Este documento propõe duas atividades pedagógicas para ensinar trigonometria utilizando a história da matemática como recurso didático. A primeira atividade envolve medir distâncias inacessíveis através das sombras, como fizeram matemáticos antigos, e a segunda utiliza a semelhança de triângulos para o mesmo fim. O documento também fornece um breve resumo da evolução histórica da trigonometria desde a Antiguidade até os dias atuais.

1. 2828925-717551776730-71755<br />UNEB – UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA<br />NEAD – NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA<br />CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA<br />POLO FEIRA DE SANTANA – GRUPO G7<br />DISCIPLINA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA <br />UMA PROPOSTA DE ENSINO DA TRIGONOMETRIA UTILIZANDO A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO RECURSO DIDÁTICO.<br />Por: Ana Cristina Monteiro<br />Antonia Angélica Santos Brasil<br />Celina Maria Santos Barreto Dantas <br />Deinise Luzia Chaves da Silva <br />Euflorsina Elias de Jesus<br />Juvêncio Ribeiro de Sena <br />FEIRA DE SANTANA- BA<br />Setembro - 2011.<br />INTRODUÇÃO<br />Ensinar trigonometria nem sempre é uma tarefa simples. O professor se depara com uma série de dificuldades que interferem diretamente na aprendizagem de seus alunos. Grande parte dos alunos afirma nunca ter visto, em sua vida escolar, nada relacionado a cálculos envolvendo triângulos. Por sua vez, os professores do ensino fundamental salientam da dificuldade de concluir em tempo hábil todos os assuntos do programa e que por isso os assuntos de geometria e trigonometria, últimos assuntos dos livros didáticos, não são vistos. <br />Uma proposta interessante que pode facilitar o entendimento sobre a trigonometria é o uso da sua história como recurso didático. Assim, esse trabalho sugere a utilização de duas atividades pedagógicas, destinadas a alunos do 1º ou 2º ano, do ensino médio, como forma de despertar o interesse pelo conhecimento trigonométrico matemático sob um olhar histórico. <br />Há diversas aplicações para a trigonometria, no entanto, o alunado não percebe a sua real significância do ponto de vista prático. Ao ser estimulado a descobrir como os matemáticos resolviam um determinado problema, envolvendo a trigonometria, acabam descobrindo que até hoje utilizamos tais cálculos para resolver questões similares. Dessa forma, eles conseguem perceber a importância de desses cálculos e como eles foram desenvolvidos ao longo dos anos. <br />UM POUCO DA HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA<br />O significado da palavra trigonometria (do grego trignon, “triângulo”, e metron, “medida”) remete-nos ao estudo dos ângulos e lados do triângulo. Mais amplamente, a trigonometria é usada para resolver problemas geométricos que relacionam ângulos e distâncias. <br />Não se sabe ao certo as origens da trigonometria. Registros como o Papiro de Rhind a tabula Plinpton 322, encontrados, no Egito e na Babilônia, por volta do século IV ou V a.C já utilizavam cálculos envolvendo trigonometria para resoluções de problemas da Astronomia, Agrimensura e Navegações. <br />Papiro RhindFonte: http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm<br />Considerado como “o pai da trigonometria” o astrônomo Hiparco de Nicéia, na segunda metade do século II a.C., fez o primeiro estudo sistemático das relações entre ângulos e comprimento da corda correspondente, que resultou na primeira tabela trigonométrica. <br />No século II d.C foi Ptolomeu de Alexandria que influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, com a sua obra Almagesto, considerada a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antigüidade, onde registrou uma tabela de cordas dos ângulos de 0º à 180º, em ordem crescente e em função da metade do ângulo. Essa tabela é equivalente a tabela de senos que utilizamos atualmente. Além disso, o Almagesto traz informações existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria que posteriormente, os árabes tiveram acesso a esses conhecimentos e os difundiram pela Europa.