1) O documento apresenta as respostas para 10 questões de uma prova, com explicações detalhadas para cada questão.
2) A questão mais complexa envolve fatores primos e operações sequenciais retirando partes de um conjunto.
3) A promoção de papel higiênico mais vantajosa é a que dá 16 rolos grátis para cada compra de 72 rolos.
1. O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. As alterações nos cadernos foram sugeridas por professores e especialistas e atualizados com publicações recentes.
2. O documento instrui os professores a analisarem as diferenças na nova edição dos cadernos para estarem preparados para suas aulas.
3. A primeira parte do documento contém orientações sobre as atividades propostas nos cadernos, enquanto a segunda parte traz informações e ajustes para s
1) O documento discute resolução de equações do primeiro grau, incluindo propriedades de igualdades e operações para isolar a variável.
2) É dado o exemplo de resolver a equação 3x - 5 = 0 passo a passo.
3) Brevemente discute-se conceitos de raiz, conjunto solução e resolver equações.
1) A questão 1 explica que para igualar as somas nas linhas da tabela, o número na casa marcada com x deve exceder 2018 em 9, ou seja, ser 2027.
2) A questão 2 mostra que as expressões a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a igualdade dada no enunciado.
3) A questão 9 conclui que a área da região c no diagrama é igual à soma das áreas das regiões a e b, ou seja, c = a + b.
1) O documento apresenta uma prova final de matemática do 3o ciclo do ensino básico com 8 páginas e 90 minutos de duração. Inclui instruções, um formulário, tabela trigonométrica e 6 itens.
O documento apresenta 5 questões resolvidas de um gabarito de prova. A primeira questão resolve uma equação de segundo grau para encontrar as raízes e determinar o 6° termo de uma progressão geométrica. A segunda questão determina o valor de X para que três números formem uma progressão geométrica. A terceira questão calcula o montante total de depósitos em uma poupança ao longo de 21 anos.
O documento apresenta a resolução de 5 questões de matemática. Na primeira questão, o autor resolve uma equação de segundo grau para encontrar o valor de x em uma progressão aritmética. Na segunda questão, ele calcula os termos de uma outra progressão aritmética. E na terceira questão, resolve um problema envolvendo descontos em eletrodomésticos.
O documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de matemática, dividido em duas partes:
1) Aritmética em N, que inclui tópicos como sistema de numeração decimal e não decimal, operações algébricas e funções;
2) Geometria Plana, abordando conceitos geométricos como ângulos, polígonos, círculos e suas propriedades.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
1. O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. As alterações nos cadernos foram sugeridas por professores e especialistas e atualizados com publicações recentes.
2. O documento instrui os professores a analisarem as diferenças na nova edição dos cadernos para estarem preparados para suas aulas.
3. A primeira parte do documento contém orientações sobre as atividades propostas nos cadernos, enquanto a segunda parte traz informações e ajustes para s
1) O documento discute resolução de equações do primeiro grau, incluindo propriedades de igualdades e operações para isolar a variável.
2) É dado o exemplo de resolver a equação 3x - 5 = 0 passo a passo.
3) Brevemente discute-se conceitos de raiz, conjunto solução e resolver equações.
1) A questão 1 explica que para igualar as somas nas linhas da tabela, o número na casa marcada com x deve exceder 2018 em 9, ou seja, ser 2027.
2) A questão 2 mostra que as expressões a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a igualdade dada no enunciado.
3) A questão 9 conclui que a área da região c no diagrama é igual à soma das áreas das regiões a e b, ou seja, c = a + b.
1) O documento apresenta uma prova final de matemática do 3o ciclo do ensino básico com 8 páginas e 90 minutos de duração. Inclui instruções, um formulário, tabela trigonométrica e 6 itens.
O documento apresenta 5 questões resolvidas de um gabarito de prova. A primeira questão resolve uma equação de segundo grau para encontrar as raízes e determinar o 6° termo de uma progressão geométrica. A segunda questão determina o valor de X para que três números formem uma progressão geométrica. A terceira questão calcula o montante total de depósitos em uma poupança ao longo de 21 anos.
O documento apresenta a resolução de 5 questões de matemática. Na primeira questão, o autor resolve uma equação de segundo grau para encontrar o valor de x em uma progressão aritmética. Na segunda questão, ele calcula os termos de uma outra progressão aritmética. E na terceira questão, resolve um problema envolvendo descontos em eletrodomésticos.
O documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de matemática, dividido em duas partes:
1) Aritmética em N, que inclui tópicos como sistema de numeração decimal e não decimal, operações algébricas e funções;
2) Geometria Plana, abordando conceitos geométricos como ângulos, polígonos, círculos e suas propriedades.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
1) O documento apresenta um curso online de matemática para concursos públicos com vídeo aulas gratuitas e exercícios comentados de operações fundamentais.
2) Inclui 20 exercícios resolvidos de adição, subtração, multiplicação, divisão e problemas com números inteiros e fracionários.
3) Fornece também a resolução de 27 itens sobre igualdades e propriedades numéricas para que sejam julgados como verdadeiros ou falsos.
O documento apresenta as instruções e questões de uma prova de matemática para alunos do ensino básico. A prova contém 5 questões sobre matrizes, com cálculos e determinação de elementos. Os alunos devem responder em caneta azul ou preta, justificando as respostas. Não é permitido conversar ou usar celular durante a prova.
1. O documento apresenta um material sobre matemática para concursos públicos, com 10 tópicos de conteúdo e 146 questões.
2. Inclui temas como conjuntos numéricos, porcentagem, juros, descontos, equações, probabilidade e outras operações matemáticas.
3. O material foi organizado pelos professores Dilmar Ricardo e André Reis e tem como objetivo preparar candidatos para provas de concursos públicos.
1) O documento fornece a solução de 15 questões de uma prova do nível 1 da OBMEP de 2018, explicando a resposta correta para cada questão e os raciocínios envolvidos.
2) A questão mais vantajosa para comprar papel higiênico é a promoção 3, que dá 16 rolos de graça para cada 72 comprados.
3) A maior sequência do algarismo 1 que pode aparecer na fila de números de 1 a 2018 é de tamanho 7, formada pelos números 1110, 1111 e 1112 colocados lado a
(I) O documento apresenta definições e propriedades relacionadas a equações do 1o e 2o grau, incluindo métodos de resolução. (II) Discute o conceito de raiz, conjunto-solução e métodos para determinar as raízes de equações do 1o e 2o grau. (III) Apresenta exemplos resolvidos de equações do 1o e 2o grau.
Este documento fornece 29 problemas de matemática com suas respectivas soluções. Os problemas envolvem cálculos com números inteiros, proporcionalidade, porcentagem e outras operações matemáticas. As soluções seguem passos lógicos para chegar à resposta final de cada problema.
