Olimpíada de matemática

ÍNDICE
CALENDÁRIO...............................3
AULA 0.........................................4
AULA 1.........................................4
AULA 2.........................................5
AULA 3.........................................10
AULA 4.........................................10
AULA 5.........................................14
AULA 6.........................................14
AULA 7.........................................17
AULA 8.........................................20
AULA 9.........................................20
AULA 10........................................20
AULA 11........................................20
AULA 12........................................20
AULA 13........................................20
AULA 14........................................21
AULA 15........................................21
AULA 16........................................21
AULA 17........................................21
AULA 18........................................21
BANCO DE QUESTÕES – N2..........22
BANCO DE QUESTÕES – N3..........28

Calendário 2010 – PROJETO OLIMPÍADA
Março
06 – Prova de Seleção – AULA 0 – 3H – 14 às 17
13 – Divulgação dos Resultados e Início das Atividades – AULA 1 – 2H – 14 às 16
20 – NÃO HAVERÁ AULA – A DECIDIR
27 – Revisão de Conceitos Básicos – AULA 2 – 2H – 14 às 16
Abril
03 – Correção da Prova de Seleção – AULA 3 – 2H – 14 às 16
10 – Correção da Prova de Seleção – AULA 4 – 2H – 14 às 16
24 – Atividades OBA e Conceitos de Astronomia – AULA 5 – 2H – 14 às 16
Maio
01 – NÃO HAVERÁ AULA (FERIADO)
08 – Relembrando um pouco de Álgebra – AULA 6 – 2H – 14 às 16
14 – Prova da OBA – 3H(EF) E 4H(EM) – durante a aula
22 – Relembrando um pouco de Geometria – AULA 7 – 2H – 14 às 16
29 – Exercícios da OBMEP – AULA 8 – 2H – 14 às 16
Junho
05 – Exercícios da OBMEP e dicas para a prova – AULA 9 – 2H – 14 às 16
08 – 1ª fase OBMEP – 2H30M
12 – 1ª fase OBM – 3H
26 – Discussão sobre os problemas da OBMEP – AULA 10 – 2H – 14 às 16
Julho
03 – Exercícios 2ª fase OBMEP – AULA 11 – 2H – 14 às 16
10 – NÃO HAVERÁ AULA
17 – NÃO HAVERÁ AULA
24 – Exercícios 2ª fase OBMEP – AULA 12 – 2H – 14 às 16
31 – Exercícios 2ª fase OBMEP e Discussão sobre escrita matemática correta – AULA 13 – 2H – 14 às 16
Agosto
07 – Simulado 2ª fase OBMEP – AULA 14 – 3H – 14 às 17
14 – Discussão Simulado 2ª fase OBMEP – AULA 15 – 2H – 14 às 16
21 – Exercícios 2ª fase OBMEP e desafios de matemática – AULA 16 – 2H – 14 às 16
28 – Exercícios 2ª fase OBMEP e revisão global – AULA 17 – 2H – 14 às 16
Setembro
04 –Dicas para a realização de uma boa prova e dicas sobre vestibulares para alunos do EM – AULA 18 – 2H – 14 às 16
11 – 2ª fase OBMEP – 3H – a ser informado
18 – 2ª fase OBM na parte da manhã e Festa de despedida
Novembro
26 – DIVULGAÇÃO DOS PREMIADOS DA OBMEP ! ! !
Carga horária total prevista: 52 horas
ATENÇÃO: CALENDÁRIO SUJEITO A ALTERAÇÕES PREVIAMENTE INFORMADAS
É DE EXTREMA IMPORTÂNCIA QUE TODOS OS ALUNOS FIQUEM ATENTOS AOS INFORMES SOBRE AS ATIVIDADES DO PROJETO, NÃO PODENDO ALEGAR DESCONHECIMENTO.
TODOS OS INFORMES SERÃO DE TRÊS MANEIRAS SIMULTANEAMENTE: SERÃO IMPRESSOS E COLADOS EM QUADROS DE AVISOS NA ESCOLA, ENVIADOS AOS EMAILS DOS ALUNOS E SERÁ PUBLICADO NO BLOG.
ACESSEM O BLOG COM FREQUENCIA: WWW.AULAOLIMPIADA.WORDPRESS.COM
3

AULA 0
PROVA DE SELAÇÃO – ANEXO
AULA 1
APRESENTAÇÃO DO PROJETO
Objetivo geral:
Dar oportunidade aos alunos que frequentam as aulas de olimpíada de entrar em contato com novos conceitos, que contribuirão para estimular seu raciocínio e sua criatividade, com isso, melhorando o seu rendimento escolar.
Objetivos específicos:
 Apresentar a importância do estudo em nossas vidas;
 Tomar conhecimento de assuntos novos de forma diferente do “convencional”;
 Auxiliar os alunos a se destacarem em olimpíadas escalares;
 Melhorar o desempenho e o aproveitamento de estudos;
 Desenvolver atividades que motivam o aluno a pesquisar;
 Incentivar o estudo com o foco na continuação de estudos após o ensino médio;
 Apresentar o procedimento e o funcionamento dos principais vestibulares e olimpíadas.
 Só Matemática – (www.somatematica.com.br)
Conteúdos:
 Provas de olimpíadas passadas
 Provas de vestibulares passados
 Banco de Questões da OBMEP
 Apostilas do Estágio de Iniciação Científica Júnior da OBMEP
 Revista Eureka!
 Revista do Professor de Matemática
 Material fornecido pela organização da OBA
 Livros Didáticos
Metodologia:
Baseia-se principalmente na resolução de exercícios e revisão de conteúdos que aparecem com frequência em olimpíadas. Oficinas de atividades práticas relacionadas à astronomia. Discussão de soluções de desafios matemáticos. Utilização de escrita matemática correta.
Docentes/Recursos (infra-estrutura):
Grande parte das aulas desenvolvidas em sala de aula, utilizando-se também de recursos da informática, e espaço físico da escola. Divulgação de comunicados e novidades através de editais impressos e por meio de um blog (www.aulaolimpiada.wordpress.com). Aulas e listas de exercícios enviadas através dos e-mails dos alunos. O projeto conta com o apoio da biblioteca, da coordenação, da secretaria e da direção da escola. Coordenado pelo ex-aluno Guilherme Barranco Piva (vencedor por três anos da OBMEP, 4º lugar na ORMUB, destaque da escola na OMQF), pelo ex-aluno Rodrigo Tiburcio dos Santos e pela aluna do curso de matemática na UFSCar, Renata de Oliveira.
Avaliação:
Será diagnóstica e contínua, através da assiduidade e participação dos alunos nas atividades propostas, através das avaliações escolares e o desempenho em olimpíadas.
Premiação:
Congratulação de certificados aos alunos que participarem do projeto. 4

