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1
Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas
no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,
utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
2
GABARITO
Caderno do Aluno de Matemática – 5ª série/6º ano – Volume 1
Contando de diferentes maneiras
Página 6
1. Experimentação
Se casa grupo receber 73 pedrinhas, o quadro será o seguinte:
Observação: O resultado expressa a seguinte contagem:
• Grupo 1: 2 agrupamentos de 25 + 4 agrupamentos de 5 + 3 unidades = 50 + 20 + 3 = 73
• Grupo 2: 2 agrupamentos de 36 + 1 unidade = 72 + 1 = 73
• Grupo 3: 1 agrupamento de 49 + 3 agrupamentos de 7 + 3 unidades = 49 + 21 +3 = 73
• Grupo 4: 1 agrupamentos de 64 + 1 agrupamento de 8 + 1 unidade = 64 + 8 + 1 = 73
Professor: o objetivo principal dessa atividade é propiciar a vivência do aluno com
um novo tipo de contagem. O mais importante é que haja uma orientação sobre como
eles devem realizá-la.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E SUAS OPERAÇÕES
3
Páginas 6 - 7
2.
a) Grupo 1: (234)5 Grupo 2: (136)9
b) Grupo 1: 2.(5 . 5) + 3 . 5 + 4 = 69 Grupo 2: 1.(9 . 9) + 3 . 9 + 6 = 114
c) Foi o Grupo 2, que contou 114 pedrinhas, contra 69 pedrinhas do Grupo 1.
3.
a) 234 = 2 . 100 + 3 . 10 + 4 . 1
b) 136 = 1 . 100 + 3 . 10 + 6 . 1
c) 1 568 = 1 . 1 000 + 5 . 100 + 6 . 10 + 8 . 1
d) 28 001 = 2 . 10 000 + 8 . 1 000 + 1 . 1
e) 4 203 045 = 4 . 1 000 000 + 2 . 100 000 + 3 . 1 000 + 4 . 10 + 5 . 1
Páginas 7 - 10
4.
a) A multiplicação 6 . 25 = 150 é uma forma de abreviar a soma
25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25. Antônio terá recebido R$ 150,00 de mesada ao longo
dos 6 meses.
b) Nesse problema, a operação de adição está associada à ideia de reunir, agrupar.
Portanto, basta fazer a adição 72 + 17 + 25 = 114. O total de moedas no cofre
totalizou 114.
c) A ideia nesse problema é a de retirar . 20 – 5 – 9 = 6. Dos R$ 20,00, sobraram
R$ 6,00.
d) Em cada coluna temos 10 ladrilhos. Portanto, em 15 colunas teremos
10.15 = 150 ladrilhos.
e) Para saber quantas caixas serão necessárias para armazenar as 336 latas,
precisamos determinar o número de grupos com 16 latas que cabem nesse total.
Assim, temos que 336 ÷ 16 = 21. Serão necessárias 21 caixas.
f) Comparamos os pontos de Carlos com os de André por meio da subtração
46 – 32 = 14. Carlos fez 14 pontos a mais que André.
4
g) Neste caso, a ideia associada é a de restaurar, ou seja, recompor a quantidade
original de figurinhas: 48 + 15 = 63. Ou seja, João tinha 63 figurinhas antes de dar 15
para seu amigo.
h) Para repartir a herança equitativamente, basta realizar a divisão
3 216 ÷ 3 = 1 072. Cada filho terá direito a 1 072 moedas.
i) Para cada salada, podemos escolher entre cinco opções de pratos quentes. Nesse
caso, a ideia emergente de combinação é traduzida por uma multiplicação: 3 . 5 = 15.
Ou seja, existem 15 combinações diferentes de saladas e pratos quentes.
Página 10
5.
PPrroobblleemmaa OOppeerraaççããoo IIddeeiiaa pprriinncciippaall
Problema a Multiplicação Abreviar a soma de parcelas
Problema b Adição Reunir
Problema c Subtração Retirar
Problema d Multiplicação Calcular o número de elementos dispostos em linhas e
colunas
Problema e Divisão Formar agrupamentos
Problema f Subtração Comparar
Problema g Adição Restaurar
Problema h Divisão Repartir
Problema i Multiplicação Combinar
Página 11
6.
a) 80
b) 200
c) 80 e 20
5
d) 90 e 120
7.
a) Fazendo a operação inversa, obtemos o número pensado: 95 – 38 = 57.
b) Agora, a operação inversa é a divisão: 119 ÷ 7 = 17.
c) Nesse caso, é necessário realizar duas operações inversas: multiplicação e adição
6 + 5 = 11 e 11 . 3 = 33.
d) Temos: 72 – 12 = 60 e 60 ÷ 5 = 12.
Página 12
8.
a) adição
b) multiplicação
9.
a) Seis. 80  5 = 16; 16 – 10 = 6
b) Três. 5 . 2 = 10; 10 – 4 = 6; 6  2 = 3.
134
54 80
18 8 20 32
26 28 52
15 3 5 15 17
640
8 80
2 1 4 5
2 4 20
6
Páginas 12 - 13
10. Alternativa c.
11. Elas não respeitam a ordem das operações: as operações multiplicativas
(multiplicação e divisão) devem ser realizadas antes das aditivas (adição e
subtração).
12.
    