1. O documento discute proporções e grandezas proporcionais. Apresenta os conceitos de razão, proporção e coeficiente de proporcionalidade.
2. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: proporção direta e inversa. Grandezas são diretamente proporcionais quando aumentam ou diminuem na mesma razão. São inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na mesma razão.
3. Exemplos ilustram grandezas direta e inversamente pro
O documento discute as alterações feitas nos Cadernos do Aluno para a nova edição de 2010. As alterações foram sugeridas por autores, leitores especializados e, principalmente, professores. Alguns dados também foram atualizados com base em publicações mais recentes. O professor deve analisar as diferenças entre as edições para estar preparado para suas aulas.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de matemática, incluindo:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e reais.
2) Operações com frações como soma, subtração, multiplicação e divisão.
3) Proporção, porcentagem e regra de três.
1) O documento apresenta 5 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas.
2) A questão 2 pede para calcular quantas bolinhas há em um pote com menos de 100 bolinhas. A resposta é que há 91 bolinhas no pote.
3) Na questão 4, afirma-se que 234 é divisor de 3.978.
1) O documento discute o conceito de frações, definindo-as como partes de um todo dividido em porções iguais. É explicado que o numerador indica quantas partes estão sendo consideradas e o denominador indica em quantas partes o todo foi dividido.
2) São apresentadas frações equivalentes, que representam os mesmos valores apesar de terem numeradores e denominadores diferentes. Para encontrar frações equivalentes, multiplica-se o numerador e o denominador por um mesmo número.
3) São explicadas operações como adição, subtração, multiplicação e divis
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de valores pagos por livros. A segunda, de soma de números para obter determinado resultado. A terceira compara dados sobre dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras, operações com algarismos, posições de formigas, diferença entre números trocando algarismos e outros.
O documento apresenta 5 questões sobre sequências numéricas, sistemas de equações, contagem de calorias e estatística musical. A primeira questão pede para escrever os 4 primeiros termos de 3 sequências dadas, a segunda resolva uma sucessão e verifique se um número é seu termo, e a terceira calcula calorias de uma refeição usando um sistema de equações.
O documento fornece uma introdução sobre probabilidade e estatística básica, definindo conceitos-chave como: experimento aleatório, espaço amostral, evento, tipos de eventos (certo, impossível, complementar, união, intersecção), propriedades das operações com eventos e partição de espaço amostral.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta resoluções comentadas de problemas de probabilidade, incluindo cálculos para lançamento de dados, urnas com bolas de diferentes cores e assinantes de jornais.
2) São explicados conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidades condicionais e probabilidades compostas para problemas que envolvem mais de uma etapa.
3) São também apresentados exercícios resolvidos de vestibulares com diferentes situações probabilísticas como baralhos de cartas
O documento apresenta 14 exercícios sobre probabilidades envolvendo lançamento de dados, retirada de bolas de urnas e eventos relacionados a famílias. As questões abordam conceitos como espaço amostral, eventos, cálculo de probabilidades e uso de fórmulas como a de arranjos e união de eventos.
1) O documento discute equações diofantinas lineares, que são equações polinomiais com coeficientes inteiros cujas soluções buscadas são também inteiras.
2) Dois exemplos ilustram problemas modelados por equações diofantinas lineares em duas incógnitas, relacionados a vale-transporte e selos de correio.
3) Métodos para resolver essas equações são apresentados, incluindo o uso do máximo divisor comum e soluções paramétricas.
Este documento contém 5 questões resolvidas de uma prova sobre números e operações matemáticas. A primeira questão pede para simplificar expressões algébricas. A segunda resolva um sistema de equações para encontrar dois números. A terceira identifica qual alternativa descreve corretamente números racionais.
O documento resume os principais conjuntos numéricos: naturais, inteiros relativos, racionais e irracionais. Também define intervalos reais como subconjuntos dos números reais localizados entre dois números distintos a e b, podendo ser fechados, abertos ou mistos. A representação geométrica dos números reais associa cada ponto da reta real a um número real.
1) O resumo apresenta as soluções para três questões da prova da OBMEP de 2013 sobre partilha de custos de livros, combinação de números para obter determinada soma e análise de gráficos comparando chuva, temperatura e casos de dengue.
2) A segunda questão trata da área de um quadrilátero formado por triângulos ao se traçar uma linha paralela a um dos lados de um retângulo.
3) A nona questão calcula a razão entre os lados de dois quadrados tendo em conta a área com
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de gastos com livros entre três colegas. A segunda lida com a soma de números em cartões. A terceira analisa afirmações sobre temperatura e chuva em relação a casos de dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras planas, operações com algarismos, posições
1) O documento apresenta um curso online de matemática para concursos públicos com vídeo aulas gratuitas e exercícios comentados de operações fundamentais.
2) Inclui 20 exercícios resolvidos de adição, subtração, multiplicação, divisão e problemas com números inteiros e fracionários.
3) Fornece também a resolução de 27 itens sobre igualdades e propriedades numéricas para que sejam julgados como verdadeiros ou falsos.
O documento apresenta as instruções e questões de uma prova de matemática para alunos do ensino básico. A prova contém 5 questões sobre matrizes, com cálculos e determinação de elementos. Os alunos devem responder em caneta azul ou preta, justificando as respostas. Não é permitido conversar ou usar celular durante a prova.
1. O documento apresenta um material sobre matemática para concursos públicos, com 10 tópicos de conteúdo e 146 questões.
2. Inclui temas como conjuntos numéricos, porcentagem, juros, descontos, equações, probabilidade e outras operações matemáticas.
3. O material foi organizado pelos professores Dilmar Ricardo e André Reis e tem como objetivo preparar candidatos para provas de concursos públicos.
1) O documento fornece a solução de 15 questões de uma prova do nível 1 da OBMEP de 2018, explicando a resposta correta para cada questão e os raciocínios envolvidos.
2) A questão mais vantajosa para comprar papel higiênico é a promoção 3, que dá 16 rolos de graça para cada 72 comprados.
3) A maior sequência do algarismo 1 que pode aparecer na fila de números de 1 a 2018 é de tamanho 7, formada pelos números 1110, 1111 e 1112 colocados lado a
(I) O documento apresenta definições e propriedades relacionadas a equações do 1o e 2o grau, incluindo métodos de resolução. (II) Discute o conceito de raiz, conjunto-solução e métodos para determinar as raízes de equações do 1o e 2o grau. (III) Apresenta exemplos resolvidos de equações do 1o e 2o grau.
Este documento fornece 29 problemas de matemática com suas respectivas soluções. Os problemas envolvem cálculos com números inteiros, proporcionalidade, porcentagem e outras operações matemáticas. As soluções seguem passos lógicos para chegar à resposta final de cada problema.
