1) O documento discute processos estocásticos e séries temporais econômicas, definindo processos estocásticos e abordando processos estacionários e não estacionários. 2) Apresenta definições de autocorrelação e discute simulações de processos ruído branco e passeio aleatório no Stata. 3) Discutem testes de raiz unitária de Dickey-Fuller para verificar estacionariedade.

1. ANÁLISE DE SÉRIESANÁLISE DE SÉRIES
TEMPORAIS ECONÔMICASTEMPORAIS ECONÔMICAS
Prof. Henrique Dantas Neder – Universidade Federal
de Uberlândia

2. Processos EstocásticosProcessos Estocásticos
Definição: Seja T um conjunto arbitrário. UmDefinição: Seja T um conjunto arbitrário. Um
processo estocástico é uma famíliaprocesso estocástico é uma família
{ ( ), },Z Z t t T= ∈
tal que, para cada , ( )t T Z t∈ é uma variável
aleatória.
Um processo estocástico é uma família de
variáveis aleatórias.

3. O processo estocástico { ( ), }Z Z t t T= ∈
Está completamente especificado se conhecermos
as funções de distribuição
{ }
1 1
1 1
( ,...., ; ,...., )
( ) ,...., ( )
n n
n n
F z z t t
P Z t z Z t z
=
≤ ≤
n 1≥para todo

4. Processos estocásticosProcessos estocásticos
estacionáriosestacionários
{ ( ), }Z Z t t T= ∈Um processo estocástico é
estritamente estacionário se todas as funções de
distribuições permanecem as mesmas no decorrer
do tempo, ou seja,
1 1
1 1
( ,...., ; ,...., )
( ,...., ; ,...., )
n n
n n
F z z t t
F z z t t
τ τ+ + =
para quaisquer t1,...,tn,

5. Processo estocásticoProcesso estocástico
estacionárioestacionário
Todas as distribuições univariadas são invariantesTodas as distribuições univariadas são invariantes
no tempo:no tempo:
µ(t)=µ,V(t)=µ(t)=µ,V(t)=σσ22
parapara todotodo
Podemos também supor quePodemos também supor que µ=0 ou, de formaµ=0 ou, de forma
alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ}alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ}
ComoComo
.t T∈
1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ,0) ( )t t t t t t t tγ γ γ γ τ= + + = − =

6. Processo estocásticoProcesso estocástico
estacionárioestacionário
Logo, em um processo estritamenteLogo, em um processo estritamente
estacionário, é uma função de umestacionário, é uma função de um
único argumento, ou seja, o valor daúnico argumento, ou seja, o valor da
covariância depende apenas da defasagemcovariância depende apenas da defasagem
temporal.temporal.
1 2( , )t tγ

7. Processo estocásticoProcesso estocástico
fracamente estacionáriofracamente estacionário
Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo):Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo):
1) E{Z(t)}=1) E{Z(t)}=µ(t)=µ, constante, para todo tµ(t)=µ, constante, para todo t ЄЄ T;T;
2) E{Z2) E{Z22
(t)} < ∞; para todo t(t)} < ∞; para todo t ЄЄ T;T;
3) é uma função de3) é uma função de
tt11 –t–t22
1 2 1 2( , ) cov{ ( ), ( )}t t Z t Z tγ =

8. AutocorrelaçãoAutocorrelação
É o coeficiente de correlação entreÉ o coeficiente de correlação entre
observações defasadas no tempo:observações defasadas no tempo:
1
1 1 2
1
1 1
2 2
1 1 2
1
( )( )
( ) ( )
n
t t
t
n
t t
t
x x x x
r
x x x x
−
+
=
−
+
=
− −
=
− −
∑
∑

9. AutocorrelaçãoAutocorrelação
onde as médias amostrais são:onde as médias amostrais são:
1
1
1
( 1)
n
t
i
x x n
−
=
= −∑ 2
2
( 1)
n
t
i
x x n
=
= −∑e

10. AutocorrelaçãoAutocorrelação
Costuma-se simplificar a expressão anterior daCostuma-se simplificar a expressão anterior da
seguinte forma:seguinte forma:
1
1
1
1 1
2
1
( )( )
( 1) ( )
n
t t
t
n
t
t
x x x x
r
n x x n
−
+
=
−
=
− −
=
− −
∑
∑
Já que 1 2x x≈ e assumindo variância constante.