<br />Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de consulta para os astrônomos de todo o mundo. Somente a partir do século VIII, é que os cientistas voltaram a sua atenção para as obras trigonométricas dos Hindus. E se depararam com a primeira tabela de senos do ângulos, escrita por Aryabhata, por volta do ano 500. <br />Os árabes não se limitaram, apenas, a divulgar a obra dos gregos e dos hindus, também deram as suas contribuições significativas: introduziram os conceitos de tangente, cotangente, secante e cossecante. O primeiro texto sistemático de trigonometria, desvinculado da astronomia, é do árabe Nasir Eddin datado do século XIII. <br />No século XVI o francês Viète, trouxe uma abordagem analítica ao estudo trigonométrico, sendo o primeiro a aplicar as transformações algébricas à trigonometria. Além disso, defendeu a representação decimal contra a sexagesimal, ainda em uso, e calculou o seno de um grau com 13 algarismos, onde com base nesse valor registrou tábuas para seis funções trigonométricas. Viète estabeleceu relações trigonométricas importantes como, por exemplo, as formulas para sen(nθ) e cos(nθ) em função de sen(θ) e cos(θ).<br />Um grande avanço para a trigonometria sob o olhar da análise foi dado por Newton, no século XVII, ao expressar as funções circulares na forma de séries inteiras. Por exemplo, senx=x-x33!+x55!-… .<br />Mesmo com tantos autores importantes para o desenvolvimento da trigonometria, no século XVIII, Leonard Euler, foi o matemático tido como o verdadeiro fundador da trigonometria moderna. Seu papel renovador surge nos conceitos básicos da trigonometria: o seno não é mais um segmento de reta a ser expresso em relação a alguma unidade, mas sim, abscissa de um ponto do círculo unitário de centro na origem. Além disso, dedicou-se também ao estudo da trigonometria esférica. <br />A DISTRIBUIÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA NO BRASIL<br />Embora no Brasil a origem do pensamento curricular data dos anos 20, com destaque para Anísio Teixeira, defensor dos ideais escolanovistas, até a década de 60 não existiu sistematicamente no país documentos oficiais com a denominação de “Currículo”.<br />Segundo Nacarato (Artigo: uma análise da sua evolução histórica e da transposição didática desse conhecimento presente nos manuais didáticos e propostas curriculares) a trigonometria esteve presente no ensino secundário no Brasil em todo o século XX. O Colégio Pedro II era considerado modelo para as demais instituições de ensino secundário, foi responsável por todos os Programas de Ensino de 1850 a 1929. <br />Em todos esses programas, a trigonometria era conteúdo obrigatório – com maior ou menor ênfase de um programa para outro – e, às vezes, alternando de série. No Entanto, esses conteúdos eram traduzidos de livros originais franceses, e apresentavam a trigonometria como um conteúdo matemático isolado da geometria, da álgebra e da aritmética.<br />Em 1961, com a publicação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – Lei 4.024/61- a educação brasileira começa a viver uma fase de descentralização, nesse período . o ensino de Trigonometria fica impregnado das noções de funções e conjuntos, e passa a ter uma abordagem mais voltada à realização de exercícios, em detrimento da elaboração conceitual. <br />Finalmente na década de 90, o governo federal propõe os PCNS, nas propostas curriculares percebe-se uma mudança de ênfase metodológica para o ensino de matemática e a sua aprendizagem pelos alunos, ou seja, a necessidade de um ensino mais voltado à compreensão e elaboração conceitual do que a técnicas, procedimentos e rigor na linguagem, o que possibilita a identificação das categorias referentes ao conteúdo de trigonometria (Funções circulares; Triângulo retângulo; Triângulos quaisquer; Operações com arcos; Arcos e ângulos; Adaptação de expressões ao cálculo logarítmico; Equações, inequações e sistemas trigonométricos;Identidades Trigonométricas). <br />Atualmente a trigonometria é um conteúdo dos programas do Ensino Médio.<br />Boa parte dos livros do ensino médio que trazem tópicos de trigonometria, geralmente os destinados ao 1º e 2º ano, quando abordam seu aspecto histórico o fazem de forma bem sucinta no inicio ou no final do capitulo.