 
 
 
800
4.200
4.50150
4.502300
4.50220.15
4.502164.1025






13.
a) 1 + 2 . 3 = 1 + 6 = 7
b) 1 . 2 + 3 = 2 + 3 = 5
c) 10 – 2 . 4 + 5 = 10 – 8 + 5 = 7
d) 10 ÷ 2 + 4 . 5 = 5 + 20 = 25
e) 4 + 3 . 2 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 ou 4. 3 – 2 – 1 = 9
f) (4 + 3) . 2 – 1 = 7 . 2 – 1 = 14 – 1 = 13
g) (20 – 10) ÷ (4 + 1) = 10 ÷ 5 = 2
h) 20 – 10 ÷ (4 + 1) = 20 – 10 ÷ 5 = 20 – 2 = 18
7
Páginas 14 - 15
14.
a) 39
b) 40
c) 102
d) 25
e) 35
f) 1
Páginas 15 - 16
15.
a) Menor
b) Maior
c) Menor
d) Maior
e) Maior
f) Maior
g) Menor
h) Maior
i) Igual
Páginas 16 - 17
16.
a) 24 + 18 = 42
b) 55 + 38 = 93
c) 26 + 39 = 65
d) 78 + 27 = 105
8
e) 45 + 86 = 131
f) 134 + 69 = 203
g) 143 + 48 = 191
h) 216 + 67 = 283
i) 237 + 66 = 303
j) 333 + 59 = 392
k) 444 + 117 = 561
l) 115 + 218 = 333
9
Páginas 19 - 20
1.
a) Padrão: + 9 / sequência 39, 48, 57.
b) Padrão: + 11 / sequência 49, 60, 71.
c) Padrão: – 5 / sequência 12, 7, 2.
d) Padrão: × 3 / sequência 162, 486, 1 458.
e) Padrão: ×10 / sequência 100 000, 1 000 000.
f) Padrão: ÷ 2 / sequência 50, 25.
g) Padrão: 2ª potência / sequência 36, 49, 64.
h) Padrão: + 2, 3, 4, ... / sequência 15, 21, 28, 36.
2. Professor, enfatize que cada sequência deve envolver uma operação diferente: adição,
subtração. Multiplicação e divisão.
Páginas 20 - 21
3.
a) 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48
b) 11, 14, 17, 20, 23, 26
c) 7, 14, 21, 28, 35, 42
d) 5, 10, 15, 20, 25, 30
e) 0, 6, 12, 18, 24, 30
f) 0, 12, 24, 36, 48
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
EXPLORANDO OS NATURAIS
10
4.
a) M(2) = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, ...
b) M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, ...
c) M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, ...
d) M(5) = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ...
e) M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, ...
f) M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, ...
g) M(12) = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, ...
5.
a) 0, 6, 12, 18, 24, ... = M(6)
b) 0, 12, 24, 36, ... = M(12)
c) 0, 12, 24, 36, 48, ... = M(12)
d) 0, 10, 20, ... = M(10)
Páginas 21 - 22
6.
a) 48 minutos, pois o m.m.c (12,16) = 48. Todavia, é muito comum que, nesse tipo
de atividade, alguns alunos se apoiem na situação concreta para determinar a saída
conjunta, ao invés de determinar o mínimo múltiplo comum. Assim, é esperado que
alguns alunos escrevam os horários de saída dos dois ônibus para verificar os
horários iguais.
Leito: 16:30 / 16:46 / 17:02 / 17:18 / 17:34 / 17:50 / 18:06 / 18:22 / 18:38 / 18:54 /
19:10 / 19:26 / 19:42 / 19:58 / 20:14/ 20:30
Convencional: 16:30 / 16:42 / 16:54 / 17:06 / 17:18 / 17:30 / 17:42 / 17:54 / 18:06 /
18:18 / 18:30 / 18:42 / 18:54 / 19:06 / 19:18 / 19:30 / 19:42 / 19:54 / 20:06 / 20:18 /
20:30
Recorrendo a essa estratégia, é possível observar as seguintes regularidades sobre as
saídas conjuntas: elas ocorrem a cada 3 saídas do leito e 4 saídas do convencional; o
intervalo de tempo é de 48 minutos. Essa estratégia é válida do ponto de vista da
resolução de problemas, e deve ser valorizada pelo professor. Contudo, é possível
11
convencê-los de que há outra maneira, de se achar o tempo da saída conjunta,
determinando-se o mínimo múltiplo comum entre 12 e 16, que é 48.
b) Calculando os primeiros múltiplos para cada uma das distâncias, obtêm-se o
mínimo múltiplo comum entre 120 e 300, que é 600.
c) A diferença desse problema em relação aos anteriores é a utilização da ideia de
frequência. É possível que alguns alunos tentem calcular diretamente o m.m.c. entre
15 e 10, por reconhecerem a característica de periodicidade no problema. Isso levará
a uma resposta (30) que não é coerente com a questão apresentada. O entendimento
correto do problema depende da interpretação da ideia de frequência. Se uma luz
pisca 15 vezes por minuto, então o intervalo de tempo entre cada piscada é de
60 ÷ 15 = 4 segundos. Para a segunda luz, esse intervalo é de 60 ÷ 10 = 6 segundos.
Assim, a solução do problema é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6, que é 12.
