b
a
β
η
∆ξ
∆
∆∆
+
* As linhas mutuamente perpendiculares, oa e ob giram no intervalo de tempo t
Consideremos inicialmente, a rotação da linha oa de comprimento ∆∆∆∆x
* Estas linhas giram perpendiculares se as velocidades nos pontos a e b
forem diferentes em o.
o
a∆x x
tempo t
x∂
tempo t +∆ t
o
α η∆∆
∆ x
3

A rotação desta linha é devida a variação da componente da velocidade
segundo o eixo dos y.
Se esta componente, no ponto o, vyo
a velocidade no ponto a, segundo o eixo y, pode ser escrito (usando série de
Taylor)
x
x
v
vv
y
yoy ∆
∂
∂
+= (2)
4
A velocidade angular da linha oa:
como
(comprimento)
x∂
t
x/
lim
t
limw
0t0t
oa
∆
∆η∆
=
∆
α∆
=
→∆→∆
tx
x
v y
∆∆
∂
∂
=η∆
(3)
(4)

A rotação da linha ob de comprimento ∆∆∆∆y resulta da componente
da velocidade seguindo o eixo dos x.
Se a componente x da velocidade, no ponto o for designada por vxo,
a componente da velocidade em b (série de Taylor):
y
y
v
vv x
xox ∆
∂
∂
+=
y/ ∆ξ∆β∆
(5)
A velocidade angular da linha ob:
como (comprimento)
t
y/
lim
t
limw
0t0t
ob
∆
∆ξ∆
=
∆
β∆
=
→∆→∆
ty
y
vx ∆∆
∂
∂
−=ξ∆
( )
y
v
t
y/tyy/v
w xx
ob
∂
∂
−=
∆
∆∆∆∂∂
−=
(6)
(7)
(8)
5
OO sinalsinal negativonegativo éé aplicadoaplicado parapara dardar positivopositivo aa wwobob..

A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angular
média das duas linhas mutuamente perpendiculares oa e ob do elemento,
no plano xy:
Considerando a rotação das duas linhas perpendiculares nos planos yz e
xz, podemos mostrar que:






∂
∂
−
∂
∂
=
y
v
x
v
2
1
w xy
z
(9)
xz, podemos mostrar que:
e
então:






∂
∂
−
∂
∂
=
z
v
y
v
2
1
w
yz
x 





∂
∂
−
∂
∂
=
x
v
z
v
2
1
w zx
y












∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= z
xy
y
zx
x
yz e
y
v
x
v
e
z
v
z
v
e
z
v
z
v
2
1
w
rrrr
(10)
(11)
6

O termo entre colchetes é o RotacionalRotacional V =∇xV
A notação vetorial pode ser escrita: w= 1
2
∇ x V
1. O desenvolvimentodesenvolvimento dede rotaçãorotação em uma partícula fluida, inicialmente sem rotação,
requer uma ação da tensãotensão tangencialtangencial nana superfíciesuperfície desta partícula;
2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das
O fator meio (1/2) pode ser eliminado na notação vetorial definindo:
Vórtice, ζ ζ= 2 w=∇xV
A vorticidade é a medida da rotação de um elemento fluido em um campo
de escoamento.
(12)
7
2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das
forçasforças viscosasviscosas, significando que o escoamento é rotacional.

EmEm queque casocaso devedeve--sese esperaresperar oo escoamentoescoamento irrotacionalirrotacional??
A irrotacionalidade só é válida para aquelas regiões de escoamento
nas quais as forças viscosas são desprezíveis.
8
Esta região existe, por exemplo, fora da camada limite do
escoamento, sobre uma superfície sólida.