AULA 2
REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS
FRAÇÕES
Em a é o numerador e b é o denominador.
MMC – mínimo múltiplo comum
Ex.: mmc de 8 e 9:
DIVISIBILIDADE
Por 2 – nº par - ex: 5040; 9484
Por 3 – quando a soma dos algarismos é divisível por 3 ex: 234; 1542
Por 4 – quando o nº formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4 – ex: 1800; 4116; 1324
Por 5 – quando o nº termina em 0 e 5 – ex: 55; 90; 14580
Por 6 – quando é divisível por 2 e 3 – ex: 312; 5214
Por 8 – quando o nº formado pelos três últimos algarismos é divisível por 8 – ex: 7000; 56104; 6112
Por 9 – quando a soma dos algarismos é divisível por 9 ex: 2871; 1377
Por 10 – quando o nº termina com 0 – ex: 4150; 2158
Números Primos
Um nº é primo quando é divisível somente por 1 e por ele mesmo
Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
EQUAÇÃO
Uma equação é uma igualdade:
Ex: 5x + 8 = 58, neste caso x=10
Podem ocorrer casos em que há mais de uma incógnita.
Ex: 5x + 10y – 23 = 48, neste caso x e y podem assumir inúmeros velores
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
Ex: x + y = 25
2x + 3y = 55
Neste caso os valores de x e y são 20 e 5, respectivamente.
5

INEQUAÇÃO
É uma desigualdade
Ex: 2x – 7 > 0 , neste caso x > 3,5
Obs: > - maior > - maior ou igual < - menor < - menor ou igual
GRANDEZAS PROPOCIONAIS
REGRA DE TRÊS
PORCENTAGEM
ÁREA
6

LISTA DE EXERCÍCIOS AULA 2: PARA OS NÍVEIS 2 E 3
1) Soma e subtração de frações:
2) Multiplicação e divisão de frações:
3) Operações com decimais:
a) 2,155 + 12,380=
b) 1748,599 + 0,0011=
c) 459,778 + 127 + 239,18=
d) 28,1119 + 13,143=
e) 4,5 – 2,27=
f) 519,43 – 318,318=
g) 157,293 – 58,17=
h) 1148,17 – 28729,144=
4) Equações do 1º grau: encontre o valor de x:
a) ( )
b)
c)
5) Sistemas de equações do 1º grau: encontre o valor das incógnitas:
8 8 8 푥 8∶ ∶ ∶ ∶ a) b) c) d) e) f) g) h) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) i) 19,5 x 8= j) 15 x 40,7= k) 3,39 x 3= l) 20,401 x 3,01= m) 15,05 : 5= n) 28,48 : 2= o) 44,44 : 4,4= p) 128,3 : 2= d) 8푥 8 푥 e) ² 푥 푎 푏 푎 푏 a) b) 푎 푏 푎 푏 c) 푎 푏 푎 푏 푥 푦 푥 푦 d) e) f) 7

6) Inequações: encontre os valores de x:
a)
d)
7) Potenciação:
a) ( ) b) ( 8)² c) ( )² d) ( )² e) ( ) f) ( )
8) Radiciação:
a) √8 b) √ c) √ d) √ e) √ f) √ g)√
Resolva as situações problema:
1) Uma barra de cano com 5m de comprimento tem uma massa de 3kg. Qual é a massa de uma barra de 10m do mesmo tipo?
2) O preço de 4,5m de tecido é de R$36,00. Quantos metros podemos comprar com R$40,00?
3) Com 3 pedreiros trabalhando, um muro é construído em 10 dias. Em quantos dias 6 pedreiros construirão o mesmo muro trabalhando no mesmo ritmo?
4) Em um relógio, enquanto o ponteiro das horas faz um giro de 30° o dos minutos gira 360°. Qual é o giro do ponteiro das horas quando o ponteiro dos minutos gira 60°?
5) Se comprar latinhas de refrigerante de 350ml, Renato cai precisar de 20 latinhas para sua festa. Quantas latinhas ele vai comprar se escolher latinhas de 500ml?
6) Com velocidade de 9km/h, Luís faz uma caminhada em 40 min. Se sua velocidade fosse de 6km/h, quanto tempo ele gastaria nessa caminhada?
7) Se com 40kg de laranja é possível fazer 24l de suco, quantos litros de suco serão obtidos com 30kg de laranja?
8) A ração que Álvaro comprou é suficiente para 2 cachorros se alimentarem por 9 dias. Se fossem 3 cachorros a ração daria para quantos dias?
9) O pintor Dimas gastou uma lata com 2l de tinta para pintar uma parede de 28m² de área. Responda
a) Quantos metros quadrados Dimas pintará com 3l de tinta?
b) De quantos litros de tinta ele precisará para pintar 70m² de parede?
10) Jaime é representante comercial. Ele passa 60% de seu tempo de trabalho dirigindo um carro. Em 40 horas semanais de trabalho, quantas horas Jaime passa dirigindo?
11) No restaurante de Roberta há 80 fotos autografadas por artistas e gente famosa. Destas, 32 são coloridas. Quanto por cento das fotos são coloridas?
12) Em uma eleição de uma pequena cidade do interior de Alagoas, votaram 3780 eleitores, que correspondem a 90% do total. Quantos eleitores deixaram de votar?
13) Jogo rápido:
a) 20% de 50 é:
b) 21% de 125 é:
c) 40% de 120 é:
d) 15% de 30 é:
b) 푥 < e) 푥 c) 푥 (푥 ) f) 푥 푥+ 푥 6 8