11. AutocorrelaçãoAutocorrelação
A expressão anterior pode ser generalizada para kA expressão anterior pode ser generalizada para k
períodos de tempo (defasagem):períodos de tempo (defasagem):
1
1
2
1
( )( )
( )
n k
t t k
t
k n
t
t
x x x x
r
x x
−
+
=
−
=
− −
=
−
∑
∑

12. Séries aleatóriasSéries aleatórias
Se xSe x11,x,x22,...,x,...,xnn são i.i.d (independentes esão i.i.d (independentes e
identicamente distribuídas) então oidenticamente distribuídas) então o
coeficiente de autocorrelação amostral rcoeficiente de autocorrelação amostral rkk éé
assintoticamente normalmente distribuídoassintoticamente normalmente distribuído
com média e variância dados por:com média e variância dados por:
k( ) 1/ e Var(r ) 1/kE r n n≈ ≈

13. Processo ruído branco - StataProcesso ruído branco - Stata
* simulação de um processo ruído branco e um passeio* simulação de um processo ruído branco e um passeio
aleatórioaleatório
drawnorm ruido, n(500) seed(500)drawnorm ruido, n(500) seed(500)
gene tempo = _ngene tempo = _n
tsset tempotsset tempo
twoway (tsline ruido)twoway (tsline ruido)
wntestq ruidowntestq ruido

14. -4-2024
ruido
0 100 200 300 400 500
tempo
Simulação de um processo ruído branco – todas asSimulação de um processo ruído branco – todas as
variáveis Xvariáveis Xtt tem distribuição normal com médiatem distribuição normal com média µ=0 eµ=0 e
σσ=1=1

15. Processo Passeio Aleatório -Processo Passeio Aleatório -
StataStata
set obs 500set obs 500
gen int t = _ngen int t = _n
gen sumz = sum(invnorm(uniform()))gen sumz = sum(invnorm(uniform()))
tset ttset t
twoway (tsline sumz)twoway (tsline sumz)
O passeio aleatório é não estacionário.O passeio aleatório é não estacionário.
A sua especificação econométrica é:A sua especificação econométrica é:
YYtt=Y=Yt-1t-1+a+att,, aatt~N(0,~N(0,σσ22
))

16. Simulação de um processo passeio aleatório (“randomSimulação de um processo passeio aleatório (“random
walk”)walk”)
-15-10-505
sumz
0 100 200 300 400 500
t

17. Processo Passeio Aleatório -Processo Passeio Aleatório -
StataStata
Ou um passeio aleatório com tendência:Ou um passeio aleatório com tendência:
YYtt==ββ00++YYt-1t-1+at,+at, aatt~N(0,~N(0,σσ22
))
SeSe ββ00, então em média,, então em média, YYtt aumenta.aumenta.
A melhor previsão da série para t+1 é YA melhor previsão da série para t+1 é Ytt++ββ00..
No modelo anterior, passeio aleatório semNo modelo anterior, passeio aleatório sem
tendência, a melhor previsão da sérietendência, a melhor previsão da série t+1 ét+1 é
YYtt..