1. O documento discute proporções e grandezas proporcionais. Apresenta os conceitos de razão, proporção e coeficiente de proporcionalidade.
2. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: proporção direta e inversa. Grandezas são diretamente proporcionais quando aumentam ou diminuem na mesma razão. São inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na mesma razão.
3. Exemplos ilustram grandezas direta e inversamente pro
O documento discute as alterações feitas nos Cadernos do Aluno para a nova edição de 2010. As alterações foram sugeridas por autores, leitores especializados e, principalmente, professores. Alguns dados também foram atualizados com base em publicações mais recentes. O professor deve analisar as diferenças entre as edições para estar preparado para suas aulas.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de matemática, incluindo:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e reais.
2) Operações com frações como soma, subtração, multiplicação e divisão.
3) Proporção, porcentagem e regra de três.
1) O documento apresenta 5 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas.
2) A questão 2 pede para calcular quantas bolinhas há em um pote com menos de 100 bolinhas. A resposta é que há 91 bolinhas no pote.
3) Na questão 4, afirma-se que 234 é divisor de 3.978.
1) O documento discute o conceito de frações, definindo-as como partes de um todo dividido em porções iguais. É explicado que o numerador indica quantas partes estão sendo consideradas e o denominador indica em quantas partes o todo foi dividido.
2) São apresentadas frações equivalentes, que representam os mesmos valores apesar de terem numeradores e denominadores diferentes. Para encontrar frações equivalentes, multiplica-se o numerador e o denominador por um mesmo número.
3) São explicadas operações como adição, subtração, multiplicação e divis
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de valores pagos por livros. A segunda, de soma de números para obter determinado resultado. A terceira compara dados sobre dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras, operações com algarismos, posições de formigas, diferença entre números trocando algarismos e outros.
O documento apresenta 5 questões sobre sequências numéricas, sistemas de equações, contagem de calorias e estatística musical. A primeira questão pede para escrever os 4 primeiros termos de 3 sequências dadas, a segunda resolva uma sucessão e verifique se um número é seu termo, e a terceira calcula calorias de uma refeição usando um sistema de equações.
O documento fornece uma introdução sobre probabilidade e estatística básica, definindo conceitos-chave como: experimento aleatório, espaço amostral, evento, tipos de eventos (certo, impossível, complementar, união, intersecção), propriedades das operações com eventos e partição de espaço amostral.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta resoluções comentadas de problemas de probabilidade, incluindo cálculos para lançamento de dados, urnas com bolas de diferentes cores e assinantes de jornais.
2) São explicados conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidades condicionais e probabilidades compostas para problemas que envolvem mais de uma etapa.
3) São também apresentados exercícios resolvidos de vestibulares com diferentes situações probabilísticas como baralhos de cartas
O documento apresenta 14 exercícios sobre probabilidades envolvendo lançamento de dados, retirada de bolas de urnas e eventos relacionados a famílias. As questões abordam conceitos como espaço amostral, eventos, cálculo de probabilidades e uso de fórmulas como a de arranjos e união de eventos.
1) O documento discute equações diofantinas lineares, que são equações polinomiais com coeficientes inteiros cujas soluções buscadas são também inteiras.
2) Dois exemplos ilustram problemas modelados por equações diofantinas lineares em duas incógnitas, relacionados a vale-transporte e selos de correio.
3) Métodos para resolver essas equações são apresentados, incluindo o uso do máximo divisor comum e soluções paramétricas.
Este documento contém 5 questões resolvidas de uma prova sobre números e operações matemáticas. A primeira questão pede para simplificar expressões algébricas. A segunda resolva um sistema de equações para encontrar dois números. A terceira identifica qual alternativa descreve corretamente números racionais.
O documento resume os principais conjuntos numéricos: naturais, inteiros relativos, racionais e irracionais. Também define intervalos reais como subconjuntos dos números reais localizados entre dois números distintos a e b, podendo ser fechados, abertos ou mistos. A representação geométrica dos números reais associa cada ponto da reta real a um número real.
1) O resumo apresenta as soluções para três questões da prova da OBMEP de 2013 sobre partilha de custos de livros, combinação de números para obter determinada soma e análise de gráficos comparando chuva, temperatura e casos de dengue.
2) A segunda questão trata da área de um quadrilátero formado por triângulos ao se traçar uma linha paralela a um dos lados de um retângulo.
3) A nona questão calcula a razão entre os lados de dois quadrados tendo em conta a área com
1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico.
2) A primeira questão trata de divisão de gastos com livros entre três colegas. A segunda lida com a soma de números em cartões. A terceira analisa afirmações sobre temperatura e chuva em relação a casos de dengue.
3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras planas, operações com algarismos, posições
1) A resolução apresenta as respostas corretas para 12 questões de múltipla escolha de um exame, explicando a lógica por trás de cada resposta.
2) As explicações envolvem raciocínios algébricos, geométricos e combinatórios para analisar as informações dadas em cada questão e chegar à alternativa correta.
3) Algumas questões recebem mais de uma solução, demonstrando diferentes abordagens para chegar ao mesmo resultado.
1) O documento apresenta a solução de questões da 1a fase da OBMEP 2013 de nível 2, com respostas e explicações detalhadas para cada questão.
2) São resolvidas 14 questões, variando entre cálculos, raciocínios lógicos e interpretação de gráficos e figuras.
3) As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, lógica, probabilidade e estatística.
1) O documento apresenta a resolução de quatro questões sobre um problema envolvendo cartões com números e operações matemáticas.
2) Na primeira questão, é explicada a lógica para determinar o número que deve ser dito ao matemágico de acordo com o cartão escolhido.
3) Na segunda questão, são calculados os números de cartões pares e múltiplos de 3, e aqueles que são pares mas não múltiplos de 3.
4) Na terceira questão, são calculadas as áreas de figuras geométricas formadas a
Este documento contém três resumos concisos em 3 frases ou menos:
[1] Este documento fornece soluções comentadas para 20 questões de matemática de provas de seleção para técnico administrativo do BNDES realizadas em 2010/2011.
[2] As questões cobrem tópicos como probabilidade, progressão aritmética, juros compostos e outras operações matemáticas.
[3] Cada solução é detalhada passo a passo para auxiliar o leitor na compreensão completa do raci
O documento resume a prova de matemática aplicada na Universidade Federal do Paraná (UFPR). De modo geral, a prova manteve o alto nível de qualidade usual da instituição, com boa distribuição de assuntos e nível de dificuldade ligeiramente maior do que no ano anterior, o que contribui para a qualidade do processo seletivo. A prova premiará os alunos que estudaram com seriedade ao longo do ano.
1) O resumo fornece as respostas corretas para as 16 questões da prova, apresentando os raciocínios por trás de cada resposta de forma concisa.