2. Função Corrente
* formas das linhas de correntes (inclusive das de fronteira)
Descrição matemática que descreva qualquer configuração típica de
escoamento
descrição adequada
* escala das velocidades nos pontos representativos do escoamento
Instrumento matemático ϕ
EstaEsta função é formulada pela relação entre as linhas de corrente efunção é formulada pela relação entre as linhas de corrente e oo
enunciadoenunciado do princípio da conservação de massado princípio da conservação de massa
Função Corrente,Função Corrente,
9

Para o escoamento bidimensional de um fluido incompressível no
plano xy, a equação que traduz o princípio da conservação de massa, é
dada:
0
y
yv
x
xv
v =
∂
∂
+
∂
∂
=∇ •
r
Portanto, o Princípio da conservação de Massa indica:
(13)
ou seja, vx e vy estão relacionados entre si
de algum modo
Admitindo, que vx = F (x,y), tem-se:
y
v
x
v yx
∂
∂
−=
∂
∂
x
)y,x(F
x
v
y
v xy
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
(14)
(15)
10

Logo,
dy
x
)y,x(F
vy
∫ ∂
∂
−=
No entanto, se for admitido que:
onde funções contínuas para t=to
y
yx
vyxF x
∂
∂
==
),(
),(
ϕ
),(),( yx
e
yx ∂∂ ϕϕ
(16)
(17)
onde funções contínuas para t=to
Para qualquer t, a função corrente ϕ( x,y,t),
então:
),(),(
y
yx
e
x
yx
∂
∂
∂
∂ ϕϕ
)y,x(ϕ
∫∫∫ ∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
−=
x
y)(x,
-dy
y
y)(x,
x
-dy
y
y)(x,
x
dy
x
y)F(x,
vy
ϕϕϕ
(18)
(19)
11

x
y)(x,
-vy
∂
∂
=
ϕ
Portanto, utilizando as equações (19) e 20) ao invés de ter duas incógnitas
vx e vy tem-se uma incógnita ϕ(x,y) a ser determinada, para descrever o
escoamento.
Logo, voltando ao escoamento bi-dimensional rotacional, onde :
(20)
combinando as equações (19) e (20) e derivando:






∂
∂
−
∂
∂
=
y
v
x
v
2
1
w xy
z
2
2
y ),(),(
x
v
x
yx
x
yx
x ∂
∂
−=





∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂ ϕϕ
(21)
12

combinando as equações (17) e (20) e derivando:
2
2
x ),(
y
v
y
yx
∂
∂
=
∂
∂ ϕ (22)
de modo que:
ou seja,







∂
∂
−
∂
∂
−=
2
2
2
2
y)(x,y)(x,
2
1
yx
wz
ϕϕ








∂
∂
+
∂
∂
=−
2
2
2
2
y)(x,y)(x,
2
yx
wz
ϕϕ
como:
então :
No escoamento irrotacional: ∇2ϕ = 0 (Equação de Laplace)



 ∂∂ 222 yx 


 ∂∂ 22
yx








∂
∂
+
∂
∂
=∇
2
2
2
2
2
y
y)(x,y)(x, ϕϕ
ϕ
x
( )yx,2w 2
z ϕ∇=−
(23)
(24)
13

3. Camada Limite
No escoamento irrotacional ∇xv = 0
todas as componentes de gradiente v sejam nulas, e isso ocorre com o termo
dada viscosidadeviscosidade da equação de Navier-Stokes ( µ∇2
V ) também será nulo de modo
que o escoamento torna-se invíscidoinvíscido ee uniformeuniforme na seção considerada.
Se o fluidofluido forfor invíscidoinvíscido nãonão haveráhaverá tensãotensão dede cisalhamentocisalhamento. Fluidos de viscosidade
muito baixa (ex.: o ar) pode ser admitido que o escoamento é irrotacional, onde não
foram encontradas grandes gradientes de velocidade.
14

Considerando-se um corpo sólido no ar inicialmente escoando sem
distúrbios,
A
Escoamento do ar em torno de
um corpo sólido
v∞
Mesmo a viscosidade sendo baixa, pelo princípio da aderência , os fluidos reais
aderem a superfície de um corpo sólido.
Portanto, no ponto A a velocidade do fluido, em relação ao corpo sólido é zero,
e dentro de uma distância relativamente pequena, a velocidade do ar atinge
a velocidade do ar na corrente livre ( )v∞
15

