Exercícios resolvidos de polinômios, produtos notáveis

23.772 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
1 comentário
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Bom dia André. Não me parece que o método Distributivo da Multiplicação seja adequado neste exemplo pois oferece uma solução incorrecta. Ou serei eu que não estou vendo tudo? No entanto até confirmei com o WolphramAlpha.
       Responder 
    Tem certeza que deseja  Sim  Não
    Insira sua mensagem aqui
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
23.772
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
54
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
254
Comentários
1
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Exercícios resolvidos de polinômios, produtos notáveis

  1. 1. Exercícios Resolvidos de Polinômios, Equações Algébricas e Produtos Notáveis Identificando as Partes de uma Equação Algébrica Vamos analisar a equação algébrica abaixo: Ela possui dois membros. O primeiro membro é o que está à esquerda do sinal de igualdade, ou seja, é 2x + 3. Este membro possui dois termos. São eles 2x e 3. Estes termos são as duas parcelas de uma soma. O primeiro termo do primeiro membro, 2x, é formado pelo coeficiente numérico igual a 2 e pela parte literal x, aincógnita da equação. O segundo termo não possui a parte literal, é formado apenas pelo número real 3. Incógnita ou variável é a grandeza a ser determinada na solução de uma equação. Na página sobre termos algébricos você encontra maiores informações sobre coeficiente numérico e parte literal, dentre outras. O segundo membro está à direita do sinal de igualdade, possui apenas um termo sem a parte literal. É o número real 5. O que Vem a Ser "Solucionar uma Equação Algébrica"? Solucionar uma equação algébrica é identificar o valor numérico da incógnita, que ao ser substituída na equação torna-a verdadeira. Na equação do nosso exemplo, 1 é o valor que substituindo a incógnita x torna a equação verdadeira, logo x é a sua solução. Para solucionarmos uma equação, executamos uma série de operações em ambos os seus membros, para sempre mantermos a condição de igualdade. São estas as operações que tratamos nesta página. Principais Operações Utilizadas na Resolução de Equações Algébricas Nosso objetivo é isolarmos no primeiro membro a incógnita, obtendo assim no segundo membro a solução da equação.
  2. 2. Voltando ao nosso exemplo, em busca de nosso objetivo de deixar a incógnita isolada, vamos eliminar o segundo termo do primeiro membro. Como conseguí-lo? Adicionar um Determinado Valor a Ambos os Membros da Equação Como queremos eliminar o termo 3, que está sendo somado ao termo 2x, vamos subtrair 3 de ambos os membros: Como 3 - 3 = 0, eliminamos assim o termo 3. E se o mesmo estivesse sendo subtraído de 2x, em vez de estar sendo somado?. Subtrair um Determinado Valor de Ambos os Membros da Equação Neste caso a nossa equação exemplo seria: Como 3, está sendo subtraído de 2x, precisamos somar 3 a ambos os membros: Apenas para ressaltar, a operação precisa ser realizada em ambos os termos da equação para que a condição de igualdade seja mantida. Multiplicar Ambos os Membros da Equação por um Determinado Valor Vejamos a equação abaixo: Como objetivamos isolar no primeiro membro a incógnita x, uma forma de fazê- lo é multiplicarmos ambos os membros por 2: Ao realizarmos tal operação podemos simplificar o denominador da fração com o multiplicador 2, realizando assim a eliminação desejada: Escolhemos como multiplicador exatamente o denominador da fração, para podermos realizar a simplificação, eliminando o denominador e isolando a variável x.