2) As questões envolvem tópicos como álgebra, geometria, probabilidade e lógica.
3) Ao todo, o documento analisa 16 situações-problema de nível intermediário.
Este documento fornece a solução de 15 questões de uma prova, explicando qual a alternativa correta para cada questão e a lógica por trás da resposta. A maioria das questões envolvem raciocínio lógico, como análise de padrões numéricos e figuras geométricas. Duas questões adicionais fornecem explicações sobre como funciona um truque de adivinhação de datas utilizando calendários.
O documento explica os conceitos de razão e proporção matemática. Apresenta que uma razão é representada por uma fração que indica a relação entre dois números, sendo o antecedente e o conseqüente. Também define proporção como a igualdade entre duas ou mais razões e apresenta propriedades fundamentais como o produto dos extremos ser igual ao produto dos meios.
O documento apresenta as soluções de uma prova de matemática do nível 1 da OBMEP 2010, com quatro questões resolvidas. A primeira questão trata de números paradas, a segunda de operações matemáticas envolvendo cartões de cores, a terceira de áreas e perímetros de figuras geométricas e a quarta de casais de números.
[1] O documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 contendo as respostas corretas para 20 questões e informações sobre a pontuação e uma questão anulada.
[2] As soluções para duas das questões são apresentadas, mostrando os raciocínios matemáticos utilizados para chegar às respostas corretas.
[3] A questão 9 traz o desenho de um eneágono regular com informações angulares que permitem identificar qual tipo de triângulo é
Este documento fornece as soluções para as 10 primeiras questões da primeira fase da OBMEP de 2013 para o nível 3. As respostas incluem explicações detalhadas sobre cálculos, figuras e tabelas para justificar cada resposta.
O documento fornece um gabarito de respostas para um projeto pré-requisitos para alunos do 6o ano do ensino fundamental. O projeto contém questões de matemática sobre números naturais e racionais, operações, medidas, porcentagem e sequências numéricas. O objetivo é que os alunos verifiquem os conteúdos que dominam para um melhor acompanhamento das aulas no 6o ano.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, apresentando estratégias para resolver problemas e exemplos resolvidos.
2) São fornecidas dicas como dividir problemas em decisões mais simples e começar pelas decisões mais restritas.
3) A combinatória estuda formas de contar elementos de um conjunto sob certas condições.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas. 2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples. 3) A contagem de elementos em conjuntos utiliza princípios como o aditivo e o multiplicativo.
O documento fornece informações sobre atividades complementares de história para alunos do 8o ano do ensino fundamental sobre os caminhos para a independência do Brasil, Estados Unidos e países da América Espanhola. Inclui três textos com detalhes sobre os processos de independência desses países e resumos sobre as causas e principais eventos que levaram à independência de cada local.
O documento fornece informações sobre atividades complementares de História para alunos do 9o ano sobre os temas de totalitarismos e conflitos mundiais. Inclui resumos sobre a Primeira Guerra Mundial e a Revolução Russa de 1917.
O documento descreve uma atividade complementar de sociologia para alunos do 9o ano. A atividade aborda os temas da cibercultura, ciberespaço, redes sociais e inteligência coletiva, bem como os impactos do cyberbullying. O objetivo é complementar o ensino e aprendizagem sobre esses tópicos relacionados ao processo de globalização.
O documento fornece informações sobre atividades complementares de história para alunos do 9o ano sobre o período varguista no Brasil. Inclui dois textos que descrevem a Era Vargas e o papel de Getúlio Vargas no trabalhismo. O objetivo é facilitar a compreensão dos alunos sobre os conhecimentos acumulados em aulas anteriores.
1) Narciso era um jovem belo filho de deuses, que desprezava o amor de todos.
2) A ninfa Eco se apaixonou por ele, mas foi rejeitada e amaldiçoada a amar sem possuir.
3) Bebendo água, Narciso viu seu reflexo e se apaixonou por si mesmo, incapaz de alcançar sua imagem. Morreu transformando-se na flor narciso.
O documento discute a arte e como ela pode ser entendida de maneiras diversas, não se limitando a desenhos ou coisas bonitas. Ele incentiva os alunos a pensarem sobre arte de forma ampla e a refletirem sobre como a pandemia os faz sentir usando ferramentas artísticas.
Este documento fornece uma matriz disciplinar para ensinar arte no ensino fundamental, abordando:
1) O conceito de arte e como ele vai além de desenhos, podendo incluir fotografia, escultura e outros meios;
2) Uma série de questões para testar a compreensão dos alunos sobre os diversos aspectos da arte;
3) Instruções para os alunos refletirem criativamente sobre como a pandemia os faz sentir usando ferramentas de arte.
História - Prof Celso Blog SEMEC 7ano aulaDiedNuenf
[1] O documento fornece informações sobre atividades complementares de história para alunos do 7o ano durante a pandemia de Covid-19. [2] Inclui textos sobre civilizações pré-colombianas e sociedades africanas pré-coloniais. [3] Ao final, há dez questões sobre os textos para avaliar os conhecimentos dos alunos.
Este documento apresenta atividades para alunos do 6o ano sobre o sistema de numeração decimal e o papel do zero e da vírgula. As atividades incluem a formação de números usando cartões numerados e a resolução de questões sobre a posição correta do zero e da vírgula. O objetivo é inserir novos conhecimentos sobre como o sistema posicional funciona nos números decimais.
O documento apresenta informações sobre uma atividade complementar de História para alunos do 6o ano sobre a Grécia Antiga. O texto descreve a organização política das cidades-estados gregas, como Atenas e Esparta, e traz detalhes sobre a democracia ateniense e a religião na Grécia Antiga.
O documento descreve:
1) Uma atividade complementar de História para alunos do 3o ano sobre a Proclamação da República e a Primeira República brasileira.
2) Textos que explicam a Proclamação da República em 1889 e as características da Primeira República, como o coronelismo.
3) Atividades propostas para os alunos, como pesquisar sobre regimes e sistemas políticos e debater modelos eleitorais.
1) O documento apresenta atividades complementares sobre a Revolução Industrial e o escravismo no Brasil do século XIX para alunos do 3o ano do ensino fundamental realizarem a distância.
2) Dois temas serão abordados: a Revolução Industrial e seus impactos, e o escravismo no Brasil, incluindo a abolição da escravatura.
3) Textos e questões são fornecidos para que os alunos estudem os assuntos de forma autônoma durante a pandemia.
O documento descreve como a aritmética, geometria e álgebra podem ser usadas para criar movimento e animação. Ele explica como um ponto em uma figura geométrica pode mudar de posição ao somar ou subtrair valores de suas coordenadas, permitindo que a figura se mova dinamicamente. O documento usa o exemplo de um barquinho cuja posição pode ser controlada adicionando valores à sua localização para demonstrar como esses conceitos matemáticos podem ser aplicados.
