Diagrama de Venn, teoria dos conjuntos e exercícios

VAMOS APLICAR
(UNICAMP-2009) Três candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa
apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entrevistados que estão
dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candidato A, 70 votariam apenas em
B, e 100 votariam apenas no candidato C. Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110
disseram que não votariam em C, e 10 sócios estão em dúvida e podem votar tanto em A como em
C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer
candidato. Com base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não votariam em
A? Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?
b) Quantos sócios participaram da pesquisa? Suponha que a pesquisa represente fielmente as
intenções de voto de todos os sócios do clube. Escolhendo um sócio ao acaso, qual a probabilidade
de que ele vá participar da eleição, mas ainda não tenha se decidido por um único candidato?

VAMOS APLICAR
Para construir o diagrama de Venn desse exercício, devemos analisá-lo parte a parte. A primeira
informação é de que 150 pessoas não pretendem votar. Vamos representa-los com um círculo
alaranjado. As pessoas que já têm seus votos definidos serão colocadas no interior dos respectivos
círculos: 40 no círculo do candidato A, 70 no círculo do candidato B e 100 no círculo do candidato C.
As interseções entre dois candidatos devem ser feitas com cuidado. Como 190 pessoas disseram
que não votariam no candidato A, diminuímos de 190 as 70 pessoas que votarão no candidato B e as
100 pessoas que votarão no candidato C.
190 – 70 – 100 = 20

VAMOS APLICAR
Essas 20 pessoas são aquelas que votam em B ou em C. Portanto, na interseção de B com C,
colocamos o número 20.
Seguindo o mesmo raciocínio, encontramos 0 pessoas indecisas entre A e B.
Contudo, 10 sócios disseram que votariam em qualquer candidato entre A e C, mas não em B. Logo,
a interseção entre A e C deve ser preenchida com o número 20.
Por fim, 10 pessoas disseram que votariam em qualquer candidato. Então, o espaço central, que é a
interseção entre A, B e C, deve ser preenchido com o número 10.
Todo esse processo resultará no seguinte diagrama de Venn:

VAMOS APLICAR
a) O número de sócios em dúvida entre os candidatos B e C que não votariam em A é igual a 20 e o
número de pessoas que não votariam em B é a soma dos números fora do círculo vermelho (exceto
as pessoas que não pretendem votar).
40 + 10 + 100 = 150
b) Para encontrar o número de sócios que participaram da pesquisa, basta somar todos os números
que aparecem no diagrama de Venn:
40 + 0 + 70 + 10 + 10 + 20 + 100 + 150 = 400
Já a probabilidade de que o sócio que vai participar da eleição ainda não tenha escolhido um
candidato é dada pelo número de pessoas em qualquer interseção dividido pelo número total de
pessoas:
40
400
=
1
10
= 10%

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Um conjunto é uma reunião de elementos que compartilham as mesmas características.
Quando esses elementos são números, esse agrupamento passa a ser conhecido
como conjunto numérico.
Existem infinitos conjuntos numéricos, entretanto, alguns deles são notáveis por causa da
frequência com que aparecem nas soluções e nas demonstrações matemáticas e, principalmente,
pela história de como os números foram criados. São eles: naturais, inteiros, racionais,
irracionais, reais e complexos.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros e
positivos. Além deles, o zero também faz parte desse conjunto. Utilizando a
representação por chaves, os elementos do conjunto dos números naturais são:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Conjunto dos números inteiros
Esse conjunto é formado por todos os números inteiros, sejam eles positivos, negativos ou o número
nulo (o zero). Assim, usando a representação por chaves, o conjunto dos números inteiros possui os
seguintes elementos:
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
Conjunto dos números racionais
Esse conjunto é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração a/b, em
que a e b são números inteiros e b é sempre diferente de zero. Os elementos desse conjunto são:
Números inteiros
Decimais finitos

Dízimas periódicas
Números inteiros podem ser compreendidos como a divisão do próprio número inteiro por 1.
Quando o resultado da divisão entre dois números inteiros não é um decimal finito, é uma dízima
periódica.
Fração geratriz
Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos que se repetem infinitamente.
Quando o parte decimal é composta apenas pelo período, a dizima é classificada como simples. Já
quando além do período existir, na parte decimal, algarismos que não se repetem, a dízima será
composta.

CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ
Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos seguir os seguintes
passos:
1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de forma a escrever uma
equação do 1º grau.
2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. Para descobrir qual
será o múltiplo, devemos identificar quantos casas decimais devemos "andar" para que o
período fique antes da vírgula.
3º passo: Diminuir a equação encontrada da equação inicial.
4º passo: Isolar a incógnita.

Exemplos
1) Encontre a fração geratriz do número 0,8888...

Exemplos
2) Transforme o número decimal 0,454545... em fração.