Portanto, as luzes piscarão simultaneamente a cada 12 segundos.
Divisores de um número natural
7.
a) 1, 2, 4, 7, 14, 28.
b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
c) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
d) 1, 2, 13, 26.
e) 1, 7, 49
f) 1, 71
Páginas 22 - 24
8.
a) D(12) = 1, 2, 3, 6, 12
D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
D(12,30) = 1, 2, 3
b) D(28) = 1, 2, 4,7,14,28
D(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48
12
D(28,48) = 1, 2, 4
c) D(26) = 1, 2, 13, 26
D( 28) = 1, 2, 4, 7, 14, 28
D( 26,28) = 1, 2
d) D(25) = 1, 5, 25
D 9 100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
D( 25,100) = 1, 5, 25
e) D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
D( 72) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
D(12,72) = 1, 2, 3,4, 6, 12
f) D(7) = 1, 7
D(16) = 1, 2, 4, 8, 16
D(7,16) = 1
9.
a) 6
b) 4
c) 2
d) 25
e) 12
f) 1
10. Para dividir os dois tubos em pedaços iguais, sem sobras, é necessário que o
tamanho de cada pedaço seja divisor comum de 24 e de 40. O maior tamanho
corresponderá ao máximo divisor comum entre 24 e 40, que é 8.
Páginas 25 - 27
11.
NNúúmmeerrooss pprriimmooss NNúúmmeerrooss ccoommppoossttooss
2, 3, 7, 11, 13, 23, 31 6, 12, 15, 21, 24
13
12.
TTAABBEELLAA 11 –– CCRRIIVVOO DDEE EERRAATTÓÓSSTTEENNEESS
TTAABBEELLAA 22 –– OOSS 2255 NNÚÚMMEERROOSS PPRRIIMMOOSS MMEENNOORREESS QQUUEE 110000
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
13.
a) As respostas podem variar. Se eles observarem a diferença entre dois termos
consecutivos da sequência, observarão que não há regularidade. (3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2;
7 – 5 = 2; 11 – 7 = 4;
13 – 11 = 2; 17 – 13 = 4; ...) Contudo, a diferença será sempre um número par, com
exceção da primeira.
b) Os dois algarismos que aparecem com mais frequência são o três e o sete. Os que
menos aparecem são os pares, que só aparecem uma única vez, com o dois.
AAllggaarriissmmoo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
NNºº ddee vveezzeess 5 1 7 0 1 0 6 0 5 0
14
Páginas 28 - 30
14.
a) É possível que os alunos tenham dificuldade com alguns termos próprios da
biologia: ninfas, ciclo vital, vantagem evolutiva, parasita. Pode-se também sugerir a
eles que consultem o professor de ciências para esclarecer essas dúvidas.
b) Para que o ciclo de vida dos dois coincida o mínimo de vezes possível.
c) Eles se encontrariam a cada 12 anos (que é o mínimo múltiplo comum entre 4 e
12), o que representaria um risco para as cigarras.
d) O ciclo de 34 anos equivale ao mínimo múltiplo comum entre 17 e 2. Da mesma
forma, 272 é o mínimo múltiplo comum entre 17 e 16.
Potenciação
15.
a) Os pais dos meus bisavós são meus tataravós (ou trisavós), e os avós dos meus
bisavós são meus tetravós.
Observação: A palavra “tataravô” causa certa confusão. Nós sabemos que o pai do
pai é o avô e que o pai do avô é o bisavô. Mas e o pai do bisavô? Muita gente diz que
é o tataravô, no entanto, os dicionários definem o trisavô como pai do bisavô. Alguns
dicionários afirmam que tataravô é forma paralela de tetravô, aquele que seria pai do
trisavô. Outros dicionários preferem aceitar aquilo que o povo consagrou no dia a
dia, ou seja, tataravô como pai do bisavô.
15
b)
c) 1ª geração de antecedentes: os pais correspondem a 21
= 2 antecedentes;
2ª geração de antecedentes: os avós são 22
, 4 antecedentes;
3ª geração de antecedentes: os bisavós correspondem a 23
, ou seja, 8.
4ª geração de antecedentes: o número de tataravós será 24
, ou seja, 16.
d) Serão 210
, ou seja, 1 024 antecedentes na 10ª geração.
e) Admitindo-se que trisavó seja o mesmo que tataravó, os tataravós correspondem
à quarta geração. São, portanto, 24
= 16. Cada tataravó terá 16 antecedentes.
Portanto, o número total de tataravós dos seus tataravós será de 16 . 16 = 256.
16. Um diagrama possível:
   1
654321
   2
654321
   3
654321
   4
654321
   5
654321
   6
654321
1º dado: 61
= 6 possibilidades
2º dado: 62
= 36 possibilidades
3º dado: 63
= 216 possibilidades
16
Páginas 32 - 35
1. Atividade prática.
2.
a) 2
b)
2
1
c)
4
1
d)
2
1
e)
8
1
f)
16
1
g)
4
3
4
2
4
1