Este documento fornece atividades complementares de história para alunos do 4o ano do ensino fundamental sobre a Revolução Industrial e a escravidão no Brasil. Inclui textos sobre a luta dos escravos pela liberdade, as características da Revolução Industrial e suas etapas, e instruções para que os alunos realizem pesquisas adicionais sobre esses temas.
[1] O documento discute a importância da leitura do quadrinho sobre o diário de Anne Frank durante o período de quarentena, para que os alunos compreendam os valores da vida e da importância de cuidar uns dos outros. [2] A segunda parte apresenta três textos sobre a população de rua durante a pandemia e como eles estão mais expostos ao coronavírus, e pede para que os alunos respondam perguntas sobre os textos. [3] O objetivo é analisar valores, visões de mundo e estruturas nos gêneros liter
[1] O documento discute a importância da leitura do quadrinho sobre o diário de Anne Frank durante o período de quarentena, para que os alunos compreendam os valores da vida e da importância de cuidar uns dos outros. [2] A segunda parte apresenta três textos sobre a população de rua durante a pandemia e instrui os alunos a responderem perguntas sobre os textos. [3] O objetivo é analisar estruturas e posicionar-se criticamente sobre esses gêneros literários e sociais.
1) Apresenta os personagens reais por trás dos pseudônimos usados no Diário de Anne Frank.
2) Resume o conteúdo do Diário de Anne Frank em quadrinhos, adaptado para um formato de história em quadrinhos.
3) Descreve brevemente o que aconteceu com os personagens após sua prisão em 1944.
(1) O documento contém 45 questões de múltipla escolha sobre assuntos como matemática, geometria e interpretação de dados; (2) As questões abordam tópicos como porcentagem, sistemas de equações, álgebra, geometria espacial e estatística; (3) Há também questões sobre interpretação e conversão de frações, raízes quadradas e expressões algébricas.
A primeira República brasileira foi estabelecida por um golpe militar antidemocrático, mas seus primeiros governantes queriam uma ditadura socialista. Muitos grupos, incluindo analfabetos, mulheres, indígenas e soldados rasos, foram excluídos do direito ao voto. A política econômica de Rui Barbosa, conhecida como "Encilhamento", visava industrializar o país através de créditos facilitados.
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Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
Sf1n2 2018
1. Solução da prova da 1.ª Fase
QUESTÃO 1
ALTERNATIVA E
Sem usar a nota de 5 reais, Miguel não somaria o valor pago, pois as demais notas têm valores pares e, portanto,
ele não conseguiria uma soma ímpar. Assim, ele precisa escolher mais 5 notas cuja soma seja 63 − 5 = 58.
Portanto, ele precisa escolher algumas notas, dentre as de 2 e 5 reais, cuja soma seja 8 (para isso, ele não usa as
outras notas, pois elas têm valor maior do que 8). Nesse caso, a única escolha para somar 8 é escolher quatro
notas de 2 reais. Sendo assim, Miguel já separou cinco notas, uma de 5 reais e quatro de 2, somando
5 + 4 × 2 = 5 + 8 = 13 reais. Como ele fez a compra com seis notas, para somar 63 reais, ele usou uma nota de
50, uma de 5 e quatro notas de 2 reais.
QUESTÃO 2
ALTERNATIVA C
Por observação direta da ilustração, vemos que o edifício A tem 12 janelas na frente. Logo, tem 11 ou menos
janelas atrás. O edifício B tem 10 janelas na frente. Logo, tem 11 ou mais janelas atrás. Como os dois prédios têm
o mesmo número de janelas na parte de trás, concluímos que esse número só pode ser 11. Como nas laterais não
há janelas, os dois edifícios juntos têm 12 + 11 + 10 + 11 = 44 janelas.
QUESTÃO 3
ALTERNATIVA A
Pelo enunciado, temos duas igualdades: M + 2G = 8P e M + P = G, em que P, M e G representam os preços das
melancias pequena, média e grande, respectivamente.
Da primeira relação temos que M = 8P – 2G. Substituindo na segunda relação, temos: G = 8P – 2G + P; logo,
G = 3P. Assim, pelo preço de uma melancia grande podemos comprar 3 pequenas.
QUESTÃO 4
ALTERNATIVA E
Solução 1: O enunciado nos diz que a quantidade de tinta é 70% do total da mistura, já que a quantidade de água
é 30%. Logo, como (70/100) da quantidade total é 21 litros, a quantidade total da mistura é 21 x 100 ÷ 70 = 30
litros. Deste modo, a quantidade de água utilizada foi de 30% de 30, ou seja, 9 litros.
Solução 2: (com rudimentos de álgebra): Se 𝑥 é a quantidade adicionada de água,
𝑥
21+𝑥
=
30
100
. Concluímos, então,
que 𝑥 = 9 litros.
QUESTÃO 5
ALTERNATIVA D
Seja b a quantidade de bolinhas na caixa. Como Artur tirou metade das bolinhas, restou metade delas na caixa.
Logo b deve ser um número par, ou, em outras palavras, 2 está presente na decomposição em fatores primos de
b. Das b/2 bolas restantes, Bernardo retirou 1/3 delas, restando, portanto, (b/2) – (1/3) (b/2) = b/3. Assim, como
(1/3) de b é um número inteiro, 3 também é um dos fatores da decomposição de b em fatores primos. Das b/3
bolas restantes, Carlos retirou 1/4 delas; restou, depois disto, (b/3) – (1/4)(b/3) = (1/4) b bolas na caixa e, assim, 4
deve ser fator de b. Das b/4 bolas restantes Danilo retirou (1/5) delas e o que ficou, finalmente, foi (b/4) – (1/5)
(b/4) = (1/5) b, o que mostra que também 5 é um fator de b. O único número que tem 3, 4 e 5 como fatores primos
e é menor do que 100 é 3 x 4 x 5 = 60. Na caixa, depois de todas as retiradas, sobraram, portanto, (1/5) b = (1/5)
60 = 12 bolinhas.
28.º e 9.º anos do Ensino Fundamental
1.a
Fase 5 de junho de 2018
Nível
2. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2018 Nível 2
2
QUESTÃO 6
ALTERNATIVA B
Ao lançar dois dados de cada vez, após cinco lançamentos, obteremos 10 números. Suponha que N desses
números sejam 6 e o restante igual ou menor do que 5. Como o total obtido é 57, temos:
57 ≤ N x 6 + (10 – N) x 5 = N + 50,
ou seja, N ≥ 7. Isso pode ser confirmado notando que, se apenas 6 dados resultassem em 6, o maior número que
José poderia ter obtido, no final, seria 6 x 6 + 4 x 5 = 56. Assim, podemos garantir que foram obtidos pelo menos 7
dados com o valor 6.
