O documento explora a resolução de situações-problema envolvendo números naturais, apresentando o método de George Pólya em quatro etapas: compreensão, planejamento, execução e revisão. Inclui exemplos práticos que vão desde operações matemáticas até o uso de sistemas de equações, abordando conceitos de matemática aplicados ao cotidiano. Além disso, discute operações com números decimais e frações, enfatizando a importância da estrutura lógica na resolução de problemas.

2. Semana 1
Situação-problema
Resolver situações-problema diversas, envolvendo números naturais, é uma habilidade muito
necessária no nosso cotidiano. Observe a seguinte situação: a maioria da população tem acesso à
internet e, dentre os muitos sites visitados, o Facebook é um dos líderes. A proliferação de uma
notícia nesse site se alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha 100 amigos em sua lista. Por
conseguinte, se cada amigo tiver mais 100 outros amigos, uma notícia publicada por Mateus
poderá ser vista por 10 000 pessoas facilmente.
A matemática possibilita conferir se as informações acima estão corretas.
Um matemático desenvolveu um procedimento que facilita verificar e compreender
situações-problema. George Pólya foi um matemático húngaro que viveu de 1887 a 1985. Ele
desenvolveu 4 passos para a resolução de problemas:
∙ Compreender o problema;
∙ Construir um plano de ação;
∙ Executar o plano;
∙ Rever a resolução.

3. Etapa 1 -
Compreensão
do problema
Quais são os
dados do
problema?
Quais são as
incógnitas?
Quais são as
condições ou
restrições?
Etapa 2 – Plano de ação
O objetivo é encontrar
conexões entre os dados do
problema e sua incógnita.
Você se lembra de algum
problema semelhante?
Você consegue adaptar
métodos usados em
problemas semelhantes para
este problema?
Você conhece resultados ou
fórmulas que possam
ajudar?
Você pode enunciar o
problema de forma diferente?
Você consegue resolver
parte do problema?
Etapa 3 - Executar o
plano
Se um bom plano foi
encontrado na Etapa
2, sua execução é,
frequentemente, uma
tarefa bem mais
simples.
Etapa 4 - Revisão da resolução
Este passo é frequentemente
deixado de lado, mas ao revisar
a solução, você poderá
consolidar seu conhecimento e
desenvolver sua habilidade de
resolução de problemas.
Você pode checar o resultado.
Ele parece razoável? Você pode
checar os argumentos usados.
Eles são mesmo convincentes?
Você pode encontrar uma
maneira alternativa de resolver o
problema? Você pode usar o
mesmo método em outro
problema?

4. Exemplo: Carlos comprou uma televisão no valor de R$ 1 950,00, dividido em 10 parcelas iguais. Ao pagar a
6ª parcela, recebeu um aumento salarial que representava o restante das parcelas. Quanto Carlos recebeu
de aumento salarial?

5. 1. Considerando que estamos no ano de 2023, qual é a soma desse número com seu antecessor e
sucessor?
2. Um trabalhador, ao receber o seu salário, organizou suas contas a serem pagas: R$ 420,00 de aluguel; R$
150,00 com energia; R$ 78,00 com água; R$ 102,00 com internet e R$ 745,00 com alimentação. Observou
que lhe restaram R$ 522,00. Qual é o salário desse trabalhador?
3. O gráfico, a seguir, mostra a idade dos estudantes de uma determinada escola.
Responda
a) Qual é a quantidade de estudantes dessa
escola?
b) Quantos estudantes têm 15 anos ou 18
anos?
c) C) Qual é o número de estudantes maiores
de 15 anos e menores de 18 anos?

6. 4. (Enem 2022 – Adaptada) Nos cinco jogos finais da última temporada, com uma
média de 18 pontos por jogo, um jogador foi eleito o melhor do campeonato de
basquete. Na atual temporada, cinco jogadores têm a chance de igualar ou melhorar
essa média. No quadro, estão registradas as pontuações desses cinco jogadores nos
quatro primeiros jogos das finais desse ano.
Responda a seguir:
a) De quanto foi a soma de pontos em cada jogo?
b) Qual foi a soma de pontos nos quatro jogos?
c) Quem foi o jogador que mais pontuou, e quantos pontos ele fez?
d) O jogador que menos pontuou fez quantos pontos?