h)
16
3
16
1
16
2
16
1
8
1

PESQUISA INDIVIDUAL
Página 35
3. Resposta pessoal.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
NA MEDIDA CERTA: DOS NATURAIS ÀS FRAÇÕES
17
VOCÊ APRENDEU?
Páginas 36 - 37
4.
a) Aproximadamente 4
2
1
ou
2
9
polegadas.
b) Aproximadamente 1
4
1
ou
4
5
polegadas.
c) Aproximadamente 3
8
5
ou
8
29
polegadas.
d) Aproximadamente 4
4
3
ou
4
19
polegadas.
18
Frações equivalentes
Páginas 39 - 40
1.
a)
100
60
50
30
10
6
20
12
5
3

b)
100
125
80
100
40
50
24
30
4
5

c)
100
20
150
30
10
2
5
1
25
5

d)
5
2
10
4
20
8
100
40

e)
49
21
35
15
28
12
7
3

f)
45
36
15
12
90
72

2.
a)
7
9
7
7
7
2
7
1

7
1
7
2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
EQUIVALÊNCIAS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
19
7
7
7
9
b)
12
2
6
2
4
2
3
2

3
2
4
2
6
2
12
2
c)
8
7
7
4
5
2

5
2
7
4
8
7
20
Página 41
3.
a)
9
2
>
15
2
b)
10
11
>
10
5
c)
10
3
<
9
3
d)
100
33
<
100
77
e)
12
5
<
5
12
f)
17
9
>
19
9
g)
45
22
<
60
35
h)
8
9
< 2
i)
8
4
=
14
7
j) 3 <
3
1
3
4.
a)
5
2
<
15
7
15
6
<
15
7
b)
4
7
>
10
13
20
35
>
20
26
c)
7
4
<
8
5
21
56
32
<
56
35
d)
12
5
>
18
7
36
15
>
36
14
e)
10
2
=
25
5
50
10
=
50
10
f)
100
32
>
20
6
100
32
>
100
30
Páginas 41 - 44
5.
a)
2
1
. 420 = 210
b)
4
1
. 20 = 5
c)
4
3
. 60 = 45
d)
5
1
. 400 = 80
e)
5
3
. 600 = 360
f)
10
2
. 700 = 140
g)
6
1
. 72 = 12
h)
100
20
. 500 = 100
22
6.
a) 15 minutos
b) 20 minutos
c) 12 minutos
d) 10 minutos
e) 45 minutos
f) 40 minutos
g) 24 minutos
h) 50 minutos
i) 40 minutos
j) 15 minutos
LIÇÃO DE CASA
Página 44
7.
a)
2
1
hora
b)
6
1
hora
c)
4
1
hora
d)
60
1
hora
e)
6
5
hora
f)
3
1
hora
g)
12
5
hora
h)
5
3
hora
23
VOCÊ APRENDEU?
Páginas 44 - 47
8.
a) 11 sétimos;
7
11
7
6
7
5

b) 10 terços;
3
10
3
8
3
2

c) 9 décimos;
10
9
10
6
10
15

d) 15 quinze avos ou 1 unidade; 1
15
15
15
3
15
18

e) 6 quartos ou 3 meios;
2
3
4
6
4
5
4
1

9. Algumas respostas possíveis:
a) 2 décimos = 3 quinze avos
b) 6 dezesseis avos = 9 vinte e quatro avos
c) 14 vigésimos = 70 centésimos
d) 14 doze avos = 21 dezoito avos
e) 2 décimos = 1 quinto
10.
a)
LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa
2 quintos + 1 quarto =

4
1
5
2
2 . 4 vinte avos + 1 . 5 vinte avos =

20
5.1
20
4.2
8 vinte avos + 5 vinte avos =

20
5
20
8
13 vinte avos
20
13
24
b)
LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa
10 terços + 5 oitavos =

8
5
3
10
10 . 8 vinte e quatro avos + 5 . 3 vinte e quatro
avos = 
24
3.5
24
8.10
80 vinte e quatro avos + 15 vinte e quatro avos
= 
24
15
24
80
95 vinte e quatro avos
24
95
c)
LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa
5 meios – 2 quintos =

5
2
2
5
5 . 5 décimos – 2 . 2 décimos =

10
2.2
10
5.5
25 décimos – 4 décimos =

10
4
10
25
21 décimos
10
21
d)
LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa
15 quartos – 7 décimos =

10
7
4
15
15 . 10 quarenta avos – 7 . 4 quarenta avos =

40
4.7
40
10.15
150 quarenta avos – 28 quarenta avos =

40
28
40
150
122 quarenta avos
40
122
25
AJUSTES
Caderno do Professor de Matemática – 5ª série/6º ano – Volume 1
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
38
a) Caneta
4 1
2
ou 9
2
polegadas
b) Borracha
1 1
4
ou 5
4
polegadas
c) Tesoura
3 5
8
ou 29
8
polegadas.
Atividade 3
Para reforçar a ideia apresentada na Ativi-
dade 1, propomos a seguinte atividade prática:
os alunos devem efetuar medidas de diferentes
objetos, adotando um objeto-padrão não con-
vencional como unidade.
Sugestões:
medir o comprimento de um livro usan-
do um lápis;
medir o comprimento de uma mesa
usando um livro;
medir o comprimento da sala usando
um cabo de vassoura.
É bem provável que os alunos se deparem
com medidas não inteiras, isto é, nas quais a
unidade de medida escolhida não cabe um nú-
mero inteiro de vezes no objeto a ser medido.
Por exemplo: o comprimento da mesa é maior
que o comprimento de quatro livros e menor
que o comprimento de cinco livros. Ou seja,
será um número misto entre 4 e 5. Dessa for-
ma, eles devem estimar que a fração do livro é
necessária para completar a medida do com-
primento da mesa.
Não há necessidade de que essa estimativa
seja exata. O professor pode orientá-los para
encontrar a fração mais adequada por meio de
algumas perguntas. A parte que falta é maior ou
menor que a metade? Está mais próxima de um
terço ou de dois terços? Está mais próxima de
um quarto ou de três quartos? E assim por diante.
Digamos que os alunos avaliem em dois
terços a parte restante. A medida final do com-
primento da mesa em relação ao comprimen-
to do livro será 4
2
3
. O mesmo processo deve
se repetir na medida de outros objetos, a não
ser que tal medida coincida com um número
inteiro da unidade escolhida. Nesse caso, o re-
sultado será um número natural.
O objetivo principal desta atividade é levar
os alunos a se deparar com a necessidade do
fracionamentodeumaunidadeemumprocesso
de medida. Eles devem perceber que as frações
e os números mistos permitem expressar me-
didas em que a unidade não cabe um número
inteiro de vezes no objeto a ser medido.
Tesoura
polegada
polegada
polegada
MAT_CP_5a_vol1_FINAL.indd 38 4/15/09 5:46:34 PM

