Sinais 2

Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
lco@ist.utl.pt
Instituto Superior Técnico
Sinais e Sistemas – p.1/50 Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Sinais de tempo contínuo e discreto
Transformações da variável independente
Sinais básicos: impulso, escalão e exponencial.
Sistemas contínuos e discretos
Propriedades básicas dos sistemas
Sinais e Sistemas – p.2/50
Sinal Acústico
Se s for um sinal acústico:
s : Tempo → Pressão
Podemos representá-lo na forma de uma função:
∀t ∈ , s(t) = . . .
s : →
Tempo
Pressão
Sinal em Tempo Contínuo
Um sinal x(t) em tempo contínuo é uma função de uma
variável contínua.
∀t ∈ , x(t) = . . .
x : →
Passaremos a denominar estes sinais pela forma
abreviada de sinais contínuos.

Valor de Fecho do PSI-20
O valor inicial (base) do PSI-20 é de 3000 pontos e é
calculado por referência aos preços de fecho da
sessão de bolsa de 31 de Dezembro de 1992.
Exemplo:
{. . . , 7309, 7321, 7315, 7327, 7325, . . .}
Sinal em Tempo Discreto
Um sinal x(n) em tempo discreto é uma função de uma
variável discreta:
∀n ∈ , x(n) = . . .
x : →
Passaremos a denominar estes sinais pela forma
abreviada de sinais discretos.
Amostragem de Sinais Contínuos
Muitos dos sinais em tempo discreto resultam da
amostragem de sinais em tempo contínuo (xc(t)):
x(n) = xc(nT), ∀n ∈
em que xc(t) é uma função da variável t ∈ e T é o
período de amostragem.
......
T
Problema
Determinar taxa de compressão de uma faixa de música
de um disco compacto ao ser codiﬁcada em mpeg-3 a 128
Kb/s.

Codificação da amplitude
Para além da amostragem temporal, a amplitude do sinal
pode também ser codificada usando um número finito de
bits. No caso de uma codificação linear de 16 bits em
complemento para 2:
s : → {−32768, . . . , 32767}
No caso de uma imagem quadrada com 512x512 pixeis de
com 8 bits por cada componente RGB (24 bits):
i : {0, . . . , 511}2
→ {0, . . . , 255}3
Energia
Convencionou-se definir a energia de um sinal como
sendo:
E∞ =
+∞
−∞
|x(t)|2
dt.
De forma análoga para o caso discreto:
E∞ =
+∞
n=−∞
|x(n)|2
.
Podem existir sinais com energia infinita!
Potência
Com base na definição de energia, podemos também
definir a potência média de um sinal:
P∞ = lim
T→∞
1
2T
+T
−T
|x(t)|2
dt.
De forma análoga para o caso discreto:
P∞ = lim
N→∞
1
2N + 1
+N
n=−N
|x(n)|2
.
Deslocamento Temporal
y(t) = x(t − t0)
0
...
... ...
x(t)
y(t)
t 0
t
t0

Problema
... ...
7 n6543210−1
... ...
7 n6543210−1
x(n)
y(n)
y(n) = x(n − n0)
Qual o valor de n0?
Inversão Temporal
y(t) = x(−t)
t
...
... ...
y(t)
x(t)
0
0 t
Escalamento Temporal
y(t) = x(at), a ∈
t
...
... ...
y(t)
x(t)
0
0 t
Problema
... ...
−1
x(n)
n5 6 70 1 2 3 4
11
2
3
Determine a sequência
deﬁnida por:
y(n) = x(3 − n)

Sinal Periódico Contínuo
Um sinal contínuo diz-se periódico se se mantiver
inalterado por um deslocamento temporal de valor T:
x(t) = x(t + T), T ∈
Ao menor valor positivo de T dá-se o nome de período
fundamental (T0).
Sinal Periódico Discreto
Identicamente ao caso contínuo, um sinal discreto diz-se
periódico se se mantiver inalterado por um deslocamento
temporal de N amostras:
x(n) = x(n + N), N ∈
Ao menor valor inteiro positivo de N dá-se o nome de
período fundamental (N0).
A amostragem de um sinal periódico contínuo nem sempre
resulta num sinal periódico discreto.
Sinais Pares e Ímpares
Um sinal é par se for
igual à sua inversão
temporal
x(t) = x∗
(−t)
Um sinal é ímpar se:
x(t) = −x∗
(−t)
...
...
y(t)
x(t)
0 t
t
...
...
Componente Par e Ímpar
Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de um sinal
par com um sinal ímpar:
x(t) = xe(t) + xo(t)
xe(t) =
1
2
[x(t) + x∗
(−t)]
xo(t) =
1
2
[x(t) − x∗
(−t)]