Suponha agora que em x lançamentos saiu um par de 6, em y lançamentos apenas um 6 e em z lançamentos
nenhum 6. Note que x, y e z são inteiros entre 0 e 5, e x + y + z = 5, já que 5 é o total de lançamentos.
O número 6 saiu 2x + 1y + 0z = 2x + y vezes. Devemos ter, portanto, 2x + y ≥ 7, ou seja, 7 – 2x ≤ y.
Por outro lado, como y = 5 – x – z ≤ 5 – x, juntando as duas últimas desigualdades, temos 7 – 2x ≤ 5 – x, o que
implica x ≥ 2. Devemos ter pelo menos 2 lançamentos com um par de 6.
Para estabelecer 2 como o menor número de lances em que sai um par de 6, devemos exibir uma configuração de
pares que some 57, com apenas dois pares de 6. Isso pode ser obtido da seguinte forma:
(6 e 6), (6 e 6), (6 e 5), (6 e 5), (6 e 5).
QUESTÃO 7
ALTERNATIVA D
Basta observar que 242424 = 2 × 121212. Logo,
2424242−1212122
242424 × 121212
=
(2 × 121212)2−1212122
2 × 121212 × 121212
=
4x1212122−1212122
2x1212122 =
3 × 1212122
2 × 1212122 =
3
2
.
QUESTÃO 8
ALTERNATIVA C
Quem comprar 72 rolos de papel na promoção 1 vai levar 12 rolos de graça; 6 saem de graça na promoção 2, 16
na promoção 3, 9 na promoção 4 e 10 na promoção 5. Logo, a promoção mais vantajosa é a promoção 3.
Observe que a comparação ficou fácil, pois o mínimo múltiplo comum de 6, 12, 18, 24 e 36 é 72.
Outra solução: Admita que, sem qualquer promoção, um rolo avulso de papel higiênico custasse 1 real (isto não
importa, basta que cada rolo unitário custasse o mesmo que os demais). Quanto gastaríamos para levar 72 rolos
de papel higiênico aproveitando cada uma das promoções?
Na Promoção 1, com R$ 60,00 levaríamos 72 rolos. Isto pode ser visto da seguinte maneira: imagine que
tivéssemos comprado 12 pacotes com 6 rolos em cada um; pagaríamos o preço de 5 rolos por um pacote,
mas levaríamos, na compra de um pacote, 6 rolos. O custo nesta promoção seria, portanto, 5,00 x 12 =
R$ 60,00 e, no total, levaríamos 6 x 12 = 72 rolos. De modo análogo,
na Promoção 2, com R$ 66,00 levaríamos 72 rolos.
na Promoção 3, com R$ 56,00 levaríamos 72 rolos.
na Promoção 4, com R$ 63,00 levaríamos 72 rolos.
na Promoção 5, com R$ 62,00 levaríamos 72 rolos.
Desse modo, a promoção mais vantajosa é a 3.
Outra solução: Podemos também observar que, na promoção 1, cada rolo pago contribui com
1
5
para o rolo grátis
(isto é, podemos pensar na razão
𝑔𝑟á𝑡𝑖𝑠
𝑝𝑎𝑔𝑜
); as frações correspondentes nas promoções 2, 3, 4 e 5 são
1
11
,
4
14
=
2
7
,
3
21
=
1
7
e
5
31
. A maior dessas frações é
2
7
, ou seja, a promoção 3 é a mais vantajosa.
3. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2018 Nível 2
3
QUESTÃO 9
ALTERNATIVA A
Como 1414 é par, o número ao qual Maria somou três ímpares e dois pares é necessariamente ímpar. Denotando
este número por n temos
(n – 6) + (n – 4) + (n – 2) + n + (n + 1) + (n + 3) = 1414
Logo, 6n – 8 = 1414 e n = 237.
Somando os algarismos de 237, temos: 2 + 3 + 7 = 12.
QUESTÃO 10
ALTERNATIVA B
10
7
=
7 + 3
7
= 1 +
3
7
= 1 +
1
7
3
= 1 +
1
6 + 1
3
= 1 +
1
2 +
1
3
Logo, a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a expressão do enunciado.
Não há outra solução além de c = 3. Veja uma outra maneira de resolver a questão:
De acordo com o enunciado, a, b, c ≥ 1. Como 1 <
10
7
< 2, segue que a = 1. De fato, se a ≥ 2, deveríamos ter
1
b+
1
c
< 0, o que não ocorre. Consequentemente,
10
7
= 1 +
1
b+
1
c
. Basta encontrar b e c tais que
3
7
=
1
b+
1
c
=
c
bc+1
.
A partir dessa igualdade de frações, concluímos que 7c = 3(bc + 1). Como 3 e 7 são números primos, segue que
3 divide c, bem como 7 divide (bc + 1). Portanto, existem dois números naturais positivos 𝑚 e 𝑛 satisfazendo
c = 3𝑚 e (bc + 1) = 7𝑛.
Assim, 7𝑛 c = (bc + 1)(3𝑚) = 3(bc + 1)𝑚 = 7c 𝑚, o que garante que 𝑚 = 𝑛. Logo, bc + 1 = b(3𝑚) + 1 = 7𝑛 =
7 𝑚 e, então, 1= 7𝑚 − 3b𝑚 = 𝑚(7 − 3b). Consequentemente, 𝑚 = 1, pois 𝑚 divide 1 e é positivo. Segue que
c = 3𝑚 = 3 e também que b = 2, pois 3b + 1 = 7.
Observação: Uma fração contínua finita simples é uma expressão da forma
𝑎0 +
1
𝑎1 +
1
𝑎2 +
1
𝑎3 + . . . 1
𝑎 𝑛−1+
1
𝑎 𝑛
em que 𝑎0 é um número inteiro e 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 são inteiros positivos.
Todo número racional pode ser expresso na forma de uma fração contínua simples, e toda fração contínua simples
é um número racional. A representação como fração contínua não é única. Se 𝑎 𝑛 > 1, há apenas duas
representações possíveis, porém de “comprimentos” diferentes; por exemplo:
10
7
= 1 +
1
2+
1
3
= 1 +
1
2+
1
2+
1
1
.
4. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2018 Nível 2
4
QUESTÃO 11
ALTERNATIVA D
O trapézio ABCD da figura está dividido em três triângulos, cujas
alturas coincidem com a altura do trapézio. Vamos chamar de H a
medida dessa altura e lembrar que a área de cada um dos triângulos
é a metade do produto do comprimento da base pela altura.
