Polinômios

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Polinômios

  1. 1. Polinômios<br />Soma de monômios<br />
  2. 2. Polinômios<br /> Não são polinômios: <br />Expressões com expoente fracionário e expoente negativo.<br />Polinômio identicamente nulo:<br />Se todos os coeficientes forem iguais a zero<br />Grau de um polinômio:<br />O grau de um polinômio não nulo é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não-nulos.<br />
  3. 3. Polinômios<br />Valor numérico<br />Sejam um polinômio p(x) e um número complexo α. Substituindo x pelo número α, teremos o valor numérico do polinômio para x = α.<br />Raiz de um polinômio<br />Se, ao substituirmos x por α, o valor numérico de um polinômio for p(α) = 0, dizemos que α é a raiz do polinômio p(x)<br />
  4. 4. Igualdade de polinômios<br />Dados os polinômios p(x) e q(x) na variável dizemos que eles são indenticos se, e somente se, todos os coeficientes de p(x) são, segundo suas potências, ordenadamente iguais aos de q(x).<br />
  5. 5. Operações com polinômios<br />Adição e Subtração<br /> Eliminar os parênteses;<br /> Reduzir os termos semelhantes ;<br /> Ordenar de acordo com a potência ;<br />Multiplicação<br /> Aplicar a propriedade distributiva;<br /> Reduzir os termos semelhantes.<br />Adição (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) = –2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 =<br />–2x² + 7x – 3x³ – 3 =<br />–3x³ – 2x² + 7x – 3<br />Subtração (–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) =–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 =–2x² + 3x – 1 + 3x³ =<br />3x³ – 2x² + 3x – 1<br />Multiplicação (x – 1) * (x2 + 2x - 6) x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1) =(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6) =x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 = <br />x³ + x² – 8x + 6<br />
  6. 6. Divisão – Método da chave<br />Sendo: <br />Verificar se A(x) e B(x) estão escritos segundo as potências decrescentes de x e se o A(x) possui termos com coeficientes iguais a 0.<br />Dividir o 1º termo de A(x) pelo 1º termo de B(x), obtendo o 1º termo de Q(x).<br />Multiplicar o quociente obtido por todos os termo de B(x) e colocar os resultados encontrados, com o sinal trocado, abaixo dos termos semelhantes de A(x) e efetuar a adição.<br />Repetir o passo anterior até que o grau de R(x) seja menor que o grau de B(x).<br />
  7. 7.
  8. 8. (Ou Teorema do resto): O resto da divisão de um polinômio por um binômio, é igual ao valor numérico da raiz do binômio no polinômio.<br />r(x) = p(a)<br />Resto<br />Divisão por polinômios do tipo x -a<br />
  9. 9. Divisão por polinômios do tipo x - a<br />⇒ x – b = 0 ⇒ x = b<br /> Logo, b é a raiz do binômio (divisor).<br />Pelo teorema fundamental da divisão, temos:<br />P(x) = (x – b). Q(x) + R(x)<br /> Substituindo b (raiz do binômio)em P(x), temos:<br />P(b) = (b – b). Q(b) + R<br />P(b) = (x – b). Q(b) + R<br />P(b) = R ⇒ R= P(b)<br /> Assim:<br />
  10. 10. Um polinômio p(x) é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de p(x), isto é, p(a)= 0.<br />Teorema de D’Alembert<br />
  11. 11. Trabalha somente com os coeficientes de um polinômio p(x) e as raízes do divisor, um binômio do tipo x-a.<br />Quociente<br />Dispositivo de Briot-Ruffini<br />
  12. 12. Dispositivo de Briot-Ruffini<br />Para lembrar: O dispositivo de Briot-Ruffini nos ajuda a achar os coeficientes do quociente e do resto quando fazemos a divisão de um polinômio por x – a.<br />Os binômios são do seguinte tipo, por exemplo: <br />x – 2 onde a = 2<br />x + 3 = x – (– 3)onde a = – 3<br />x – 1/3onde a = 1/3 <br />Na primeira linha colocam-se os coeficientes dos termos do polinômio p(x), na ordem decrescente de seus expoentes. Se faltar algum termo, coloca-se um zero no lugar. <br />Na terceira linha, após o traço, aparecem os coeficientes de q(x). <br />O último número da terceira linha, situado dentro do retângulo, é o resto da divisão (R).<br />
  13. 13. Propriedades do dispositivo<br />O primeiro coeficiente do quociente é igual ao primeiro do dividendo. <br />O segundo coeficiente do quociente é igual ao primeiro do quociente multiplicado por a, mais o segundo do dividendo. <br />O resto é igual ao último coeficiente do quociente multiplicado por a, mais o último do dividendo. <br />O grau do quociente é sempre uma unidade inferior ao grau do dividendo.<br />
  14. 14. Dispositivo de Briot-Ruffini<br />Uma vez calculados os coeficientes do quociente, podemos escrevê-los diretamente (o grau do quociente é uma unidade inferior ao do dividendo): <br />6x2 + 7x – 3 <br />O resto é o último número obtido: – 7<br />Na divisão, quando multiplicamos um termo do quociente pelo divisor, o multiplicamos por x e por– a, mas depois mudamos seu sinal para subtraí-lo do dividendo. Por este motivo, dizemos que se multiplica por a, no Dispositivo de Briot-Ruffini. <br />Resultado:<br />Para lembrar:<br />

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