  3. 3. Dividir Ambos os Membros da Equação por um Determinado Valor Agora vejamos a equação a seguir: O objetivo continua o mesmo, isolarmos a variável x. Sabemos que dividindo qualquer número, diferente de zero, por ele mesmo obteremos a unidade com resultado. Então vamos dividir ambos os membros por 2: Realizando a simplificação temos: Realizar Multiplicação Distributiva A propriedade distributiva da multiplicação é uma ferramenta muito útil na busca do isolamento da incógnita. Vamos estudar a equação abaixo: Qualquer uma das quatro operações estudadas acima, não nos auxilia na resolução desta equação, no entanto podemos distribuir o 2 que está em evidência, como abaixo: Agora podemos utilizar algumas das operações citadas anteriores para concluirmos a resolução. Primeiro vamos subtrair x de ambos os membros da equação: Finalmente subtraímos 2 dos dois lados: Fatoração Em algumas situações ao invés da distribuição, precisamos fazer uma fatoração, colocando um termo comum em evidência. Normalmente temos tal necessidade quando há mais de uma variável na equação. Vejamos neste outro exemplo como isolar a variável x na seguinte equação: Note que x é um fator comum aos dois termos do primeiro membro. Colocá-lo em evidência significa que vamos reescrever tal equação na forma de um produto, onde x será um dos fatores e o outro fator será formado pela soma dos dois termos divididos por x. Como x dividido por x é igual a 1 e ax dividido por x é igual a a, temos:
  4. 4. Agora para encontrarmos o valor de x, basta dividirmos os dois termos da equação por (1 + a). Vejamos outros exemplos de fatoração: Observe que tanto no caso da propriedade distributiva, quanto no caso da fatoração, não foi preciso realizarmos a mesma operação em ambos os membros da equação, agimos só de um lado, pois tais operações não "desequilibram" a equação. Permutar um Membro com o Outro A qualquer momento podemos mudar os membros de lado. Se, por exemplo, após a realização de algumas operações chegarmos a algo como: Podemos trocar os membros de lado, o que não causará desequilíbrio na equação: Isolando Variáveis em Fórmulas de Matemática Financeira Agora para exemplificar a utilização de tais operações em uma situação mais concreta, vamos brincar um pouco de isolar variáveis de algumas fórmulas da matemática financeira envolvendo juros simples. Na verdade vamos brincar com duas fórmulas, a do montante e a dos juros simples. Vamos unir as duas fórmulas em uma única equação e depois isolarmos cada uma das suas variáveis. Como sabemos, a fórmula do montante em juros simples é: Já a fórmula dos juros simples é: Se você não se lembra a que se referem cada uma das variáveis envolvidas nas fórmulas acima, você pode acessar a página que trata sobre juros simples, ou então continuar a leitura desta página, pois iremos isolar cada uma das incógnitas e você verá do que elas se tratam. Na referida página, porém, você encontra maiores informações. Na fórmula do montante queremos isolar a variável C, que se refere ao capital aplicado ou valor principal. Como fazê-lo?
  5. 5. Isolando a Variável "C" na Fórmula do Montante Neste caso precisamos eliminar a variável j, no segundo membro, somada a C. Para isto iremos subtrair a mesma incógnita j de ambos os membros: Como j - j = 0, então: Agora é só trocarmos os membros de lado: Agora vamos substituir C por M - j na fórmula do juro simples, fundido as duas fórmulas em uma só: Então, após a substituição de C: Podemos escrever esta mesma fórmula omitindo os operadores de multiplicação, que ficará como: Está é a fórmula que usaremos na brincadeira. Isolando a Variável "j" Esta variável representa os juros da aplicação. Note que na referida fórmula ela ocorre duas vezes. Este é o caso mais complexo que iremos tratar aqui. Nossa primeira providência será aplicarmos a propriedade distributiva, multiplicando M e j, que estão entre parênteses, por in: Tomamos esta medida, pois agora podemos somar jin nos dois lados, o que não resolveria inicialmente, de sorte a eliminarmos jin no segundo membro e de só haver termos com j no primeiro membro: Logo: Vamos agora colocar j em evidência, para que possamos eliminar o outro fator, isolando j. Como j dividido por j é igual a 1 e jin dividido por j é igual a in, temos: Finalmente podemos isolar j dividindo ambos os membros por 1 + in:
  6. 6. Simplificando 1 + in do numerador, com 1 + in do denominador no primeiro membro, temos: Isolando a Variável "M" Isolar o Montante é bem mais simples. Como M - j está sendo multiplicado por in, que impede tanto M, quanto j de serem manipulados separadamente, vamos dividir os dois lados da equação por in, o que irá extinguir tal restrição, já que in será eliminado do segundo membro: Simplificando temos: Agora não tem mais segredo, para isolarmos M simplesmente somamos j nos dois lados: Portanto: Podemos inverter os membros da equação: Como j ocorre duas vezes, vamos colocá-lo em evidência dividindo por j, tanto j/in que dá 1/in, quanto j que dá 1: Isolando a Variável "M" de Outra Forma Da maneira que fizemos anteriormente é mais simples, mas também podemos proceder como se fossemos isolar j, realizando as operações até este ponto: Vamos inverter os membros da equação para deixar M no primeiro membro: É fácil percebemos que devemos dividir os dois membros por in para isolarmos M: Que simplificando resulta em:
  7. 7. Como in ocorre no numerador e no denominador, podemos realizar uma simplificação se separarmos as duas parcelas da adição: Simplificando fica: Então colocamos j em evidência exatamente como fizemos anteriormente pela outra forma de isolarmos M: Isolando a Variável "i" Se você conseguiu assimilar a maior parte do que foi explicado até aqui, é muito provável que você já saiba como isolar a taxa de juros. Inicialmente vamos inverter os membros de lado: Como no primeiro membro temos uma multiplicação com três fatores, basta dividirmos os dois lados por todos os fatores que pretendemos eliminar no primeiro membro, ou seja, temos que dividir os dois membros por (M - j)n: Que após a simplificação fica igual a: Isolando a Variável "n" O período de tempo da aplicação é isolado de forma análoga ao isolamento da taxa de juros. Iniciamos invertendo os membros da equação: Dividimos os dois membros por (M - j)i para eliminarmos tais fatores do primeiro membro: Simplificando finalmente temos: Produtos Notáveis Em muitas expressões matemáticas é comum chegarmos a algo como (x + 3)2 e então precisarmos calcular o produto (x + 3) . (x + 3).
  8. 8. O desenvolvimento deste produto seria: Realizamos tal produto multiplicando cada um dos termos do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Produtos como este são denominados produtos notáveis, pois podemos obter o resultado final sem precisarmos desenvolver o cálculo todo como realizado acima. Assim como no caso das tabuadas, que as memorizamos a fim de ganharmos agilidade na realização dos cálculos, no caso dos produtos notáveis também seremos beneficiados se os soubermos de cor. Quadrado da Soma de Dois Termos O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Quadrado da Diferença de Dois Termos O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo:
  9. 9. Exemplos Cubo da Soma de Dois Termos O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo: Exemplos Cubo da Diferença de Dois Termos O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo: Exemplos Quadrado da Soma de Três Termos O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o duas vezes o
  10. 10. produto do primeiro pelo terceiro termo, mais o duas vezes o produto do segundo pelo terceiro termo: Exemplos página sobre termos algébricos explicamos o que são monômios semelhantes e em seguida tratamos a sua soma e subtração. A adição ou subtração algébrica de monômios é denominada polinômio. Vejamos alguns exemplos de polinômios: No primeiro exemplo temos um polinômio de apenas um monômio. Os demais possuem vários monômios, estes monômios são denominados termos do polinômio. O segundo exemplo é um polinômio de dois termos: 3x3y e 2xy2. Grau de um Polinômio O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau. O polinômio -5x4 + 14x5y2 - 7x3y2 é do grau 7, pois o seu termo de maior grau é o segundo, que é do grau 7. O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5, pois ambos os termos do polinômio são deste grau. Grau de um Polinômio em Relação a uma Certa Incógnita Em relação à variável x o polinômio -5x4 + 14x5y2 - 7x3y2 é do grau 5, pois o termo de maior grau nesta variável é do grau 5, que é o segundo termo. Analisando o mesmo polinômio em relação à variável y, ele é do grau 2, já que tanto no segundo, quanto no terceiro termo o grau nesta variável é dois. O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5 na variável a e do grau 3 em relação à variável b.
