A oficina discute a construção de conceitos em trigonometria no ensino médio, com foco nas aplicações ao invés de cálculos algébricos. A trigonometria tem aplicações em medições, modelagem de fenômenos periódicos e resolução de problemas em diversas áreas. Exemplos históricos mostram como a trigonometria evoluiu e se expandiu para novas áreas ao longo do tempo.

1. UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
PROJETO ENGENHEIRO DO FUTURO
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM NOVAS METODOLOGIAS
PARA O ENSINO MÉDIO EM CIÊNCIAS, MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
Oficina sobre Construção de Conceitos em Trigonometria
Professoras Isolda Giani de Lima, Laurete Zanol Sauer, Solange Galiotto Sartor
A Trigonometria, segundo orientações PCNEM – parte 3, é “um tema que exemplifica
a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e
competências, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento
excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações para enfatizar os aspectos
importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. Especialmente para o
indivíduo que não prosseguirá seus estudos nas carreiras ditas exatas, o que deve ser
assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem
medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e na construção de modelos que
correspondem a fenômenos periódicos”.
A trigonometria vem da antiguidade remota (LIMA, 1998), desde quando se
acreditava como circulares as órbitas dos planetas. Conforme esse professor de Matemática,
um dos expoentes contemporâneos, o problema que deu origem a este estudo foi a interesse
em calcular o comprimento de uma corda de circunferência. Daí também se originou o nome
seno, por uma equivocada tradução do termo árabe para o latim, onde se confundiu o termo
jiba (corda) com jaib (dobra, cavidade, sinus em latim). Parece pouca coisa, mas foi disso
que se abriu um dos temas de matemática de mais expressão e aplicação nas diferentes
Ciências da Natureza e Matemática e suas Tecnologias, uma das três grandes áreas
curriculares, segundo os PCNEM.
De uma proposta de atividades de aprendizagem em CARMO; MORGADO; WAGNER
(2005) encontramos uma variedade de situações onde a trigonometria está presente.
A trigonometria, como um problema de triângulos, consiste em determinar e
relacionar, através das razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente, secante,
cossecante e cotangente) os seis elementos de um triângulo retângulo (os três lados
e os três ângulos) sempre que se conhecem três desses elementos, sendo pelo
menos um deles lado do triângulo.

2. Com esse conhecimento, um navegante, mesmo solitário, em noite escura pode
sair de um ponto A e chegar num ponto B de uma carta náutica, planejando uma
rota poligonal, se conhecer a velocidade do seu barco e possuir, além dessa carta,
um relógio e uma bússula.
Qualquer um de nós, sabendo um pouco de trigonometria pode determinar a
altura de uma torre vertical, ou de uma montanha, se podemos conhecer o ângulo
sob o qual avistamos a torre e sabemos quanto longe, em linha reta, de nós a
mesma se encontra.
Podemos medir a largura de um rio, de uma estrada, de uma ponte, de um
terreno, sempre de margens paralelas, sem atravessá-los.
Se um astronauta em órbita vê uma fração da superfície da Terra (calota
esférica) avistando o diâmetro dessa calota sob um ângulo determinado, ele pode
calcular a área da superfície do Planeta que é vista.
Aristarco de Samos (310-230 a.C.), astrônomo grego, discípulo da Escola de
Alexandria, foi o primeiro cientista a propor que a Terra gira em torno do Sol.
Todavia, esse fato só ficou conhecido através de uma referência de Arquimedes, e a
teoria heliocêntrica só teve reconhecimento e validade mais de mil anos depois, com
Copérnico. Foi ele, Aristarco, quem primeiro “mediu”, com base em triângulos, que
estando a Lua exatamente meio-cheia, o ângulo Lua-Terra-Sol mede
aproximadamente 87 graus. Cometeu um compreensível engano de observação;
sabe-se que esse ângulo é, na realidade, 89 graus e 51 minutos.
Essas e muitas outras situações relacionadas às ciências, importantes também no
contexto das Engenharias, mostram a expressão do conhecimento em trigonometria ao longo
da evolução da humanidade.
O seguinte extrato de texto, disponível em
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/1999/TRIGO.HTML (acesso em 23/03/09)
sintetiza as idéias que apresentamos até aqui e amplia as possibilidades de aplicação
quando refere trigonometria plana e trigonometria esférica.
“Trigonometria é o ramo da Matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de
triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas

3. pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma
seção da superfície de uma esfera.
A trigonometria começou como uma Matemática eminentemente prática, para determinar
distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à agrimensura e à
astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a
trigonometria esférica ampliou sua aplicação à Física, à Química e a quase todos os ramos
da Engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o
fluxo de corrente alternada.
A trigonometria começou com as civilizações babilônica e egípcia e desenvolveu-se na
Antiguidade graças aos gregos e indianos. A partir do século VIII d.C., astrônomos islâmicos
aperfeiçoaram as descobertas gregas e indianas, notadamente em relação às funções
trigonométricas.
A trigonometria moderna começou com o trabalho de matemáticos no Ocidente a partir do
século XV. A invenção dos logaritmos pelo escocês John Napier e do cálculo diferencial e
integral por Isaac Newton auxiliaram os cálculos trigonométricos.”
Ainda hoje, como foi em todos os tempos, a trigonometria é tema de estudos nos
níveis básico e superior da educação. Os conceitos fundamentais da trigonometria podem
ser compreendidos e (re)construídos em todas as oportunidades que surge a sua aplicação
ou implicação. Através de construções geométricas, com estratégias de aprendizagem ativa,
pode-se propiciar o envolvimento dos estudantes no sentido de dar significado aos conceitos.
Dessa forma, pode-se promover o reconhecimento de que a aprendizagem requer
compreender e significar o que se aprende, tirando de foco a idéia de decorar, aplicar
fórmulas, fazer cálculos e seguir receitas como metodologias de ensino e aprendizagem.
Referências.
CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto Cesar de Oliveira; WAGNER,
Eduardo; CARVALHO, João Pitombeira de. Trigonometria, números complexos. 3.ed. Rio de
Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005. (Coleção do professor de matemática)
LIMA, Elon Lages. A matemática do ensino médio. 9.ed. Rio de Janeiro, RJ: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2006. v. 1. Coleção do professor de matemática.