7. 5. A distância entre a cidade de São Paulo (SP) e Goiânia (GO) é de 930 quilômetros. Se um motorista
dirige por 724 quilômetros e faz uma parada para dormir, quantos quilômetros ele ainda terá que dirigir
para chegar ao destino?
6. O senhor Manoel recebeu R$1 320,00 de salário. Pagou R$480,00 de aluguel, em seguida, R$225,00
com remédios e R$416,00 com alimentação, energia e água. Com quantos reais o senhor Manoel ficou?
7. (Enem 2014 – Adaptada) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em
fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele
sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). Certo
dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia
seguinte (horário local de A).
Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve
pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s)
(A) 16h. (D) 4h.
(B) 10h. (E) 1h.
(C) 7h.

9. 11.(Enem 2015) Um paciente precisa ser submetido a um tratamento, sob orientação médica, com
determinado medicamento. Há cinco possibilidades de medicação, variando a dosagem e o intervalo
de ingestão do medicamento. As opções apresentadas são:
A: um comprimido de 400 mg, de 3 em 3 horas, durante 1 semana;
B: um comprimido de 400 mg, de 4 em 4 horas, durante 10 dias;
C: um comprimido de 400 mg, de 6 em 6 horas, durante 2 semanas;
D: um comprimido de 500 mg, de 8 em 8 horas, durante 10 dias;
E: um comprimido de 500 mg, de 12 em 12 horas, durante 2 semanas.
Para evitar efeitos colaterais e intoxicação, a recomendação é que a quantidade total de massa da
medicação ingerida, em miligramas, seja a menor possível.
Seguindo a recomendação, deve ser escolhida a opção
(A) A.
(B) B.
(C) C.
(D) D.
(E) E.

10. 12. Os 5 habitantes de uma residência consomem 12 000 litros de água em 30 dias.
Quantos litros cada habitante consome, em média, por dia?
13. A banda marcial da escola irá fazer uma apresentação em outra cidade que dista
480 km. Considerando que o ônibus viajará a uma velocidade constante de 80 km/h,
qual será a duração dessa viagem?
14. Uma jovem tem o objetivo de ler, em 15 dias, uma coleção de livros que totaliza 450
páginas. Em média, quantas páginas ela deverá ler por dia?
15. Uma bicicleta custa R$1 800,00 e deverá ser paga em 10 prestações sem acréscimo.
Quanto custará cada prestação?

11. 16. (Enem 2013) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se
utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2
partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um
caminhão betoneira com 14 m³ de concreto. Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de
concreto trazido pela betoneira?
(A) 1,75
(B) 2,00
(C) 2,33
(D) 4,00
(E) 8,00
17. Em cima da mesa do professor, existem três porta-lápis. Em cada porta-lápis, há três lápis.
Escreva na forma de potência essa quantidade de lápis e resolva.
18. Se cada caderno tem 10 matérias, cada matéria tem 10 folhas e cada folha tem 10 linhas,
quantas linhas esse caderno possui?

13. 21. Um estudante foi ao mercado com a seguinte lista de compras:
Produto Valor por unidade Quantidade Total
Pacote de arroz R$26,00 02 pacotes
Pacote de açúcar R$18,00 02 pacotes
Óleo de soja R$6,00 03 unidades
Pacote de feijão R$8,00 04 pacotes
Responda:
a) Complete o quadro que mostra a lista de compras desse estudante.
b) Qual foi o valor total dessa compra?
c) Qual foi a diferença entre os valores gastos na compra de arroz e de feijão?

14. 22. As notas bimestrais de um estudante estão registradas no gráfico.

16. NÚMEROS RACIONAIS

18. Ele precisa de:
1 bola de 200mm representando o sol;
1 bola de 150mm representando Júpiter;
1 bola de 125 mm representando Saturno;
5 bolas de 100mm representando Vênus, Terra, Marte, Urano e Netuno;
1 bola de 60mm representando Mercúrio.
Se Túlio comprar todas as bolinhas de que precisa, quando pagará?