  11. 11. Redução de Termos Semelhantes Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes. No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois. Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são denominados trinômios. Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou subtração de termos semelhantes: Multiplicação de Polinômios Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o caso da multiplicação de um polinômio por um polinômio. Multiplicação de um Polinômio por um Monômio No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos termos do polinômio. Vejamos a multiplicação abaixo: Repare que multiplicamos 7xy2 por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Caso você ainda tenha dúvidas sobre como realizar a multiplicação de monômios, faça um revisão antes de prosseguir neste tema. Veja mais alguns exemplos: Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do polinômio resultante. Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá- la mais facilmente:
  12. 12. Na primeira linha temos os dois polinômios a serem multiplicados. Os dois primeiros produtos na segunda linha foram obtidos da multiplicação de 3a2b por cada um dos dois termos do segundo polinômio, 2a e 7a2b3. Os dois últimos produtos na segunda linha foram obtidos multiplicando-se agora o segundo termo do primeiro polinômio, também por cada um dos dois termos do segundo. A terceira linha que é o resultado final, já que não há termos semelhantes a reduzir, é o resultado após a multiplicação dos monômios entre parênteses na linha anterior. Analise estes outros exemplos para uma melhor assimilação: Para multiplicar mais de dois polinômios, comece multiplicando os dois primeiros, depois multiplique o polinômio obtido pelo terceiro e assim por diante até multiplicar por todos. Para a multiplicar , por exemplo, primeiro multiplique , que como vimos acima é igual a , então multiplique por . Divisão de Polinômios Como no caso da multiplicação, temos tanto a divisão de um polinômio por um monômio, quanto a divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos tratar cada um dos casos individualmente. Divisão de um Polinômio por um Monômio Este é o caso mais simples, pois podemos fazê-lo dividindo cada um dos monômios que formam o polinômio, pelo monômio em questão. Vamos analisar a divisão do polinômio abaixo: Note que desmembramos o polinômio em duas partes, dividindo tanto 14x3y2 por 7xy2, quanto 7xy3. Em caso de dúvida consulte a divisão de monômios, que foi explicada em detalhes na página sobre este tema. Observe mais estes exemplos:
  13. 13. Divisão de um Polinômio por um Polinômio Para realizarmos a divisão de polinômios é preciso que eles estejam reduzidos e ordenados. O conceito da redução de termos semelhantes foi visto acima, quanto à ordenação de polinômios, dizemos que um polinômio está ordenado em relação à determinada variável, quando o grau de todos os monômios que os compõe, em relação a esta variável, estão ordenados de forma crescente ou decrescente. O polinômio -5x4 + 6x5 - 7x3, não está ordenado em relação a variável x, já o polinômio 6x5 - 5x4 - 7x3 está ordenado de forma decrescente em relação a esta variável. Observe que os expoentes desta incógnita decrescem de 5 a 3. Para explicar o procedimento