Área
1) Calcule a área dos quadrados sabendo que o lado é:
a) 17cm
b) 8,5cm
c) √ cm
d) √ cm
2) Calcule a medida do lado do quadrado sabendo que a área é:
a) 45cm²
b) 432cm²
c) 169cm²
d) 42,25cm²
3) Determine a área do retângulo sabendo que os lados são:
a) 23,8 cm e 12,2 cm c) √ cm e √ cm
b) √ cm e √ cm d) ½ m e ¾ m
4) Calcule a área das figuras
5) Calcule a área dos losangos sabendo que suas diagonais medem:
a) 15cm e 15cm
b) √ cm e √ cm
c) 1/3m e 5/2m
6) Calcule a área dos trapézios
9

AULAS 3 E 4
CORREÇÃO DA PROVA DE SELEÇÃO
PROVA PARA ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
1. (ALTERNATIVA B)
2. (ALTERNATIVA E)
3. (ALTERNATIVA D)
4. (ALTERNATIVA C)
5. (ALTERNATIVA E)
6. (ALTERNATIVA E)
7. (ALTERNATIVA B)
8. (ALTERNATIVA D)
9. (ALTERNATIVA A)
10. (ALTERNATIVA E)
10

PROVA PARA ALUNOS DO ENSINO MÉDIO
1. (ALTERNATIVA D) VER QUESTÃO 3 DA PROVA PARA ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
2. (ALTERNATIVA C)
3. (ALTERNATIVA A)
4. (ALTERNATIVA A)
5. (ALTERNATIVA C)
6. (ALTERNATIVA D)
7. (ALTERNATIVA B)
8. (ALTERNATIVA D)
9. (ALTERNATIVA B)
10. (ALTERNATIVA E) VER QUESTÃO 10 DA PROVA PARA ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
11.
12

AULA 5
ATIVIDADES PRÁTICAS DA OBA
ATIVIDADE 1: IDENTIFICAR CONSTELAÇÕES E ESTRELAS
ATIVIDADE 2: VISUALIZAÇÃO DAS DISTÂNCIAS MÉDIAS DOS PLANETAS AO SOL
ATIVIDADE 3: COMPARAÇÃO DOS VOLUMES DA TERRA E DA LUA
AULA 6
RELEMBRANDO UM POUCO DE ÁLGEBRA
Conjuntos Numéricos
- naturais (0,1,2,3,4,5,6,...)
- inteiros (...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)
- racionais (ex.: 1/2, 3/4, 5/8, etc)
- - irracionais(ex.: √ , √ , , etc)
- reais (todos os conjuntos reunidos)
+ +
Números Primos
Números que são divisíveis somente por 1, -1, por ele próprio e seu oposto
Obs.: 1 são é primo pois é divisível somente por 2 números (1 e -1)
Primeiros primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...)
Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Ex.: sejam os números 24 e 36:
D(24)={1;2;3;4;6;8;12;24}
D(36)={1;2;3;4;6;9;12;18;36}
O maior dos divisores comuns ou o máximo divisor comum entre 24 e 26 é 12.
MDC(24;36)=12
+(24)={24;48;72;96;120;144;160;192;216;...}
+(36)={36;72;108;144;180;216;...}
Os múltiplos positivos comuns de 24 e 36 são: {72;144;216;...}
O menor dos múltiplos comuns ou mínimo múltiplo comum ou MMC entre 24 e 36 é o 72.
MMC(24;36)=72
Fatorando:
24=2³ . 3 MDC(24;36)=12=3.2²
36=2² . 3² MMC(24;36)=72=3².2³
MDC: Separadamente, note que o máximo divisor comum (MDC) é o produto de todas as bases comuns a ambas as decomposições, com menor expoente. - ∈ 푝푒푟푡푒푛푐푒 ∉ 푛ã표 푝푒푟푡푒푛푐푒 ⊂ 푒푠푡á 푐표푛푡푖푑표 ⊃ 푐표푛푡é푚 ∩ 푖푛푡푒푟푠푒푐çã표 ∪ 푢푛푖ã표 14

MMC: Separadamente, note que o mínimo múltiplo comum (MMC) é o produto de todos os fatores de ambas decomposições (uma vez cada), e quando há repetição usa-se o de maior expoente.
Potenciação
Ex.:
2³ = 2 . 2 . 2 = 8 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625 ( ) ( ) ( )
-2² = -(2.2) = -4
Propriedades com exemplos:
1) 2² . 2³ = 22+3 = 25
2) 35 : 33 = 35-3 = 3²
3) (6 ) 6
4) ( ) 6
5) ( )
Radiciação
Ex.:
√ 25=32 √
√ 8 (-2)³=-8 √ ∉
Propriedades com exemplos:
1) √ √ √ √
2) √ √ √
3) √√ √ √
4) (√ ) √
5) √ √ √
√
Equação do 1º Grau ( ∈ ∈ )
Ex.: 5x-10=0 x=2
S={2}
Equação do 2º Grau ² ( ∈ ∈ )
√
Ex.: x²-5x+6=0 x1=2 x2=3
S={2;3}
15