Logo, nesta região fina, adjacente a parede do corpo sólido existe um
gradientegradiente dede velocidadevelocidade, e apesar da viscosidade do fluido ser muito
baixa, nessa região o escoamento é rotacional.
Região adjacente a fronteira sólido-fluido Camada limite
ForaFora dada CamadaCamada LimiteLimite,, nãonão háhá gradientegradiente dede velocidadevelocidade ee oo escoamentoescoamento éé
irrotacionalirrotacional
No escoamentoescoamento turbulentoturbulento em um tubo, também se verifica uma
região de turbulência
0vx =∇
r
Escoamento irrotacional em um tubo
16

Em 19041904,, PrandtlPrandtl apresentou um trabalho onde se afirmava que para um
escoamento com poucopouco atritoatrito (baixas viscosidades) ou elevadoselevados númerosnúmeros dede
ReynoldsReynolds há um decréscimodecréscimo nana regiãoregião dede influênciainfluência dada tensãotensão dede
cisalhamentocisalhamento
Precisamente, Prandtl discutiu sobre escoamentos em torno de objetos para
elevados números de Re (baseados na dimensão característica do objeto e
uma velocidade de escoamento do fluido). Para tal escoamento, Prandtl
verificou as seguintes observações:
verificou as seguintes observações:
1. Os efeitos de atrito são confinados a uma camada muito fina, próxima
ao contorno do objeto, chamada Camada Limite
2. O escoamento externo a essa camada pode ser considerado sem
atrito, ou seja irrotacional
17

4. Camada Limite numa Placa Plana
δ
V
V
V
sub-camada laminar
x
∞v
∞v ∞v
Laminar TurbulentoTransição
x
* espessura da camada limite está apresentada exageradamente
* distância x é a distância a partir do canto esquerdo da placa
18

À maiores valores de x, observa-se uma região de transição na qual se
verificam flutuações entre o regime laminar e turbulento na camada limite.
Região da Camada Limite Laminar
A região laminar começa no canto da placa e aumenta em espessura,
a medida que se avança na placa. A região onde o escoamento próximo a
parede da placa ainda é laminar,
Finalmente, para x ainda maiores exitirá uma fina camada de fluido onde o
escoamento continua sendo laminar e verificam-se elevados gradientes de velocidade.
Sub-camada laminar
Zona de transição
19

O critério para se determinar o tipotipo dede camadacamada limitelimite que está presente é o n°
Reynolds LocalReynolds Local, definido por:
Rex ≡
x v∞
ν
onde:
Re x = n° de Reynolds local
x = distância a partir do canto da placa
= velocidade da corrente livre do fluido
(25)
v∞
= velocidade da corrente livre do fluido
ν = viscosidade cinemática do fluido
Portanto:
- camada limite laminar Re x = 2 105
- camada limite laminar ou turbulenta : 2 10 5 < Rex< 3 106
- camada limite turbulenta : Rex = 3 106
A espessura da camada limite (δ) é arbitráriarmente da superfície, onde a
velocidade atinge 99% da velocidade da corrente livre,
v∞
v∞
20

5. Equações da Camada Limite Laminar
O fato do conceito da camada limite envolver uma camada fina leva
algumas importantes simplificações nas equações de Navier-Stokes.
Considerando um escoamento bidimensional (nas direções x e y) sobre
placa plana, as equações de Navier-Stokes são:
Direção x:
Direção y:








∂
∂
+
∂
∂
µ+
∂
∂
−=






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ 2
x
2
2
x
2
x
y
x
x
x
y
v
x
v
x
p
y
v
v
x
v
v
t
v








∂
∂
+
∂
∂
µ+
∂
∂
−=






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ 2
y
2
2
y
2
y
y
y
x
y
y
v
x
v
y
p
y
v
v
x
v
v
t
v
21
(26)
(27)