Exemplo
Determinar a componente par e ímpar do sinal:
x(t)
...
0 t
...
−2 −1 1 2
1
2
Impulso Unitário Discreto
δ(n) =
0, n 0.
1, n = 0.
... ...
n−4
(n)
43210−1−2−3
δ
Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma
soma de impulsos unitários escalados e deslocados no
tempo:
x(n) =
+∞
k=−∞
x(k)δ(n − k)
Escalão Unitário Discreto
u(n) =
0, n < 0.
1, n ≥ 0.
... ...
n4210−1−2−3−4 3
u(n)
u(n) =
+∞
k=0
δ(n − k)
Impulso e Escalão Discretos
O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso
unitário:
u(n) =
n
k=−∞
δ(k)
Inversamente:
δ(n) = u(n) − u(n − 1)

Impulso Unitário Contínuo
O impulso unitário, também designado por função delta ou
distribuição de Dirac, deﬁne-se por:
δ(t) = 0, t 0
+ǫ
−ǫ
δ(τ)dτ = 1, ∀ǫ ∈ +
A função δ(t) não se encontra deﬁnida para t = 0
Interpretação do Impulso
−∆/2
...
0 t
...
δ∆ (t) 1/∆
∆/2
δ(t) = lim
∆→0
δ∆(t)
Representação do Impulso
δ
...
0 t
...
(t)
(1)
A amplitude da seta indica a área do impulso e não o
valor para t = 0.
Propriedade de Amostragem do Impulso
x(t)δ∆(t) ≈ x(0)δ∆(t)
lim
∆→0
x(t)δ∆(t) = lim
∆→0
x(0)δ∆(t)
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)
O produto de uma função por um impulso produz um im-
pulso com área igual ao valor da função no instante do im-
pulso.

Escalão Unitário Contínuo
u(t) =
0, t < 0.
1, t > 0.
u(t)
...
0 t
...
Para resolver a ambiguidade em 0 usa-se por vezes:
ua(t) =



0, t < 0.
a, t = 0.
1, t > 0.
u(t) =
+∞
0
δ(t − τ)dτ.
Impulso e Escalão Contínuos
O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso
unitário:
u(t) =
t
−∞
δ(τ)dτ.
Inversamente:
δ(t) =
d
dt
u(t)
Exponencial Contínua
x(t) = Ceat
em que C e a podem ser números complexos:
C = Aejφ
, A, φ ∈
a = −α + jω0, α, ω0 ∈
x(t) = Ae−αt
ej(ω0t+φ)
decompondo em parte real e imaginária:
ℜ{x(t)} = Ae−αt
cos(ω0t + φ)
ℑ{x(t)} = Ae−αt
sin(ω0t + φ)
Exponencial Real Discreta
Sendo α e A números reais:
x(n) = Aαn
|α| > 1 a sequência |x(n)| é crescente;
|α| < 1 a sequência |x(n)| é decrescente;
α > 0 as amostras da sequência x(n) têm todas o mesmo
sinal de A;
α < 0 as amostras da sequência x(n) são alternadamente
positivas e negativas.

Exponencial Complexa Discreta
Se α = ejω0
e A = |A|ejφ
:
x(n) = |A|ej(ω0n+φ)
= |A|cos(ω0n + φ) + j|A|sen(ω0n + φ)
Por analogia com a correpondente função contínua, a ω0
chama-se frequência da sinusoide complexa e φ é a sua
fase.
Periodicidade Temporal
No caso discreto, a sequência exponencial complexa nem
sempre é periódica.
x(n) = x(n + N)
|A|ej(ω0n+φ)
= |A|ej(ω0(n+N)+φ)
= |A|ej(ω0n+φ)
ejω0N
Só é periódica se:
ω0N = 2πk ⇔ N = 2πk/ω0
Mas N tem de ser inteiro!
Periodicidade em Frequência
No caso discreto, as exponenciais complexas com
frequência (ω0 + 2πr) são indistinguíveis entre si:
|A|ej[(ω0+2πr)n+φ]
= |A|ej(ω0n+φ)
ej2πrn
= |A|ej(ω0n+φ)
Sistemas
Os sistemas são funções que transformam sinais.
Algumas operações relizadas por sistemas:
armazenamento de sinais;
codiﬁcação e descodiﬁcação;
encriptação e desencriptação;
realçar parte da informação do sinal;
detecção de informação;
controle de processos físicos;
conversão de formatos;