Quando a dízima periódica for composta, além dos passos indicados para a simples, devemos
também multiplicar a primeira equação por um número múltiplo de 10, que a transforme em
uma dízima simples.
Acompanhe o exemplo abaixo:
Qual a fração geratriz de 2,3616161...?

Quando a dízima periódica for composta, além dos passos indicados para a simples, devemos
também multiplicar a primeira equação por um número múltiplo de 10, que a transforme em
uma dízima simples.
Acompanhe o exemplo abaixo:
Qual a fração geratriz de 2,3616161...?
Neste exemplo, a dízima periódica é composta, pois o algarismo 3, que aparece depois da vírgula, não se
repete.
Escrevendo a equação inicial, temos:
𝑋 = 2,3616161 …
Como a dízima é composta, devemos primeiro multiplicar essa equação por 10, pois com isso,
passamos o 3 para a frente da vírgula (algarismo que não se repete).

10𝑋 = 23,616161 …
Agora vamos escrever a outra equação multiplicando ambos os lados dessa equação por 100, pois
assim, conseguimos passar o período para a frente da vírgula.
1000𝑋 = 2361,616161 …
Em seguida, faremos a subtração dessas duas equações e isolaremos o x para encontrar a fração
geratriz.

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Esse conjunto é formado por todos os números que não são racionais, ou seja, por todos os
números que não podem ser escritos como razão entre dois números inteiros.
Os elementos que pertencem a esse conjunto são os decimais infinitos e não periódicos. Alguns
deles podem ser representados de outra maneira, como por exemplo π, √2, √3 etc.
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalização de denominadores é a técnica utilizada quando uma fração tem um número irracional no
denominador e se deseja encontrar uma segunda fração equivalente à primeira fração, mas que não tenha um
número irracional em seu denominador.

RACIONALIZAÇÃO QUANDO HÁ UMA RAIZ QUADRADA NO DENOMINADOR
Exemplo 1:
1
3
Para racionalizar esse denominador, vamos encontrar a fração equivalente a essa, mas que não tenha um
denominador irracional. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número —
nesse caso, será exatamente o denominador da fração, ou seja, √3.
Sabemos que 1 · √3 = √3. Já no denominador, temos que √3 ·√3 = √9 = 3. Com isso, chegamos ao seguinte:
1
3
𝑥
3
3
=
3
9
=
3
3

O SEGUNDO CASO É QUANDO EXISTE UMA ADIÇÃO OU UMA DIFERENÇA ENTRE UMA RAIZ NÃO EXATA
"Exemplo 2:
3
2 − 1
Quando há no denominador uma diferença ou uma adição de termos, sendo um deles a raiz não exata,
multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Chamamos de conjugado de
√2 – 1 o inverso do segundo número, isto é, √2 + 1.

O SEGUNDO CASO É QUANDO EXISTE UMA ADIÇÃO OU UMA DIFERENÇA ENTRE UMA RAIZ NÃO EXATA
"Exemplo 2:
3
2 − 1
Quando há no denominador uma diferença ou uma adição de termos, sendo um deles a raiz não exata,
multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Chamamos de conjugado de
√2 – 1 o inverso do segundo número, isto é, √2 + 1.
3
2 − 1
𝑥
2 + 1
2 + 1
=
3 2 + 3
4 − 1
=
3 2 + 3
2 − 1
= 3 2 + 3

RACIONALIZAÇÃO QUANDO HÁ UMA RAIZ DE ÍNDICE MAIOR QUE 2
"Exemplo 3:
4
3
2
Nesse caso, para eliminar o expoente do radical, vamos multiplicar pela raiz cúbica de 2² no numerador e no
denominador, para que apareça dentro do radical 2³ e, assim, seja possível cancelar a raiz cúbica.
4
3
2
𝑥
3
2²
3
2²

"RACIONALIZAÇÃO QUANDO HÁ UMA RAIZ DE ÍNDICE MAIOR QUE 2
Realizando a multiplicação, temos que ∶
4
3
2
𝑥
3
2²
3
2²

Realizando a multiplicação, temos que ∶
4
3
2²
3
2³
=
4
3
2²
2
= 2
3
4
4
3
2
𝑥
3
2²
3
2²

EXEMPLO 2:
2
5
2
5
3²

Diagrama de Venn, teoria dos conjuntos e exercícios

Diagrama de Venn, teoria dos conjuntos e exercícios

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Diagrama de Venn, teoria dos conjuntos e exercícios

Semelhante a Diagrama de Venn, teoria dos conjuntos e exercícios (20)

Mais de MarcosViniciusLemesL

Mais de MarcosViniciusLemesL (7)

Último

Último (20)

Diagrama de Venn, teoria dos conjuntos e exercícios