A área do trapézio é a soma das áreas dos triângulos CPB, PAB e
PDA, e essa soma é igual a:
1
2
𝐶𝑃 . 𝐻 + 17 +
1
2
𝑃𝐷 . 𝐻.
Podemos reescrever essa expressão como
17 +
1
2
(𝐶𝑃 + 𝑃𝐷). 𝐻 = 17 +
1
2
𝐶𝐷 . 𝐻.
Podemos calcular o valor da parcela
1
2
𝐶𝐷 . 𝐻, pois sabemos ainda que 𝐶𝐷 = 2. 𝐵𝐴; logo,
1
2
𝐶𝐷 . 𝐻 =
1
2
2. 𝐵𝐴 . 𝐻 =
2.
1
2
𝐵𝐴 . 𝐻. Como
1
2
𝐵𝐴 . 𝐻 é a área conhecida do triângulo PAB, então
1
2
𝐶𝐷 . 𝐻 = 2.17 = 34. Portanto, a área do
trapézio ABCD é igual a 17 + 34 = 51.
QUESTÃO 12
ALTERNATIVA E
Vamos analisar cada opção:
A) Falsa, pois no item propaganda o produto A foi o melhor
avaliado (recebeu nota 5 contra uma nota 3 do produto B).
B) Falsa, pois o produto de maior utilidade foi o produto B
(nota 5), mas o produto menos durável foi o produto C (nota 2).
C) Falsa, pois o produto C obteve a maior pontuação apenas
em 2 itens (qualidade e atendimento).
D) Falsa, pois o produto C teve a melhor avaliação em
qualidade (nota 5), mas foi o produto A que obteve a melhor
avaliação em assistência técnica (nota 4).
E) Verdadeira; de fato, o produto A obteve a maior nota em
propaganda (nota 5), mas obteve a nota mais baixa em
aparência (nota 1).
QUESTÃO 13
ALTERNATIVA D
Consideramos dois casos:
a) O motorista do primeiro carro decide estacionar em uma
das vagas marcadas com os números 1 ou 10. Para cada
uma dessas escolhas, o segundo motorista terá 8 opções
disponíveis de estacionamento; logo, nesse caso, há um
total de 2 × 8 = 16 maneiras diferentes para o estacionamento dos carros (utilizamos aqui o Princípio
Multiplicativo da Contagem).
b) O motorista do primeiro carro decide estacionar em uma das vagas marcada com os números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
ou 9. Para cada uma dessas escolhas, o segundo motorista terá 7 opções disponíveis de estacionamento;
logo, nesse caso, há um total de 8 × 7 = 56 maneiras diferentes para o estacionamento dos carros.
De acordo com as situações anteriores, há um total de 16 + 56 = 72 maneiras diferentes para o estacionamento
dos carros (utilizamos aqui o Princípio Aditivo da Contagem).
5. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2018 Nível 2
5
QUESTÃO 14
ALTERNATIVA B
Solução: Vamos dividir em dois casos:
Caso 1: As casas I e IV devem ser pintadas da mesma cor.
Neste caso, há 3 possibilidades de se pintar a casa I, uma só possibilidade de se pintar a
casa IV (pois sua cor deve ser a mesma que a da casa I), duas possibilidades para a casa
II e também duas possibilidades para a casa III. Pelo Princípio Multiplicativo da
Contagem, há, neste caso, 3 x 1 x 2 x 2 = 12 possibilidades de pinturas.
Caso 2: As casas I e IV devem ser pintadas de cores diferentes. Neste segundo caso,
podemos usar três cores para pintar a casa I e duas cores para pintar a casa IV. Como as
cores das casas I e IV são diferentes, resta apenas uma possibilidade para se pintar a casa II e uma
possibilidade para se pintar a casa III. Novamente pelo Princípio Multiplicativo, temos, neste segundo caso,
3 x 2 x 1 x 1 = 6 possibilidades de pinturas.
Juntando os casos 1 e 2, temos, então, 12 + 6 = 18 possibilidades no total.
Tudo o que fizemos foi contar organizadamente as possibilidades abaixo, sem a necessidade, entretanto, de listá-
las uma a uma.
QUESTÃO 15
ALTERNATIVA C
Se quem desenhou na parede foi Emília, ela mentiu e também Vitória mentiu. Então isso não ocorreu, pois
somente uma menina mentiu.
Se quem desenhou na parede foi Luísa, ela mentiu e também Rafaela mentiu. Esse caso também não pode ter
ocorrido.
Se quem desenhou na parede foi Marília, somente Vitória mentiu. Isso está compatível com as exigências do
enunciado.
Se quem desenhou na parede foi Rafaela, Marília e Vitória mentiram. Esse caso também não pode ter ocorrido.
Se quem desenhou foi Vitória, Luísa e Marília mentiram; isso também não deve ter acontecido.
Logo, quem desenhou na parede da sala da Vovó Vera foi Marília.
Outra solução: Analisando as respostas de Emília e Rafaela, se qualquer uma das duas mentiu, então Luísa
também falou uma mentira. Como não podemos ter duas netinhas mentindo, então Emília e Rafaela falaram a
verdade. Portanto, a autora do desenho na parede só pode ser uma das três meninas: Marília, Rafaela ou Vitória.
Se Vitória fala a verdade, então Luísa mente; consequentemente quem desenhou não foi nem a Marília, nem a
Rafaela e a autora seria Vitória, mas isso acarreta que Marília também estaria mentido. Assim, Vitória mentiu, e
todas as outras falam a verdade. Quem fez o desenho não pode ser Rafaela, só pode ser Marília.
I I I
I I I I V
6. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2018 Nível 2
6
QUESTÃO 16
ALTERNATIVA C
Observemos que, com um algarismo, apenas o 7 foi escrito por Clarice. Com dois algarismos, Clarice escreveu os
números múltiplos de 7 entre 14 e 98, incluindo-os e totalizando 13 números com dois algarismos. Continuando a
escrita dos múltiplos de 7, agora com números entre 105 e 196, incluindo-os, Clarice escreveu mais 14 números
de 3 algarismos, totalizando 1 + 2 × 13 + 3 × 14 = 1 + 26 + 42 = 69 algarismos escritos. Para chegar a 99
algarismos escritos, Clarice escreveu os próximos 10 múltiplos de 7, chegando ao número 266 = 7 × 38. Assim, o
centésimo algarismo escrito por Clarice foi o algarismo 2, o primeiro do número 273 = 7 × 39.
QUESTÃO 17
ALTERNATIVA A
De acordo com o enunciado, segue que BCFE
e EFDA são dois paralelogramos congruentes,
pois E e F são pontos médios dos lados AB e
CD, respectivamente.
Observemos que os triângulos EBF e DFH são
congruentes, pois têm mesmos ângulos e
EB = DF. Analogamente, os triângulos GEA e
ECF também são congruentes.