da divisão de polinômios pelo método das chaves, vamos dividir 8a2 - 2ab -15b2 por2a - 3b. A primeira coisa a verificar é se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. Se for menor o quociente será zero e o resto será o próprio dividendo. Repare que ambos os polinômios estão ordenados de forma decrescente em relação à incógnita a: A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais. Vamos começar dividindo o monômio8a2 pelo monômio 2a e colocar o quociente 4a abaixo da chave: Agora vamos multiplicar por -4a, o valor oposto do quociente, cada um dos monômios do divisor 2a - 3b e colocar o resultado embaixo do dividendo: Executamos então a soma dos monômios: Continuamos a divisão baixando o terceiro monômio do dividendo: Agora dividimos 10ab por 2a, que vai dar 5b e também o colocamos abaixo da chave: Multiplicamos por -5b, o valor oposto de 5b, cada um dos monômios do divisor 2a - 3b e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial: Por fim executamos a soma que resultará em zero, indicando uma divisão exata: Como pudemos ver o procedimento da divisão de polinômios e bastante simples e semelhante à divisão de números naturais. Para fechar o tema vamos a um outro exemplo, só que desta vez veremos uma divisão com um resto diferente de zero. Vamos dividir 2x4 - 7x3 + 3x2 por x - 2: Dividimos o monômio 2x4 pelo monômio x, que resulta em 2x3 e o colocamos abaixo da chave:
  14. 14. Agora vamos multiplicar por -2x3, o valor oposto do quociente, cada um dos monômios do divisor x - 2 e colocar o resultado embaixo do dividendo: Executamos a soma dos monômios: Continuamos a divisão baixando o último monômio do dividendo: Dividimos então -3x3 por x, que vai dar -3x2 e o colocamos também abaixo da chave: Então Multiplicamos por 3x2, que é o valor oposto de -3x2, cada um dos monômios do divisor x - 2 e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial: Como anteriormente, efetuamos a soma dos monômios: Note que o resto -3x2 é um polinômio de grau 2, que não é de grau inferior ao grau do divisor, que é um polinômio de grau 1, então devemos continuar a divisão. Dividimos -3x2 por x e colocamos o resultado -3x abaixo da chave: Multiplicamos por 3x, que é o simétrico de -3x, cada um dos monômios do divisor x - 2 e botamos o resultado embaixo do segundo resto parcial: Somamos então os monômios: Como tanto -6x, quanto x - 2 são de grau 1, devemos continuar a divisão: Dividimos então -6x por x, que vai dar -6 e também o inserimos abaixo da chave: Multiplicamos por 6, que é o simétrico de -6, novamente cada um dos monômios do divisor x - 2 e botamos o resultado embaixo do terceiro resto parcial: Somamos mais uma vez os monômios: Agora o grau do resto -12 é igual a 0 e, portanto, inferior ao grau do divisor que é 1, então terminamos a divisão por aqui. Se você realizar a multiplicação do quociente 2x3 - 3x2 - 3x - 6 por x - 2 irá obter 2x4 - 7x3 + 3x2 + 12 que somado a -12 resultará em 2x4 - 7x3 + 3x2, exatamente o dividendo original. Para verificar se você compreendeu bem o conteúdo explicado, é desejável que você realize a multiplicação e a soma acima, para ver se consegue chegar ao mesmo resultado final. Também seria muito bom se você tentasse resolver novamente todos os exemplos resolvidos nesta página.