18. Processo PasseioProcesso Passeio
AleatórioAleatório
O modelo de passeio aleatório é uma caso especial doO modelo de passeio aleatório é uma caso especial do
modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem:modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem:
YYtt==ββ11YYt-1t-1+a+att,, aatt~N(0,~N(0,σσ22
))
quandoquando ββ11=1, o modelo AR é não estacionário e sua=1, o modelo AR é não estacionário e sua
variância aumenta ao longo do tempo.variância aumenta ao longo do tempo.
Na equaçãoNa equação YYtt=Y=Yt-1t-1+a+att,, aatt~N(0,~N(0,σσ22
))
Var(YVar(Ytt) = Var(Y) = Var(Yt-1t-1)+Var(a)+Var(att))
Para que YPara que Ytt seja estacionário Var(Yseja estacionário Var(Ytt) = Var(Y) = Var(Yt-1t-1), mas para), mas para
isto Var(aisto Var(att) = 0) = 0

19. Processo PasseioProcesso Passeio
AleatórioAleatório
YY00=0 , Y=0 , Y11=a=a11, Y, Y22=a=a11+a+a22,Y,Ytt=a=a11+a+a22+...+a+...+att
Var(YVar(Ytt)=t.)=t.σσ22
:: a variância aumenta a medida que t aumenta.a variância aumenta a medida que t aumenta.
No caso de um modelo auto-regressivo de ordem pNo caso de um modelo auto-regressivo de ordem p
(AR(p)):(AR(p)):
YYtt==ββ11YYt-1t-1++ββ22YYt-2t-2+...++...+ββppYYt-pt-p+a+att,, aatt~N(0,~N(0,σσ22
))
Para ser estacionário todas as raízes do polinômioPara ser estacionário todas as raízes do polinômio
1-1-ββ11z-z-ββ11zz22
-...-...ββppzzpp
devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.

20. Testes de raiz unitária –Testes de raiz unitária –
Dickey-FullerDickey-Fuller
Consideremos o modelo AR(1):Consideremos o modelo AR(1):
ZZtt == θθ11ZZt-1t-1+a+att , a, att~N(0,~N(0,σσ22
))
ΔΔZZtt == θθ’’11ZZt-1t-1+a+att θθ’’11 ==θθ11-1-1
HH00 {{θθ’’11 = 0= 0
HHÁÁ {{θθ’’11 < 0< 0

21. Testes de raiz unitária –Testes de raiz unitária –
Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado
0 1 1 1 2 2
0 t
A t
...
H { 0 (Z tem uma tendencia estocastica)
H { 0 (Z estacionaria)
t t t t p t p tZ Z Z Z Z uβ δ γ γ γ
δ
δ
− − − −∆ = + + ∆ + ∆ + + ∆ +
=
< é
• O número de defasagens p pode ser obtido utilizando os
critérios AIC (Akaike) ou Schwarz que veremos adiante.
• A estatística ADF não tem distribuição normal, mesmo
para amostras grandes.

22. Testes de raiz unitária –Testes de raiz unitária –
Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado
useuse http://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dtahttp://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dta
tsset qtrtsset qtr
twoway (tsline investment)twoway (tsline investment)
dfuller investimentdfuller investiment
dfuller D.investmentdfuller D.investment
dfuller D.investment, lags(4)dfuller D.investment, lags(4)
fitstatfitstat
dfuller D.investment, lags(3)dfuller D.investment, lags(3)
fitstatfitstat
dfuller D.investment, lags(2)dfuller D.investment, lags(2)
fitstatfitstat

23. 2004006008001000
Investment
1960q1 1965q1 1970q1 1975q1 1980q1 1985q1
qtr
Evolução temporal da série investimento – antigaEvolução temporal da série investimento – antiga
Alemanha OcidentalAlemanha Ocidental

28. Testes de raiz unitária –Testes de raiz unitária –
Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado
Com a seguinte seqüência de comandos Stata,Com a seguinte seqüência de comandos Stata,
verifique a estacionariedade de um passeioverifique a estacionariedade de um passeio
aleatório:aleatório:
set obs 500set obs 500
gen int t = _ngen int t = _n
gen sumz = sum(invnorm(uniform()))gen sumz = sum(invnorm(uniform()))
tset ttset t
dfuller sumzdfuller sumz
dfuller D.sumzdfuller D.sumz
twoway (tsline D.sumz)twoway (tsline D.sumz)

30. -4-202
D.sumz
0 100 200 300 400 500
t
Evolução temporal da diferença de um passeio aleatórioEvolução temporal da diferença de um passeio aleatório

31. Existem alguns problemas adicionais com relação a testes de
raiz unitária:
1) Eles tem baixo poder para discriminar entre uma raiz unitária
e um processo próximo de raiz unitária.
2) Eles podem usar um conjunto inapropriado de regressores
determinísticos.
3) Para os testes deve ser considerada a possibilidade de
quebra estrutural.