Agora, traçando-se a reta por E e F, como na figura, obtemos também que AGJE e HDFK são paralelogramos
congruentes aos dois iniciais (BCFE e EFDA). Mais ainda, as diagonais determinam, em seus respectivos
paralelogramos, quatro triângulos de mesma área, com dois pares de triângulos congruentes (em cada
paralelogramo, os triângulos opostos pelo vértice são congruentes). Observe que o paralelogramo ABCD contém
8 desses triângulos e o triângulo GIH contém 9. Logo, a razão entre eles é igual a 9/8.
QUESTÃO 18
ALTERNATIVA B
Quando um participante que diz a verdade diz que seus dois vizinhos mentem, podemos concluir que ele tem, de
fato, um mentiroso de cada lado.
Quando a frase é dita por um mentiroso, ela é necessariamente falsa; em consequência, pelo menos um dos
vizinhos de um mentiroso deverá dizer a verdade.
Portanto, não pode haver mais do que dois mentirosos consecutivos. Isto significa que o número de mentirosos
não pode exceder 2/3 dos participantes (já que dois mentirosos consecutivos devem ser sucedidos por uma
pessoa que diz a verdade). Como 2/3 de 17 é igual a 11 + (1/3), pode haver no máximo 11 mentirosos.
Resta verificar se é de fato possível colocar 11 mentirosos e 6 pessoas que dizem a verdade em círculo de modo
que cada pessoa que diz a verdade esteja ladeada por mentirosos e pelo menos um vizinho de cada mentiroso
diga a verdade. Para tal, basta numerar as cadeiras de 1 a 17 e colocar as pessoas que dizem a verdade nas
cadeiras 3, 6, 9, 12, 15 e 17 e as mentirosas nas demais. Note que, nessa situação, cada pessoa que diz a
verdade está ao lado de dois mentirosos e cada mentiroso tem a seu lado uma pessoa que mente e outra que diz
a verdade, com exceção do sentado na cadeira 16, que tem duas pessoas que dizem a verdade a seu lado.
Portanto, o número máximo de mentirosos é, de fato, igual a 11.
7. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2018 Nível 2
7
QUESTÃO 19
ALTERNATIVA E
Destacamos os pontos A, B, C e D, conforme a figura:
I) Há 3 formas distintas de a formiga chegar, saindo de P, a um dos pontos A ou B sem andar pelo segmento
vertical AB (duas maneiras de chegar a A – horizontal/vertical ou vertical/horizontal – e uma só de chegar a B –
vertical/vertical/horizontal).
II) A partir de A, fazendo percursos do tipo H (horizontal) ou VH (vertical - horizontal), a formiga chega de 28
formas distintas a um dos pontos C ou D, sem passar pelo segmento CD. Além disso, a partir de cada ponto C ou
D há duas formas distintas de chegar até Q (sendo agora permitido passar pelo segmento CD). Portanto, pelo
princípio multiplicativo, há um total de 28
× 2 = 29
percursos distintos que a formiga pode fazer para chegar de A
até Q. Raciocínios similares nos dão um total de 29
percursos distintos que a formiga pode fazer para chegar de B
até Q.
Considerando os casos I) e II), segue do Princípio Multiplicativo da Contagem que há um total de 3 x 29
= 1536
percursos diferentes que a formiga pode fazer para sair de P e chegar a Q, seguindo as regras do enunciado.
Segunda solução:
I) Primeiro consideramos o problema restrito à seguinte figura reduzida:
Ou seja, se deseja determinar de quantas maneiras diferentes a formiga pode fazer o percurso de A até Q, nas
mesmas condições do enunciado. As seguintes observações são importantes:
a) a formiga deverá percorrer exatamente 9 segmentos horizontais até chegar a Q;
b) como os pontos A e Q não estão situados numa mesma linha horizontal, a formiga deverá percorrer um
número ímpar de segmentos verticais até chegar a Q;
c) dois movimentos verticais consecutivos não podem ser realizados.
Usaremos a letra H para indicar cada movimento sobre um segmento horizontal e V para indicar cada movimento
sobre um segmento vertical. Na tabela a seguir, contendo 19 casas, colocamos 9 letras H que indicam os 9
movimentos horizontais realizados pela formiga em cada caminho.
H H H H H H H H H
Cada caminho, realizado pela formiga, é definido preenchendo as 10 casas vazias com um número ímpar de
letras V e as restantes com 0, onde 0 indica que não foi realizado movimento vertical antes do início ou depois do
final de um segmento horizontal. Por exemplo, a tabela
0 H V H 0 H 0 H 0 H V H V H V H V H 0
representa o caminho:
8. Solução da prova da 1.ª fase
OBMEP 2018 Nível 2
8
Finalmente, para cada uma das primeiras 9 casas vazias podemos colocar 0 ou V sem distinção, totalizando 29
escolhas distintas. Para cada uma dessas escolhas, a última casa vazia fica completamente determinada pelo
preenchimento das anteriores, pois o total de letras V deve ser ímpar; logo, há um total de 29
percursos diferentes
de A até Q.
II) Uma análise análoga nos dá que a resposta é a mesma (29
escolhas distintas) se trocamos o ponto A de
partida da formiga pelo ponto B, conforme a figura a seguir:
Observação: Nesse caso a número de letras V é par.
III) Na figura completa:
basta observar que há 3 formas distintas de a formiga chegar a um dos pontos A ou B sem andar pelo segmento
vertical AB. Logo, usando a contagem realizada nos casos I) e II) temos um total de 3 x 29
= 1536 percursos
diferentes que a formiga pode fazer.
QUESTÃO 20
ALTERNATIVA A
Imaginemos uma formiguinha caminhando sobre os lados da poligonal, começando em P e dando um passeio
completo pelos lados da poligonal até voltar ao ponto P. Cada vez que a formiguinha passa por uma das
intersecções entre lado da poligonal e lado do quadrado, ela muda o seu estado em relação ao quadrado, ou seja,
se estava dentro passa a estar fora e se estava fora passa a estar dentro.
Como a formiguinha começa dentro do quadrado e termina dentro do quadrado, então ela precisa mudar de
estado um número par de vezes. Logo, o número de intersecções entre lados do quadrado e lados da poligonal é,
obrigatoriamente, par, o que já elimina as alternativas B), C) e D).
Embora 4036 seja par, também não pode corresponder ao número procurado, pois, como há 2018 lados na
poligonal, só poderíamos chegar ao número 4036 se todos os lados da poligonal cortassem lados do quadrado
duas vezes, o que é impossível, pois os lados que partem de P necessariamente começam dentro do quadrado e
não conseguem, portanto, cortar dois lados do quadrado.
Portanto, dentre as opções, a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados do quadrado e
lados do polígono é 816.