Admitindo que o escoamento seja incompressível e que as forças de campo
possam ser desprezadas.
Como a espessura da camada limite é muito pequena as variáveis na direção
x tem ordem de magnitude(grandeza) maior do que na direção y.
5.1. Estudo da Ordem de Grandeza de Magnitude (ou Grandeza)
Considerando as variáveis na direção x tenha ordem φ
Considerando as variáveis na direção x tenha ordem
de magnitude 1
φ (1)
Ordem de magnitude das variáveis na direção y,
dentro da camada limite é muito menor e da ordem de δ
φ( δ)
sendo δδδδ <<1
O valor comparativo 1 é referente ao comprimento máximo 1 e
a velocidade máxima envolvida neste problema. 22

)(~v,y
)1(~v,x
y
x
δφ
φ
)1(
x
vx φ→
∂
∂
Então,
)
1
(
y
vx
δ
φ→
∂
∂
)1(
y
vy
φ→
∂
∂
)(
x
vy
δφ→
∂
∂
2 2 v2
∂ v2
∂
)1(
x
v
2
x
2
φ→
∂
∂
)
1
(
y
v
22
x
2
δ
φ→
∂
∂
)
1
(
y
v
2
y
2
δ
φ→
∂
∂
)(
x
v
2
y
2
δφ→
∂
∂
De modo que a equação de Navier-Stokes na direção x:








∂
∂
+
∂
∂
µ+
∂
∂
−=






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ 2
x
2
2
x
2
x
y
x
x
x
y
v
x
v
x
p
y
v
v
x
v
v
t
v
23

Dividindo por “ρ” e admitindo que o escoamento seja permanente:








∂
∂
+
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=






∂
∂
+
∂
∂
2
x
2
2
x
2
x
y
x
x
y
v
x
v
x
p1
y
v
v
x
v
v
tem-se, pelo estudo de ordem de magnitude:
( )
 ∂ 1p11
(28)
( ) 











δ
φ+φν+
∂
∂
ρ
−=





δ
φδφ+φφ 2
1
1
x
p11
)()1()1(
ou seja:
( ) 











δ
φ+φν+
∂
∂
ρ
−=φ+φ 2
1
1
x
p1
)1()1(
24

mas, como
δ << 1
1
δ2
>> 1 





δ
φ<<φ 2
1
)1(
Com base na análise acima despreza-se
Equação deEquação de NavierNavier--StokesStokes na direção x torna-se:
2
x
2
x
v
∂
∂
2
x
2
x
y
x
x
y
v
x
p1
y
v
v
x
v
v
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
Repetindo o mesmo estudo de ordem de grandeza para a direção y da equação de
Navier-Stokes chega-se a conclusão que essa equação é de magnitude de modo
que ela pode ser desprezada em relação a equação na direção x.
φ(δ)
25
(29)

OBS:
como δ <<<1 gradiente de pressão vertical é desprezível
Portanto, as equações a serem usadas para determinar o perfil de
velocidades na camada limite laminar sobre uma placa plana são:
)φ(
y
p
;φ(1)
x
p
δ=
∂
∂
=
∂
∂
2
x
2
x
y
x
x
y
v
x
p1
y
v
v
x
v
v
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
Equação do movimento:
0
y
v
x
v yx =
∂
∂
+
∂
∂
Equação da continuidade:
26

Solução da camadacamada limitelimite laminarlaminar em placa plana
Condições de Contorno adotadas: y = 0 vx = 0 vy = 0
BlasiusBlasius (1908)(1908)
y = δ vx = V (constante)
8
6. Solução de Blasius para a Camada Limite
Aplicação à equação de Bernoulli entre os pontos x1 e x2, em y = δ
8
2
2
xx
1
2
xx
gy
2
v
ρ
p
gy
2
v
ρ
p 2211
++=++
27
(30)

para y1 = y2
Admitindo que x1e x2 sejam tão próximos que se possam escrever:
2
v
2
v
ρ
p
ρ
p
2
x
2
xxx 1221
−=−
∆xxx 12 +=
2
vv
ρ
pp
2
x
2
∆xxxxx 1111 −+∆+−
=
(31)
(32)
0∆xquandolimiteotomandoe∆x,porDividindo →
x2∆
vv
lim
ρ∆x
p
lim
2
x
2
∆xx
0x
px
0x
11∆x1x1 −+
→∆
−
→∆
=
+
Então:
dx
dv
2
1
dx
dp
ρ
1 2
x=
28
(33)
(34)

