O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo e transformada de Fourier. Inclui exercícios para calcular valores de integrais usando a representação de Fourier, calcular transformadas de Fourier de diferentes funções, integrar funções, determinar expressões para a convolução de funções e identificar propriedades da transformada de Fourier a partir de informações sobre a função original.

1. Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
MA64A-S41-C´alculo 4
Julho de 2013
Lista de exerc´ıcios 2
1. Usando a representa¸c˜ao em integral de Fourier de f(t) =



0, se |t| > π
−1, se − π < t < 0
1, se 0 < t < π
,
calcule o valor da integral
∞
0
1 − cos(πw)
w
sin(πw) dw.
2. Usando a defini¸c˜ao da transformada de Fourier, calcule a transformada das seguintes
fun¸c˜oes
(a) f(t) = e−4|t|
(b) f(t) =



0, se |t| > π
−1, se − π < t < 0
1, se 0 < t < π
3. Calcule a transformada de Fourier das seguintes fun¸c˜oes. Explique e justifique adequa-
damente sua resposta e as propriedades da transformada de Fourier utilizadas no seu
procedimento.
(a) f(x) = ei3x
P1(x).
(b) f(x) = P4(2x − 3)
(c) f(x) =



0, se |x| > 2
2, se 1 < |x| < 2
1, se 0 ≤ |t| < 1
(d) f(x) = 2xe−x2
(e) f(t) =
t
(t2 + 9)2
.
(f) f(t) =
2
t2 − 4t + 5
.
(g) f(x) =
cos(πx) sin(4x)
4x
.
(h) f(x) = e−x
U(x) sin x
(i) f(t) = 3 + e−i3t
(j) f(t) = cos(3t) + δ(t)

2. 4. Calcule o valor das seguintes integrais impropias.
(a)
∞
−∞
dx
(1 + x2)2
(b)
∞
−∞
cos(3x)
1 + x2
dx
5. Determine em cada caso uma express˜ao para f1 ∗ f2.
(a) f1(x) =
2 sin(2x)
x
, f2(x) =
4 sin(4x)
4x
.
(b) f1(x) =
2 sin(2x)
x
, f2(x) =
sin2
(x)
x2
.
(c) f1(x) = f2(x) =
2
1 + 4x2
.
6. Seja f uma fun¸c˜ao sobre R com transformada de Fourier igual a F. Em cada caso
indique que propriedades de F podem ser concluidas a partir da informa¸c˜ao dada:
(a)
−∞
∞
f(x)dx = 1
(b)
−∞
∞
xf(x)dx = 1
(c)
−∞
∞
cos(x)f(x)dx = 0
(d) f (0) = 0
(e)
−∞
∞
|f(x)|2
dx = 1