Este documento contém 15 exercícios sobre equações e inequações trigonométricas. Os exercícios envolvem encontrar conjuntos solução, número de soluções, e valores de variáveis que satisfaçam equações e inequações trigonométricas nos intervalos de 0 a 2π radianos. A última questão pede para calcular o menor valor de cos(α + β), onde α e β satisfazem equações trigonométricas nos intervalos de 0 a 2π.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS

2. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
1
01. (Espcex 2020) O conjunto solução da inequação 2
2 cos x sen x 2,
+ > no intervalo [0, ],
π é
a) 0,
6
π
 
 
 
b)
5
,
6
π
π
 
 
 
c)
2
0, ,
3 3
π π
π
   
∪
   
   
d) 0,
3
π
 
 
 
e)
5
0, ,
6 6
π π
π
   
∪
   
   
02. (Ita 2020) Seja a um número real satisfazendo 0 a .
2
π
< < Então, a soma de todos os valores de x [0, 2 ]
π
∈ que
satisfazem a equação cosxsen(a x) sena
+ = é igual a
a) 5 2a.
π +
b) 5 a.
π +
c) 5 .
π
d) 5 a.
π −
e) 5 2a.
π −
03. (Ime 2020) Todos os arcos entre 0 e 2π radianos que satisfazem a desigualdade
1 3
senx cosx
2 2
− > + , estão
compreendidos entre
a)
12
π
e
6
π
b)
5
12
π
e
7
12
π
c)
2
3
π
e
5
6
π
d)
3
π
e
2
π
e)
5
6
π
e
11
12
π
04. (Epcar 2019) Considere as matrizes
sen x 1
A
1 sen x
−
 
=  
−
 
e
sen x sen x
B
1 3
 
=  
−
 
. Se o determinante do produto
matricial AB é um número real positivo ou nulo, então os valores de x, no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa
condição estão representados em
a) b) c) d)

3. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
2
05. (Epcar 2019) Seja a equação trigonométrica 3 2
tg x 2 tg x tgx 2 0,
− − + = com
3
x [0, 2 [ , .
2 2
π π
π
 
 
∈ − 
 
 
 
Sobre a
quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação, é correto afirmar que são, exatamente,
a) três
b) quatro
c) cinco
d) seis
06. (Espcex 2019) O número de raízes reais da equação 2
2 cos x 3 cos x 1 0
+ + = no intervalo ]0, 2 [
π é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
07. (Eear 2019) Se 0 x 90
° ≤ ≤ ° e se
3
sen 4x ,
2
= − um dos possíveis valores de x é
a) 30°
b) 45°
c) 75°
d) 85°
08. (Espcex 2018) O conjunto solução da inequação 2
2sen x cosx 1 0,
− − ≥ no intervalo ] ]
0, 2π é
a)
2 4
, .
3 3
π π
 
 
 
b)
5
, .
3 6
π π
 
 
 
c)
5
, .
3 3
π π
 
 
 
d)
2 4 5
, , .
3 3 3 3
π π π π
   
∪
   
   
e)
5 7 10
, , .
6 6 6 6
π π π π
   
∪
   
   
09. (Ita 2018) Com relação à equação
3
2
tg x 3tgx
1 0,
1 3tg x
−
+ =
−
podemos afirmar que
a) no intervalo ,
2 2
π π
 
−
 
 
a soma das soluções é igual a 0.
b) no intervalo ,
2 2
π π
 
−
 
 
a soma das soluções é maior que 0.
c) a equação admite apenas uma solução real.
d) existe uma única solução no intervalo 0, .
2
π
 
 
 
e) existem duas soluções no intervalo , 0 .
2
π
 
−
 
 

4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
3
10. (Ita 2017) O número de soluções da equação (1 sec )(1 cossec ) 0,
θ θ
+ + =
com [ , ],
θ π π
∈ − é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
11. (Espcex 2017) A soma das soluções da equação cos(2x) cos(x) 0,
− =
com x [0, 2 ),
π
∈ é igual a
a)
5
3
π
b) 2π
c)
7
3
π
d) π
e)
8
3
π
12. (Acafe 2016) Sabe-se que receita mensal (em milhões de reais) gerada pela produção e venda de equipamentos
eletrônicos de duas empresas A e B, varia de acordo com as seguintes funções periódicas: na empresa A, a receita
obtida é dada pela equação A
t
R sen2
60
π
 
= ⋅ 
 
e na empresa B, dada pela equação B
t
R 2 cos ,
60
π
 
= ⋅  
 
onde em
ambas, t é o tempo medido em meses.
Portanto, o tempo, em meses, para que as duas empresas tenham pela primeira vez a mesma receita é um número
entre
a) 10 e 12 meses.
b) 12 e 16 meses.
c) 5 e 8 meses.
d) 20 e 24 meses.
13. (Espcex 2015) Seja
3
10
3 7
10 10
log
1
.
2 log log
β
= ⋅
−
O conjunto solução da desigualdade cos(x) 3
3
7
β
 
≤  
 
no intervalo [ )
0,2 ,
π
é igual a
a) 0, .
3
π
 


 
b)
5
, .
3 3
π π
 
 
 
c) ,2 .
3
π
π
 
 
 
d) ,2 .
3
π
π
 


 
e)
3
,2 .
2
π
π
 


 

5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
4
14. (Espcex 2015) A soma de todas as soluções da equação 3 2
2cos (x) cos (x) 2cos(x) 1 0,
− − + = que estão contidas
no intervalo [ ]
0,2 ,
π é igual a
a) 2 .
π
b) 3 .
π
c) 4 .
π
d) 5 .
π
e) 6 .
π
15. (Ita 2015) Sejam α e β números reais tais que ,
α ,
β ]0,2 [
α β π
+ ∈ e satisfazem as equações 2 4
4 1
cos cos
2 5 2 5
α α
= +
e 2 4
4 3
cos cos .
3 7 3 7
β β
= + Então, o menor valor de cos( )
α β
+ é igual a
a) 1.
−
b)
3
.
2
−
c)
2
.
2
−
d)
1
.
2
−
e) 0.
GABARITO
1 - E 2 - E 3 - C 4 - B 5 - D
6 - D 7 - C 8 - C 9 - B 10 - A
11 - B 12 - B 13 - B 14 - D 15 - B

6. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
5