1) Considere:
- conjunto dos números naturais;
- conjunto dos números inteiros;
- conjunto dos números racionais;
- conjunto dos números reais;
e as seguintes afirmações:
I. ( )∩
II. ( )∩( ) +
III. ( )∩( )
IV. ( )∪( )
As afirmações verdadeiras são:
a) I e IV. c) I e II. e) III e IV.
b) II e III. d) II e IV.
2) Sejam os números inteiros A=23.3x.5y e B= 104.38. Se o máximo divisor comum de A e B é 360, então x+y é igual a:
a) 9 c) 5 e) 2
b) 6 d) 3
3) Em uma cidade há três escolas que tocam sirenes para avisar a troca de aulas. A primeira escola toca a sirene a cada 30 minutos; a segunda , a cada 40 minutos , e a terceira, a cada 60 minutos. Todas as aulas começam às 7 horas e, nesse momento, a sirene é tocada nas três escolas.
As sirenes voltarão a tocar juntas nas três escolas após:
a) 180 min. c) 140 min. e) 100 min.
b)160 min. d) 120 min.
4) Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é:
a) 38 c) 43 e) 55
b) 41 d) 52
5) Em ordem decrescente, os números a=2-3, b=(-2)³, c=3-2 e d=(-2)-3 formam a seqüência:
a) (a;b;c;d) c) (c;a;d;b)
b) (b;d;a;c) d) (a;c;d;b)
6) Assinale o maior entre os números reais abaixo:
a) √ c) √8
b) √ d) √
7) Resolva as seguintes equações em :
a) ( ) ( )
b) ( ) ( + )
c) ²
d) ²
16

AULA 7
RELEMBRANDO UM POUCO DE GEOMETRIA
Ângulos
É medido em graus ( ° ).
Uma volta completa mede 360°
1° = 60’ (minutos)
1’ = 60” (segundos)
Ângulos Complementares => soma 90°
Ângulos Suplementares => soma 180°
Bissetriz: divide um ângulo em dois iguais
Polígonos
Convexo Côncavo
Soma de diagonais: ( ) onde n é o número de lados
Triângulos
Nomenclatura:
Quanto aos lados:
Equilátero: 3 lados iguais
Isósceles: 2 lados iguais
Escaleno: nenhum lado igual
Teorema de Tales
α = 0° -> nulo 0° < α < 90° -> agudo α = 90° -> reto 90° < α < 180° -> obtuso α = 180° -> raso ae ae ae ae ae ai ai ai ai ai 푠푖 8 ° (푛 ) 푠푒 ° Soma dos ângulos internos: Soma dos ângulos externos: Quanto aos ângulos: Acutângulo: todos <90° Retângulo: 1 ângulo =90° Obtusângulo: 1 ângulo >90° 17

Relações Métricas no Triângulo Retângulo
² ² ² ²
² ²
Áreas
18 휋≅

1) Dois ângulos consecutivos são complementares. Então o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos é:
a) 20° c) 35° e) 45°
b) 30° d) 40°
2) Determine o polígono regular cuja medida do ângulo interno mede o triplo da medida do ângulo externo.
3) Calcule o valor de x sabendo que AB=AC=CD=BC
4) Determine x em cada figura
a) b) c)
5) Encontre os valores de x, y, z e k na figura a seguir:
6) Considere o trapézio representado na figura a seguir, cujas medidas dos lados são dadas em centímetros. Calcule a área.
7) Calcule a área total das figuras
A B D C x 10 15 6 x 10 8 x-1 X+1 x 6 8 20 10 4 3 5 A B C D 45° 8√ 8 10 5 15 3 5 19

AULA 8
EXERCÍCIOS PARA A OBMEP
***CONSULTAR BANCO DE QUESTÕES ANEXO***
AULA 9
EXERCÍCIOS PARA A OBMEP E DICAS PARA A PROVA DA 1ª FASE
DICAS PARA A 1ª FASE DA OBMEP:
 RESPONDA TODAS AS QUESTÕES
 LEIA COM MUITA ATENÇÃO OS ENUNCIADOS DAS QUESTÕES
 NÃO HÁ PRESSA, POIS O TEMPO É MAIS QUE SUFICIENTE
 TODA ATENÇÃO É POUCO NA HORA DE PREENCHER O GABARITO
 GERALMENTE HÁ NA PROVA QUESTÕES QUE SÃO MUITO SIMPLES, IDENTIFICANDO-AS EVITE ERRAR NESSAS POR BOBEIRA
 HÁ TAMBÉM ALGUMAS QUESTÕES MAIS AVANÇADAS, GANHANDO TEMPO NAS QUESTÕES MAIS FÁCEIS, VALE A PENA PARAR E ANALISAR ESTAS MAIS DIFÍCEIS COM MAIS CALMA.
 LEMBRANDO QUE ESTA É SÓ A PRIMEIRA FASE, SERVE PARA SELECIONAR OS 5% DE ALUNOS DE CADA NÍVEL QUE MAIS PONTUAREM EM CADA ESCOLA.
AULA 10
DISCUSSÃO SOBRE OS PROBLEMAS DA 1ª FASE DA OBMEP
AULAS 11 E 12
AULA 13
EXERCÍCIOS PARA A OBMEP E ESCRITA MATEMÁTICA CORRETA
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS <
≅ 20