Espaço de Funções
Sendo x um sinal cujo domínio é D e o contradomínio C:
x : D → C
Se o sistema S aceitar à sua entrada sinais do tipo x
podemos dizer que o seu domínio é um espaço de
funções ou espaço de sinais X a que x pertence.
Representaremos o espaço de funções envolvendo em
parenteses rectos o domínio e contradomínio dos sinais
que ele representa:
X = [D → C]
Sistemas como Funções
Um sistema faz o mapeamento de um espaço de sinais
para outro espaço de sinais.
Por exemplo, um microfone é um sistema que converte
sinais acústicos em sinais eléctricos:
S : [Tempo → Pressão] → [Tempo → Tensão]
S
Tempo
Tensão
Tempo
Pressão
Sistemas Contínuos e Discretos
Um sistema de tempo contínuo é um sistema que tem
como domínio e contra-domínio sinais em tempo
contínuo:
C : [ → ] → [ → ]
Um sistema de tempo discreto é um sistema que tem
como domínio e contra-domínio sinais em tempo
discreto:
D : [ → ] → [ → ]
Associação em cascata
Entrada
Sistema 1 Sistema 2
Saída

Associação em paralelo
Entrada
Sistema 1
Sistema 2
Saída
Retroacção
Saída
Sistema 1
Sistema 2
Entrada
Sistemas Com e Sem Memória
Um sistema diz-se sem memória se a sua saída num dado
instante só depender da entrada nesse instante.
y(t) = x2
(t) – sem memória
y(n) = x(n) + x(n − 1) – com memória
y(n) = x(n) − y(n − 1) – com memória
y(t) =
t
−∞
x(τ)dτ – com memória
Sistema Inverso
Um sistema é invertível se entradas distintas
produzirem saídas distintas.
Se um sistema é invertível pode-se encontrar um
sistema inverso que ligado em cascata com o
primeiro produza na sua saída a entrada original
x(n)x(n)
Sistema Inverso
w(n)

Causalidade
Um sistema é causal se a saída num instante de tempo só
depender de entradas presentes e passadas.
y(t) = x(t − 1/2) – causal
y(n) = x(n + 1) + x(n − 1) – não causal
Todos os sistemas sem memória são causais.
Estabilidade
Um sistema é estável se todos os sinais de entrada
limitados produzirem sinais de saída limitados:
|x(n)| ≤ Bx < ∞ ∀n −−−−−−−−→
estabilidade
|y(n)| ≤ By < ∞ ∀n
Sistema Acumulador
y(n) =
n
k=−∞
x(k)
Se a entrada for o escalão unitário (x(n) = u(n) a saída
será:
y(n) =
n
k=−∞
x(k) = (n + 1)u(n)
O sistema acumulador é instável: para uma entrada limi-
tada produz uma saída que cresce indeﬁnidamente.
Invariância Temporal
T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−−−−−→
invariante no tempo
T{x(n − n0)} = y(n − n0)
Exemplos:
1. y(t) = x(t − 2) – invariante
2. y(t) = x(2t) – variante
3. y(n) = sen(x(n)) – invariante
4. y(n) = nx(n) – variante

Linearidade
Propriedade da aditividade
T{x1(n)} = y1(n)
T{x2(n)} = y2(n)
−−−−−−−→
aditividade
T{x1(n) + x2(n)} = y1(n) + y2(n)
Propriedade da homogeneidade
T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−−→
homogeneidade
T{ax(n)} = ay(n)
em que a é uma constante arbitrária.
Um sistema linear tem de veriﬁcar as propriedades da
aditividade e da homogeneidade.
Problema
Quais dos seguintes sistemas são lineares?
1. y(t) = tx(t) – linear
2. y(t) = x2
(t) – não linear
3. y(n) = ℜ{x(n)} – linear
4. y(n) = 2x(n) + 3 – não linear

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