19. Assim, se Túlio comprar todas as bolinhas de que precisa, ele pagará o valor de R$
14,90.
Na soma e subtração de números decimais, deve-se operar cada algarismo da primeira
parcela com seu respectivo correspondente na mesma casa decimal (valor posicional) da
segunda parcela, ou seja, décimos são somados/subtraídos com décimos, centésimos
com centésimos e milésimos com milésimos, devendo sempre alinhar a vírgula.
Na multiplicação com números decimais, efetua-se a multiplicação entre os fatores sem se
considerar as vírgulas. E no resultado, coloca-se uma vírgula de maneira que a quantidade
de casas decimais do produto seja igual à soma das casas decimais dos fatores.

20. Na divisão com números decimais, tanto o dividendo quanto o divisor devem ter o
mesmo número de casas decimais. Quando isso não ocorre, deve-se igualar as
casas decimais utilizando o zero, conforme os casos:
1º caso – Divisão entre dois decimais.
Se os dois termos da divisão possuem um algarismo à direita da vírgula, então
podemos multiplicar por 10 e eliminá-la.

21. 2º caso – Divisão entre um nº decimal e nº natural.
Deve-se reescrever o divisor para que apresente o mesmo número de casas decimais
que o dividendo. Após isso, eliminar a vírgula, multiplicando os dois termos por 10, 100,
1000… de acordo com o número de casas decimais, e realizar a divisão.

22. 3º caso – Divisão de um nº natural por um nº decimal.
Deve-se adicionar uma vírgula ao dividendo e, em seguida, colocar zeros à direita
da vírgula igual ao número de casas decimais do divisor.

24. As operações com racionais na representação fracionária também seguem algumas
especificações. Observe:
Na soma e subtração de frações, quando os denominadores são iguais, conservamos os
denominadores e somamos ou subtraímos apenas os numeradores.
Quando os denominadores são diferentes, pode-se encontrar frações equivalentes de mesmo
denominador utilizando-se o mínimo múltiplo comum (MMC), que nada mais é do que o menor
número divisível pelos denominadores.

25. Na multiplicação de frações, basta multiplicar um numerador pelo outro e, em
seguida, um denominador pelo outro. A multiplicação é feita dessa forma,
independentemente do número de frações.
Na divisão de frações, a regra é a seguinte:
1º O numerador da primeira fração multiplica o denominador da segunda;
2º O denominador da primeira fração multiplica o numerador da outra fração.
Em outras palavras, conserva-se a primeira fração, e multiplica-se pelo inverso da
segunda fração:

27. De 1,68 para 1,75, houve um aumento de 0,07m, porém, como a questão pede em
centímetros, basta convertermos metros em centímetros. Como 1 metro equivale a 100
centímetros, houve um aumento médio de 7 cm.
Exemplo 2: Dona Mariana comprou uma dúzia de um certo produto por R$ 162,00 e
resolveu vender cada unidade por R$ 19,75. Se ela comprar e vender 35 dessas unidades
ela terá lucro ou prejuízo?
Resolução: Dona Mariana comprou doze unidades de um certo produto por R$162,00

33. 8. Considere a expressão a seguir.
1,8 + 1,35 + 2,1 – 0,8
Efetuando as operações indicadas, obtém-se como resultado
(A) 4,45.
(B) 6,05.
(C) 17,2.
(D) 15,6.
9. Observe a operação a seguir.
Qual é o resultado dessa operação?
(A) 0,0031
(B) 0,31
(C) 3,1
(D) 31

35. ).
Semana 2

41. 1. A seguir, são apresentadas algumas expressões e sentenças. Diferencie-as
usando (A) para aquelas que são somente expressões numéricas, (B) para
aquelas que são somente expressões algébricas e (C) para as que são equações.
( ) 3x ( )105x-10 = 90
( ) 4+8 ( ) 387-1x- 45
( ) x^1+3x-4 = 2 ( ) 745+541-x=0
( ) 69 -11+ 58 ( ) x+1 = 0
( ) 3x-1+ 9 ( ) 54 +1 – 55
2. A seguir, estão algumas sentenças algébricas. Diferencie-as usando (E) para as
que expressam relação de igualdade (equações) ou (I) para as que expressam
relação de desigualdade (inequações).
( ) 2x + 5 < 11 ( ) 3x + 6 = 2x + 8
( ) x - 2/5 = 8/5 ( ) 3 · (x + 2) - 5 · (2x - 1) > 0.
( ) 99x+4=796 ( ) 3x - 1/2 ≤ 0.