32. Os testes ADF devem considerar o seguinte conjunto de
equações:
1 1
2
0 1 1
2
0 1 2 1
2
p
t t i t i t
i
p
t t i t i t
i
p
t t i t i t
i
y y y
y a y y
y a y a t y
γ β ε
γ β ε
γ β ε
− − +
=
− − +
=
− − +
=
∆ = + ∆ +
∆ = + + ∆ +
∆ = + + + ∆ +
∑
∑
∑

33. Operadores para sériesOperadores para séries
temporaistemporais
Operador translação para o passadoOperador translação para o passado
BZBZtt=Z=Zt-1t-1 BBmm
ZZtt=Z=Zt-mt-m
Operador diferençaOperador diferença
ΔΔZZtt=Z=Ztt-Z-Zt-1t-1=(1-B)Z=(1-B)Ztt ΔΔ= 1 – B= 1 – B
Operador somaOperador soma
SZSZtt==
2
1
0
-1
... (1 ...)
(1 ) S=
t j t t t
j
t
Z Z Z B B Z
B Z
∞
− −
=
= + + = + + +
= − ∴ ∆
∑

34. Modelos ARMA (Box-Jenkins)Modelos ARMA (Box-Jenkins)
 ARMA(p,q)ARMA(p,q)
1 1 1 1
2
1 2
2
1 2
... ...
( ) ( )
( ) 1 ...
( ) 1 ...
t t p t p t t p t p
t t
p
p
p
p
Z Z Z a a a
ou
B Z B Z
onde
B B B B
B B B B
φ φ θ θ
φ θ
φ φ φ φ
θ θ θ θ
− − − −= + + + − − −
=
= − − − −
= − − − −

35. Modelos ARMA (Box-Jenkins)Modelos ARMA (Box-Jenkins)
 Filtro linearFiltro linear
Filtro linear
at zt
Ψ(B)
Zt=μ+at+ψ1at-1+ ψ2at-2+...=μ+ ψ(B) at
Onde
ψ(B)=1+ψ1B+ ψ2B2
+...

36. Modelo ARMA(1,1)Modelo ARMA(1,1)
 ZZtt=0,8Z=0,8Zt-1t-1+a+att-0,3a-0,3at-1t-1
 Simulação no Stata:Simulação no Stata:
 drawnorm a, n(50) seed(500)drawnorm a, n(50) seed(500)
 gene tempo = _ngene tempo = _n
 tsset tempotsset tempo
 set matsize 800set matsize 800
 gene z = 0gene z = 0
 mkmat a z,matrix(Z)mkmat a z,matrix(Z)
 forvalues i = 2(1)50 {forvalues i = 2(1)50 {
 matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1]matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1]
 }}
 svmat Z, name(serie)svmat Z, name(serie)
 twoway (tsline serie2)twoway (tsline serie2)

37. Função de autocorrelaçãoFunção de autocorrelação
parcialparcial
Seja um modelo autorregressivo AR(k):Seja um modelo autorregressivo AR(k):
1 1 2 2
1 1 2 2
...
... , j = 1,...,k
t k t k t kk t k
j k j k j kk j k
Z Z Z Zφ φ φ
ρ φ ρ φ ρ φ ρ
− − −
− − −
= + + +
= + + +
Temos assim as equações de Yule-Walker:

38. Equações de Yule-WalkerEquações de Yule-Walker
1 2 1
1 1
1 2 2
2 2
1 2 3
1 ...
1 ...
.
......
.
... 1
k
k
k
k
kkk
k k k
ρ ρ ρ
φ ρ
ρ ρ ρ
φ ρ
ρφ
ρ ρ ρ
−
−
− − −
 