Sabendo que:
dx
dv
2v
dx
dv x
x
2
x =
Então:
dx
dp
ρ
1
dx
dv
2v
2
1 x
x −=
dx
dp
ρ
1
dx
dv
v x
x −=
Na extremidade da camada limite:
y = δ v = V (constante) dvx = 0
dp
=
(35)
(36)
8
0
dx
dvx = 0
dx
dp
=
As equações a serem utilizadas para descrever o perfil de velocidade na
camada limite sobre uma placa plana são:
e2
x
2
x
y
x
x
y
v
ν
dy
dv
v
dx
dv
v
∂
∂
=+ 0
dy
dv
dx
dv yx =+
29
(37)

Com as seguintes condições de contorno:
c.c. I) y = 0 vx = vy = 0
∞∞ →∞→== vvyouvvδyc.c.II) xx
Blasius integrou as equações diferenciais acima para achar
vx e vy, em função x e y, utilizando o conceito de função corrente:
ϕ (x, y) - função corrente
ϕ (x, y) - função corrente
x
y)(x,
ve
y
y)(x,
v yx
∂
∂
=
∂
∂
=
ϕϕ
obtém-se:
y
y)(x,
y
y)(x,
x
y)(x,
-
yx
y)(x,
y
y)(x,
3
3
2
22
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂ ϕ
ν
ϕϕϕϕ (38)
30

Para resolver esta equação, BlasiusBlasius usouusou oo MétodoMétodo dede CombinaçõesCombinações dede VariáveisVariáveis:
Esse método é um truque para resolver equações derivadas parciais (EDP)
As vezes a situação física do problema permite
associar x e y em uma só variável adimensional
geralmente chamadachamada ηη
equação de derivada parcial transforma-se em uma equação diferencial
ordinária (EDO)
31

A técnica tem muito de intuitivo, mas pode ser racionalizada da seguinte maneira:
1) propõem-se combinar as variáveis independentes na forma::
(variável dependente)ηxKy mn
=
2) substitui-se na equação (38) e procura-se um ajuste com liberdade de
escolher K, n e m de maneira a transformar a EDP em EDO
32
4) resolve-se a EDO
3) verifica-se as condições de contorno

Blasius fez este trabalho e encontrou :
η (x, y) = y
V
∞
ν x
portanto n = 1/2 , m = 1 ,
Desta maneira a situação física fez com que ele conseguisse uma EDO
(também chamado de soluçãosolução porpor similaridadesimilaridade).
1/2
ν
v
K 





= ∞
A equação de Blasius é complexa, mas fica na forma simplificada, utilizando
a função corrente e em termos de η
.
f(η) =
ϕ (x, y)
x νV∞
ou ϕ (x, y) = xνV∞
f(η)
33
(39)
Ver solução em material complementar

Resumindo:
f'''(η ) + 1
2
f''( η) f(η) = 0
c.c. I) 0
0f =( )η
0f =( )η′⇒=η
c.c. II) η = ∞ ⇒ f'(η ) = 1
Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hoje
(40)
Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hoje
pode-se resolver através de métodos computacionais.
Através de tabelas encontra-se valores de f"(η), f'(η) e f(η) de modo que,
como η está relacionado com y e f'(η) vx / v , usando vários valores de
η, tem-se os correspondentes valores de f' (η) e consequentemente os
valores de vx.
.
∞
(tabela 12.3, Sissom)
34