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  • 1. 1 Caro Professor, Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola.
  • 2. 2 GABARITO Caderno do Aluno de Matemática – 5ª série/6º ano – Volume 1 Contando de diferentes maneiras Página 6 1. Experimentação Se casa grupo receber 73 pedrinhas, o quadro será o seguinte: Observação: O resultado expressa a seguinte contagem: • Grupo 1: 2 agrupamentos de 25 + 4 agrupamentos de 5 + 3 unidades = 50 + 20 + 3 = 73 • Grupo 2: 2 agrupamentos de 36 + 1 unidade = 72 + 1 = 73 • Grupo 3: 1 agrupamento de 49 + 3 agrupamentos de 7 + 3 unidades = 49 + 21 +3 = 73 • Grupo 4: 1 agrupamentos de 64 + 1 agrupamento de 8 + 1 unidade = 64 + 8 + 1 = 73 Professor: o objetivo principal dessa atividade é propiciar a vivência do aluno com um novo tipo de contagem. O mais importante é que haja uma orientação sobre como eles devem realizá-la. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E SUAS OPERAÇÕES
  • 3. 3 Páginas 6 - 7 2. a) Grupo 1: (234)5 Grupo 2: (136)9 b) Grupo 1: 2.(5 . 5) + 3 . 5 + 4 = 69 Grupo 2: 1.(9 . 9) + 3 . 9 + 6 = 114 c) Foi o Grupo 2, que contou 114 pedrinhas, contra 69 pedrinhas do Grupo 1. 3. a) 234 = 2 . 100 + 3 . 10 + 4 . 1 b) 136 = 1 . 100 + 3 . 10 + 6 . 1 c) 1 568 = 1 . 1 000 + 5 . 100 + 6 . 10 + 8 . 1 d) 28 001 = 2 . 10 000 + 8 . 1 000 + 1 . 1 e) 4 203 045 = 4 . 1 000 000 + 2 . 100 000 + 3 . 1 000 + 4 . 10 + 5 . 1 Páginas 7 - 10 4. a) A multiplicação 6 . 25 = 150 é uma forma de abreviar a soma 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25. Antônio terá recebido R$ 150,00 de mesada ao longo dos 6 meses. b) Nesse problema, a operação de adição está associada à ideia de reunir, agrupar. Portanto, basta fazer a adição 72 + 17 + 25 = 114. O total de moedas no cofre totalizou 114. c) A ideia nesse problema é a de retirar . 20 – 5 – 9 = 6. Dos R$ 20,00, sobraram R$ 6,00. d) Em cada coluna temos 10 ladrilhos. Portanto, em 15 colunas teremos 10.15 = 150 ladrilhos. e) Para saber quantas caixas serão necessárias para armazenar as 336 latas, precisamos determinar o número de grupos com 16 latas que cabem nesse total. Assim, temos que 336 ÷ 16 = 21. Serão necessárias 21 caixas. f) Comparamos os pontos de Carlos com os de André por meio da subtração 46 – 32 = 14. Carlos fez 14 pontos a mais que André.
  • 4. 4 g) Neste caso, a ideia associada é a de restaurar, ou seja, recompor a quantidade original de figurinhas: 48 + 15 = 63. Ou seja, João tinha 63 figurinhas antes de dar 15 para seu amigo. h) Para repartir a herança equitativamente, basta realizar a divisão 3 216 ÷ 3 = 1 072. Cada filho terá direito a 1 072 moedas. i) Para cada salada, podemos escolher entre cinco opções de pratos quentes. Nesse caso, a ideia emergente de combinação é traduzida por uma multiplicação: 3 . 5 = 15. Ou seja, existem 15 combinações diferentes de saladas e pratos quentes. Página 10 5. PPrroobblleemmaa OOppeerraaççããoo IIddeeiiaa pprriinncciippaall Problema a Multiplicação Abreviar a soma de parcelas Problema b Adição Reunir Problema c Subtração Retirar Problema d Multiplicação Calcular o número de elementos dispostos em linhas e colunas Problema e Divisão Formar agrupamentos Problema f Subtração Comparar Problema g Adição Restaurar Problema h Divisão Repartir Problema i Multiplicação Combinar Página 11 6. a) 80 b) 200 c) 80 e 20
  • 5. 5 d) 90 e 120 7. a) Fazendo a operação inversa, obtemos o número pensado: 95 – 38 = 57. b) Agora, a operação inversa é a divisão: 119 ÷ 7 = 17. c) Nesse caso, é necessário realizar duas operações inversas: multiplicação e adição 6 + 5 = 11 e 11 . 3 = 33. d) Temos: 72 – 12 = 60 e 60 ÷ 5 = 12. Página 12 8. a) adição b) multiplicação 9. a) Seis. 80  5 = 16; 16 – 10 = 6 b) Três. 5 . 2 = 10; 10 – 4 = 6; 6  2 = 3. 134 54 80 18 8 20 32 26 28 52 15 3 5 15 17 640 8 80 2 1 4 5 2 4 20
  • 6. 6 Páginas 12 - 13 10. Alternativa c. 11. Elas não respeitam a ordem das operações: as operações multiplicativas (multiplicação e divisão) devem ser realizadas antes das aditivas (adição e subtração). 12.            800 4.200 4.50150 4.502300 4.50220.15 4.502164.1025       13. a) 1 + 2 . 3 = 1 + 6 = 7 b) 1 . 2 + 3 = 2 + 3 = 5 c) 10 – 2 . 4 + 5 = 10 – 8 + 5 = 7 d) 10 ÷ 2 + 4 . 5 = 5 + 20 = 25 e) 4 + 3 . 2 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 ou 4. 3 – 2 – 1 = 9 f) (4 + 3) . 2 – 1 = 7 . 2 – 1 = 14 – 1 = 13 g) (20 – 10) ÷ (4 + 1) = 10 ÷ 5 = 2 h) 20 – 10 ÷ (4 + 1) = 20 – 10 ÷ 5 = 20 – 2 = 18