∪ ã ∩ çã ã ∈ ⊂ á ⊃ é ã
SEMPRE APRESENTE A SOLUÇÃO DE SEU PROBLEMA EM DESTAQUE, E EM CASOS EM QUE FOR PRECISO, UTILIZE CORRETAMENTE OS SIMBOLOS ACIMA.
AULA 14
SIMULADO 2ª FASE DA OBMEP
AULA 15
DISCUSSÃO SOBRE OS RESULTADOS DO SIMULADO DA 2ª FASE DA OBMEP
AULAS 16, 17 E 18
DICAS PARA A 2ª FASE DA OBMEP:
 NÃO DEIXAR ABSOLUTAMENTE NADA EM BRANCO.
 MOSTRAR O MÁXIMO QUE VOCÊ DOMINA DAQUELE ASSUNTO, MESMO QUE NÃO CHEGUE AO RESULTADO FINAL, ISSO CONTARÁ PONTOS.
 UTILIZAR RIGOR MATEMÁTICO.
 SEJA SIMPLES E CLARO NA APRESENTAÇÃO DAS RESPOSTAS.
 SEJA ORGANIZADO NA APRESENTAÇÃO DAS RESPOSTAS NO ESPAÇO DESTINADO A ELAS.
 GERALMENTE A QUESTÃO B DEPENDE DA RESPOSTA DO ÍTEM A, O C DEPENDE DO B, E ASSIM POR DIANTE.
 JAMAIS ESCREVA RECADOS PARA O CORRETOR.
 LER COM TODA A ATENÇÃO O ENUNCIADO DA QUESTÃO E RESPONDER SOMENTE O QUE SE PEDE.
 ESCREVER RESPOSTAS COMPLETAS.
 ACERTAR NO PORTUGUÊS. NÃO É PORQUE SE TRATA DE UMA PROVA DE MATEMÁTICA QUE O CORRETOR NÃO ENTENDE DE LÍNGUA PORTUGUESA.
 NÃO ULTRAPASSAR OS ESPAÇOS ESTIPULADOS.
 SERÁ ESTA PROVA QUE PODERÁ OFERECER A VOCÊ AS PREMIAÇÕES DA OLIMPÍADA, ENTÃO VALE A PENA DEDICAR-SE AO MÁXIMO PARA RESOLVÊ-LA.
21

BANCO DE QUESTÕES PARA NÍVEL 2
QUESTÕES ALTERNATIVAS
1) Em 1998, a população do Canadá era de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998?
A) 30 300 000 B) 303000 000 C) 30 300 D) 303000 E)30 300 000 000
2) Uma certa máquina é capaz de produzir 8 réguas em cada minuto. Quantas réguas esta máquina consegue produzir em 15 minutos?
A)104 B)110 C)112 D)128 E)120
3) Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que:
 Luíza é maior que Antônio
 Maria é menor que Luíza
 Antônio é maior do que Júlio
 Júlio é menor do que Maria.
Quais deles têm a mesma altura?
A) Maria e Júlio B) Júlio e Luíza C) Antônio e Luíza
D) Antônio e Júlio E) Antônio e Maria
4) O algarismo das unidades do número 1×3×5×79×97×113 é:
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
5) Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a + b e o menor lado a.
Qual é a área da região em cinza?
A) b B) a + b C) a² + 2ab D) b² E) 2ab + b²
6) Adriano, Bruno, César e Daniel são quatro bons amigos. Daniel não tinha dinheiro, mas os outros tinham. Adriano deu a Daniel um quinto do seu dinheiro, Bruno deu um quarto do seu dinheiro e César deu um terço do seu dinheiro. Cada um deu a Daniel a mesma quantia. A quantia que Daniel possui agora representa que fração da quantia total que seus três amigos juntos possuíam inicialmente?
A) 1/10 B) 1/4 C)1/3 D) 2/5 E) ½
7) A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118 ?
A) B B) D C) E D) G E) H
22

8) O gráfico mostra o número de pontos que cada jogador da seleção de basquete da escola marcou no
último jogo. O número total de pontos marcados pela equipe foi:
A) 54 B) 8 C) 12
D) 58 E) 46
9) Geni é cliente de um companhia telefônica que oferece o seguinte plano:
• tarifa mensal fixa de R$ 18,00
• gratuidade em 10 horas de ligações por mês
• R$0,03 por cada minuto que exceder às 10 horas.
Em janeiro, Geni usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos, e em fevereiro por 9 horas e 55 minutos. Qual a despesa de Geni com telefone nesses dois meses?
A) R$ 45,51 B) R$ 131,10 C) R$ 455,10 D) R$ 13,11 E)R$ 4,55
10) Veja as promoções de dois supermercados:
Joana quer comprar 12 latas de sorvete para a festa de seu aniversário. Em qual supermercado ela deve comprar?
A) No A, pois economizará R$ 7,00 em relação ao B.
B) No A, pois economizará R$ 6,00 em relação ao B.
C) No B, pois economizará R$ 8,00 em relação ao A.
D) No B, pois economizará R$ 6,00 em relação ao A.
E) Tanto faz, porque o preço é o mesmo nos dois supermercados.
11) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que dispõe de três sabores: açaí, baunilha e cajá. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?
A) 6 B) 9 C) 12 D)15 E)18
12) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo trocas sucessivas?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
13) Uma linha de ônibus possui 12 paradas numa rua em linha reta. A distância entre duas paradas consecutivas é sempre a mesma. Sabe-se que a distância entre a terceira e a sexta paradas é 3300 metros. Qual é a distância entre a primeira e a última parada?
A) 8, 4km B) 12,1km C) 9,9km D) 13,2km E) 9,075km
23

14) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. Dessas peças 12 são pentágonos regulares idênticos e as outras 20 são hexágonos, também regulares e idênticos. Os lados dos pentágonos são iguais aos lados dos hexágonos. Para unir dois lados de duas dessas peças é necessária uma costura. Quantas são as costuras necessárias para fazer uma bola?
A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180
15) A figura ao lado mostra uma grade formada por quadrados de
lado 1cm . Qual é a razão entre a área sombreada e a área não
sombreada?
A) 1/4 B) 1/5 C) 1/6
D) 2/5 E) 2/7
16) Em um quente dia de verão, 64 crianças comeram, cada uma, um sorvete pela manhã e outro à tarde. Os sorvetes eram de 4 sabores: abacaxi, banana, chocolate e doce de leite. A tabela abaixo mostra quantas crianças consumiram um destes sabores pela manhã e outro à tarde; por exemplo, o número 7 na tabela indica que 7 crianças tomaram sorvete de banana pela manhã e de chocolate à tarde.
Quantas crianças tomaram sorvetes de sabores diferentes neste dia?
A) 58 B) 59 C) 60 D) 61 E) 62
17) Larissa e Jorge estão jogando com cartões numerados de 1a 6 que devem ser colocados nas casas do tabuleiro abaixo de modo a formar um número de seis algarismos.
Jorge coloca o primeiro cartão e a seguir as jogadas são alternadas entre os dois. O objetivo de Larissa é obter o maior número possível e o de Jorge é obter o menor número possível. Larissa tem os cartões com os algarismos 1, 3 e 5 e Jorge tem os cartões com os algarismos 2, 4 e 6 . Se os dois jogadores forem espertos, qual o número que aparecerá ao final do jogo?
A) 254361 B) 253416 C) 251634 D) 256134 E) 251346
18) Um artesão começa a trabalhar às 8 h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; já seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às 12 h, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar?
A) 12 h B) 12h 30 min C) 13h D) 13h 30min E) 14h 30min
19) Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida?
Observação: Sentido horário é o sentido em que giram os ponteiros do relógio; no caso ele está indicado pela seta no desenho.
A) B) C) D) E)
24

20) O perímetro de um retângulo é 100 cm e a diagonal mede x cm. Qual é a área do retângulo em função de x?
A) ² B) ² C) ² D) ² E) ²
21) Se x + y = 8 e xy = 15 , qual é o valor de x² + 6xy + y²?
A) 64 B) 109 C) 120 D) 124 E) 154
22) Se m e n são inteiros maiores do que zero com m < n, definimos m n como a soma dos inteiros entre m e n, incluindo m e n. Por exemplo, 8 = 5 + 6 + 7 + 8 = 26.
Então o valor de 6 6 é:
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
23) Se x,yezsão números inteiros positivos tais que xyz = 240 , xy + z = 46 e x + yz = 64 , qual é o
valor de x + y + z ?
A) 19 B) 20 C) 21 D) 24 E) 36
24) Você possui apenas palitos com 6cm e 7cm de comprimento. O número mínimo de palitos que você precisa para cobrir com esses palitos um segmento de reta com 2 metros é:
A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33
25) O símbolo representa uma operação especial com números. Veja alguns exemplos
2 4=10 , 3 8=27 , 4 27 =112 , 5 1 = 10 . Quanto vale 4 (8 7)?
A)19 B)39 C)120 D) 240 E)260
26) A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em cm2 da parte sombreada?
A) 20 B) 25 C) 35 D) 45 E)50
27) Se eu der duas barras de chocolate para Tião, ele me empresta sua bicicleta por 3 horas. Se eu lhe der 12bombons, ele me empresta a bicicleta por 2 horas. Amanhã, eu lhe darei uma barra de chocolate e 3 bombons. Por quantas horas ele me emprestará a bicicleta?
A)1/2 B)1 C) 2 D)3 E) 4
28) Se x>5, então qual dos números abaixo é o menor?
(A) 5/x B) 5/(x +1) C) 5/ ( x −1) D)x / 5 E) (x +1)/5
29) O quadrado STUV é formado de um quadrado limitado por 4 retângulos iguais. O perímetro de cada retângulo é 40 cm. Qual é a área, em cm2, do quadrado STUV?
30) Quais os valores de x que satisfazem < ?
A) < B) C) < <
D) < E) < 25

QUESTÕES DISSERTATIVAS
31) O quadrado abaixo é chamado quadrado mágico, porque a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma. Neste caso essa soma é 15 .
Complete os cinco números que faltam no quadrado abaixo para que ele seja um quadrado mágico.
32) Sete equipes, divididas em dois grupos, participaram do torneio de futebol do meu bairro.
O grupo 1 foi formado pelas equipes Avaqui, Botágua e Corinense.
O grupo 2 foi formado pelas equipes Dinossauros, Esquisitos, Flurinthians e Guaraná.
Na primeira rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do seu grupo exatamente uma vez.
Na segunda rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do outro grupo exatamente uma vez.
(a) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no grupo 1?
(b) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no grupo 2?
(c) Quantas partidas foram disputadas na segunda rodada?
33) Você já viu um truque numérico? Aqui vão os passos de um truque numérico:
(I) Escolha um número qualquer.
(II) Multiplique-o por 6 .
(III) Do resultado subtraia 21.
(IV) Divida agora este novo resultado por 3 .
(V) Deste último resultado subtraia o dobro do número que você escolheu.
(a) Experimente fazer esses cinco passos três vezes, iniciando cada vez com um número diferente. Qual foi o resultado de seu experimento?
(b) A seguir, usando a letra x para representar o número que você pensou, mostre por que os resultados do item (a) não são apenas uma coincidência, mas sim um fato matemático.
34) São dadas 4 moedas aparentemente iguais, das quais 3 são verdadeiras e por isso têm o mesmo peso; uma é falsa e por isso tem peso diferente. Não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada que as demais. Mostre que é possível determinar a moeda diferente empregando somente duas pesagens em uma balança de pratos. Observação: Neste tipo de balança podemos comparar os pesos colocados nos dois pratos, ou seja, a
balança pode ficar equilibrada ou pender para o lado mais pesado.
35) Determine o valor de 123456123456 ÷ 1000001 = .
36) Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como mostram as figuras abaixo.
26

Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Determine a medida do lado do quadrado IJKL.
37) O que representam as expressões (a), (b) e (c) na figura ao lado?
38) Na figura, O é o centro do círculo e AB= 5cm . Qual é o diâmetro desse círculo?
39) O café, o bolo e o gato – Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, eu coloquei meu gato do lado de fora da casa. O bolo deve cozinhar por 35 minutos, então eu coloquei o despertador para tocar 35 minutos, após colocar o bolo no forno. Imediatamente fiz um café para mim, o que me tomou 6 minutos. Três minutos antes de acabar de beber o café o gato entrou em casa. Isso foi 5 minutos antes do despertador tocar. O telefone tocou no meio do tempo entre eu acabar de fazer o café e o gato entrar em casa. Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram 3h59min da tarde.
(a) A que horas coloquei o gato fora de casa?
(b) Quantos minutos depois de colocar o gato fora de casa, o despertador tocou?
(c) Quanto tempo o gato estava fora de casa até o momento em que o telefone tocou?
40) Quais figuras estão corretas?
41) Sinal de um produto e sinal de um quociente: a, b, c e d são quatro números não nulos tais que os quocientes , , , são positivos. Determine os sinais de a, b, c e d.
42) A tabela mostra as temperaturas máximas e mínimas durante 5 dias seguidos em certa cidade.
Em qual dia ocorreu o maior variação de temperatura?
27

43) Na lista de frações, no quadro ao lado, temos:
• 2 frações cuja soma é 5/2
• 2 frações cuja diferença é 5/2
• 2 frações cujo produto é 5/2
• 2 frações cujo quociente é 5/2
Encontre a fração que está sobrando.
44) André, Bruno, Celina e Dalva ganharam juntos 21medalhas num concurso. André foi o que mais ganhou medalhas, Bruno ganhou o dobro de Celina e Dalva 3 a mais que Bruno. Quantas medalhas cada um pode ter ganhado?
45) Escreva numa linha os números de 1 a 15 de modo que a soma de dois números adjacentes nessa linha seja um quadrado perfeito.
BANCO DE QUESTÕES PARA NÍVEL 3
QUESTÕES ALTERNATIVAS
1) Quantas frações da forma + são menores do que , sabendo que n é um número inteiro positivo?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2) Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres. Delas, 3% usam apenas um brinco; das restantes, metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual o número total de brincos usados por todas as mulheres?
A) 776 B) 788 C) 800 D) 812 E) 824
3) Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância entre o terceiro e o sexto poste é de 3,3 m. Qual é a distância entre o primeiro e o último poste?
A) 8,4m B) 12,1m C) 9,9m D) 13,2m E) 9,075m
4) Uma folha quadrada foi dobrada duas vezes ao longo de suas diagonais conforme ilustração ao lado, obtendo- se um triângulo. Foi feito um corte reto na folha dobrada, paralelo ao lado maior desse triângulo, passando pelos pontos médios dos outros lados, e desdobrou-se a folha. A área do buraco na folha corresponde a qual fração da área da folha original ?
A) 1/2 B) 1/6 C) 3/8 D) 3/4 E) 1/4
5) Qual é o menor número inteiro positivo N tal que N/3, N/4, N/5, N/6 e N/7 são números inteiros?
A) 420 B) 350 C) 210 D) 300 E) 280
6) Dados a e b números reais seja a b = a2 − ab + b2 . Quanto vale 1 0 ?
A) 1 B) 0 C) 2 D)-2 E)-1
7) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite. Na casa de João, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente. Com os tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas?
A) 43 B)53 C) 56 D) 57 E) 60
8) Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20cm de lado. Estas caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em caixotes de madeira de 80cm de largura por 120cm de comprimento por 60cm de altura. Qual o número máximo de latas de palmito em cada caixote?
A) 576 B) 4608 C) 2304 D) 720 E) 144
28

9) Sabendo-se que 0,333... = 1/3, qual é a fração irredutível equivalente a 0,1333…?
A) 1/13 B) 1/15 C) 1/30 D) 2/15 E) 1333/10000
10) Se 3 e 1/3 são as raízes da equação ax2-6x+c=0 , qual o valor de a + c ?
A) 1 B) 0 C) – 9/5 D) 18/5 E) -5
11) Os vértices de um cubo são numerados com os números de 1 a 8 , de tal modo que uma das faces tem os vértices {1, 2, 6, 7} e as outras cinco têm vértices {1, 4, 6, 8}, {1, 2, 5, 8}, {2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} e {3, 4, 5, 8}. Qual o número do vértice que está mais distante daquele de número 6?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
12) Entre 1986 e 1989 , a moeda do nosso país era o cruzado (Cz$). De lá para cá, tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro novo e, hoje, temos o real. Para comparar valores do tempo do cruzado e de hoje, os economistas calcularam que 1 real equivale a 2.750.000.000 cruzados. Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas de 1cruzado cada uma. Se uma pilha de 100 notas de 1cruzado tem 1,5cm de altura, qual seria a altura do salário do João?
A) 26,4km B) 264km C) 26 400km D) 264000km E) 2640000km
13) Há 1002 balas de banana e 1002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Se q é a probabilidade das duas balas serem de sabores diferentes e p é a probabilidade das duas balas serem do mesmo sabor, qual o valor de q−p ?
A) 0 B) 1/2004 C) 1/2003 D) 2/2003 E) 1/1001
14) Se 2(22x)=4x+64 , então x é igual a:
A) −2 B) −1 C) 1 D) 2 E) 3
15) Dois espelhos formam um ângulo de 30° no ponto V. Um raio de luz parte de um ponto S paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, como mostra a figura. Depois de uma certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm ambos 1 metro, qual o
comprimento em metros do trajeto percorrido pelo raio de luz?
A) 2 B) √ C) √ √ D) √ ( √ ) E) √
16) Seja n = 9867 . Se você calculasse n3−n2, encontraria um número cujo algarismo das unidades é:
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
17) O gráfico da parábola y = x2 - 5x+ 9 é rodado de 180° em torno da origem. Qual é a
equação da nova parábola?
A) y = x² + 5x+ 9 B) y = x² - 5x-9 C) y = -x² + 5x-9 D) y = -x² - 5x+ 9 E) y = -x² - 5x-9
18) Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio ʺCompre um e leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é:
A) ʺLeve dois e pague um” B) ʺLeve três e pague um” C) ʺLeve três e pague dois”
D) ʺLeve quatro e pague três” E) ʺLeve cinco e pague quatro”
19) Na figura, os dois triângulos ABC e FDE são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo x?
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
29