Tabela 12.3: Função f(η) e suas derivadas (Sissom)
35

6a. Espessura da Camada Limite Laminar
Pela definição da espessura da camada limite:
pela tabela f(η) e suas derivadas - quadro 12.3 Sissom
vx
V∞
= 0,9915 η = 5,0
y =δ vx= 0,99 v∞
v∞
1/2
V∞
= 0,9915 η = 5,0
η= y
v∞
xν
1/2
y = δ
5,0
v ∞ x
ν
1/2
= δ
x
δ
x= 5,0
Rex
Re x =
v
∞
x
ν
Espessura da camada limite laminar em qualquer ponto a partir do canto da placa
36
5,0 =δ
v∞
xν
1/2

6b. Gradiente de Velocidade e Tensão de Cisalhamento na Superfície
da Placa Plana
Gradiente de velocidade na superfície da placa plana é dado por:
(0)f
xν
v
v
y
v
1/2
0y
x ′′





=
∂
∂ ∞
∞
=
Do quadro (12.3) η= 0 f''(0) = 0,33206
1/2
0y
x
xν
v
v33206,0
y
v






=
∂
∂ ∞
∞
=
37

Portanto, se a tensão de cisalhamento na parede da placa plana for:
0y
x
o
y
v
=∂
∂
µ=τ
2/1
0y
x
x
v
v33206,0
y
v






ν
=
∂
∂ ∞
∞
=
2/1
o
x
v
v33206,0 





ν
µ=τ ∞
∞
6.c. Força de arraste na superfície da placa plana (devida a tensão
de cisalhamento)
A força de arraste é causada pela tensão de cisalhamento na superfície de
um objeto sólido movendo-se num fluido viscoso.
Sendo Fk a força de arraste sobre a placa plana
dAF
A
oK
∫τ=
38

sendo a área da placa dada por: A = B. L
onde B = comprimento na direção z (não há escoamento)
L = comprimento na direção x
dA = B dL
de modo que: dxv
0,33206 µ,BF
1/2L




= ∞
∫
de modo que:
x
dx
xν
v
0,33206 µ,BF
0
K 





= ∞
∞
∫
ρµ= ∞∞ LvBv664,0FK
39

7.Coeficiente de Atrito Local e Médio
Coeficiente de atrito adimensional:
de modo que para uma placa plana:
2/v2/v
A/F
C 2
o
2
K
f
∞∞ ρ
τ
=
ρ
=
2/1
328,1LvBv664,0  µρµ ∞∞
Coeficiente de atrito médio
e para qualquer ponto x sobre a placa:
L
2/1
2f
Re
328,1
Lv
328,1
2/vBL
LvBv664,0
C =





ρ
µ
=
ρ
ρµ
=
∞∞
∞∞
Coeficiente de atrito local
x
2/1
2
22/1
2f
Re
664,0
xv
v
664,0
x
v
v
v332,0
C =








ρµ
µ
=





νρ
µ
=
∞
∞∞
∞
∞
40

8.Solução Integral da Camada Limite - Laminar
(Método de Kárman - Pohlhausen)
Partindo da Equação da Continuidade, da Quantidade de Movimento
e da Lei da viscosidade de Newton, obtêm-se:
( ) ρ
τ
dyvvv
x
o
δ
x
2
x −=−
∂
∂
∫ ∞Forma integral para camada limite:
( ) ρ
dyvvv
x 0
xx −=−
∂ ∫ ∞Forma integral para camada limite:
Para resolução desta integral aproxima-se v (x,y) para um polinômio
com a seguinte forma:
vx (x, y) = a(x) + b(x) y + c(x) y2 + d(x) y 3
(ver resolução m folhas em anexo)
41

1) y = 0 vx (x,y) = 0 a(x) = 0
2) y =δ vx (x, y) = V
8
3) y =δ 0
y
vx =
∂
∂
v2∂
Condições de contorno:
4) y = 0 0
y
v
2
x
2
=
∂
∂ Supondo perfil linear próximo a superfície
δ
x
=
4,64
Rex 1/2
Camada Limite Laminar
42