  • 7. 7 Páginas 14 - 15 14. a) 39 b) 40 c) 102 d) 25 e) 35 f) 1 Páginas 15 - 16 15. a) Menor b) Maior c) Menor d) Maior e) Maior f) Maior g) Menor h) Maior i) Igual Páginas 16 - 17 16. a) 24 + 18 = 42 b) 55 + 38 = 93 c) 26 + 39 = 65 d) 78 + 27 = 105
  • 8. 8 e) 45 + 86 = 131 f) 134 + 69 = 203 g) 143 + 48 = 191 h) 216 + 67 = 283 i) 237 + 66 = 303 j) 333 + 59 = 392 k) 444 + 117 = 561 l) 115 + 218 = 333
  • 9. 9 Páginas 19 - 20 1. a) Padrão: + 9 / sequência 39, 48, 57. b) Padrão: + 11 / sequência 49, 60, 71. c) Padrão: – 5 / sequência 12, 7, 2. d) Padrão: × 3 / sequência 162, 486, 1 458. e) Padrão: ×10 / sequência 100 000, 1 000 000. f) Padrão: ÷ 2 / sequência 50, 25. g) Padrão: 2ª potência / sequência 36, 49, 64. h) Padrão: + 2, 3, 4, ... / sequência 15, 21, 28, 36. 2. Professor, enfatize que cada sequência deve envolver uma operação diferente: adição, subtração. Multiplicação e divisão. Páginas 20 - 21 3. a) 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48 b) 11, 14, 17, 20, 23, 26 c) 7, 14, 21, 28, 35, 42 d) 5, 10, 15, 20, 25, 30 e) 0, 6, 12, 18, 24, 30 f) 0, 12, 24, 36, 48 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EXPLORANDO OS NATURAIS
  • 10. 10 4. a) M(2) = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, ... b) M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, ... c) M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, ... d) M(5) = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ... e) M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, ... f) M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, ... g) M(12) = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, ... 5. a) 0, 6, 12, 18, 24, ... = M(6) b) 0, 12, 24, 36, ... = M(12) c) 0, 12, 24, 36, 48, ... = M(12) d) 0, 10, 20, ... = M(10) Páginas 21 - 22 6. a) 48 minutos, pois o m.m.c (12,16) = 48. Todavia, é muito comum que, nesse tipo de atividade, alguns alunos se apoiem na situação concreta para determinar a saída conjunta, ao invés de determinar o mínimo múltiplo comum. Assim, é esperado que alguns alunos escrevam os horários de saída dos dois ônibus para verificar os horários iguais. Leito: 16:30 / 16:46 / 17:02 / 17:18 / 17:34 / 17:50 / 18:06 / 18:22 / 18:38 / 18:54 / 19:10 / 19:26 / 19:42 / 19:58 / 20:14/ 20:30 Convencional: 16:30 / 16:42 / 16:54 / 17:06 / 17:18 / 17:30 / 17:42 / 17:54 / 18:06 / 18:18 / 18:30 / 18:42 / 18:54 / 19:06 / 19:18 / 19:30 / 19:42 / 19:54 / 20:06 / 20:18 / 20:30 Recorrendo a essa estratégia, é possível observar as seguintes regularidades sobre as saídas conjuntas: elas ocorrem a cada 3 saídas do leito e 4 saídas do convencional; o intervalo de tempo é de 48 minutos. Essa estratégia é válida do ponto de vista da resolução de problemas, e deve ser valorizada pelo professor. Contudo, é possível
  • 11. 11 convencê-los de que há outra maneira, de se achar o tempo da saída conjunta, determinando-se o mínimo múltiplo comum entre 12 e 16, que é 48. b) Calculando os primeiros múltiplos para cada uma das distâncias, obtêm-se o mínimo múltiplo comum entre 120 e 300, que é 600. c) A diferença desse problema em relação aos anteriores é a utilização da ideia de frequência. É possível que alguns alunos tentem calcular diretamente o m.m.c. entre 15 e 10, por reconhecerem a característica de periodicidade no problema. Isso levará a uma resposta (30) que não é coerente com a questão apresentada. O entendimento correto do problema depende da interpretação da ideia de frequência. Se uma luz pisca 15 vezes por minuto, então o intervalo de tempo entre cada piscada é de 60 ÷ 15 = 4 segundos. Para a segunda luz, esse intervalo é de 60 ÷ 10 = 6 segundos. Assim, a solução do problema é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6, que é 12. Portanto, as luzes piscarão simultaneamente a cada 12 segundos. Divisores de um número natural 7. a) 1, 2, 4, 7, 14, 28. b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. c) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. d) 1, 2, 13, 26. e) 1, 7, 49 f) 1, 71 Páginas 22 - 24 8. a) D(12) = 1, 2, 3, 6, 12 D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 D(12,30) = 1, 2, 3 b) D(28) = 1, 2, 4,7,14,28 D(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48