    ÷
 ÷  ÷ ÷
 ÷  ÷ ÷ =
 ÷  ÷ ÷
 ÷  ÷ ÷  ÷ ÷
   ÷
 

39. Função de autocorrelaçãoFunção de autocorrelação
parcialparcial
Resolvendo para k =1,2,3...Resolvendo para k =1,2,3...
11 1
1 1
1 21
2
2 1 31 2 2 1
22 332
1 21 1
1 11
2 1
*
kk
1
11
11 1
11
1
e em geral,
k
k
φ ρ
ρ ρ
ρ ρρ
ρ ρ ρρ ρ ρ ρ
φ φ
ρ ρρ ρ
ρ ρρ
ρ ρ
φ
=
−
= = =
−
Ρ
=
Ρ
Onde Pk é a matriz de autocorrelações e Pk
*
é a matriz Pk com a última
coluna substituída pelo vetor de autocorrelações (ver Morettin, 2004).

40. Modelos ARMAModelos ARMA
1.1. Um processo AR(p) tem fac que decai deUm processo AR(p) tem fac que decai de
acordo com exponenciais e/ou senoidesacordo com exponenciais e/ou senoides
amortecidas, infinita em extensão;amortecidas, infinita em extensão;
2.2. Um processo MA(q) tem fac finita, com umUm processo MA(q) tem fac finita, com um
corte após o lag q;corte após o lag q;
3.3. Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita emUm processo ARMA(p,q) tem fac infinita em
extensão, que decai de acordo comextensão, que decai de acordo com
exponenciais e/ou senoides amortecidas apósexponenciais e/ou senoides amortecidas após
o lag q-po lag q-p

41. Modelos ARMAModelos ARMA
1.1. Um processo AR(p) tem facpUm processo AR(p) tem facp ØØkkkk≠0, para≠0, para
k≤p e Øk≤p e Økkkk=0, para k >p;=0, para k >p;
2.2. Um processo MA(q) tem facp que seUm processo MA(q) tem facp que se
comporta de maneira similar à fac de umcomporta de maneira similar à fac de um
processo AR(p);processo AR(p);
3.3. Um processo ARMA(p,q) tem facp queUm processo ARMA(p,q) tem facp que
se comporta como a facp de umse comporta como a facp de um
processo MA puro (ver Morettin, 2004)processo MA puro (ver Morettin, 2004)

42. Modelos ARMAModelos ARMA
Vamos simular no Stata diversos processos ARMA eVamos simular no Stata diversos processos ARMA e
verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o arquivo do-verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o arquivo do-
file:file:
http://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAOhttp://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAO
%20ARMA.do%20ARMA.do

43. Modelos ARMAModelos ARMA-4-2024
serie2
0 50 100 150 200
tempo
Processo AR(1)
-2-10123
serie3
0 50 100 150 200
tempo
Processo MA(1)
-4-2024
serie4
0 50 100 150 200
tempo
Processo ARMA(1)

44. Correlograma processo AR(1)Correlograma processo AR(1)

45. Correlograma processo MA(1)Correlograma processo MA(1)

46. Correlograma processoCorrelograma processo
ARMA(1,1)ARMA(1,1)

47. Identificação de modelosIdentificação de modelos
ARMAARMA
ARIMA(1,0,0)ARIMA(1,0,0)
ρρkk decai exponencialmentedecai exponencialmente
SomenteSomente ØØ1111≠0≠0
ARIMA(0,0,1)ARIMA(0,0,1)
SomenteSomente ρρ11 ≠0≠0
ØØkkkk decai exponencialmentedecai exponencialmente
ARMA(2,0,0)ARMA(2,0,0)
ρρ kk – mistura de exponenciais ou senoides– mistura de exponenciais ou senoides
amortecidasamortecidas
ØØ1111≠0 e Ø≠0 e Ø2222≠0≠0
ARMA(0,0,2)ARMA(0,0,2)
ρρ11 ≠0 e≠0 e ρρ22 ≠0≠0
ØØkkkk – mistura de exponenciais ou senoides– mistura de exponenciais ou senoides
amortecidasamortecidas
ARMA(1,0,1)ARMA(1,0,1)
ρρ kk decai exponencialmente após o lag 1decai exponencialmente após o lag 1
ØØkkkk decaidecai exponencialmente após o lag 1exponencialmente após o lag 1