  15. 15. Polinômios Polinômios - Exercícios resolvidos 01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 - 7x2 + 3x - 4 para x = 2. RESOLUÇÃO: P(2) = -18 02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito. RESOLUÇÃO: a = 12 e b = 8 03. (UESB) Se P(x) = xn - xn-1 + xn-2 - ... + x2 - x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a: a) 10 b) 12s c) 14 d) 16 e) 18 RESPOSTA: E 04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2 P(x - 1) ≡ x3 + 2x + 2, então P(1) é igual a:
  16. 16. a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 RESPOSTA: E 05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x4 - 10x3 + 24x2 + 10x - 24 por x2 - 6x + 5, são: a) -1 e 5 b) -1 e -5 c) 1 e -5 d) 1 e 5 e) 0 e 1 RESPOSTA: A 06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é igual a: a) -3 b) -2 c) -1 d) 1
  17. 17. e) 2 RESPOSTA: E 07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se: a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo; b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16; c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84; d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2; e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo; RESPOSTA: E 08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 - 4x3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é: a) -5 b) -4 c) 5 d) 6 e) RESPOSTA: E 09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4 - 12x3 + 47x2 +
  18. 18. mx + n seja divisível por x2 - 7x + 6. Então m + n é igual a: a) 72 b) 0 c) -36 d) 36 e) 58 RESPOSTA: C 10. Para que o polinômio 2x4 - x3 + mx2 - nx + 2 seja divisível por x2 - x - 2, devemos ter: a) m = 1 e n = 6 b) m = -6 e n = -1 c) m = 6 e n = 1 d) m = -6 e n = 1 e) m = 6 e n = -1 RESPOSTA: D
  19. 19. Equações Literais do Segundo Grau 1. DEFINIÇÃO: ⇒ Se uma equação de 2º grau na variável x apresentar um ou mais coeficientes indicados por letras, a equação é chamada equação literal. Vejamos o exemplo. Exemplo: Resolver a equação 054 22  mmxx , sendo 1x . Solução: ⇒ Temos:         2 5 4 1 mc mb a        mmSLogo m mmm x m mmm x mm x mmmmm x mmm x                         ,5: 2 2 2 64 5 2 10 2 64 2 64 2 364 2 20164 1.2 5.1.444 2 1 222 22 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
  20. 20. 1. (FRANCO) Resolva as equações literais: a) 0..2 22  axax Resp:  aS  b) 082 22  mmxx Resp:  mmS 2,4  c) 0107 22  mmxx Resp:  mmS 2,5  d) 22 32 aaxx  Resp:        aaS 2 3 , e) 022  bxax Resp:        a b S 2 ,0 f) axxa 81222  Resp:        aa S 2 , 6 g) 02 222  nmmxx Resp:  nmnmS  , h)   02  abxbax Resp:  abS , T E S T E S
  21. 21. 1. (FRANCO) O conjunto solução em * R da equação 1 12  x x é: a)  4,3 b)  4,3 c)  4,3  d)  4,3  2. (FRANCO) A equação 3 1 2 3   x x , em R, é verdadeira, se 2 x for igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 3. (FRANCO) Se 0 44 1 2  xx , então x 2 vale: a) 1 b) 2 1 c) 2 d) 4 1 4. (FRANCO) Resolva a equação 6 25 2 12 3 2      xx x x : a)  3,1 b)  4,1 c)  4,1  d)  3,1  5. (FRANCO) O conjunto solução da equação 2 3 1 11    xx é: a)  2 b)  6,1 c)  3,2 d)       3 1 ,2
  22. 22. 6. (FRANCO) Se x x x x    1 1 então : a) 2x b) 2 1 x c) 3x d) 2 1 x 7. (FRANCO) Quais valores de x satisfazem à equação:   1 1 1 1 2 2     xx a)  2,1 b)  2,1 c)  2 d)  2,2  8. (FRANCO) A equação 1 1 1 1 2 2     xx a) não tem raiz real. b) tem duas raízes reais. c) tem apenas uma raiz real. d) admite 10 como raiz. 9. (FRANCO) A equação 5 5 5 5 5     xx x tem a) uma única raiz.