  • 12. 12 D(28,48) = 1, 2, 4 c) D(26) = 1, 2, 13, 26 D( 28) = 1, 2, 4, 7, 14, 28 D( 26,28) = 1, 2 d) D(25) = 1, 5, 25 D 9 100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 D( 25,100) = 1, 5, 25 e) D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 D( 72) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 D(12,72) = 1, 2, 3,4, 6, 12 f) D(7) = 1, 7 D(16) = 1, 2, 4, 8, 16 D(7,16) = 1 9. a) 6 b) 4 c) 2 d) 25 e) 12 f) 1 10. Para dividir os dois tubos em pedaços iguais, sem sobras, é necessário que o tamanho de cada pedaço seja divisor comum de 24 e de 40. O maior tamanho corresponderá ao máximo divisor comum entre 24 e 40, que é 8. Páginas 25 - 27 11. NNúúmmeerrooss pprriimmooss NNúúmmeerrooss ccoommppoossttooss 2, 3, 7, 11, 13, 23, 31 6, 12, 15, 21, 24
  • 13. 13 12. TTAABBEELLAA 11 –– CCRRIIVVOO DDEE EERRAATTÓÓSSTTEENNEESS TTAABBEELLAA 22 –– OOSS 2255 NNÚÚMMEERROOSS PPRRIIMMOOSS MMEENNOORREESS QQUUEE 110000 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 13. a) As respostas podem variar. Se eles observarem a diferença entre dois termos consecutivos da sequência, observarão que não há regularidade. (3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2; 11 – 7 = 4; 13 – 11 = 2; 17 – 13 = 4; ...) Contudo, a diferença será sempre um número par, com exceção da primeira. b) Os dois algarismos que aparecem com mais frequência são o três e o sete. Os que menos aparecem são os pares, que só aparecem uma única vez, com o dois. AAllggaarriissmmoo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 NNºº ddee vveezzeess 5 1 7 0 1 0 6 0 5 0
  • 14. 14 Páginas 28 - 30 14. a) É possível que os alunos tenham dificuldade com alguns termos próprios da biologia: ninfas, ciclo vital, vantagem evolutiva, parasita. Pode-se também sugerir a eles que consultem o professor de ciências para esclarecer essas dúvidas. b) Para que o ciclo de vida dos dois coincida o mínimo de vezes possível. c) Eles se encontrariam a cada 12 anos (que é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 12), o que representaria um risco para as cigarras. d) O ciclo de 34 anos equivale ao mínimo múltiplo comum entre 17 e 2. Da mesma forma, 272 é o mínimo múltiplo comum entre 17 e 16. Potenciação 15. a) Os pais dos meus bisavós são meus tataravós (ou trisavós), e os avós dos meus bisavós são meus tetravós. Observação: A palavra “tataravô” causa certa confusão. Nós sabemos que o pai do pai é o avô e que o pai do avô é o bisavô. Mas e o pai do bisavô? Muita gente diz que é o tataravô, no entanto, os dicionários definem o trisavô como pai do bisavô. Alguns dicionários afirmam que tataravô é forma paralela de tetravô, aquele que seria pai do trisavô. Outros dicionários preferem aceitar aquilo que o povo consagrou no dia a dia, ou seja, tataravô como pai do bisavô.
  • 15. 15 b) c) 1ª geração de antecedentes: os pais correspondem a 21 = 2 antecedentes; 2ª geração de antecedentes: os avós são 22 , 4 antecedentes; 3ª geração de antecedentes: os bisavós correspondem a 23 , ou seja, 8. 4ª geração de antecedentes: o número de tataravós será 24 , ou seja, 16. d) Serão 210 , ou seja, 1 024 antecedentes na 10ª geração. e) Admitindo-se que trisavó seja o mesmo que tataravó, os tataravós correspondem à quarta geração. São, portanto, 24 = 16. Cada tataravó terá 16 antecedentes. Portanto, o número total de tataravós dos seus tataravós será de 16 . 16 = 256. 16. Um diagrama possível:    1 654321    2 654321    3 654321    4 654321    5 654321    6 654321 1º dado: 61 = 6 possibilidades 2º dado: 62 = 36 possibilidades 3º dado: 63 = 216 possibilidades
  • 16. 16 Páginas 32 - 35 1. Atividade prática. 2. a) 2 b) 2 1 c) 4 1 d) 2 1 e) 8 1 f) 16 1 g) 4 3 4 2 4 1  h) 16 3 16 1 16 2 16 1 8 1  PESQUISA INDIVIDUAL Página 35 3. Resposta pessoal. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 NA MEDIDA CERTA: DOS NATURAIS ÀS FRAÇÕES
  • 17. 17 VOCÊ APRENDEU? Páginas 36 - 37 4. a) Aproximadamente 4 2 1 ou 2 9 polegadas. b) Aproximadamente 1 4 1 ou 4 5 polegadas. c) Aproximadamente 3 8 5 ou 8 29 polegadas. d) Aproximadamente 4 4 3 ou 4 19 polegadas.