<br />Os professores do ensino médio relatam não utilizar a história da trigonometria como recurso, mesmo que o livro didático adotado, aborde este item. <br />PROPOSTAS DE ENSINO DA TRIGONOMETRIA UTILIZANDO O RECURSO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA<br />Uma atividade comumente encontrada nos exercícios dos livros didáticos é o cálculo de medidas conhecendo a projeção da sombra. Essa é uma abordagem interessante, tanto do ponto de vista experimental, quanto o de pesquisa histórica. <br />Tema: Medindo distâncias inacessíveis através das sombras <br />Pesquisa: Como os estudiosos da matemática calculavam distâncias impossíveis de medir diretamente?<br />Material: fita métrica ou trena, papel, lápis, calculadora, transferidor, canudo, tachinha, tabela trigonométrica.<br />Orientações para o professor: <br />Dividir a turma em equipes;<br />As equipes farão os seus experimentos com base na pesquisa histórica, sob orientação do professor;<br />Construir com os alunos o “grafômetro” utilizando o transferidor a tachinha e o canudo;<br />Após a verificação e os registros dos experimentos os alunos apresentarão o que encontraram na sua pesquisa, bem como os resultados obtidos nos experimentos, para toda turma. <br />Orientações para a equipe: <br />Calcular a altura de uma estrutura de difícil medição, como por exemplo, a caixa d’água da escola. Ficando a critério da equipe. Seria interessante que as equipes escolhessem estruturas diferentes;<br />O grupo irá se dividir em duplas para efetuar, com o auxilio da trena, as medições da projeção da sombra no chão e o ângulo formado a partir do chão até o topo da estrutura, com o auxilio do “grafômetro”; <br />De posse das medidas identificar qual relação trigonométrica será utilizada para calcular a altura, justificando; <br />Efetuar os cálculos, utilizando a calculadora e a tabela trigonométrica. <br />Comparar os resultados encontrados pelas duplas;<br />Apresentar as conclusões do trabalho para a turma.<br />Outra proposta de atividade: para após ter trabalhado os conceitos de semelhança de triângulos: <br />Tema: Medindo distâncias inacessíveis através das sombras <br />Pesquisa: Como os estudiosos da matemática calculavam medidas desconhecidas utilizando a sombra como ponto de partida?<br />Material: fita métrica ou trena, papel, lápis, calculadora, canos ou pedaços de madeira de diferentes tamanhos.<br />Orientações para o professor: <br />Dividir a turma em equipes;<br />As equipes farão os seus experimentos com base na pesquisa histórica, sob orientação do professor;<br />Após a verificação e os registros dos experimentos os alunos apresentarão o que encontraram na sua pesquisa, bem como os resultados obtidos nos experimentos para toda turma. <br />Orientações para a equipe: <br />O grupo irá se dividir em duplas para efetuar, com o auxilio da trena, as medições da altura do cano e do tamanho da projeção de sua sombra no chão; <br />Utilizando a calculadora, e considerando apenas duas casas decimais, com as medidas irão calcular a razão altura sombra;<br />Comparar os resultados encontrados pelas duplas;<br />Apresentar as conclusões do trabalho para a turma.<br />REFERÊNCIAS<br />BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. Brasília: 1998.<br />SMOLE, Kátia C. Stocco e DINIZ, Mª Ignez de S. Vieira. Matemática: ensino médio: volume 2 – 6. Ed. – São Paulo: Saraiva, 2010.<br />IEZZI, Gelson, et al. Matemática: ciência e aplicações, 1. Ensino médio – 6. Ed. – São Paulo: Saraiva, 2010.<br />________, Fundamentos de matemática elementar, 3: trigonometria – 8 ed. – São Paulo: Atual, 2004.<br />BARROSO, Juliane Matsubara – 1. Ed. – São Paulo: Moderna, 2010.<br />NACARATO, Adair M., BREDARIOL, Cláudia C. e PASSOS, Miriam P. Franco. TRIGONOMETRIA: uma análise da sua evolução histórica e da transposição didática desse conhecimento presente nos manuais didáticos e propostas curriculares. Disponível em PROBAIC/USFhttp://nutes2.nutes.ufrj.br/coordenacao/textosapoio/trigonometria.pdf. Acesso em 27/09/2011. <br />MENDES, Iran Abreu. A trigonometria e o seu ensino: alguns fragmentos dessa história. Disponível em http://www.sbhe.org.br/novo/congressos/cbhe2/pdfs/Tema7/0737.pdf. Acesso em 27/09/2011. <br />OLIVEIRA, Francisco Canindé de. Dificuldades no processo ensino aprendizagem de trigonometria por meio de atividades. Disponível em: http://www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/publicacoes/publicacao_62.pdf. Acesso em 27/09/2011. <br />Um pouco da História da Trigonometria. Disponível em http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm . Acesso em: 27/09/2011. <br /> <br />