  23. 23. b) infinitas raízes c) exatamente duas raízes. d) conjunto solução vazio. 10. (FRANCO) O conjunto solução da equação 032 222  nmnxxm é: a)  nn ,3 b)       m n m n 3 , c)        m n m n , d)        m n m n 3 , G A B A R I T O 1. B 4. B 7. C 10. D 2. D 5. D 8. C 3. A 6. D 9. D
  24. 24. EQUAÇÕES LITERAIS DO 1º GRAU CONCEITO Dizemos que uma equação é literal quando apresenta pelo menos uma letra que não seja incógnita. Exemplos 1) ax + b = 0 2) 2x – a = 5b 3) 6x + 5ª = a -3 4) 7x – a = m – x Nessas equações, alem da incógnita x, existem outras letras ( a,b,m) que são chamadas de parâmetros. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LITERAL As equações literais com uma incógnita são resolvidas do mesmo modo que as outras equações do 1º grau estudadas anteriormente Exemplo 1 Resolver a equação: 2a + 5x = 3b – 2x
  25. 25. 5x + 2x = 3b – 2a 7x = 3b – 2a X = (3b-2a) / 7 Exemplo 2 Resolver a equação : cx – 5 = 3x + 4ª Cx - 3x = 4a + 5 X(c-3)= 4a + 5 X = (4a + 5) / (c -3) EXERCÍCIOS 1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) a) 5x + m = 4m (R: x = 3m/5) b) 3x – a = 7 (R: x = (7 + a) / 3) c) 3ax + 4a = 6a (R: x = 2/3) d) 4x – a = -x + c (R: x= (c + a)/5) e) Mx = 3m + 2 + x f) 4a + 3x = 12a + x g) 4x – ax + 3 = 36 h) 5x – a = 2ax + 7 2) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) a) 5( x –a) = 2x + c) b) 3( 2a + x) = 9a c) x( a + 4) = 3( x-1) d) 3(x -2b) – 9a – 15b = 0 e) 3( ax – 4) = 2( x –a) – 5 f) a( x –a) –b( x-1) = b – a g) 2( 2a + 3x) – 3( 3a + x) = 4a
  26. 26. Exemplo 3 Resolver a equação : x /a + x / m = 5 Solução mmc = am (xm/am) + (xa / am) = (5am/am) xm + xa = 5am x(m + a) = 5am x = 5am/(m + a) Exercícios 1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) a) x/m + 3m = 4m b) 3x/ a – 4/a = 2 c) x/a = 4 -2/3a d) (4a – x) / 3 = (x – 4a) / 2 e) Ax + m/a = mx + 1 f) ( x – 8a)/ 2 = 3 (3a – 2x) g) (x + a) /b = ((x –b) /a) + 2 Exercícios complementares 1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) a) 3x + a = 9a b) 2x – m = 5m – x c) 2x + 3c = x + 5c d) 3ax – 8 = ax e) 3ax + 5a = 7a f) nx – 3 = 2n + 2 g) ax – bx = a² - b² h) 2( x + m ) = x – m i) a ( x -1) = c (1 – x) j) 2 ( 2x – a) = 2c/3
  27. 27. 2) Resolva as seguintes equações literais ( x é a incógnita): a) ( x + 1) / 2 = (c + x)/4 b) (x – n)/ 2 = (x + n)/3 c) (x – 4a)/2 = (4a – x)/3 d) x/2 – a/2 = x/3 + a EQUAÇÕES LITERAIS As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais. As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros. Exemplos: ax2+ bx + c = 0 incógnita: x parâmetro: a, b, c ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x parâmetro: a Equações literais incompletas A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas. Observe os exemplos:  Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável. Solução 3x2 - 12m2 = 0 3x2 = 12m2 x2 = 4m2 x= Logo, temos:  Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável. Solução my2 - 2aby = 0 y(my - 2ab)=0 Temos, portanto, duas soluções: y=0 ou my - 2ab = 0 my = 2ab y=
  28. 28. Assim: Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido: my2 - 2aby= 0 my2 = 2aby my = 2ab Desta maneira, obteríamos apenas a solução . O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y. Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo. Equações Literais Incompletas a) rx²-s=0 rx²=s x²=sr x=√s/r b) rx²-sx=0 rx²-sx=0 (rx²)/x=s rx=s x=s/r c) -mx²+5x=0 (-1) mx²-5x=0 x(mx-5)=0 x'=0 mx-5=0 mx=5 x=5/m d) rx²=0 x(rx)=0 x'=0 e) rx²+rx=0 x(rx+r)=0 x=0
  29. 29. rx+r=0 r(x+1)=0 Como r é diferente de 0, temos que: x+1=0 x=-1 S={-1, 0} f) 9x²-k+1=0 9x²=k-1 x²=(k-1)/9 x=√(k-1)/√9 x=√(k-1)/3 Produtos Notáveis Produtos notáveis Exemplos (a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2 +6x+9 (a-b)2 = a2 -2ab+b2 (x-3)2 = x2 -6x+9 (a+b)(a-b) = a2 -b2 (x+3)(x-3) = x2 -9 (x+a)(x+b) = x2 +(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2 +5x+6 (a+b)3 = a3 +3a2 b+3ab2 +b3 (x+2)3 = x3 +6x2 +12x+8 (a-b)3 = a3 -3a2 b+3ab2 -b3 (x-2)3 = x3 -6x2 +12x-8 (a+b)(a2 -ab+b2 ) = a3 +b3 (x+2)(x2 -2x+4) = x3 +8 (a-b)(a2 +ab+b2 ) = a3 -b3 (x-2)(x2 +2x+4) = x3 -8 1. Quadrado da soma de dois termos (a+b)² = a² + b² + 2ab Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4 2. Quadrado da diferença de dois termos
  30. 30. (a-b)² = a² + b² - 2ab Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5 3. Diferença de potências (ordem 2) a² - b² = (a+b)(a-b) Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5) 4. Cubo da soma de dois termos (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³ 5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada (a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)² Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)² 6. Cubo da diferença de dois termos (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³ 7. Identidade de Fibonacci (a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)² Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)² 8. Identidade de Platão (a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)² Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