48. Outras alternativas deOutras alternativas de
identificação de modelosidentificação de modelos
ARMAARMA
 Critério de informação de Akaike:Critério de informação de Akaike:
2
,
ˆ( , ) ln 2( 2)k lAIC k l N k lσ= + + +
onde:
2
,
ˆk lσ é a estimativa de máxima verossimilhança da
variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l)
ajustado às N observações da série.

49. Outras alternativas deOutras alternativas de
identificação de modelosidentificação de modelos
ARMAARMA
 Critério de informação BayesianoCritério de informação Bayesiano
2
,
ln
ˆ( , ) ln ( )k l
N
BIC k l k l
N
σ= + +
onde:
2
,
ˆk lσ é a estimativa de máxima verossimilhança da
variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l)
ajustado às N observações da série.

50. Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados aAplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados a
série gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – Exemplosérie gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – Exemplo
GujaratiGujarati

51. Aplicação dos critérios AIC e BIC através do StataAplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata

52. Aplicação dos critérios AIC e BIC através do StataAplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata
ModeloModelo AICAIC SICSIC -2log-2log
likelihoodlikelihood
No. deNo. de
parâmetrosparâmetros
AR(1 8 9 12)AR(1 8 9 12)
MA(1 2 8 12)MA(1 2 8 12)
853.78007853.78007 875.97324875.97324 835.78007835.78007 99
ARMA(1,1)ARMA(1,1) 865.28999865.28999 872.68771872.68771 859.28999859.28999 33
ARMA(2,1)ARMA(2,1) 866.95925866.95925 876.82288876.82288 858.95925858.95925 33
ARMA(1,2)ARMA(1,2) 867.10988867.10988 876.97351876.97351 859.10988859.10988 44

53. Verificação da adequação do modeloVerificação da adequação do modelo
- diagnóstico- diagnóstico
 Para verificar a adequação do modelo aos dados, um dosPara verificar a adequação do modelo aos dados, um dos
procedimentos utilizados é verificar se os resíduos sãoprocedimentos utilizados é verificar se os resíduos são
auto-correlacionados.auto-correlacionados.
 Os resíduos do modelo podem ser obtidos através doOs resíduos do modelo podem ser obtidos através do
comando predict:comando predict:
arima d.gdp, ar(1) ma(1)arima d.gdp, ar(1) ma(1)
predict residuo, residualspredict residuo, residuals
corrgram residuocorrgram residuo
ac residuoac residuo

54. Verificação da adequação do modeloVerificação da adequação do modelo
- diagnóstico- diagnóstico
-0.40-0.200.000.200.40
Autocorrelationsofresiduo
0 10 20 30 40
Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
Aparentemente, os resíduos do modelo ARMA(1,1) não são
auto-correlacionados (com exceção do lag 8, as correlações
dos resíduos defasados não são significativas).

55. Introdução a Análise VAR – Vector
Autoregressive Regression
Considere o sistema bi-variado simples:
10 12 11 1 12 1
20 21 21 1 22 1
t t t t yt
t t t t zt
y b b z y z
z b b y y z
γ γ ε
γ γ ε
− −
− −
= − + + +
= − + + +
Assume-se que:
1) yt e zt são séries estacionárias
2) εyt e εzt são erros aleatórios ruído branco com desvios-padroes
σy e σz respectivamente.
3) εyt e εzt são séries não auto-correlacionadas
b12 é o efeito contemporâneo de uma mudança unitária de zt em