  • 18. 18 Frações equivalentes Páginas 39 - 40 1. a) 100 60 50 30 10 6 20 12 5 3  b) 100 125 80 100 40 50 24 30 4 5  c) 100 20 150 30 10 2 5 1 25 5  d) 5 2 10 4 20 8 100 40  e) 49 21 35 15 28 12 7 3  f) 45 36 15 12 90 72  2. a) 7 9 7 7 7 2 7 1  7 1 7 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 EQUIVALÊNCIAS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
  • 21. 21 56 32 < 56 35 d) 12 5 > 18 7 36 15 > 36 14 e) 10 2 = 25 5 50 10 = 50 10 f) 100 32 > 20 6 100 32 > 100 30 Páginas 41 - 44 5. a) 2 1 . 420 = 210 b) 4 1 . 20 = 5 c) 4 3 . 60 = 45 d) 5 1 . 400 = 80 e) 5 3 . 600 = 360 f) 10 2 . 700 = 140 g) 6 1 . 72 = 12 h) 100 20 . 500 = 100
  • 22. 22 6. a) 15 minutos b) 20 minutos c) 12 minutos d) 10 minutos e) 45 minutos f) 40 minutos g) 24 minutos h) 50 minutos i) 40 minutos j) 15 minutos LIÇÃO DE CASA Página 44 7. a) 2 1 hora b) 6 1 hora c) 4 1 hora d) 60 1 hora e) 6 5 hora f) 3 1 hora g) 12 5 hora h) 5 3 hora
  • 23. 23 VOCÊ APRENDEU? Páginas 44 - 47 8. a) 11 sétimos; 7 11 7 6 7 5  b) 10 terços; 3 10 3 8 3 2  c) 9 décimos; 10 9 10 6 10 15  d) 15 quinze avos ou 1 unidade; 1 15 15 15 3 15 18  e) 6 quartos ou 3 meios; 2 3 4 6 4 5 4 1  9. Algumas respostas possíveis: a) 2 décimos = 3 quinze avos b) 6 dezesseis avos = 9 vinte e quatro avos c) 14 vigésimos = 70 centésimos d) 14 doze avos = 21 dezoito avos e) 2 décimos = 1 quinto 10. a) LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 2 quintos + 1 quarto =  4 1 5 2 2 . 4 vinte avos + 1 . 5 vinte avos =  20 5.1 20 4.2 8 vinte avos + 5 vinte avos =  20 5 20 8 13 vinte avos 20 13
  • 24. 24 b) LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 10 terços + 5 oitavos =  8 5 3 10 10 . 8 vinte e quatro avos + 5 . 3 vinte e quatro avos =  24 3.5 24 8.10 80 vinte e quatro avos + 15 vinte e quatro avos =  24 15 24 80 95 vinte e quatro avos 24 95 c) LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 5 meios – 2 quintos =  5 2 2 5 5 . 5 décimos – 2 . 2 décimos =  10 2.2 10 5.5 25 décimos – 4 décimos =  10 4 10 25 21 décimos 10 21 d) LLiinngguuaaggeemm mmiissttaa FFoorrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 15 quartos – 7 décimos =  10 7 4 15 15 . 10 quarenta avos – 7 . 4 quarenta avos =  40 4.7 40 10.15 150 quarenta avos – 28 quarenta avos =  40 28 40 150 122 quarenta avos 40 122
  • 25. 25 AJUSTES Caderno do Professor de Matemática – 5ª série/6º ano – Volume 1 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada página.
  • 26. 38 a) Caneta 4 1 2 ou 9 2 polegadas b) Borracha 1 1 4 ou 5 4 polegadas c) Tesoura 3 5 8 ou 29 8 polegadas. Atividade 3 Para reforçar a ideia apresentada na Ativi- dade 1, propomos a seguinte atividade prática: os alunos devem efetuar medidas de diferentes objetos, adotando um objeto-padrão não con- vencional como unidade. Sugestões: medir o comprimento de um livro usan- do um lápis; medir o comprimento de uma mesa usando um livro; medir o comprimento da sala usando um cabo de vassoura. É bem provável que os alunos se deparem com medidas não inteiras, isto é, nas quais a unidade de medida escolhida não cabe um nú- mero inteiro de vezes no objeto a ser medido. Por exemplo: o comprimento da mesa é maior que o comprimento de quatro livros e menor que o comprimento de cinco livros. Ou seja, será um número misto entre 4 e 5. Dessa for- ma, eles devem estimar que a fração do livro é necessária para completar a medida do com- primento da mesa. Não há necessidade de que essa estimativa seja exata. O professor pode orientá-los para encontrar a fração mais adequada por meio de algumas perguntas. A parte que falta é maior ou menor que a metade? Está mais próxima de um terço ou de dois terços? Está mais próxima de um quarto ou de três quartos? E assim por diante. Digamos que os alunos avaliem em dois terços a parte restante. A medida final do com- primento da mesa em relação ao comprimen- to do livro será 4 2 3 . O mesmo processo deve se repetir na medida de outros objetos, a não ser que tal medida coincida com um número inteiro da unidade escolhida. Nesse caso, o re- sultado será um número natural. O objetivo principal desta atividade é levar os alunos a se deparar com a necessidade do fracionamentodeumaunidadeemumprocesso de medida. Eles devem perceber que as frações e os números mistos permitem expressar me- didas em que a unidade não cabe um número inteiro de vezes no objeto a ser medido. Tesoura polegada polegada polegada MAT_CP_5a_vol1_FINAL.indd 38 4/15/09 5:46:34 PM