  31. 31. 9. Identidade de Lagrange (4 termos) (a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)² Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)² 10. Identidade de Lagrange (6 termos) (a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)² = (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)² Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² =(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)² 11. Identidade de Cauchy (n=3) (a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b) Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7) 12. Identidade de Cauchy (n=5) (a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²) Exemplo: (1+2)5 -15 -25 =5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²) 13. Quadrado da soma de n termos sendo que i<j. Exemplos: (a+b)²=a²+b²+2(ab) (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
  32. 32. (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) 14. Cubo da soma de n termos sendo que i<j e i<j<k. 15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença (a+b)² - (a-b)² = 4ab Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9 16. Soma dos quadrados da soma e da diferença (a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²) Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²) 17. Soma de dois cubos a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4) 18. Soma de dois cubos na forma fatorada a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²) 19. Transformação do produto na diferença de quadrados ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]² Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²
  33. 33. 20. Diferença de potências (ordem 4) a4 -b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²) Exemplo: 54 -14 =(5-1)(5+1)(5²+1²) 21. Diferença de potências (ordem 6) a6 -b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²) Exemplo: 56 -16 =(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²) 22. Diferença de potências (ordem 8) a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4 +b4 ) Exemplo: 58 -18 =(5-1)(5+1)(5²+1²)(54 +14 ) 23. Produto de três diferenças (a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a) Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1) 24. Produto de três somas (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5 25. Soma de cubos das diferenças de três termos (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a) Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1) 26. Cubo da soma de três termos (a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
  34. 34. Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9 27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0 Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0 28. Soma de produtos de cubos com diferenças a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c) Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9) 29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois (a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4 +a² b²+b4 Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54 +5² 7²+74 30. Soma de quadrados de somas de dois termos (a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c² Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5² 31. Produto de quadrados de fatores especiais (a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4 -b4 )² Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74 -34 )² 32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1 (a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²) Exemplo: (7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)
  35. 35. 33. Identidade de interpolação Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos: Exercícios resolvidos: 1) Desenvolva: a) (3x+y)2 (3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2 b) ((1/2)+x2)2 ((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4 c) ((2x/3)+4y3)2 ((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6 d) (2x+3y)3 (2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3 e) (x4+(1/x2))3 (x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6) f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)
  36. 36. (2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2 2) Efetue as multiplicações: a) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6 b) (x+5)(x-4) (x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20 3) Simplifique as expressões: a) (x+y)2–x2-y2 (x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29 c) (2x-y)2-4x(x-y) (2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2

×