44. )

45. .

47. 10. (ENEM 2017 - Reaplicação/PPL) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua
câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar
10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo
e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim
como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória
exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores.
Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012.
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é
(A) 200.
(B) 209.
(C) 270.
(D) 340.
(E) 475

49. Sistema de Equações

51. ).

52. ).

53. ).

54. ).

55. ).

56. ).
4. Para cada caso a seguir, escreva o sistema de equações que corresponde
matematicamente ao problema.
a) Em um estacionamento, havia carros e motos, totalizando 29 veículos e 92 rodas. Dos
veículos, quantos eram carros?
b) A taxa de um estacionamento é de R$ 4,00 por moto e R$ 8,00 por carro. Ao final de
um dia, o caixa registrou R$ 168,00 para um total de 50 veículos. Quantas motos
estavam estacionadas nesse estacionamento?
c) Alexia e Evandina mandaram ajustar algumas peças de roupa juntas e pagaram um
total de R$ 320,00. Quanto cada uma gastou, sabendo que Alexia pagou o triplo de
Evandina.
d) Maria comprou, em uma promoção da loja “Vende Bem”, uma camiseta e duas
bermudas por R$ 55,00. E Joana comprou, na mesma loja, duas camisetas e uma
bermuda por R$ 65,00. Essa loja vende cada camiseta por qual valor?

57. ).

58. ).

59. ).

60. ).

61. ).

62. ).

63. ).

64. ).
a) Quantas retas estão representadas nesse plano cartesiano?
b) As retas são paralelas ou concorrentes?
c) As retas possuem um ponto em comum (se cruzam)? Se sim, em qual ponto?
d) Indique, no quadro a seguir, quatro pontos para cada reta.

65. ).
f) Agora, utilize os dois pontos indicados a seguir para escrever a lei de formação da
reta azul e verde.
g) Comparando a solução das alternativas anteriores e) e f), qual foi o método que você
achou mais fácil? Resposta pessoal.
h) Escreva algebricamente o sistema de equações que corresponde às retas
representadas no plano cartesiano.

66. ).
9. Observe o plano cartesiano a seguir e, depois, responda algumas perguntas referentes a ele.
a) Quantas retas estão representadas nesse plano cartesiano?
b) As retas são paralelas ou concorrentes?
c) As retas possuem um ponto em comum (se cruzam)? Se sim, em qual ponto?
d) Indique, no quadro a seguir, quatro pontos para cada reta.

67. ).
g) Comparando a solução das alternativas anteriores, qual foi o método que você achou mais
fácil? Resposta pessoal.
h) Escreva algebricamente o sistema de equações que corresponde às retas representadas
no plano cartesiano.

68. ).
10. Observe o sistema de equações do primeiro grau e sua representação
geométrica no plano cartesiano a seguir.
Agora faça o que se pede.
a) Escreva o ponto de intersecção das duas retas.
b) Resolva esse sistema.
c) O ponto de intersecção das duas retas e a solução algébrica desse sistema tem algo
em comum? O quê?
d) Circule a solução algébrica que você encontrou na representação geométrica desse
sistema.

69. ).
11. Observe o sistema de equações do primeiro grau e sua representação
geométrica no plano cartesiano a seguir.
Agora faça o que se pede.
a) Escreva o ponto de intersecção das duas retas.
b) Substitua o ponto de intersecção no sistema e faça as operações.
c) O que representa o ponto de intersecção das duas retas para o sistema de
equações?

70. ).
12. Observe o gráfico a seguir.