56. Podemos colocar este sistema na forma matricial:
10 112 11 12
21 21 2220 1
0 1 1
0 1 1
1 1 1
0 0 1 1
1
1
:
, A , A ,
ytt t
t t zt
t t t
t t t
t
t t t
t
y b yb
b z b z
ou
Bx x
ou
x A A x e
onde
y
x B B e B
z
εγ γ
γ γ ε
ε
ε
−
−
−
−
− − −
         
= + +  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷  ÷
          
= Γ + Γ +
= + +
 
= = Γ = Γ = ÷
 

57. A Função de Impulso-Resposta
Considere um modelo VAR bi-variado:
1 1
1, 1, 1,1 1,2
t t 1
2,1 2,22, 2,
onde:
y
t t t
t t
t t
y y
y
y
φ ε
ε φ φ
ε φ
φ φε
−= +
     
= = = ÷  ÷  ÷ ÷  ÷
    
Considere os efeitos dos choques correntes e passados na
serie yt. Por exemplo, um choque unitário ε1,t tem um efeito de
aumentar y1,t em uma unidade e ε2,t tem um efeito similar
sobre y2,t. Mas examinemos os efeitos de outros choques e
choques passados.

58. Fazendo repetidas substituições para trás:
1 2
1 0 1 1 1 2 1 1
1, 1, 11,1 1,21 2
1 0 1 1 1 2
2,1 2,22, 2, 1
1,1 1, 1 1,2 2, 11 2
1 0 1 1 1 2
2,1 1, 1 2,2 2, 1
...
...
...
t t
t t t t
t tt t
t t
t t
t tt t
t
t t
y y
y
y
y
y
φ φ ε φ ε φ ε ε
εφ φ
φ φ ε φ ε ε
φ φ ε
φ ε φ ε
φ φ ε φ ε
φ ε φ ε
−
− −
−−
−
−
− −−
−
− −
= + + + + +
    
= + + + + + = ÷  ÷ ÷ ÷  ÷
    
+ 
+ + + +  +
tε+÷÷

Isto torna claro que o efeito de uma unidade no choque ε1,t-1
sobre y1,t é Φ1,1 e que o mesmo choque tem um efeito de Φ2,1
sobre y2,t.

59. O impulso-resposta de segunda ordem é obtido por:
2
1 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,22
1 2
2,1 1,1 2,2 2,1 2,1 1,2 2,2
2
1, 1, 21 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,21
1 0 1 1 2
2, 2,1 1,1 2,2 2,1 2,1 1,2 2,2 2, 2
...
t tt t
t t
y
y
y
φ φ φ φ φ φ φ
φ
φ φ φ φ φ φ φ
εφ φ φ φ φ φ φ
φ φ ε
φ φ φ φ φ φ φ ε
−−
−
 + +
=  ÷ ÷+ + 
    + +
= + + + ÷  ÷ ÷ ÷  ÷ ÷+ +    
1 1t tφ ε ε−+ +
Generalizando: o efeito de uma unidade do choque ε1,t-h
sobre y1,t é dado pelo elemento superior esquerdo da matriz
Φ1
h
. Em geral, o efeito sobre yi,t de uma unidade de choque εj,t-
h é dado pelo elemento (i,j) da matriz Φ1
h
.

60. Para as aplicações a seguir iremos utilizar o arquivo de
dados Stata obtido através do comando:
use http://www.ecn26.ie.ufu.br/DADOS/money.dta
Este comando irá carregar através da web o arquivo de
dados para o Stata.
Para obter um modelo VAR o primeiro passo a ser executado
é a obtenção de seu número de lags. Isto é conseguido
através do comando varsoc:
set matsize 800
varsoc y m inf, maxlag(7)