9.Camada Limite Turbulenta
Numa placa plana a espessura da camada limite turbulenta pode
ser obtida pelo método integral, onde se utiliza o perfil power-law
para velocidade.
n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universal
7/1
x
y
vv 



= ∞
O perfil do escoamento turbulenta através de um tubo liso pode ser
representada pela relação empírica
n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universalx
y
vv 





δ
= ∞
e a relação de Blasius para a tensão de cisalhamento:
(tubos)
4/1
.max.maxx
2
.maxxo
yv
v0225,0







 ν
ρ=τ Retubo<105
Resuperfície plana<107
ymax.= R (tubos) ymax.= δ (superfície plana)
43

Gradiente de pressão zero, a relação integral de von Kárman é:
( ) ρ
τ
dyvvv
x
o
δ
0
x
2
x −=−
∂
∂
∫ ∞
Aplicando estas três equações, e integrando, obtêm-se:
δ 0,376 Espessura da camada limite
δ
x=0,376
Rex( )
1/5
Espessura da camada limite
turbulenta
Coeficiente de atrito local5/1
x
fx
Re
0576,0
C =
Rex<107
Placas planas lisas 44

10.Escoamento com diferença de pressão
A solução de Blasisus para escoamento laminar sobre uma placa
plana admitiu que a pressão era constante, e consequentemente o
gradiente de pressão era nulo.
No entanto, se o gradiente de pressão não for nulo, a equação de
Navier-Stokes na direção x é:
Navier-Stokes na direção x é:
2
x
2
x
y
x
x
y
v
ν
x
p1
y
v
v
x
v
v
∂
∂
+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
na superfície, onde y = 0 e vx = vy= 0 será:
2
x
2
y
v
x
p1
∂
∂
µ=
∂
∂
ρ
45

δ(x)
0
x
p
<
∂
∂
0
x
p
=
∂
∂
0
x
p
>
∂
∂
V∞
V∞
Fluxo
invertido
ponto de
descolamento
Perfis de velocidade em escoamento com separação de fluxo
0
y
v
0y
x =
∂
∂
=
46

Para o caso O resultado é a diminuição da quantidade de movimento,
não é sendo suficiente para levar a partícula ao repouso.
0
x
p
=
∂
∂
y y y
vx
y
vx
∂
∂
2
x
2
y
v
∂
∂
Saída da
camada limite
vx - +
2
x
2
y
v
∂
∂
y
vx
∂
∂
Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada
limite quando0
x
p
=
∂
∂
superfície
47

Comentários:
Quando , mostra que esses dois gradientes são diretamente
proporcionais
2
x
2
y
v
x
p1
∂
∂
µ=
∂
∂
ρ
0
y
v
e0
x
p
2
x
2
=
∂
∂
=
∂
∂
Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear
A medida em que se aproxima do fim da camada limite o gradiente de velocidade
vai diminuindo até tornar-se nulo.
A segunda derivada é nula na superfície da placa, negativa no interior
da camada limite e volta a ser nula a saída da camada limite.
Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear
O decréscimo na 1° derivada implica que a segunda derivada seja negativa.
48

Para o caso
Gradiente de pressão favorável
A pressão atrás da partícula (auxiliando seu movimento) é maior do que a
oposta ao seu deslocamento. A partícula é "desacelerada segundo a pressão
em colina", mas sem perigo de ter sua velocidade anulada.
y y y
0
x
p
<
∂
∂
gradiente de pressão negativa, na superfície
Saída da
y
vx
y
- +
Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada
limite quando
2
x
2
y
v
∂
∂
y
vx
∂
∂
0
x
p
<
∂
∂
superfície
Saída da
camada limite
49