20) O desenho mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado ao longo das bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume da caixa em cm3 ?
A) 1500 B) 3 000 C) 4 500 D) 6 000 E) 12 000
21) Numa seqüência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos imediatamente anteriores, o segundo termo é 1e o quinto termo é 2005 . Qual é o sexto termo?
A) 3 002 B) 3008 C) 3010 D) 4 002 E) 5 004
22) A função f é dada pela tabela a seguir.
Por exemplo, f(2) = 1 e f (4) = 5 . Quanto vale ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
23) Encontre o produto:
A) 10/125 B) 5/9 C) 3/5 D) 8/15 E) 1/120
24) Quais os valores de x que satisfazem < ?
A) B) C) < < D) < E)todos os valores de x.
25) Artur quer desenhar uma “espiral” de 4 metros de comprimento formada de segmentos de reta. Ele já traçou 7 segmentos, como mostra a figura. Quantos segmentos ainda faltam traçar?
A) 28 B)30 C) 24 D)32 E) 36
26) Quantas soluções inteiras e positivas satisfazem a dupla inequação
2000 < √ ( ) < 2005 ?
A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5
27) Seja v a soma das áreas das regiões pertencentes unicamente aos três discos pequenos (em cinza claro), e seja w a área da região interior unicamente ao maior disco (em cinza escuro). Os diâmetros dos círculos são 6, 4, 4 e 2. Qual das igualdades abaixo é verdadeira?
A) 3v=πw B) 3v=2w C) v=w D) πv= 3w E) πv=w
28) A menor raiz da equação ² =6 é:
A) -1/3 B) -1/2 C)1/3 D)1/4 E)3/2
29) Os ramais de uma central telefônica têm apenas 2 algarismos, de 00 a 99 . Nem todos os ramais estão em uso. Trocando a ordem de dois algarismos de um ramal em uso, ou se obtém o mesmo número ou um número de um ramal que não está em uso. O maior número possível de ramais em uso é:
A)Menos que 45 B)45 C)entre 45 e 55 D) mais que 55 E)55
30)
30

QUESTÕES DISSERTATIVAS
31) Na figura ao lado ABCD é um retângulo e ABE e CDF são triângulos retângulos. A área do triângulo ABE é 150cm² e os segmentos AE e DF medem, respectivamente, 15 cm e 24cm . Qual
o comprimento do segmento CF?
32) Para encher de água um tanque em forma de um bloco retangular de 300cm de comprimento, 50cm de largura e 36cm de altura, um homem utiliza um balde cilíndrico, de 30cm de diâmetro em sua base e 48cmde altura, para pegar água numa fonte. Cada vez que ele vai à fonte, ele enche 4/5 do balde e no caminho derrama 10 % do seu conteúdo. Estando o tanque inicialmente vazio, quantas viagens à fonte o homem terá que fazer para que a água no tanque chegue a 3/4 de sua altura?
33) Qual é o maior fator primo de 2006 ?
34) Determine o valor de (666 666 666)² – (333 333 333)² .
35) A figura mostra a marca de uma empresa, formada por dois círculos concêntricos e outros quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois círculos concêntricos. O raio do círculo menor mede 1cm. Qual é, em centímetros, o raio do círculo maior?
36) A festa de aniversário de André tem menos do que 120 convidados. Para o jantar, ele pode dividir os convidados em mesas completas de 6 pessoas ou em mesas completas de 7 pessoas. Nos dois casos são necessárias mais do que 10 mesas e todos os convidados ficam em alguma mesa. Quantos são os convidados?
37) (a) Calcule o número de diagonais do prisma hexagonal reto representado na figura 1.
(b) Calcule o número de diagonais do prisma representado na figura 2 . Este poliedro é muito utilizado na fabricação de dados, e é obtido realizando-se oito cortes em um cubo, cada corte próximo a um dos seus 8 vértices (isso “arredonda” o dado e facilita a sua rolagem).
38)
31

39) Num triângulo retângulo, definimos o cosseno de seus
ângulos agudos α por:
cosα = cateto adjacente / hipotenusa = c / a.
O triângulo retângulo da figura tem cateto OA=1. Escrevaem
ordem crescente os cossenos dos ângulos de 25°, 41° e 58°.
40) Um ônibus, um trem e um avião partem no mesmo horário da cidade A para a cidade B. Se eu tomar o
ônibus cuja velocidade média é 100 km / h , chegarei à cidade B às 20 horas. Se eu tomar o trem, cuja
velocidade média é 300 km / h , chegarei à cidade B às 14 horas. Qual será o horário de chegada do avião se
sua velocidade média é de 900 km / h ?
41)
42) Quais figuras estão corretas?
43)
44)
45) Quantos dentre os números −5 , − 4 , − 3, − 2 , − 1, 0 ,1 , 2 , 3 satisfazem a
desigualdade −3x² < −14?
32

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