61. Determinação do número de lags de um modelo
VAR irrestrito

62. Pelo resultado anterior, de acordo com os critérios de
AKAIKE (AIC), Final Predction Error (FPE) e Likelihood
Ratio Test (LR) a melhor estrutura de lags corresponde ao
modelo de 4 lags.
Rodamos então o modelo VAR com 4 lags através do
comando:
var y m inf, lags(1/4)
O resultado em si das estimativas MQO do modelo não tem
valor analítico para o tipo de análise que iremos fazer a
seguir. Portanto, para suprimir a saída das estimativas do
modelo, iremos executar o comando:
quietly var y m inf, lags(1/4)

63. Teste de normalidade dos resíduos para modelo VAR

64. Pelos resultados do teste Jarque-Bera, os resíduos para as
equações das variáveis y e m são normais ao passo que
para a equação da variável inf é rejeitada a hipótese nula de
normalidade dos resíduos.
É importante também verificar a condição de não auto-
correlação dos resíduos do modelo. Utiliza-se para isto o
comando:
varlmar
Pelos resultados da saída Stata a seguir, os resíduos do
modelo apresentam auto-correlação de primeira ordem, mas
não apresentam auto-correlação de segunda ordem.

65. Teste de auto-correlação dos resíduos do modelo VAR

66. Para realizar a análise das funções impulso-resposta e
decomposição de variância no Stata temos uma seqüência
de comandos:
irf set “arquivo1”
irf create modelo1
irf table irf fevd
Com estes comandos especificamos a saída para as funções
impulso-resposta e decomposição de variância, mostradas a
seguir.

67. Funções impulso-resposta e decomposição de
variância para modelo VAR

68. Decomposição de variância
• Diferentemente da análise de impulso-resposta,
na decomposição de variância estamos
interessados em avaliar a importância relativa
(percentual) sobre os erros de previsão para uma
determinada variável.
• Na análise de impulso-resposta podemos verificar
o sentido dos efeitos de cada variável (impulso)
sobre as outras variáveis (resposta). O efeito neste
caso pode ser positivo ou negativo.
• No caso da decomposição de variância esta
noção de sentido dos efeitos já não existe, mas
apenas o valor relativo dos efeitos de cada
variável sobre o erro de previsão de uma
determinada variável.

69. -.5
0
.5
1
-.5
0
.5
1
-.5
0
.5
1
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
modelo1, inf, inf modelo1, inf, m modelo1, inf, y
modelo1, m, inf modelo1, m, m modelo1, m, y
modelo1, y, inf modelo1, y, m modelo1, y, y
95% CI impulse response function (irf)
step
Graphs by irfname, impulse variable, and response variable
Funções Impulso-Resposta para Modelo VAR

70. • Nos gráficos da primeira coluna do slide anterior vemos
as respostas das três variáveis sobre a inflação. No
primeiro gráfico desta coluna vemos o efeito resposta de
uma variação unitária do choque exógeno na equação da
inflação sobre a própria inflação quando transmitido
através dos seus efeitos multiplicadores pelo conjunto do
sistema. Ele mostra que a inflação tem efeitos sobre seus
próprios valores futuros até o terceiro ou quarto lags.
• Observando a segunda linha de gráficos verifica-se que
a oferta monetária não produz efeito futuro sobre as
variáveis inflação (inf) e Produto Interno Bruto (y). Ela
apresenta um impacto significativo sobre a própria oferta
monetária até o segundo lag.
• Isto sugere que há uma fraca relação dinâmica entre as
variáveis do modelo.

71. Um comando apropriado para o Stata para gráficos de
decomposição de variância é:
irf graph fevd, irf(modelo1)
Isto também pode ser obtido através do menu:
Statistics => Multivariate time series => IRF & FEDV
Analysis => Graphs by Impulse or response (e especifique
em Statistics to graph: fevd)

72. 0
.5
1
0
.5
1
0
.5
1
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
modelo1, inf, inf modelo1, inf, m modelo1, inf, y
modelo1, m, inf modelo1, m, m modelo1, m, y
modelo1, y, inf modelo1, y, m modelo1, y, y
95% CI fraction of mse due to impulse
step
Graphs by irfname, impulse variable, and response variable
Decomposição de variância para Modelo VAR