A derivada segunda da velocidade será diferente de zero e será negativa,
mas a medida que :
)tetancons(vvsejaou0
y
v
e0
y
v
δy x
x
2
x
2
∞→→
∂
∂
→
∂
∂
⇒→
Para o caso 0
x
p
>
∂
∂
Na superfície da placa
O gradiente de pressão se diz adversa se a pressão cresce no sentido do escoamento.
A partícula poderia ser levada ao repouso provocando em suas vizinhanças o
afastamento do fluido do contorno sólido. Quando acontece, diz-se que o fluxo
descola da superfície.
0
x
p1
y
v
0y
2
x
2
>
∂
∂
ρ
=
∂
∂
µ
=
50

.
de modo que , e considerando que
quando , sempre pelo
0
y
v
0y
2
x
2
>
∂
∂
µ
=
0
y
v
2
x
2
→
∂
∂
µ
δ→y lado negativo ter-se-á o comportamento
da figura abaixo
y y y Saída da
camada limite
v x
- +
superfície
2
x
2
y
v
∂
∂
y
vx
∂
∂
Variação da velocidade e seus gradientes na camada limite quando 0
x
p
>
∂
∂
51

Este último caso analisado é característico de um escoamento com
separação de fluxo, que se verifica no escoamento em torno de corpos
sólidos de geometria não plana. Nesse tipo de escoamento verificam-se
perfis de velocidade onde se caracteriza um ponto de separação e uma
região de separação.
Para que haja uma região de separação é imprescindível que
mas somente a existência de um gradiente de pressão adverso,
0
x
p
>
∂
∂
não é suficiente para garantir que se verifique uma região de separação.
É necessário também que a geometria favoreça o aparecimento
dessa região.
região de vórtices
(região de separação)
Região de vórtices num escoamento
em torno de um corpo sólido
52

11.Coeficiente de Atrito para Escoamento na Entrada de Tubos
Quando um fluido entra num tubo forma-se uma camada limite junto a
superfície interna deste, e a medida em que se aumenta para o interior do mesmo,
verifica-se que essa camada limite vai aumentando em espessura, até um ponto
em que a camada limite preenche totalmente a área de escoamento.
A partir desse ponto o perfil de velocidade não mais se altera e o escoamento
é chamado plenamente desenvolvido.
é chamado plenamente desenvolvido.
A velocidade do fluido no centro do tubo é 2v (veloc. do fluido na corrente livre)
LexV
Variação do perfil de velocidade de entrada de um tubo
(Comprimento de entrada)
53

No escoamento laminar o comprimento de entrada é dado pela expressão de
Langhaar:
Le
D
= 0,0575 Re Onde, D = diâmetro interno do tubo
No escoamento turbulento não existe uma expressão para o comprimento
de entrada, mas os estudos experimentais levaram a conclusão que:
Le = 50D
Le = 50D
Os resultados indicaram um maior coeficiente de atrito próximo da entrada,
que vai diminuindo a medida em que se caminha para o interior do tubo. Essas
observações são devidas aos elevados gradientes de velocidade próximos a
parede do tubo na entrada.
(Langhaar)Coeficiente de atrito para escoamento laminar na região de entrada
54

Relação entre o coeficiente de atrito na região de entrada e o coeficiente
de atrito no escoamento plenamente desenvolvido em função da
razão entre a distância a partir da entrada e o diâmetro do tubo para o
escoamento laminar.
Le/D
Cfent.
Cf desnv.
10
0
0
escoamento laminar plenamente desenvolvido
Coeficiente de atrito na região de entrada no escoamento laminar
x/D
55

Cfent.
Cf desnv.
Le/D
10
0
0
escoamento turbulento desenvolvido
camada
limite laminar
camada limite
turbulenta
x/D
Perfil de velocidade e variação do fator de fricção em escoamento turbulento na
região próxima a entrada do tubo
É importante observar que em algumas situações o escoamento nunca atinge a
condição de plenamente desenvolvido. Nessas situações o coeficiente de atrito será
sempre maior do que os preditos pelos gráficos como de Moody.
56

Capitulo xi camada l

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